ميكانيكا روثيان

في الميكانيكا الكلاسيكية، تُعدّ طريقة راوث ، أو الميكانيكا الراوثية، صياغةً هجينةً للميكانيكا اللاغرانجية والميكانيكا الهاميلتونية ، طوّرها إدوارد جون راوث حوالي عام 1860. ^{[ 1 ]} وبالمثل، فإنّ الدالة الراوثية هي التي تحلّ محلّ كلٍّ من الدالتين اللاغرانجية والهاميلتونية . ورغم أنّ الميكانيكا الراوثية تُكافئ الميكانيكا اللاغرانجية والميكانيكا الهاميلتونية ، ولا تُقدّم أيّ فيزياء جديدة، إلا أنّها تُوفّر طريقةً بديلةً لحلّ المسائل الميكانيكية.

التعريفات

يمكن الحصول على دالة راوثيان، مثل دالة هاميلتونيان، من تحويل ليجاندر لدالة لاغرانجيان، ولها شكل رياضي مشابه لهاميلتونيان، لكنها ليست مطابقة لها تمامًا. يكمن الفرق بين دوال لاغرانجيان وهاميلتونيان وروثيان في متغيراتها. فبالنسبة لمجموعة معينة من الإحداثيات المعممة التي تمثل درجات الحرية في النظام، تكون دالة لاغرانجيان دالة للإحداثيات والسرعات، بينما تكون دالة هاميلتونيان دالة للإحداثيات والزخم.

تختلف دالة روثيان عن هذه الدوال في أنها تختار بعض الإحداثيات بحيث يكون لها سرعات معممة مقابلة، بينما تختار الباقي بحيث يكون لها زخم معمم مقابل. هذا الاختيار اعتباطي، ويمكن إجراؤه لتبسيط المسألة. ويترتب عليه أيضًا أن معادلات روثيان هي نفسها معادلات هاميلتون لبعض الإحداثيات وزخمها المقابل، ومعادلات لاغرانج لبقية الإحداثيات وسرعاتها. في كل حالة، تُستبدل دالتا لاغرانج وهاميلتون بدالة واحدة، هي دالة روثيان. وبالتالي، تتمتع المجموعة الكاملة بمزايا كلا مجموعتي المعادلات، مع سهولة تقسيم مجموعة من الإحداثيات إلى معادلات هاميلتون، والباقي إلى معادلات لاغرانج.

في حالة ميكانيكا لاغرانج، تدخل الإحداثيات المعممة $q 1 ، q 2$ ، ... والسرعات المقابلة $dq 1 / dt ، dq 2 / dt ، ...$ ، وربما الزمن ^{[ nb 1 ]} $t$ ، في لاغرانج،

L(q_{1},q_{2},\ldots ,{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},\ldots ,t)\,,\quad {\dot {q}}_{i}={\frac {dq_{i}}{dt}}\,,

حيث تشير النقاط العلوية إلى المشتقات الزمنية .

في ميكانيكا هاميلتون، تدخل الإحداثيات المعممة $q 1 ، q 2 ، ...$ والزخم المعمم المقابل $p 1 ، p 2 ، ...،$ وربما الزمن، في الهاميلتوني،

H(q_{1},q_{2},\ldots ,p_{1},p_{2},\ldots ,t)=\sum _{i}{\dot {q}}_{i}p_{i}-L(q_{1},q_{2},\ldots ,{\dot {q}}_{1}(p_{1}),{\dot {q}}_{2}(p_{2}),\ldots ,t)\,,\quad p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\,,

$حيث$ تمثل المعادلة الثانية تعريف الزخم المعمم $pᵢ$ الموافق للإحداثي $qᵢ$ ( ويُرمز للمشتقات الجزئية بالرمز $\partial$ $)$ . تُعبّر السرعات $dqᵢ / dt$ كدوال لزخمها المقابل عن طريق عكس العلاقة التعريفية. في هذا السياق، $يُقال$ $إن$ $pᵢ$ هو الزخم "المرافق قانونيًا" لـ $qᵢ .$

تُعتبر دالة روثيان وسيطة بين $L$ و $H$ ؛ حيث يتم اختيار بعض الإحداثيات $q1 ، q2 ، ...، qn بحيث يكون لها زخم معمّم$ $p1 ، p2 ، ...،$ $pn$ $،$ $بينما$ $يتم$ $اختيار$ بقية الإحداثيات $ζ1$ $،$ $ζ2$ $،$ $...،$ $ζs بحيث يكون لها$ ^سرعات معمّمة $dζ1$ $/$ $dt$ $،$ $dζ2$ $/$ $dt$ $،$ ^... $،$ $dζs$ $/$ $dt$ $،$ وقد يظهر الزمن بشكل صريح؛ $[$ ^{2 ]}^[³ $]$

مصفوفة روث ( درجات الحرية

n + s )

$R(q_{1},\ldots ,q_{n},\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{s},p_{1},\ldots ,p_{n},{\dot {\zeta }}_{1},\ldots ,{\dot {\zeta }}_{s},t)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}_{i}(p_{i})-L(q_{1},\ldots ,q_{n},\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{s},{\dot {q}}_{1}(p_{1}),\ldots ,{\dot {q}}_{n}(p_{n}),{\dot {\zeta }}_{1},\ldots ,{\dot {\zeta }}_{s},t)\,,$

حيث يُعبَّر عن السرعة المعممة $dq i / dt$ كدالة للزخم المعمم $p i$ من خلال علاقتها المحددة. ويُعدّ اختيار الإحداثيات $n$ التي لها زخم مُناظر، من بين الإحداثيات $n + s$ ، اختيارياً.

يستخدم كل من لاندو وليفشيتز وغولدشتاين ما سبق . وقد يُعرّف بعض المؤلفين دالة روث بأنها عكس التعريف المذكور أعلاه. ^[⁴^]

نظراً لطول التعريف العام، فإن استخدام الخط الغامق لتمثيل أزواج (أو متجهات) المتغيرات يُعدّ طريقةً أكثر اختصاراً، وبالتالي $q = (q1, q2, ..., qn)$ ، و $ζ = (ζ1$ $,$ $ζ2$ $,$ $...$ $,$ $ζs$ $)$ ، $و$ $p$ $=$ $($ $p1$ $,$ $p2$ $,$ $...$ $,$ $pn$ $)$ $،$ و $dζ /$ $dt$ $=$ $($ $dζ1$ $/$ $dt$ $,$ $dζ2$ $/$ $dt$ $,$ $...$ $,$ $dζs$ $/$ $dt$ $)$ $،$ $بحيث$

// }},{\dot {\mathbf {q} }},{\dot {\boldsymbol {\zeta }}},t)\,,}

حيث يمثل · الضرب النقطي المعرف على الصفوف، وذلك للمثال المحدد الظاهر هنا:

\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}=\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}_{i}\,.

معادلات الحركة

للتوضيح، فإن معادلات أويلر-لاغرانج لدرجات الحرية $s$ هي مجموعة من $s$ من المعادلات التفاضلية العادية من الدرجة الثانية المترابطة في الإحداثيات.

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}={\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}\,,

حيث $j = 1, 2, ..., s$ ، ومعادلات هاميلتون لدرجات حرية $n$ هي مجموعة من $2^n$ من المعادلات التفاضلية العادية من الدرجة الأولى المترابطة في الإحداثيات والزخم

{\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\,,\quad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\,.

فيما يلي، يتم الحصول على معادلات الحركة لراوث بطريقتين، وفي هذه العملية يتم العثور على مشتقات مفيدة أخرى يمكن استخدامها في مكان آخر.

درجتان من الحرية

لنفترض نظامًا ذا درجتي حرية ، $q$ و $ζ$ ، بسرعتين معممتين $dq / dt$ و $dζ / dt$ ، ويكون لاغرانجيان النظام تابعًا للزمن. (يتبع التعميم لأي عدد من درجات الحرية نفس الإجراء تمامًا كما في حالة درجتي الحرية). ^{[ 5 ]} سيكون لاغرانجيان النظام على الشكل التالي:

L(q,\zeta ,{\dot {q}},{\dot {\zeta }},t)

مشتقة $L$ هي

dL={\frac {\partial L}{\partial q}}dq+{\frac {\partial L}{\partial \zeta }}d\zeta +{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}d{\dot {q}}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\zeta }}}}d{\dot {\zeta }}+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\,.

الآن، غيّر المتغيرات من المجموعة ( $q$ , $ζ$ , $dq / dt$ , $dζ / dt$ ) إلى ( $q$ , $ζ$ , $p$ , $dζ / dt$ )، ببساطة عن طريق استبدال السرعة $dq / dt$ بالزخم $p$ . يُعرف هذا التغيير في المتغيرات في التفاضلات بتحويل ليجاندر . سيكون تفاضل الدالة الجديدة التي تحل محل $L$ مجموع تفاضلات في $dq$ و $dζ$ و $dp$ و $d (dζ / dt)$ و $dt$ . باستخدام تعريف الزخم المعمم ومعادلة لاغرانج للإحداثي $q$ :

p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\,,\quad {\dot {p}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}={\frac {\partial L}{\partial q}}

لدينا

dL={\dot {p}}dq+{\frac {\partial L}{\partial \zeta }}d\zeta +pd{\dot {q}}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\zeta }}}}d{\dot {\zeta }}+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt

ولاستبدال $pd (dq / dt)$ بـ $(dq / dt) dp$ ، تذكر قاعدة الضرب للتفاضلات، ^{[ nb 2 ]} واستبدل

pd{\dot {q}}=d({\dot {q}}p)-{\dot {q}}dp

للحصول على تفاضل دالة جديدة بدلالة مجموعة المتغيرات الجديدة:

d(Lp{\dot {q}})={\dot {p}}dq+{\frac {\partial L}{\partial \zeta }}d\zeta -{\dot {q}}dp+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\zeta }}}}d{\dot {\zeta }}+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\,.

تقديم روثيان

R(q,\zeta ,p,{\dot {\zeta }},t)=p{\dot {q}}(p)-L

وحيث أن السرعة $dq / dt$ هي دالة للزخم $p$ ، لدينا

dR=-{\dot {p}}dq-{\frac {\partial L}{\partial \zeta }}d\zeta +{\dot {q}}dp-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\zeta }}}}d{\dot {\zeta }}-{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\,,

ولكن من التعريف أعلاه، فإن تفاضل الدالة الروثية هو

dR={\frac {\partial R}{\partial q}}dq+{\frac {\partial R}{\partial \zeta }}d\zeta +{\frac {\partial R}{\partial p}}dp+{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\zeta }}}}d{\dot {\zeta }}+{\frac {\partial R}{\partial t}}dt\,.

بمقارنة معاملات التفاضلات $dq$ و $dζ$ و $dp$ و $d (dζ / dt)$ و $dt$ ، تكون النتائج معادلات هاميلتون للإحداثي $q$ ،

{\dot {q}}={\frac {\partial R}{\partial p}}\,,\quad {\dot {p}}=-{\frac {\partial R}{\partial q}}\,,

ومعادلة لاغرانج للإحداثي $ζ$

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\zeta }}}}={\frac {\partial R}{\partial \zeta }}

والتي تتبع من

{\frac {\partial L}{\partial \zeta }}=-{\frac {\partial R}{\partial \zeta }}\,,\quad {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\zeta }}}}=-{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\zeta }}}}\,,

وبأخذ المشتقة الزمنية الكلية للمعادلة الثانية ومساواتها بالمعادلة الأولى. لاحظ أن دالة راوثيان تحل محل دالتي هاميلتونيان ولاغرانجيان في جميع معادلات الحركة.

تنص المعادلة المتبقية على أن المشتقات الزمنية الجزئية لـ $L$ و $R$ سالبة.

{\frac {\partial L}{\partial t}}=-{\frac {\partial R}{\partial t}}\,.

أي عدد من درجات الحرية

بالنسبة للإحداثيات $n + s$ كما هو محدد أعلاه، مع راوثيان

R(q_{1},\ldots ,q_{n},\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{s},p_{1},\ldots ,p_{n},{\dot {\zeta }}_{1},\ldots ,{\dot {\zeta }}_{s},t)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}_{i}(p_{i})-L

يمكن اشتقاق معادلات الحركة بتحويل ليجندر لهذا المصفوفة الروثية كما في القسم السابق، ولكن هناك طريقة أخرى تتمثل ببساطة في أخذ المشتقات الجزئية لـ $R$ بالنسبة للإحداثيات $qᵢ و$ $ζⱼ ،$ والزخم $pᵢ ،$ والسرعات $dζⱼ / dt ،$ حيث $i = 1, 2, ...,$ n $،$ و $j = 1, 2, ..., s$ . والمشتقات هي

{\frac {\partial R}{\partial q_{i}}}=-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=-{\dot {p}}_{i}

{\frac {\partial R}{\partial p_{i}}}={\dot {q}}_{i}

{\frac {\partial R}{\partial \zeta _{j}}}=-{\frac {\partial L}{\partial \zeta _{j}}}\,,

{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\zeta }}_{j}}}=-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\zeta }}_{j}}}\,,

{\frac {\partial R}{\partial t}}=-{\frac {\partial L}{\partial t}}\,.

المعادلتان الأوليان هما معادلات هاميلتون. وبمساواة المشتقة الزمنية الكلية للمجموعة الرابعة من المعادلات مع المجموعة الثالثة (لكل قيمة من قيم $j$ )، نحصل على معادلات لاغرانج. أما المعادلة الخامسة فهي نفس العلاقة بين المشتقات الزمنية الجزئية كما في السابق. باختصار ^{[ 6 ]}

معادلات روثيان للحركة ( عدد درجات الحرية n + s )

${\dot {q}}_{i}={\frac {\partial R}{\partial p_{i}}}\,,\quad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial R}{\partial q_{i}}}\,,$

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\zeta }}_{j}}}={\frac {\partial R}{\partial \zeta _{j}}}\,.$

العدد الإجمالي للمعادلات هو $2 n + s$ ، هناك $2 n$ معادلة هاميلتونية بالإضافة إلى $s$ معادلة لاغرانج.

طاقة

بما أن دالة لاغرانج لها نفس وحدات الطاقة ، فإن وحدة دالة روثيان هي أيضاً الطاقة. في النظام الدولي للوحدات، تُقاس هذه الوحدة بالجول .

يؤدي حساب المشتقة الزمنية الكلية للدالة لاغرانجية إلى النتيجة العامة

{\frac {\partial L}{\partial t}}={\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}+\sum _{j=1}^{s}{\dot {\zeta }}_{j}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\zeta }}_{j}}}-L\right)\,.

إذا كانت دالة لاغرانج مستقلة عن الزمن، فإن المشتق الزمني الجزئي لدالة لاغرانج يساوي صفرًا، $\partial L /\partial t = 0$ ، لذا فإن الكمية الموجودة تحت المشتق الزمني الكلي بين قوسين يجب أن تكون ثابتة، وهي الطاقة الكلية للنظام ^{[ 7 ].}

E=\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}+\sum _{j=1}^{s}{\dot {\zeta }}_{j}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\zeta }}_{j}}}-L\,.

(إذا كانت هناك حقول خارجية تتفاعل مع مكونات النظام، فيمكنها أن تتغير مكانيًا ولكن ليس زمنيًا). يتطلب هذا التعبير المشتقات الجزئية لـ $L$ بالنسبة لجميع السرعات dq $i / dt و$ dζ $j / dt .$ في ظل الشرط نفسه المتمثل في استقلال $R$ عن الزمن، تصبح الطاقة بدلالة دالة روث أبسط قليلًا، وذلك باستبدال تعريف $R$ والمشتقات الجزئية لـ $R$ بالنسبة للسرعات $dζ j / dt$ .

E=R-\sum _{j=1}^{s}{\dot {\zeta }}_{j}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\zeta }}_{j}}}\,.

لاحظ أن المشتقات الجزئية لـ $R$ بالنسبة للسرعات $dζ j / dt$ هي فقط المطلوبة. في حالة $s = 0$ ويكون راوثيان مستقلاً عن الزمن صراحةً، فإن $E = R$ ، أي أن راوثيان يساوي طاقة النظام. والتعبير نفسه لـ $R$ عندما $s = 0$ هو أيضاً الهاميلتوني، لذا في جميع الحالات $E = R = H.$

إذا كان لدالة روثيان اعتماد زمني صريح، فإن الطاقة الكلية للنظام لا تكون ثابتة. والنتيجة العامة هي

{\frac {\partial R}{\partial t}}={\dfrac {d}{dt}}\left(R-\sum _{j=1}^{s}{\dot {\zeta }}_{j}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\zeta }}_{j}}}\right)\,,

والتي يمكن اشتقاقها من المشتق الزمني الكلي لـ $R$ بنفس الطريقة المتبعة بالنسبة لـ $L.$

الإحداثيات الدورية

في كثير من الأحيان، قد لا يُقدّم منهج روث أي ميزة، لكن من الحالات البارزة التي يكون فيها مفيدًا وجود إحداثيات دورية (تُسمى أيضًا "إحداثيات مهملة") في النظام، وهي، بحكم تعريفها، الإحداثيات التي لا تظهر في لاغرانجيان الأصلي. تُعدّ معادلات لاغرانج نتائج قوية، تُستخدم بكثرة في النظرية والتطبيق، نظرًا لسهولة صياغة معادلات الحركة في هذه الإحداثيات. مع ذلك، في حال وجود إحداثيات دورية، ستظل هناك معادلات يجب حلّها لجميع الإحداثيات، بما في ذلك الإحداثيات الدورية على الرغم من غيابها في لاغرانجيان. تُعدّ معادلات هاميلتون نتائج نظرية مفيدة، لكنها أقل فائدة عمليًا لأن الإحداثيات والزخم مرتبطان معًا في الحلول - بعد حلّ المعادلات، يجب حذف الإحداثيات والزخم من بعضهما. ومع ذلك، تُناسب معادلات هاميلتون تمامًا الإحداثيات الدورية لأن المعادلات في هذه الإحداثيات تتلاشى تلقائيًا، ولا يتبقى سوى المعادلات في الإحداثيات غير الدورية.

يجمع أسلوب روث بين أفضل ما في كلا الأسلوبين، إذ يمكن فصل الإحداثيات الدورية إلى معادلات هاميلتونية وحذفها، تاركًا الإحداثيات غير الدورية ليتم حلها من معادلات لاغرانج. وبشكل عام، يتطلب حل عدد أقل من المعادلات مقارنةً بأسلوب لاغرانج.

تُعدّ صيغة روث مفيدة للأنظمة ذات الإحداثيات الدورية ، لأن هذه الإحداثيات، بحكم تعريفها، لا تدخل في $L$ ، وبالتالي $لا$ $تدخل في R.$ تكون المشتقات الجزئية المقابلة لـ $L$ و $R$ بالنسبة لهذه الإحداثيات صفرًا، وهو ما يُعادل اختزال الزخم المعمم المقابل إلى ثوابت. ولتوضيح ذلك، إذا كانت جميع إحداثيات $qᵢ دورية، وجميع$ $إحداثيات$ $ζⱼ$ غير دورية، فإن

{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}={\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial R}{\partial q_{i}}}=0\quad \Rightarrow \quad p_{i}=\alpha _{i}\,,

حيث تمثل $α i$ ثوابت. وباستبدال هذه الثوابت في دالة راوث، تصبح $R$ دالة للإحداثيات والسرعات غير الدورية فقط (وبشكل عام للزمن أيضًا).

R(\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{s},\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n},{\dot {\zeta }}_{1},\ldots ,{\dot {\zeta }}_{s},t)=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\dot {q}}_{i}(\alpha _{i})-L(\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{s},{\dot {q}}_{1}(\alpha _{1}),\ldots ,{\dot {q}}_{n}(\alpha _{n}),{\dot {\zeta }}_{1},\ldots ,{\dot {\zeta }}_{s},t)\,,

تتلاشى معادلة هاميلتون $2n$ في الإحداثيات الدورية تلقائيًا $،$

{\dot {q}}_{i}={\frac {\partial R}{\partial \alpha _{i}}}=f_{i}(\zeta _{1}(t),\ldots ,\zeta _{s}(t),{\dot {\zeta }}_{1}(t),\ldots ,{\dot {\zeta }}_{s}(t),\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n},t)\,,\quad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial R}{\partial q_{i}}}=0\,,

وتكون معادلات $لاغرانج$ في الإحداثيات غير الدورية.

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\zeta }}_{j}}}={\frac {\partial R}{\partial \zeta _{j}}}\,.

وهكذا، اختُزلت المشكلة إلى حل معادلات لاغرانج في الإحداثيات غير الدورية، مع ميزة أن معادلات هاميلتون تُزيل الإحداثيات الدورية تمامًا. وباستخدام هذه الحلول، تصبح معادلات ${\dot {q}}_{i}$ يمكن دمجها في الحوسبة $q_{i}(t)$ .

إذا كنا مهتمين بكيفية تغير الإحداثيات الدورية مع مرور الوقت، فيمكن تكامل المعادلات الخاصة بالسرعات المعممة المقابلة للإحداثيات الدورية.

أمثلة

لا يضمن إجراء راوث أن تكون معادلات الحركة بسيطة، ولكنه سيؤدي إلى عدد أقل من المعادلات.

الجهد المركزي في الإحداثيات الكروية

أحد الأنواع العامة للأنظمة الميكانيكية ذات الإحداثيات الدورية هي تلك التي تحتوي على كمونات مركزية ، لأن الكمونات من هذا الشكل تعتمد فقط على المسافات الشعاعية ولا تعتمد على الزوايا.

لنفترض جسيمًا كتلته $m$ تحت تأثير جهد مركزي $V (r)$ في الإحداثيات القطبية الكروية $(r, θ, φ)$

L(r,{\dot {r}},\theta ,{\dot {\theta }},{\dot {\phi }})={\frac {m}{2}}({\dot {r}}^{2}+{r}^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}^{2})-V(r)\,.

لاحظ أن $φ$ دورية، لأنها لا تظهر في لاغرانجيان. الزخم المرافق لـ $φ$ هو الثابت.

p_{\phi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}=mr^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}\,,

حيث يمكن أن يتغير كل $من r$ و $dφ / dt$ مع الزمن، لكن الزخم الزاوي $p φ$ ثابت. ويمكن اعتبار دالة راوثيان كما يلي:

{\begin{aligned}R(r,{\dot {r}},\theta ,{\dot {\theta }})&=p_{\phi }{\dot {\phi }}-L\\&=p_{\phi }{\dot {\phi }}-{\frac {m}{2}}{\dot {r}}^{2}-{\frac {m}{2}}r^{2}{\dot {\theta }}^{2}-{\frac {p_{\phi }{\dot {\phi }}}{2}}+V(r)\\&={\frac {p_{\phi }{\dot {\phi }}}{2}}-{\frac {m}{2}}{\dot {r}}^{2}-{\frac {m}{2}}r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+V(r)\\&={\frac {p_{\phi }^{2}}{2mr^{2}\sin ^{2}\theta }}-{\frac {m}{2}}{\dot {r}}^{2}-{\frac {m}{2}}r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+V(r)\,.\end{aligned}}

يمكننا إيجاد قيمتي $r$ و $θ$ باستخدام معادلات لاغرانج، ولا نحتاج إلى إيجاد قيمة $φ$ لأنها تُحذف بواسطة معادلات هاميلتون. معادلة $r$ هي

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {r}}}}={\frac {\partial R}{\partial r}}\quad \Rightarrow \quad -m{\ddot {r}}=-{\frac {p_{\phi }^{2}}{mr^{3}\sin ^{2}\theta }}-mr{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {\partial V}{\partial r}}\,,

ومعادلة $θ$ هي

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\theta }}}}={\frac {\partial R}{\partial \theta }}\quad \Rightarrow \quad -m(2r{\dot {r}}{\dot {\theta }}+r^{2}{\ddot {\theta }})=-{\frac {p_{\phi }^{2}\cos \theta }{mr^{2}\sin ^{3}\theta }}\,.

أسفرت طريقة روث عن معادلتين غير خطيتين مترابطتين. في المقابل، تؤدي طريقة لاغرانج إلى ثلاث معادلات غير خطية مترابطة، حيث تتداخل المشتقات الزمنية الأولى والثانية لـ $φ$ في جميعها، على الرغم من غيابها في طريقة لاغرانج.

معادلة $r$ هي

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}={\frac {\partial L}{\partial r}}\quad \Rightarrow \quad m{\ddot {r}}=mr{\dot {\theta }}^{2}+mr\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}^{2}-{\frac {\partial V}{\partial r}}\,,

معادلة $θ$ هي

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}={\frac {\partial L}{\partial \theta }}\quad \Rightarrow \quad 2r{\dot {r}}{\dot {\theta }}+r^{2}{\ddot {\theta }}=r^{2}\sin \theta \cos \theta {\dot {\phi }}^{2}\,,

معادلة $φ$ هي

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}={\frac {\partial L}{\partial \phi }}\quad \Rightarrow \quad 2r{\dot {r}}\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}+2r^{2}\sin \theta \cos \theta {\dot {\theta }}{\dot {\phi }}+r^{2}\sin ^{2}\theta {\ddot {\phi }}=0\,.

الأنظمة الميكانيكية المتناظرة

البندول الكروي

لنفترض وجود بندول كروي ، كتلة $m$ (تُعرف باسم "كرة البندول") مُعلقة بقضيب صلب طوله $l$ وكتلته مهملة، يخضع لحقل جاذبية محلي $g$ . يدور النظام بسرعة زاوية $dφ / dt$ غير ثابتة . الزاوية بين القضيب والخط الرأسي هي $θ$ وهي غير ثابتة أيضًا.

الدالة اللاغرانجية هي ^{[ nb 3 ]}

L(\theta ,{\dot {\theta }},{\dot {\phi }})={\frac {m\ell ^{2}}{2}}({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}^{2})+mg\ell \cos \theta \,,

و $φ$ هي الإحداثية الدورية للنظام ذي الزخم الثابت

p_{\phi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}=m\ell ^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}\,.

وهو ما يُمثل فيزيائيًا الزخم الزاوي للنظام حول المحور الرأسي. تتغير الزاوية $θ$ والسرعة الزاوية $dφ / dt$ مع الزمن، بينما يظل الزخم الزاوي ثابتًا. مصفوفة روث هي

{\begin{aligned}R(\theta ,{\dot {\theta }})&=p_{\phi }{\dot {\phi }}-L\\&=p_{\phi }{\dot {\phi }}-{\frac {m\ell ^{2}}{2}}{\dot {\theta }}^{2}-{\frac {p_{\phi }{\dot {\phi }}}{2}}-mg\ell \cos \theta \\&={\frac {p_{\phi }{\dot {\phi }}}{2}}-{\frac {m\ell ^{2}}{2}}{\dot {\theta }}^{2}-mg\ell \cos \theta \\&={\frac {p_{\phi }^{2}}{2m\ell ^{2}\sin ^{2}\theta }}-{\frac {m\ell ^{2}}{2}}{\dot {\theta }}^{2}-mg\ell \cos \theta \end{aligned}}

تُستنتج معادلة θ من معادلات $لاغرانج$

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\theta }}}}={\frac {\partial R}{\partial \theta }}\quad \Rightarrow \quad -m\ell ^{2}{\ddot {\theta }}=-{\frac {p_{\phi }^{2}\cos \theta }{m\ell ^{2}\sin ^{3}\theta }}+mg\ell \sin \theta \,,

أو تبسيطها عن طريق إدخال الثوابت

a={\frac {p_{\phi }^{2}}{m^{2}\ell ^{4}}}\,,\quad b={\frac {g}{\ell }}\,,

أعطِ

{\ddot {\theta }}=a{\frac {\cos \theta }{\sin ^{3}\theta }}-b\sin \theta \,.

تشبه هذه المعادلة معادلة البندول غير الخطية البسيطة ، لأنه يمكن أن يتأرجح عبر المحور الرأسي، مع حد إضافي لحساب الدوران حول المحور الرأسي (الثابت $a$ مرتبط بالزخم الزاوي $p φ$ ).

بتطبيق منهج لاغرانج، هناك معادلتان غير خطيتين مترابطتان يجب حلهما.

معادلة $θ$ هي

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}={\frac {\partial L}{\partial \theta }}\quad \Rightarrow \quad m\ell ^{2}{\ddot {\theta }}=m\ell ^{2}\sin \theta \cos \theta {\dot {\phi }}^{2}-mg\ell \sin \theta \,,

ومعادلة $φ$ هي

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}={\frac {\partial L}{\partial \phi }}\quad \Rightarrow \quad 2\sin \theta \cos \theta {\dot {\theta }}{\dot {\phi }}+\sin ^{2}\theta {\ddot {\phi }}=0\,.

قمة متناظرة ثقيلة

يمتلك الجسم العلوي المتناظر الثقيل ذو الكتلة $M لاغرانجيان$ ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}

L(\theta ,{\dot {\theta }},{\dot {\psi }},{\dot {\phi }})={\frac {I_{1}}{2}}({\dot {\theta }}^{2}+{\dot {\phi }}^{2}\sin ^{2}\theta )+{\frac {I_{3}}{2}}({\dot {\psi }}^{2}+{\dot {\phi }}^{2}\cos ^{2}\theta )+I_{3}{\dot {\psi }}{\dot {\phi }}\cos \theta -Mg\ell \cos \theta

حيث $ψ و φ و θ$ هي زوايا أويلر ، و $θ$ هي الزاوية بين المحور $z الرأسي ومحور$ $z'$ الخاص بالبلبل ، و $ψ$ هي دوران البلبل حول محوره $z'$ ، و $φ$ $هي$ الزاوية السمتية لمحور $z'$ الخاص بالبلبل حول المحور $z$ الرأسي. عزوم القصور الذاتي الرئيسية هي $I₁$ حول محور $x'$ الخاص بالبلبل ، $و I₂$ $حول محور$ $y'$ الخاص بالبلبل ، و $I₃ حول محور$ $z'$ الخاص بالبلبل . ولأن البلبل متناظر حول محوره $z'$ ، $فإن I₁$ $= I₂ . هنا$ $،$ تُستخدم العلاقة البسيطة لطاقة الوضع التثاقلية المحلية $V = Mgl cos θ$ $، حيث$ $g$ هي تسارع الجاذبية الأرضية، ومركز كتلة البلبل يقع على بُعد $l$ من طرفه على طول محوره $z'$ .

الزاويتان $ψ و φ$ دوريتان. الزخم الثابت هو الزخم الزاوي للقمة حول محورها وترنحها حول الخط الرأسي، على التوالي:

p_{\psi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\psi }}}}=I_{3}{\dot {\psi }}+I_{3}{\dot {\phi }}\cos \theta

p_{\phi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}={\dot {\phi }}(I_{1}\sin ^{2}\theta +I_{3}\cos ^{2}\theta )+I_{3}{\dot {\psi }}\cos \theta

ومن هذه، يتم حذف $dψ / dt$ :

p_{\phi }-p_{\psi }\cos \theta =I_{1}{\dot {\phi }}\sin ^{2}\theta

لدينا

{\dot {\phi }}={\frac {p_{\phi }-p_{\psi }\cos \theta }{I_{1}\sin ^{2}\theta }}\,,

ولإزالة $dφ / dt$ ، استبدل هذه النتيجة في $p ψ$ وحل المعادلة لإيجاد $dψ / dt$

{\dot {\psi }}={\frac {p_{\psi }}{I_{3}}}-\cos \theta \left({\frac {p_{\phi }-p_{\psi }\cos \theta }{I_{1}\sin ^{2}\theta }}\right)\,.

يمكن اعتبار روثيان

R(\theta ,{\dot {\theta }})=p_{\psi }{\dot {\psi }}+p_{\phi }{\dot {\phi }}-L={\frac {1}{2}}(p_{\psi }{\dot {\psi }}+p_{\phi }{\dot {\phi }})-{\frac {I_{1}{\dot {\theta }}^{2}}{2}}+Mg\ell \cos \theta

ومنذ ذلك الحين

{\frac {p_{\phi }{\dot {\phi }}}{2}}={\frac {p_{\phi }^{2}}{2I_{1}\sin ^{2}\theta }}-{\frac {p_{\psi }p_{\phi }\cos \theta }{2I_{1}\sin ^{2}\theta }}\,,

{\frac {p_{\psi }{\dot {\psi }}}{2}}={\frac {p_{\psi }^{2}}{2I_{3}}}-{\frac {p_{\psi }p_{\phi }\cos \theta }{2I_{1}\sin ^{2}\theta }}+{\frac {p_{\psi }^{2}\cos ^{2}\theta }{2I_{1}\sin ^{2}\theta }}

لدينا

R={\frac {p_{\psi }^{2}}{2I_{3}}}+{\frac {p_{\psi }^{2}\cos ^{2}\theta }{2I_{1}\sin ^{2}\theta }}+{\frac {p_{\phi }^{2}}{2I_{1}\sin ^{2}\theta }}-{\frac {p_{\psi }p_{\phi }\cos \theta }{I_{1}\sin ^{2}\theta }}-{\frac {I_{1}{\dot {\theta }}^{2}}{2}}+Mg\ell \cos \theta \,.

الحد الأول ثابت، ويمكن إهماله لأن مشتقات R فقط هي التي ستدخل في معادلات الحركة. وبالتالي، فإن دالة راوث المبسطة، دون فقدان أي معلومات، هي

R={\frac {1}{2I_{1}\sin ^{2}\theta }}\left[p_{\psi }^{2}\cos ^{2}\theta +p_{\phi }^{2}-2p_{\psi }p_{\phi }\cos \theta \right]-{\frac {I_{1}{\dot {\theta }}^{2}}{2}}+Mg\ell \cos \theta

معادلة الحركة لـ $θ$ هي، عن طريق الحساب المباشر،

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\theta }}}}={\frac {\partial R}{\partial \theta }}\quad \Rightarrow \quad

-I_{1}{\ddot {\theta }}=-{\frac {\cos \theta }{I_{1}\sin ^{3}\theta }}\left[p_{\psi }^{2}\cos ^{2}\theta +p_{\phi }^{2}-{\frac {p_{\psi }p_{\phi }}{2}}\cos \theta \right]+{\frac {1}{2I_{1}\sin ^{2}\theta }}\left[-2p_{\psi }^{2}\cos \theta \sin \theta +{\frac {p_{\psi }p_{\phi }}{2}}\sin \theta \right]-Mg\ell \sin \theta \,,

أو عن طريق إدخال الثوابت

a={\frac {p_{\psi }^{2}}{I_{1}^{2}}}\,,\quad b={\frac {p_{\phi }^{2}}{I_{1}^{2}}}\,,\quad c={\frac {p_{\psi }p_{\phi }}{2I_{1}^{2}}}\,,\quad k={\frac {Mg\ell }{I_{1}}}\,,

يتم الحصول على شكل أبسط للمعادلة

{\ddot {\theta }}={\frac {\cos \theta }{\sin ^{3}\theta }}(a\cos ^{2}\theta +b-c\cos \theta )+{\frac {1}{2\sin \theta }}(2a\cos \theta -c)+k\sin \theta \,.

على الرغم من أن المعادلة غير خطية للغاية، إلا أنه لا يوجد سوى معادلة واحدة لحلها، وقد تم الحصول عليها مباشرة، ولا يتم استخدام الإحداثيات الدورية.

وعلى النقيض من ذلك، يؤدي نهج لاغرانج إلى ثلاث معادلات غير خطية مترابطة لحلها، على الرغم من عدم وجود الإحداثيات $ψ$ و $φ$ في لاغرانج.

معادلة $θ$ هي

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}={\frac {\partial L}{\partial \theta }}\quad \Rightarrow \quad I_{1}{\ddot {\theta }}=(I_{1}-I_{3}){\dot {\phi }}^{2}\sin \theta \cos \theta -I_{3}{\dot {\psi }}{\dot {\phi }}\sin \theta +Mg\ell \sin \theta \,,

معادلة $ψ$ هي

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\psi }}}}={\frac {\partial L}{\partial \psi }}\quad \Rightarrow \quad {\ddot {\psi }}+{\ddot {\phi }}\cos \theta -{\dot {\phi }}{\dot {\theta }}\sin \theta =0\,,

ومعادلة $φ$ هي

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}={\frac {\partial L}{\partial \phi }}\quad \Rightarrow \quad {\ddot {\phi }}(I_{1}\sin ^{2}\theta +I_{3}\cos ^{2}\theta )+{\dot {\phi }}(I_{1}-I_{3})2\sin \theta \cos \theta {\dot {\theta }}+I_{3}{\ddot {\psi }}\cos \theta -I_{3}{\dot {\psi }}\sin \theta {\dot {\theta }}=0\,,

الجهود المعتمدة على السرعة

جسيم مشحون كلاسيكي في مجال مغناطيسي منتظم

لنفترض جسيمًا كلاسيكيًا مشحونًا كتلته $m$ وشحنته الكهربائية $q$ في مجال مغناطيسي ثابت (غير معتمد على الزمن) ومنتظم (ثابت في جميع أنحاء المكان) B. $[$ ^{10 ] يُعطى} لاغرانجيان الجسيم المشحون في مجال كهرومغناطيسي عام بالجهد المغناطيسي $A$ والجهد الكهربائي $\phi$ يكون

L={\frac {m}{2}}{\dot {\mathbf {r} }}^{2}-q\phi +q{\dot {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {A} \,,

من الملائم استخدام الإحداثيات الأسطوانية $(r ، θ ، z)$ ، بحيث

{\dot {\mathbf {r} }}=\mathbf {v} =(v_{r},v_{\theta },v_{z})=({\dot {r}},r{\dot {\theta }},{\dot {z}})\,,

\mathbf {B} =(B_{r},B_{\theta },B_{z})=(0,0,B)\,.

في حالة انعدام المجال الكهربائي ، يكون الجهد الكهربائي صفراً. $\phi =0$ ويمكننا اختيار المقياس المحوري للجهد المغناطيسي

\mathbf {A} ={\frac {1}{2}}\mathbf {B} \times \mathbf {r} \quad \Rightarrow \quad \mathbf {A} =(A_{r},A_{\theta },A_{z})=(0,Br/2,0)\,,

واللاغرانجي هو

L(r,{\dot {r}},{\dot {\theta }},{\dot {z}})={\frac {m}{2}}({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\dot {z}}^{2})+{\frac {qBr^{2}{\dot {\theta }}}{2}}\,.

لاحظ أن هذا الجهد له تناظر أسطواني فعال (على الرغم من أنه يعتمد أيضًا على السرعة الزاوية )، حيث أن الاعتماد المكاني الوحيد هو على الطول القطري من محور أسطوانة وهمية.

يوجد إحداثيان دوريان، $θ$ و $z$ . الزخم الكنسي المرافق لـ $θ$ و $z$ هو ثابت.

p_{\theta }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}=mr^{2}{\dot {\theta }}+{\frac {qBr^{2}}{2}}\,,\quad p_{z}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {z}}}}=m{\dot {z}}\,,

إذن السرعات هي

{\dot {\theta }}={\frac {1}{mr^{2}}}\left(p_{\theta }-{\frac {qBr^{2}}{2}}\right)\,,\quad {\dot {z}}={\frac {p_{z}}{m}}\,.

الزخم الزاوي حول المحور z ليس $pθ ،$ $بل هو$ الكمية $mr²dθ / dt$ ، وهي كمية غير محفوظة بسبب تأثير المجال المغناطيسي. أما الزخم الكنسي $pθ$ $فهو$ الكمية المحفوظة. ويبقى الزخم الخطي أو الانتقالي على طول المحور $z$ ، $pz$ $،$ محفوظًا أيضًا.

يمكن أن يتغير كل من المركبة القطرية $r$ والسرعة الزاوية $dθ / dt$ مع الزمن، لكن $pθ$ ثابت، وبما أن $pz$ ثابت، فإن dz/dt ثابت أيضًا $.$ $يمكن$ $أن$ $تأخذ$ دالة راوث الشكل التالي $:$

{\begin{aligned}R(r,{\dot {r}})&=p_{\theta }{\dot {\theta }}+p_{z}{\dot {z}}-L\\&=p_{\theta }{\dot {\theta }}+p_{z}{\dot {z}}-{\frac {m}{2}}{\dot {r}}^{2}-{\frac {p_{\theta }{\dot {\theta }}}{2}}-{\frac {p_{z}{\dot {z}}}{2}}-{\frac {1}{2}}qBr^{2}{\dot {\theta }}\\[6pt]&=(p_{\theta }-qBr^{2}){\frac {\dot {\theta }}{2}}-{\frac {m}{2}}{\dot {r}}^{2}+{\frac {p_{z}{\dot {z}}}{2}}\\[6pt]&={\frac {1}{2mr^{2}}}\left(p_{\theta }-qBr^{2}\right)\left(p_{\theta }-{\frac {qBr^{2}}{2}}\right)-{\frac {m}{2}}{\dot {r}}^{2}+{\frac {p_{z}^{2}}{2m}}\\[6pt]&={\frac {1}{2mr^{2}}}\left(p_{\theta }^{2}-{\frac {3}{2}}qBr^{2}+{\frac {(qB)^{2}r^{4}}{2}}\right)-{\frac {m}{2}}{\dot {r}}^{2}\end{aligned}}

$حيث أن الحد p z 2 /2 m$ في السطر الأخير ثابت ويمكن تجاهله دون فقدان الاستمرارية. تتلاشى معادلات هاميلتون لـ $θ$ و $z$ تلقائيًا ولا تحتاج إلى حل. معادلة لاغرانج في $r$

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {r}}}}={\frac {\partial R}{\partial r}}

يتم ذلك عن طريق الحساب المباشر

-m{\ddot {r}}={\frac {1}{2m}}\left[{\frac {-2}{r^{3}}}\left(p_{\theta }^{2}-{\frac {3}{2}}qBr^{2}+{\frac {(qB)^{2}r^{4}}{2}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}(-3qBr+2(qB)^{2}r^{3})\right]\,,

والتي بعد جمع الشروط تصبح

m{\ddot {r}}={\frac {1}{2m}}\left[{\frac {2p_{\theta }^{2}}{r^{3}}}-(qB)^{2}r\right]\,,

وتبسيطًا أكثر من خلال إدخال الثوابت

a={\frac {p_{\theta }^{2}}{m^{2}}}\,,\quad b=-{\frac {(qB)^{2}}{2m^{2}}}\,,

المعادلة التفاضلية هي

{\ddot {r}}={\frac {a}{r^{3}}}+br

لمعرفة كيف يتغير $z$ مع الزمن، قم بتكامل تعبير الزخم لـ $p z$ أعلاه

z={\frac {p_{z}}{m}}t+c_{z}\,,

حيث $c z$ ثابت اختياري، والقيمة الأولية لـ $z$ التي سيتم تحديدها في الشروط الأولية .

تتحرك الجسيمات في هذا النظام حركةً حلزونية ، حيث تكون الحركة المحورية منتظمة (ثابتة)، بينما تتغير المركبتان القطرية والزاوية في مسار حلزوني وفقًا لمعادلة الحركة المشتقة أعلاه. تحدد الشروط الابتدائية لـ $r$ و $dr / dt$ و $θ$ و $dθ / dt$ ما إذا كان مسار الجسيم ذو قيمة $r$ ثابتة أم متغيرة . إذا كانت قيمة $r$ الابتدائية غير صفرية، ولكن $dr$ $/$ $dt$ $=$ $0$ ، بينما $θ$ و $dθ$ $/$ $dt$ اختياريتان، فإن السرعة الابتدائية للجسيم لا تحتوي على مركبة قطرية، وتكون $r$ ثابتة، وبالتالي ستكون الحركة في مسار حلزوني مثالي. إذا كانت r ثابتة، فإن السرعة الزاوية تكون ثابتة أيضًا وفقًا لقانون حفظ $pθ$ $.$

باستخدام نهج لاغرانج، فإن معادلة $r$ ستتضمن $dθ / dt$ والتي يجب التخلص منها، وستكون هناك معادلات لـ $θ$ و $z$ لحلها.

معادلة $r$ هي

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}={\frac {\partial L}{\partial r}}\quad \Rightarrow \quad m{\ddot {r}}=mr{\dot {\theta }}^{2}+qBr{\dot {\theta }}\,,

معادلة $θ$ هي

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}={\frac {\partial L}{\partial \theta }}\quad \Rightarrow \quad m(2r{\dot {r}}{\dot {\theta }}+r^{2}{\ddot {\theta }})+qBr{\dot {r}}=0\,,

ومعادلة $z$ هي

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {z}}}}={\frac {\partial L}{\partial z}}\quad \Rightarrow \quad m{\ddot {z}}=0\,.

معادلة $z$ سهلة التكامل، لكن معادلات $r$ و $θ$ ليست كذلك، على أي حال، المشتقات الزمنية مختلطة في جميع المعادلات ويجب التخلص منها.

انظر أيضاً

الحواشي

بما أن الإحداثيات دوال للزمن، فإن دالة لاغرانج تعتمد ضمنيًا على الزمن عبر هذه الإحداثيات. أما إذا تغيرت دالة لاغرانج مع الزمن بغض النظر عن الإحداثيات، عادةً بسبب جهد يعتمد على الزمن، فإن دالة لاغرانج تُوصف بأنها تعتمد على الزمن بشكل صريح. وينطبق الأمر نفسه على دالتي هاميلتون وروث.
↑ بالنسبة لدالتين $u$ و $v$ ، فإن تفاضل حاصل الضرب هو $d (uv) = udv + vdu$ .
↑ الطاقة الكامنة هي في الواقع
$V=mg\ell (1-\cos \theta )\,,$
لكن بما أن الحد الأول ثابت، يمكن إهماله في دالة لاغرانج (ودالة روثيان) اللتين تعتمدان فقط على مشتقات الإحداثيات والسرعات. طرح هذا الحد من الطاقة الحركية يعني إشارة موجبة في دالة لاغرانج، وليس سالبة.

ملحوظات

↑ مارسدن، جيرولد إي.؛ راتيو، تيودور إس.؛ شويرل، يورغن (2000-06-01). "نظرية الاختزال ومعادلات لاغرانج-راوث" . مجلة الفيزياء الرياضية . 41 (6): 3379-3429 . doi : 10.1063/1.533317 . ISSN 0022-2488 .
↑ غولدشتاين 1980 ، ص 352
↑ لاندو وليفشيتز 1976 ، ص 134
↑ هاند وفينش 1998 ، ص 23
↑ لاندو وليفشيتز 1976 ، ص 134
↑ غولدشتاين 1980 ، ص 352
↑ لاندو وليفشيتز 1976 ، ص 134
↑ غولدشتاين 1980 ، ص 214
↑ كيبيل وبيركشاير 2004 ، ص 236
↑ كيبل وبيركشاير 2004 ، ص 243

مراجع

لاندو، إل دي ؛ ليفشيتز، إي إم (15 يناير 1976). الميكانيكا ( الطبعة الثالثة). باتروورث هاينمان. ص 134. ISBN 9780750628969.
هاند، إل إن؛ فينش، جيه دي (13 نوفمبر 1998). الميكانيكا التحليلية ( الطبعة الثانية). مطبعة جامعة كامبريدج. ص 23. ISBN 9780521575720.
كيبل، تي دبليو بي؛ بيركشاير، إف إتش (2004). الميكانيكا الكلاسيكية ( الطبعة الخامسة). مطبعة إمبريال كوليدج. ص 236. ISBN 9781860944352.
جولدشتاين، هربرت (1980). الميكانيكا الكلاسيكية ( الطبعة الثانية). سان فرانسيسكو، كاليفورنيا: أديسون ويسلي. الصفحات 352-353 . ISBN 0201029189.
جولدشتاين، هربرت ؛ بول، تشارلز ب. الابن ؛ سافكو، جون ل. (2002). الميكانيكا الكلاسيكية ( الطبعة الثالثة). سان فرانسيسكو، كاليفورنيا: أديسون ويسلي. الصفحات 347-349 . ISBN 0-201-65702-3.

[2] بما أن الإحداثيات دوال للزمن، فإن دالة لاغرانج تعتمد ضمنيًا على الزمن عبر هذه الإحداثيات. أما إذا تغيرت دالة لاغرانج مع الزمن بغض النظر عن الإحداثيات، عادةً بسبب جهد يعتمد على الزمن، فإن دالة لاغرانج تُوصف بأنها تعتمد على الزمن بشكل صريح. وينطبق الأمر نفسه على دالتي هاميلتون وروث.

[7] بالنسبة لدالتين $u$ و $v$ ، فإن تفاضل حاصل الضرب هو $d (uv) = udv + vdu$ .

[10] الطاقة الكامنة هي في الواقع
$V=mg\ell (1-\cos \theta )\,,$
لكن بما أن الحد الأول ثابت، يمكن إهماله في دالة لاغرانج (ودالة روثيان) اللتين تعتمدان فقط على مشتقات الإحداثيات والسرعات. طرح هذا الحد من الطاقة الحركية يعني إشارة موجبة في دالة لاغرانج، وليس سالبة.

[1] مارسدن، جيرولد إي.؛ راتيو، تيودور إس.؛ شويرل، يورغن (2000-06-01). "نظرية الاختزال ومعادلات لاغرانج-راوث" . مجلة الفيزياء الرياضية . 41 (6): 3379-3429 . doi : 10.1063/1.533317 . ISSN 0022-2488 .

[3] غولدشتاين 1980 ، ص 352

[4] لاندو وليفشيتز 1976 ، ص 134

[5] هاند وفينش 1998 ، ص 23

[6] لاندو وليفشيتز 1976 ، ص 134

[8] غولدشتاين 1980 ، ص 352

[9] لاندو وليفشيتز 1976 ، ص 134

[11] غولدشتاين 1980 ، ص 214

[12] كيبيل وبيركشاير 2004 ، ص 236

[13] كيبل وبيركشاير 2004 ، ص 243

[ 1 ]

[ nb 1 ]

سرعات

...

[

[ 5 ]

[ nb 2 ]

[ 6 ]

[ 7 ].

[ nb 3 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

10 ] يُعطى

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗