ميكانيكا لاغرانج

بدلاً من القوى، تستخدم ميكانيكا لاغرانج الطاقات في النظام. الكمية المركزية في ميكانيكا لاغرانج هي دالة لاغرانج ، وهي دالة تلخص ديناميكيات النظام بأكمله. عموماً، تُقاس دالة لاغرانج بوحدات الطاقة، ولكن لا يوجد تعبير واحد لجميع الأنظمة الفيزيائية. أي دالة تُنتج معادلات الحركة الصحيحة، المتوافقة مع القوانين الفيزيائية، يمكن اعتبارها دالة لاغرانج. ومع ذلك، من الممكن بناء تعبيرات عامة لفئات واسعة من التطبيقات. تُعطى دالة لاغرانج غير النسبية لنظام من الجسيمات في غياب مجال كهرومغناطيسي بالمعادلة ^{[ 8 ].}$${\displaystyle L=T-V,}$$ أين $${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}v_{k}^{2}}$$تمثل الطاقة الحركية الكلية للنظام، وتساوي مجموع الطاقات الحركية لـ${\displaystyle N}$الجسيمات. كل جسيم مُعَلَّم${\displaystyle k}$له كتلة${\displaystyle m_{k},}$و v _k ² = v _k · v _k هو مربع مقدار سرعته، وهو ما يعادل حاصل الضرب القياسي للسرعة مع نفسها. ^{[ 9 ]}

الطاقة الحركية T هي طاقة حركة النظام وهي دالة فقط للسرعات v _k ، وليس للمواضع r _k ، ولا للوقت t ، لذا T = T ( v ₁ ، v ₂ ، ...).

تمثل V ، طاقة الوضع للنظام، طاقة التفاعل بين الجسيمات، أي مقدار الطاقة التي يمتلكها كل جسيم نتيجةً لتأثير جميع الجسيمات الأخرى، بالإضافة إلى أي مؤثرات خارجية. بالنسبة للقوى المحافظة (مثل الجاذبية النيوتونية )، فهي دالة لمتجهات موضع الجسيمات فقط، لذا V = V ( r1 , r2 , ...). أما بالنسبة للقوى غير المحافظة التي يمكن اشتقاقها من جهد مناسب (مثل الجهد الكهرومغناطيسي )، فستظهر السرعات أيضًا، V = V ( _{r1 , r2 ,} ..., v1 , _{v2 ,} ... ). إذا كان هناك مجال خارجي أو قوة دافعة خارجية تتغير مع الزمن، فإن الجهد يتغير مع الزمن، لذا في أغلب الأحيان V = V ( r1 , r2 , _{... ,} v1 , v2 _{, ...} , t ).

يُمكن تعريف دالة لاغرانج تعريفًا مكافئًا، ولكنه أكثر رسمية من الناحية الرياضية، كما يلي: ^{[ 10 ]} بالنسبة لنظام مكون من N جسيمًا في فضاء ثلاثي الأبعاد، فإن فضاء التكوين للنظام هو فضاء متعدد الشعب أملس.${\displaystyle Q\subseteq \mathbb {R} ^{3N}}$، حيث كل تكوين${\displaystyle q\in Q}$يحدد المواضع المكانية لكل جسيم في لحظة زمنية معينة، ويتكون المشعب من جميع التكوينات المسموح بها بموجب القيود المفروضة على النظام.

دالة لاغرانج هي دالة سلسة: ${\displaystyle L:TQ\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,}$ أين${\displaystyle TQ\subseteq \mathbb {R} ^{6N}}$هي حزمة المماس لمساحة التكوين. أي أن كل عنصر في${\displaystyle TQ}$يمثل كل من مواقع وسرعات الجسيمات، ويمكن كتابته على شكل مجموعة مرتبة${\displaystyle (q_{1},\ldots ,q_{N},{\dot {q}}_{1},\ldots {\dot {q}}_{N})}$مع${\displaystyle q_{i}}$و${\displaystyle {\dot {q}}_{i}}$تحديد موضع وسرعة الجسيم رقم i على التوالي. التغير الزمني${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$يسمح ذلك لدالة لاغرانج بوصف القوى أو الكمونات التي تعتمد على الزمن.

مسار النظام هو دالة سلسة${\displaystyle q:[t_{0},t_{1}]\to Q,}$ يصف تطور التكوين بمرور الوقت. سرعته هي المشتقة الزمنية${\displaystyle {\dot {q}}(t)\in T_{q(t)}Q}$ل${\displaystyle q(t)}$والزوجان${\displaystyle (q(t),{\dot {q}}(t))\in TQ}$وبالتالي فهو عنصر من عناصر الحزمة لأي${\displaystyle t}$وبالتالي ، يمكن تعريف دالة الفعل للمسار على أنها تكامل لاغرانجيان على طول المسار: ${\displaystyle S[q]=\int _{t_{0}}^{t_{1}}L(q(t),{\dot {q}}(t),t)\,dt.}$

تُستمد قوانين الحركة في ميكانيكا لاغرانج من فرضية مفادها أنه من بين جميع المسارات بين تكوينين مُعطيين، يجب أن يكون المسار الفعلي الذي سيسلكه النظام نقطة حرجة (غالبًا، ولكن ليس بالضرورة، نقطة دنيا محلية) لدالة الفعل. وهذا يؤدي إلى معادلات أويلر-لاغرانج (انظر أيضًا أدناه).

كما ذُكر سابقًا، ينطبق هذا الشكل من دالة لاغرانج على العديد من فئات الأنظمة المهمة، ولكن ليس في كل مكان. ففي ميكانيكا لاغرانج النسبية، يجب استبدالها كليًا بدالة تتوافق مع النسبية الخاصة (كمية قياسية تحت تحويلات لورنتز) أو النسبية العامة (كمية قياسية رباعية). ^{[ 14 ]} وعند وجود مجال مغناطيسي، يلزم إعادة صياغة تعبير طاقة الوضع. أما بالنسبة للقوى المبددة للطاقة (مثل الاحتكاك )، فيجب إدخال دالة أخرى إلى جانب دالة لاغرانج، والتي يُشار إليها غالبًا باسم " دالة رايلي للتبدد "، لحساب فقدان الطاقة. ^{[ 15 ]}

قد يخضع جسيم واحد أو أكثر من الجسيمات لقيد هولونومي واحد أو أكثر ؛ ويُوصف هذا القيد بمعادلة على الصورة f ( r , t ) = 0. إذا كان عدد القيود في النظام C ، فإن لكل قيد معادلة f₁ ₍ r , t ) = 0، f₂ ₍ r , t ) = 0، ...، _fₖ ( r , t ) = 0، ويمكن تطبيق كل منها على أي جسيم. إذا كان الجسيم k خاضعًا للقيد i ، فإن fᵢ ( rk _, t ) = 0. في أي لحظة زمنية ، تكون إحداثيات الجسيم المقيد مرتبطة ببعضها وليست مستقلة. تحدد معادلات القيد المسارات المسموح بها التي يمكن للجسيمات أن تتحرك عليها، ولكنها لا _تحدد مواقعها أو سرعاتها في كل لحظة زمنية. تعتمد القيود غير الهولونومية على سرعات الجسيمات أو تسارعها أو مشتقات أعلى لموضعها. لا يمكن تطبيق ميكانيكا لاغرانج إلا على الأنظمة التي تكون قيودها، إن وجدت، هولونومية بالكامل . ومن أمثلة القيود غير الهولونومية: ^{[ 16 ]} عندما تكون معادلات القيد غير قابلة للتكامل، أو عندما تتضمن القيود متباينات، أو عندما تنطوي القيود على قوى معقدة غير محافظة مثل الاحتكاك. تتطلب القيود غير الهولونومية معالجة خاصة، وقد يضطر المرء إلى العودة إلى ميكانيكا نيوتن أو استخدام طرق أخرى. ^{[ 17 ]}

لتبسيط الأمور، يمكن توضيح قوانين نيوتن لجسيم واحد دون فقدان كبير للعمومية (بالنسبة لنظام مكون من N جسيمًا، تنطبق جميع هذه المعادلات على كل جسيم في النظام). معادلة حركة جسيم ذي كتلة ثابتة m هي قانون نيوتن الثاني لعام 1687، مكتوبة بالترميز المتجهي الحديث. $${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} ,}$$ حيث a هي تسارع الجسيم و F هي محصلة القوى المؤثرة عليه . عندما تتغير الكتلة، يلزم تعميم المعادلة لحساب المشتقة الزمنية للزخم. في ثلاثة أبعاد مكانية، يُمثل هذا نظامًا من ثلاث معادلات تفاضلية عادية من الرتبة الثانية مترابطة ، نظرًا لوجود ثلاثة مركبات في هذه المعادلة المتجهة. الحل هو متجه الموضع r للجسيم عند الزمن t ، مع مراعاة الشروط الابتدائية r و v عندما t = 0.

يسهل استخدام قوانين نيوتن في الإحداثيات الديكارتية، لكن هذه الإحداثيات ليست ملائمة دائمًا، وقد تصبح معادلات الحركة معقدة في أنظمة الإحداثيات الأخرى. في مجموعة من الإحداثيات المنحنية ξ = ( ξ₁ , ξ₂ , ξ₃ ⁾ ، ^يكون القانون في تدوين مؤشر الموتر هو "صيغة لاغرانج" ^{[ 18 ] [ 19 ] .}$${\displaystyle F^{a}=m\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}\xi ^{a}}{\mathrm {d} t^{2}}}+\Gamma ^{a}{}_{bc}{\frac {\mathrm {d} \xi ^{b}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \xi ^{c}}{\mathrm {d} t}}\right)=g^{ak}\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {\xi }}^{k}}}-{\frac {\partial T}{\partial \xi ^{k}}}\right),\quad {\dot {\xi }}^{a}\equiv {\frac {\mathrm {d} \xi ^{a}}{\mathrm {d} t}},}$$ حيث F ^a هي المكون المتغاير a للقوة المحصلة المؤثرة على الجسيم، و Γ ^a _bc هي رموز كريستوفيل من النوع الثاني، $${\displaystyle T={\frac {1}{2}}mg_{bc}{\frac {\mathrm {d} \xi ^{b}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \xi ^{c}}{\mathrm {d} t}}}$$ تمثل الطاقة الحركية للجسيم، و g و b _{و c} هي المكونات المتغيرة لموتر القياس لنظام الإحداثيات المنحنية. تأخذ جميع المؤشرات a و b و c القيم 1 و 2 و 3 على التوالي. الإحداثيات المنحنية تختلف عن الإحداثيات المعممة.

قد يبدو صياغة قانون نيوتن بهذه الصيغة تعقيدًا زائدًا، لكن لها مزايا. إذ يمكن تجنب مركبات التسارع، المُمثلة برموز كريستوفيل، بحساب مشتقات الطاقة الحركية. إذا لم تؤثر قوة محصلة على الجسيم، أي F = 0 ، فإنه لا يتسارع، بل يتحرك بسرعة ثابتة في خط مستقيم. رياضيًا، حلول المعادلة التفاضلية هي خطوط جيوديسية ، وهي منحنيات ذات أطوال قصوى بين نقطتين في الفضاء (قد تكون هذه الخطوط هي الأقصر، ولكن ليس بالضرورة). في الفضاء ثلاثي الأبعاد المسطح، تكون الخطوط الجيوديسية ببساطة خطوطًا مستقيمة. لذا، بالنسبة لجسيم حر، يتطابق قانون نيوتن الثاني مع معادلة الخطوط الجيوديسية، وينص على أن الجسيمات الحرة تتبع الخطوط الجيوديسية، وهي المسارات القصوى التي يمكنها التحرك عليها. إذا خضع الجسيم لقوى F ≠ 0 ، فإنه يتسارع بفعل هذه القوى وينحرف عن المسارات الجيوديسية التي كان سيسلكها لو كان حرًا. ومع التوسعات المناسبة للكميات المذكورة هنا في الفضاء ثلاثي الأبعاد المسطح إلى فضاء-زمن منحني رباعي الأبعاد ، فإن الصيغة المذكورة أعلاه لقانون نيوتن تنطبق أيضًا على النسبية العامة لأينشتاين ، وفي هذه الحالة ، تسلك الجسيمات الحرة مسارات جيوديسية في فضاء-زمن منحني لم تعد "خطوطًا مستقيمة" بالمعنى المعتاد. ^{[ 20 ]}

ومع ذلك، ما زلنا بحاجة إلى معرفة محصلة القوة الكلية F المؤثرة على الجسيم، والتي بدورها تتطلب محصلة القوة غير المقيدة N بالإضافة إلى محصلة قوة التقييد C.$${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {C} +\mathbf {N} .}$$

قد تكون قوى التقييد معقدة، لأنها تعتمد عمومًا على الزمن. كذلك، في حال وجود قيود، فإن الإحداثيات المنحنية لا تكون مستقلة، بل مرتبطة بمعادلة تقييد واحدة أو أكثر.

يمكن إما إزالة قوى القيد من معادلات الحركة، بحيث تبقى فقط القوى غير المقيدة، أو تضمينها عن طريق تضمين معادلات القيد في معادلات الحركة.

درجة واحدة من الحرية.

درجتان من الحرية.

قوة التقييد C والإزاحة الافتراضية δr لجسيم كتلته m محصور في منحنى. القوة الناتجة غير المقيدة هي N.

يُعد مبدأ دالمبير نتيجة أساسية في الميكانيكا التحليلية ، وقد طرحه جاك برنولي عام 1708 لفهم التوازن الساكن ، وطوّره دالمبير عام 1743 لحل المسائل الديناميكية. ^{[ 21 ]} ينص المبدأ على أن الشغل الافتراضي، أي الشغل المبذول على طول إزاحة افتراضية، يُحسب لعدد N من الجسيمات.${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{k}}$، يساوي صفرًا: ^{[ 9 ]}$${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}(\mathbf {N} _{k}+\mathbf {C} _{k}-m_{k}\mathbf {a} _{k})\cdot \delta \mathbf {r} _{k}=0.}$$

الإزاحات الافتراضية ،${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{k}}$تُعرَّف التغيرات الافتراضية بأنها تغيرات متناهية الصغر في بنية النظام، تتوافق مع قوى التقييد المؤثرة عليه في لحظة زمنية معينة ، ^{[ 22 ]} أي بطريقة تحافظ على الحركة المقيدة. وهي تختلف عن الإزاحات الفعلية في النظام، والتي تنتج عن محصلة قوى التقييد والقوى غير المقيدة المؤثرة على الجسيم لتسريعه وتحريكه. ^{[ ملاحظة 2 ]} الشغل الافتراضي هو الشغل المبذول على طول إزاحة افتراضية لأي قوة (سواء كانت قوة تقييد أو قوة غير مقيدة).

بما أن قوى القيد تعمل بشكل عمودي على حركة كل جسيم في النظام للحفاظ على القيود، فإن إجمالي العمل الافتراضي الذي تقوم به قوى القيد المؤثرة على النظام يساوي صفرًا: ^{[ 23 ] [ nb 3 ]}$${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}\mathbf {C} _{k}\cdot \delta \mathbf {r} _{k}=0,}$$ لهذا السبب. $${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}(\mathbf {N} _{k}-m_{k}\mathbf {a} _{k})\cdot \delta \mathbf {r} _{k}=0.}$$

وبالتالي، يسمح لنا مبدأ دالمبير بالتركيز فقط على القوى غير المقيدة المطبقة، واستبعاد القوى المقيدة من معادلات الحركة. ^{[ 23 ] [ 24 ]} كما أن الشكل الموضح مستقل عن اختيار الإحداثيات. ومع ذلك، لا يمكن استخدامه بسهولة لوضع معادلات الحركة في نظام إحداثيات عشوائي لأن الإزاحات${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{k}}$قد تكون هذه المعادلات مرتبطة بمعادلة قيد تمنعنا من جعل الحدود الفردية N تساوي صفرًا. لذلك، سنبحث عن نظام إحداثيات مستقل يكون مجموعها الكلي صفرًا إذا وفقط إذا كانت الحدود الفردية تساوي صفرًا. سيؤدي جعل كل حد من الحدود يساوي صفرًا في النهاية إلى حصولنا على معادلات الحركة المنفصلة.

إذا كانت هناك قيود على الجسيم k ، فبما أن إحداثيات الموضع r _k = ( x _k , y _k , z _k ) مرتبطة بمعادلة قيد، فإن إحداثيات الإزاحات الافتراضية δ r _k = ( δx _k , δy _k , δz _k ) مرتبطة أيضًا . ولأن الإحداثيات المعممة مستقلة، يمكننا تجنب التعقيدات المتعلقة بـ δ r _k بتحويلها إلى إزاحات افتراضية في الإحداثيات المعممة. وترتبط هذه الإزاحات بنفس شكل التفاضل الكلي ، ^{[ 9 ]}$${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{k}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}.}$$

لا يوجد مشتق زمني جزئي بالنسبة للزمن مضروبًا في زيادة زمنية، لأن هذا إزاحة افتراضية، إزاحة على طول القيود في لحظة زمنية .

الحد الأول في مبدأ دالمبير أعلاه هو الشغل الافتراضي الذي تبذله القوى غير المقيدة N _k على طول الإزاحات الافتراضية δ r _k ، ويمكن تحويله دون فقدان للعمومية إلى النظائر المعممة من خلال تعريف القوى المعممة$${\displaystyle Q_{j}=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {N} _{k}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}},}$$ لهذا السبب. $${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}\mathbf {N} _{k}\cdot \delta \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {N} _{k}\cdot \sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}=\sum _{j=1}^{n}Q_{j}\delta q_{j}.}$$

هذا يمثل نصف عملية التحويل إلى الإحداثيات المعممة. ويبقى تحويل حد التسارع إلى الإحداثيات المعممة، وهو أمر ليس واضحًا للوهلة الأولى. وبالرجوع إلى صيغة لاغرانج لقانون نيوتن الثاني، يمكن إيجاد المشتقات الجزئية للطاقة الحركية بالنسبة للإحداثيات المعممة والسرعات للحصول على النتيجة المرجوة: ^{[ 9 ]}$${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}.}$$

أصبح مبدأ دالمبير الآن في الإحداثيات المعممة كما هو مطلوب. $${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\left[Q_{j}-\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}\right)\right]\delta q_{j}=0,}$$ وبما أن هذه الإزاحات الافتراضية δq _j مستقلة وغير صفرية، يمكن مساواة المعاملات بالصفر، مما يؤدي إلى معادلات لاغرانج ^{[ 25 ] [ 26 ]} أو معادلات الحركة المعممة ، ^{[ 27 ]}$${\displaystyle Q_{j}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}}$$

تُكافئ هذه المعادلات قوانين نيوتن للقوى غير المقيدة . تُشتق القوى المعممة في هذه المعادلة من القوى غير المقيدة فقط، إذ تم استبعاد القوى المقيدة من مبدأ دالمبير، وبالتالي لا حاجة لإيجادها. قد تكون القوى المعممة غير محافظة، شريطة أن تُحقق مبدأ دالمبير. ^{[ 28 ]}

بالنسبة لقوة غير محافظة تعتمد على السرعة، قد يكون من الممكن إيجاد دالة طاقة كامنة V تعتمد على المواضع والسرعات. إذا أمكن اشتقاق القوى المعممة Q_{_i} من طاقة كامنة V بحيث ^{[ 30 ] [ 31 ]}$${\displaystyle Q_{j}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial V}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}},}$$ بمساواة هذه المعادلات بمعادلات لاغرانج وتعريف دالة لاغرانج على النحو التالي: L = T − V ، نحصل على معادلات لاغرانج من النوع الثاني أو معادلات أويلر-لاغرانج للحركة $${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}=0.}$$

مع ذلك، لا تستطيع معادلات أويلر-لاغرانج تفسير القوى غير المحافظة إلا إذا أمكن إيجاد جهد كامن كما هو موضح. وقد لا يكون هذا ممكنًا دائمًا بالنسبة للقوى غير المحافظة، ولا تتضمن معادلات لاغرانج أي جهد كامن، بل قوى معممة فقط؛ لذا فهي أكثر عمومية من معادلات أويلر-لاغرانج.

تُستنتج معادلات أويلر-لاغرانج أيضًا من حساب التفاضل والتكامل . ويُعطى تغير دالة لاغرانج بالعلاقة التالية: $${\displaystyle \delta L=\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta {\dot {q}}_{j}\right),\quad \delta {\dot {q}}_{j}\equiv \delta {\frac {\mathrm {d} q_{j}}{\mathrm {d} t}}\equiv {\frac {\mathrm {d} (\delta q_{j})}{\mathrm {d} t}},}$$ والتي لها شكل مشابه للتفاضل الكلي لـ L ، ولكن الإزاحات الافتراضية ومشتقاتها الزمنية تحل محل التفاضلات، ولا يوجد تزايد زمني وفقًا لتعريف الإزاحات الافتراضية. يمكن للتكامل بالتجزئة بالنسبة للزمن أن ينقل المشتق الزمني لـ δq _j إلى ∂ L /∂(d q _j /d t )، وفي هذه العملية يتم استبدال d( δq _j )/d t بـ δq _j ، مما يسمح بتحليل الإزاحات الافتراضية المستقلة من مشتقات لاغرانجيان. $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta L\,\mathrm {d} t&=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}\right)-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}\right)\,\mathrm {d} t\\&=\sum _{j=1}^{n}\left[{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}\right]_{t_{1}}^{t_{2}}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)\delta q_{j}\,\mathrm {d} t.\end{aligned}}}$$

إذا تحقق الشرط δq _j ( t ₁ ) = δq _j ( t ₂ ) = 0 لجميع قيم j ، فإن الحدود غير المتكاملة تساوي صفرًا. وإذا كان التكامل الزمني الكامل لـ δL يساوي صفرًا أيضًا، ولأن قيم δq _j مستقلة، ولأن الشرط الوحيد لتساوي التكامل المحدد صفرًا هو أن تكون الدالة المراد تكاملها صفرًا، فإن كل معامل من معاملات δq _j يجب أن يساوي صفرًا أيضًا. عندئذٍ نحصل على معادلات الحركة. ويمكن تلخيص ذلك بمبدأ هاميلتون . $${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta L\,\mathrm {d} t=0.}$$

التكامل الزمني للدالة اللاغرانجية هو كمية أخرى تسمى الفعل ، وتعرف على النحو التالي ^{[ 32 ].}$${\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L\,\mathrm {d} t,}$$ وهي دالة ؛ تأخذ دالة لاغرانج لجميع الأزمنة بين t1 و t2 وتعيد قيمة عددية. أبعادها هي نفسها أبعاد [ الزخم الزاوي ] ، أو [ الطاقة ] × [ الزمن ] ، أو [ الطول ] × [ الزخم ] . وبناءً على هذا التعريف _{، فإن} مبدأ هاميلتون هو $${\displaystyle \delta S=0.}$$

بدلاً من التفكير في تسارع الجسيمات استجابةً للقوى المؤثرة، يمكن تصورها وهي تسلك مسارًا بفعل ثابت، مع تثبيت نقاط نهاية المسار في فضاء التكوين عند الزمنين الابتدائي والنهائي. يُعد مبدأ هاميلتون أحد مبادئ الفعل العديدة . ^{[ 33 ]}

تاريخيًا، حفّزت فكرة إيجاد أقصر مسار يمكن أن يسلكه جسيم تحت تأثير قوة ما، التطبيقات الأولى لحساب التفاضل والتكامل التغيري في المسائل الميكانيكية، مثل مسألة منحنى براكيستوكرون التي حلّها جان برنولي عام 1696، وكذلك لايبنتز ، ودانيال برنولي ، ولوبيتال في نفس الفترة تقريبًا، ونيوتن في العام التالي. ^{[ 34 ]} كان نيوتن نفسه يفكر في اتجاه حساب التفاضل والتكامل التغيري، لكنه لم ينشره. ^{[ 34 ]} أدت هذه الأفكار بدورها إلى ظهور مبادئ الميكانيكا التغيرية ، التي وضعها فيرما ، وموبيرتوي ، وأويلر ، وهاملتون ، وغيرهم.

يمكن تطبيق مبدأ هاميلتون على القيود غير الهولونومية إذا أمكن صياغة معادلات القيد في شكل معين، وهو عبارة عن توليفة خطية من تفاضلات من الرتبة الأولى في الإحداثيات. ويمكن إعادة ترتيب معادلة القيد الناتجة إلى معادلة تفاضلية من الرتبة الأولى. ^{[ 35 ]} لن يتم التطرق إلى ذلك هنا.

يمكن تغيير دالة لاغرانج L في إحداثيات r _k الديكارتية ، لعدد N من الجسيمات، $${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}\right)\cdot \delta \mathbf {r} _{k}\,\mathrm {d} t=0.}$$

يظل مبدأ هاميلتون ساريًا حتى لو لم تكن الإحداثيات المُعبر عنها في L مستقلة، هنا r _k ، ولكن يُفترض أن القيود هولونومية. ^{[ 36 ]} وكما هو الحال دائمًا، تكون نقاط النهاية ثابتة δ r _k ( t ₁ ) = δ r _k ( t ₂ ) = 0 لجميع قيم k . ما لا يمكن فعله هو ببساطة مساواة معاملات δ r _k بالصفر لأن δ r _k غير مستقلة. بدلًا من ذلك، يمكن استخدام طريقة مُضاعفات لاغرانج لإدراج القيود. بضرب كل معادلة قيد f _i ( r _k , t ) = 0 في مُضاعف لاغرانج λ _i حيث i = 1, 2, ..., C ، وإضافة النتائج إلى لاغرانجيان الأصلي، نحصل على لاغرانجيان الجديد. $${\displaystyle L'=L(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,{\dot {\mathbf {r} }}_{1},{\dot {\mathbf {r} }}_{2},\ldots ,t)+\sum _{i=1}^{C}\lambda _{i}(t)f_{i}(\mathbf {r} _{k},t).}$$

معاملات لاغرانج هي دوال اختيارية للزمن t ، وليست دوالًا للإحداثيات rk _، لذا فإن هذه المعاملات متساوية في الأهمية مع إحداثيات الموضع. بتغيير دالة لاغرانج الجديدة هذه والتكامل بالنسبة للزمن، نحصل على $${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta L'\mathrm {d} t=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}+\sum _{i=1}^{C}\lambda _{i}{\frac {\partial f_{i}}{\partial \mathbf {r} _{k}}}\right)\cdot \delta \mathbf {r} _{k}\,\mathrm {d} t=0.}$$

يمكن إيجاد المعاملات المُدخلة بحيث تكون معاملات δ rk مساوية للصفر، على الرغم من أن rk ليست مستقلة. ومن ثم _، تُستنتج معادلات الحركة. ومن التحليل السابق، فإن الحصول على حل هذا التكامل يُكافئ العبارة التالية _:$${\displaystyle {\frac {\partial L'}{\partial \mathbf {r} _{k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L'}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}=0\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}+\sum _{i=1}^{C}\lambda _{i}{\frac {\partial f_{i}}{\partial \mathbf {r} _{k}}}=0,}$$ وهي معادلات لاغرانج من النوع الأول . كذلك، فإن معادلات أويلر-لاغرانج λ _i للدالة اللاغرانجية الجديدة تُعيد معادلات القيد. $${\displaystyle {\frac {\partial L'}{\partial \lambda _{i}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L'}{\partial {\dot {\lambda }}_{i}}}=0\quad \Rightarrow \quad f_{i}(\mathbf {r} _{k},t)=0.}$$

في حالة القوة المحافظة المعطاة بتدرج طاقة كامنة V ، وهي دالة _{لإحداثيات} rk فقط، فإن استبدال لاغرانجيان L = T − V يعطي $${\displaystyle \underbrace {{\frac {\partial T}{\partial \mathbf {r} _{k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}} _{-\mathbf {F} _{k}}+\underbrace {-{\frac {\partial V}{\partial \mathbf {r} _{k}}}} _{\mathbf {N} _{k}}+\sum _{i=1}^{C}\lambda _{i}{\frac {\partial f_{i}}{\partial \mathbf {r} _{k}}}=0,}$$ وباعتبار مشتقات الطاقة الحركية هي (سالب) القوة المحصلة، ومشتقات الطاقة الكامنة مساوية للقوة غير المقيدة، فإن قوى التقييد هي $${\displaystyle \mathbf {C} _{k}=\sum _{i=1}^{C}\lambda _{i}{\frac {\partial f_{i}}{\partial \mathbf {r} _{k}}},}$$ وبالتالي إعطاء قوى القيد بشكل صريح من حيث معادلات القيد ومعاملات لاغرانج.

لا يُعدّ لاغرانجيان نظامٍ مُعطى فريدًا. يُمكن ضرب لاغرانجيان L بثابتٍ غير صفري a وإزاحته بثابتٍ اختياري b _، وسيُعبّر لاغرانجيان الجديد L ′ = aL + b عن الحركة نفسها التي يصفها L. إذا اقتصرنا، كما سبق، على المسارات q خلال فترة زمنية مُحددة [ tst , tfin ] ونقطتي نهاية ثابتتين Pst = q ( _{tst )} و _Pfin = q ( tfin ₎ ، فإن لاغرانجيانين _يصفان النظام نفسه قد يختلفان بمقدار "المشتقة الزمنية الكلية" للدالة f ( q , t ) : ^{[ 37 ]}$${\displaystyle L'(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)=L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)+{\frac {\mathrm {d} f(\mathbf {q} ,t)}{\mathrm {d} t}},}$$ أين${\textstyle {\frac {\mathrm {d} f(\mathbf {q} ,t)}{\mathrm {d} t}}}$وسائل${\textstyle {\frac {\partial f(\mathbf {q} ,t)}{\partial t}}+\sum _{i}{\frac {\partial f(\mathbf {q} ,t)}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}.}$

ينتج كل من لاغرانجيان L و L ′ نفس معادلات الحركة ^{[ 38 ] [ 39 ]} لأن الفعلين المتناظرين S و S ′ مرتبطان عبر $${\displaystyle {\begin{aligned}S'[\mathbf {q} ]&=\int _{t_{\text{st}}}^{t_{\text{fin}}}L'(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)\,dt\\&=\int _{t_{\text{st}}}^{t_{\text{fin}}}L(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)\,dt+\int _{t_{\text{st}}}^{t_{\text{fin}}}{\frac {\mathrm {d} f(\mathbf {q} (t),t)}{\mathrm {d} t}}\,dt\\&=S[\mathbf {q} ]+f(P_{\text{fin}},t_{\text{fin}})-f(P_{\text{st}},t_{\text{st}}),\end{aligned}}}$$ مع كون المكونين الأخيرين f ( P _fin , t _fin ) و f ( P _st , t _st ) مستقلين عن q .

بفرض وجود مجموعة من الإحداثيات المعممة q ، إذا قمنا بتغيير هذه المتغيرات إلى مجموعة جديدة من الإحداثيات المعممة Q وفقًا لتحويل نقطي Q = Q ( q , t ) قابل للعكس لأن q = q ( Q , t ) ، فإن لاغرانجيان L ′ الجديد هو دالة للإحداثيات الجديدة، وينطبق الأمر نفسه على القيود. $${\displaystyle {\begin{aligned}L'(\mathbf {Q} ,{\dot {\mathbf {Q} }},t)&=L(\mathbf {q} (\mathbf {Q} ,t),{\dot {\mathbf {q} }}(\mathbf {Q} ,{\dot {\mathbf {Q} }},t),t),\\\phi _{j}'(\mathbf {Q} ,t)&=\phi _{j}(\mathbf {q} (\mathbf {Q} ,t),t)\end{aligned}}}$$ وبحسب قاعدة السلسلة للتفاضل الجزئي، فإن معادلات لاغرانج ثابتة تحت هذا التحويل؛ ^{[ 40 ]}

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L'}{\partial {\dot {Q}}_{i}}}={\frac {\partial L'}{\partial Q_{i}}}+\sum _{j}\lambda _{j}{\frac {\partial \phi '_{j}}{\partial Q_{i}}}.}$$

من الخصائص المهمة للدالة اللاغرانجية أنه يمكن استخلاص الكميات المحفوظة منها بسهولة. يُعرَّف الزخم المعمم "المرافق قانونيًا _" للإحداثي qᵢ كما يلي:$${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}.}$$

إذا لم تعتمد دالة لاغرانج L على إحداثية معينة q _i ، فإنه يتبع مباشرة من معادلات أويلر-لاغرانج ما يلي: $${\displaystyle {\dot {p}}_{i}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0}$$ وبإجراء التكامل، يتضح أن الزخم المعمم المقابل يساوي قيمة ثابتة، وهي كمية محفوظة. هذه حالة خاصة من نظرية نوثر . وتُسمى هذه الإحداثيات "دورية" أو "قابلة للإهمال".

على سبيل المثال، قد يكون للنظام دالة لاغرانجية $${\displaystyle L(r,\theta ,{\dot {s}},{\dot {z}},{\dot {r}},{\dot {\theta }},{\dot {\phi }},t),}$$ حيث يمثل r و z أطوالًا على طول خطوط مستقيمة، و s طول قوس على طول منحنى ما، و θ و φ زوايا. لاحظ أن z و s و φ غائبة في لاغرانجيان على الرغم من أن سرعاتها موجودة. عندئذٍ تكون كميات الحركة $${\displaystyle p_{z}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {z}}}},\quad p_{s}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {s}}}},\quad p_{\phi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}},}$$ جميعها كميات محفوظة. تعتمد وحدات وطبيعة كل زخم عام على الإحداثي المقابل؛ في هذه الحالة، p _z هو زخم انتقالي في اتجاه z ، و p _s هو أيضًا زخم انتقالي على طول المنحنى الذي يُقاس فيه s ، و p _φ هو زخم زاوي في المستوى الذي تُقاس فيه الزاوية φ . مهما كانت حركة النظام معقدة، فإن جميع الإحداثيات والسرعات ستتغير بطريقة تحافظ على هذه الزخمات.

بافتراض لاغرانجي${\displaystyle L,}$إن هاميلتونيان النظام الميكانيكي المقابل هو، بحسب التعريف، $${\displaystyle H={\biggl (}\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\biggr )}-L.}$$ ستكون هذه الكمية مكافئة للطاقة إذا كانت الإحداثيات المعممة إحداثيات طبيعية، أي أنها لا تعتمد على الزمن بشكل صريح عند التعبير عن متجه الموضع:${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (q_{1},\cdots ,q_{n})}$. من: $${\displaystyle T={\frac {m}{2}}v^{2}={\frac {m}{2}}\sum _{i,j}\left({\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)\cdot \left({\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j}\right)={\frac {m}{2}}\sum _{i,j}a_{ij}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}}$$$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\dot {q}}_{k}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}=\sum _{k=1}^{n}{\dot {q}}_{k}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{k}}}={\frac {m}{2}}\left(2\sum _{i,j}a_{ij}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\right)=2T}$$$${\displaystyle H=\left(\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-L=2T-(T-V)=T+V=E}$$ أين${\displaystyle a_{ij}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{j}}}}$هي مصفوفة متناظرة يتم تعريفها من أجل الاشتقاق.