نظرية ستون حول المجموعات الوحدوية ذات المعامل الواحد

في الرياضيات ، تُعد نظرية ستون حول المجموعات الوحدوية ذات المعامل الواحد نظرية أساسية في التحليل الوظيفي تُثبت وجود تناظر أحادي بين المؤثرات الذاتية المرافقة على فضاء هيلبرت.${\displaystyle {\mathcal {H}}}$والعائلات ذات المعامل الواحد

${\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb {R} }}$

من المؤثرات الوحدوية التي تكون متصلة بقوة، أي

${\displaystyle \forall t_{0}\in \mathbb {R} ,\psi \in {\mathcal {H}}:\qquad \lim _{t\to t_{0}}U_{t}(\psi )=U_{t_{0}}(\psi ),}$

وهي تشاكلات، أي

${\displaystyle \forall s,t\in \mathbb {R}$ U_{t+s}=U_{t}U_{s}.}

تُعرف هذه العائلات ذات المعلمة الواحدة عادةً باسم المجموعات الوحدوية ذات المعلمة الواحدة المستمرة بقوة .

أثبت مارشال ستون ( 1930 ، 1932 ) النظرية ، وأظهر جون فون نيومان ( 1932 ) أن الشرط الذي  ${\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb {R} }}$يمكن تخفيف شرط الاستمرارية القوية للقول بأنها قابلة للقياس بشكل ضعيف فقط ، على الأقل عندما يكون فضاء هيلبرت قابلاً للفصل .

هذه نتيجة رائعة، إذ تسمح بتحديد مشتقة التطبيق .${\displaystyle t\mapsto U_{t},}$والتي من المفترض أن تكون متصلة فقط . وهي مرتبطة أيضًا بنظرية زمر لي وجبر لي .

نص النظرية كما يلي. ^{[ 1 ]}

نظرية. ليكن${\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb {R} }}$لتكن زمرة وحدوية ذات مُعامل واحد متصلة بقوة. عندئذٍ يوجد مؤثر وحيد (قد يكون غير محدود).${\displaystyle A:{\mathcal {D}}_{A}\to {\mathcal {H}}}$، أي أنها مترافقة ذاتيًا على${\displaystyle {\mathcal {D}}_{A}}$ومثل ذلك

${\displaystyle \forall t\in \mathbb {R}$ U_t = e^(itA).}

مجال${\displaystyle A}$يتم تعريفها بواسطة

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{A}=\left\{\psi \in {\mathcal {H}}\left|\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {-i}{\varepsilon }}\left(U_{\varepsilon }(\psi )-\psi \right){\text{ exists}}\right.\right\}.}$

على العكس من ذلك، دع${\displaystyle A:{\mathcal {D}}_{A}\to {\mathcal {H}}}$ليكن مؤثرًا ذاتيًا مرافقًا (ربما غير محدود) على${\displaystyle {\mathcal {D}}_{A}\subseteq {\mathcal {H}}.}$ثم عائلة المعلمة الواحدة${\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb {R} }}$من المؤثرات الوحدوية المعرفة بواسطة

${\displaystyle \forall t\in \mathbb {R}$ U_t:=e^(itA)

هي مجموعة ذات معلمة واحدة متصلة بقوة.

في كلا جزئي النظرية، التعبير${\displaystyle e^{itA}}$يتم تعريفها بواسطة حساب التفاضل والتكامل الوظيفي ، والذي يستخدم نظرية الطيف للمؤثرات الذاتية المرافقة غير المحدودة .

المشغل${\displaystyle A}$يُطلق عليه اسم المولد المتناهي الصغر لـ${\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb {R} }.}$بالإضافة إلى،${\displaystyle A}$سيكون عاملًا محدودًا إذا وفقط إذا كانت الدالة ذات القيم الخاصة بالعامل${\displaystyle t\mapsto U_{t}}$هي دالة متصلة بالمعيار .

المولد المتناهي الصغر${\displaystyle A}$من مجموعة وحدوية متصلة بقوة${\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb {R} }}$يمكن حسابها على النحو التالي

${\displaystyle A\psi =-i\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {U_{\varepsilon }\psi -\psi }{\varepsilon }},}$

في نطاق${\displaystyle A}$تتكون من تلك المتجهات${\displaystyle \psi }$والتي توجد لها النهاية في طوبولوجيا المعيار. أي،${\displaystyle A}$يساوي${\displaystyle -i}$مضروبًا في مشتق${\displaystyle U_{t}}$بالنسبة إلى${\displaystyle t}$في${\displaystyle t=0}$جزء من نص النظرية هو أن هذه المشتقة موجودة، أي أن${\displaystyle A}$هو مؤثر ذاتي مرافق مُعرَّف بكثافة. والنتيجة ليست واضحة حتى في حالة الأبعاد المحدودة، لأن${\displaystyle U_{t}}$يفترض فقط (مسبقًا) أنها متصلة، وليست قابلة للتفاضل.

عائلة عوامل الترجمة

${\displaystyle \left[T_{t}(\psi )\right](x)=\psi (x+t)}$

هي مجموعة وحدوية ذات مُعامل واحد من المؤثرات الوحدوية؛ والمولد المتناهي الصغر لهذه العائلة هو امتداد للمؤثر التفاضلي

${\displaystyle -i{\frac {d}{dx}}}$

معرفة على فضاء الدوال المركبة القابلة للتفاضل باستمرار ذات الدعم المضغوط على${\displaystyle \mathbb {R} .}$هكذا

${\displaystyle T_{t}=e^{t{\frac {d}{dx}}}.}$

بمعنى آخر، يتم توليد الحركة على الخط بواسطة عامل الزخم .

تُستخدم نظرية ستون في العديد من التطبيقات في ميكانيكا الكم . على سبيل المثال، بالنظر إلى نظام ميكانيكي كمي معزول، مع فضاء هيلبرت للحالات H ، فإن التطور الزمني هو مجموعة وحدوية أحادية المعامل متصلة بقوة على${\displaystyle {\mathcal {H}}}$. المولد المتناهي الصغر لهذه المجموعة هو هاميلتونيان النظام .

يمكن إعادة صياغة نظرية ستون باستخدام لغة تحويل فورييه . الخط الحقيقي${\displaystyle \mathbb {R} }$هي زمرة أبيلية متراصة محليًا. تمثيلات غير متدهورة *- للزمرة C*-الجبر${\displaystyle C^{*}(\mathbb {R} )}$وهي في تناظر واحد لواحد مع التمثيلات الوحدوية المستمرة بقوة لـ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$أي، مجموعات وحدوية ذات مُعامل واحد متصلة بقوة. من ناحية أخرى، فإن تحويل فورييه هو تماثل * من${\displaystyle C^{*}(\mathbb {R} )}$ل${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ),}$ال${\displaystyle C^{*}}$الجبر - هو جبر الدوال المركبة المتصلة على خط الأعداد الحقيقية التي تتلاشى عند اللانهاية. ومن ثم، توجد علاقة تناظرية بين المجموعات الوحدوية ذات المعامل الواحد المتصلة بقوة والتمثيلات * لـ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ).}$كما هو الحال في كل تمثيل * لـ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} )}$إذا كان يتوافق بشكل فريد مع عامل ذاتي الترافق، فإن نظرية ستون صحيحة.

لذلك، فإن إجراء الحصول على المولد المتناهي الصغر لمجموعة وحدوية ذات معلمة واحدة متصلة بقوة هو كما يلي:

• يترك${\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb {R} }}$ليكن تمثيلاً وحدوياً متصلاً بقوة لـ${\displaystyle \mathbb {R} }$في مساحة هيلبرت${\displaystyle {\mathcal {H}}}$.
• قم بدمج هذا التمثيل الوحدوي للحصول على تمثيل * غير منحط${\displaystyle \rho }$ل${\displaystyle C^{*}(\mathbb {R} )}$على${\displaystyle {\mathcal {H}}}$من خلال التعريف أولاً$${\displaystyle \forall f\in C_{c}(\mathbb {R} ):\quad \rho (f):=\int _{\mathbb {R} }f(t)~U_{t}dt,}$$ثم التمديد${\displaystyle \rho }$إلى جميع${\displaystyle C^{*}(\mathbb {R} )}$بالاستمرارية.
• استخدم تحويل فورييه للحصول على تمثيل غير منحط *-${\displaystyle \tau }$ل${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} )}$على${\displaystyle {\mathcal {H}}}$.
• بحسب نظرية ريز-ماركوف ،${\displaystyle \tau }$ينتج عنه مقياس ذو قيمة إسقاطية على${\displaystyle \mathbb {R} }$هذا هو حل هوية مؤثر ذاتي مرافق فريد${\displaystyle A}$والتي قد تكون بلا حدود.
• ثم${\displaystyle A}$هو المولد المتناهي الصغر لـ${\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb {R} }.}$

التعريف الدقيق لـ${\displaystyle C^{*}(\mathbb {R} )}$كما يلي. ضع في اعتبارك الجبر النجمي${\displaystyle C_{c}(\mathbb {R} ),}$الدوال المركبة المستمرة على${\displaystyle \mathbb {R} }$مع دعم مضغوط، حيث يتم إعطاء الضرب عن طريق الالتفاف . إكمال هذا الجبر النجمي بالنسبة إلى${\displaystyle L^{1}}$المعيار - هو جبر باناخ *، ويرمز له بـ${\displaystyle (L^{1}(\mathbb {R} ),\star ).}$ثم${\displaystyle C^{*}(\mathbb {R} )}$يُعرَّف بأنه الغلاف${\displaystyle C^{*}}$-جبر​${\displaystyle (L^{1}(\mathbb {R} ),\star )}$أي، اكتمالها بالنسبة لأكبر قدر ممكن${\displaystyle C^{*}}$المعيار -. من الحقائق غير البديهية أنه، عبر تحويل فورييه،${\displaystyle C^{*}(\mathbb {R} )}$متماثل مع${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ).}$ومن النتائج في هذا الاتجاه مبرهنة ريمان-ليبيغ ، التي تنص على أن تحويل فورييه يرسم${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$ل${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ).}$

تعمم نظرية ستون -فون نيومان نظرية ستون لتشمل زوجًا من المؤثرات المترافقة ذاتيًا،${\displaystyle (P,Q)}$، مما يحقق علاقة التبادل الأساسية ، ويُظهر أن هذه كلها مكافئة وحدويًا لمؤثر الموضع ومؤثر الزخم على${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ).}$

تعمم نظرية هيل -يوسيدا نظرية ستون إلى مجموعات شبهية متصلة بقوة ذات معلمة واحدة من الانكماشات على فضاءات باناخ .

• هول، بي سي (2013)، نظرية الكم للرياضيين ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  267، سبرينغر، رمز Bibcode : 2013qtm..book.....H ، ISBN 978-1461471158
• von Neumann، John (1932)، “Über einen Satz von Herrn MH Stone”، حوليات الرياضيات ، السلسلة الثانية (بالألمانية)، 33 (3)، حوليات الرياضيات: 567–573 ، دوى : 10.2307 / 1968535 ، ISSN 0003-486X ، JSTOR 1968535  
• ستون، إم إتش (1930)، "التحويلات الخطية في فضاء هيلبرت. الجزء الثالث: الأساليب التشغيلية ونظرية الزمر"، وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم في الولايات المتحدة الأمريكية ، 16 (2)، الأكاديمية الوطنية للعلوم: 172-175 ، Bibcode : 1930PNAS...16..172S ، doi : 10.1073/pnas.16.2.172 ، ISSN 0027-8424 ، JSTOR 85485 ، PMC 1075964 ، PMID 16587545    
• ستون، إم إتش (1932)، "حول المجموعات الوحدوية ذات المعامل الواحد في فضاء هيلبرت"، حوليات الرياضيات ، 33 (3): 643-648 ، doi : 10.2307/1968538 ، JSTOR 1968538 
• ك. يوشيدا ، التحليل الوظيفي ، سبرينغر-فيرلاغ، (1968)