نظرية الفراغ المائع الفائق

نظرية الفراغ المائع الفائق ( SVT )، والمعروفة أحيانًا باسم نظرية فراغ BEC ، هي نهج في الفيزياء النظرية وميكانيكا الكم حيث يتم اعتبار الفراغ الفيزيائي الأساسي (الخلفية غير القابلة للإزالة) كمائع فائق أو كمكثف بوز-أينشتاين (BEC).

لا تزال البنية المجهرية لهذا الفراغ الفيزيائي مجهولة، وهي موضوع دراسات مكثفة في نظرية الفراغ الفائق. يتمثل الهدف النهائي لهذا البحث في تطوير نماذج علمية توحد ميكانيكا الكم (التي تصف ثلاثة من التفاعلات الأساسية الأربعة المعروفة ) مع الجاذبية ، مما يجعل نظرية الفراغ الفائق مشتقة من جاذبية الكم ، وتصف جميع التفاعلات المعروفة في الكون، على المستويين المجهري والفلكي، باعتبارها مظاهر مختلفة لنفس الكيان، وهو الفراغ الفائق الميوعة.

تاريخ

تم التخلي عن مفهوم الأثير المضيء كوسط يحمل الموجات الكهرومغناطيسية بعد ظهور النظرية النسبية الخاصة ، إذ أن وجود هذا المفهوم إلى جانب النسبية الخاصة يُؤدي إلى عدة تناقضات؛ فعلى وجه الخصوص، يُفترض أن للأثير سرعة محددة عند كل نقطة في الزمكان، مما يُؤدي إلى اتجاه مُفضل. وهذا يتعارض مع الشرط النسبي القائل بأن جميع الاتجاهات داخل مخروط الضوء متكافئة. مع ذلك، في عام 1951، نشر بيير ديراك ورقتين بحثيتين أشار فيهما إلى ضرورة مراعاة التقلبات الكمومية في تدفق الأثير. [ 1 ] [ 2 ] تتضمن حججه تطبيق مبدأ عدم اليقين على سرعة الأثير عند أي نقطة في الزمكان، مما يعني أن السرعة لن تكون كمية محددة بدقة، بل ستتوزع على قيم مُحتملة مُختلفة. في أفضل الأحوال، يمكن للمرء أن يمثل الأثير بواسطة دالة موجية تمثل حالة الفراغ المثالية التي تكون فيها جميع سرعات الأثير متساوية الاحتمال.

استلهامًا من أفكار ديراك، نشر كلٌّ من كي بي سينها، وسي سيفارام، وإي سي جي سودارشان في عام 1975 سلسلة من الأبحاث التي اقترحت نموذجًا جديدًا للأثير، يُصنِّفه كحالة مائعة فائقة من أزواج الفرميونات ومضادات الفرميونات، قابلة للوصف بدالة موجية ماكروسكوبية . [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] لاحظوا أن التقلبات الصغيرة الشبيهة بالجسيمات في خلفية المائع الفائق تخضع لتناظر لورنتز ، حتى وإن كان المائع الفائق نفسه غير نسبي. ومع ذلك، قرروا التعامل مع المائع الفائق كمادة نسبية - وذلك بإدخاله في موتر الإجهاد والطاقة لمعادلات أينشتاين للمجال . لم يسمح لهم هذا بوصف الجاذبية النسبية كتقلب صغير في فراغ المائع الفائق، كما لاحظ باحثون لاحقون .

منذ ذلك الحين، طُرحت عدة نظريات ضمن إطار نظرية المائع الفائق. وتختلف هذه النظريات في كيفية ظهور بنية وخصائص المائع الفائق في الخلفية . ونظرًا لعدم وجود بيانات رصدية تستبعد بعضها، يجري العمل على هذه النظريات بشكل مستقل.

العلاقة بالمفاهيم والنظريات الأخرى

تناظرات لورنتز وجاليليو

وفقًا لهذا النهج، يُفترض أن المائع الفائق الخلفي غير نسبي أساسًا، بينما لا يُمثل تناظر لورنتز تناظرًا دقيقًا للطبيعة، بل هو وصف تقريبي صالح فقط للتقلبات الصغيرة. سيلاحظ الراصد الموجود داخل هذا الفراغ، والقادر على إحداث أو قياس هذه التقلبات الصغيرة، أنها أجسام نسبية ، ما لم تكن طاقتها وزخمها مرتفعين بما يكفي لجعل تصحيحات كسر تناظر لورنتز قابلة للكشف. [ 6 ] إذا كانت الطاقات والزخم أقل من عتبة الإثارة، فإن المائع الفائق الخلفي يتصرف كسائل مثالي ، وبالتالي، لن ترصد تجارب ميكلسون-مورلي أي قوة سحب من هذا الأثير. [ 1 ] [ 2 ]

علاوة على ذلك، في نظرية النسبية، يظهر تناظر غاليليو (المتعلق بعالمنا العياني غير النسبي) كتقريب عندما تكون سرعات الجسيمات صغيرة مقارنة بسرعة الضوء في الفراغ. في نظرية السعة الفائقة، لا حاجة إلى المرور بتناظر لورنتز للحصول على تناظر غاليليو، إذ من المعروف أن علاقات التشتت لمعظم الموائع الفائقة غير النسبية تخضع للسلوك غير النسبي عند الزخم الكبير. [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]

باختصار، تتصرف تقلبات المائع الفائق الفراغي مثل الأجسام النسبية عند الزخم "الصغير" [ nb 1 ] (المعروف أيضًا باسم " الحد الصوتي ").

هـ2|ص|2{\displaystyle E^{2}\propto |{\vec {p}}|^{2}}

ومثلها غير النسبية

هـ|ص|2{\displaystyle E\propto |{\vec {p}}|^{2}}

عند الزخم الكبير. يُعتقد أن الفيزياء غير التافهة التي لم تُكتشف بعد تقع في مكان ما بين هذين النظامين.

نظرية المجال الكمومي النسبية

في نظرية الحقل الكمومي النسبية ، يُفترض أن الفراغ الفيزيائي هو نوع من الوسط غير التافه الذي يمكن ربط طاقة معينة به . وذلك لأن مفهوم الفضاء الفارغ تمامًا (أو "الفراغ الرياضي") يتعارض مع مسلمات ميكانيكا الكم . فبحسب نظرية الحقل الكمومي، حتى في غياب الجسيمات الحقيقية، تكون الخلفية دائمًا مليئة بأزواج من الجسيمات الافتراضية التي تُنشئ وتُفني . ومع ذلك، فإن المحاولة المباشرة لوصف هذا الوسط تؤدي إلى ما يُسمى بالتباعدات فوق البنفسجية . في بعض نماذج نظرية الحقل الكمومي، مثل الديناميكا الكهربائية الكمومية، يمكن "حل" هذه المشكلات باستخدام تقنية إعادة التطبيع ، أي استبدال القيم الفيزيائية المتباعدة بقيمها المقاسة تجريبيًا. أما في نظريات أخرى، مثل النسبية العامة الكمومية ، فلا تنجح هذه الحيلة ، ولا يمكن بناء نظرية اضطراب موثوقة.

وفقًا لنظرية SVT، يعود ذلك إلى أن تناظر لورنتز يبدأ بالتلاشي في نطاق الطاقة العالية (فوق البنفسجي)، لذا لا يمكن اعتبار النظريات التابعة صالحة لجميع مستويات الطاقة والزخم. وبناءً على ذلك، فبينما تُعد نماذج المجال الكمومي المتناظرة لورنتز تقريبًا جيدًا دون عتبة طاقة الفراغ، يصبح الوصف النسبي في جوارها القريب أكثر "فعالية" وأقل طبيعية، إذ يتطلب الأمر تعديل تعابير التأثيرات النظرية للمجال المتغيرة يدويًا.

الزمكان المنحني

وفقًا للنسبية العامة ، يُوصف التفاعل الجاذبي بدلالة انحناء الزمكان باستخدام الصيغة الرياضية للهندسة التفاضلية . وقد دعمت ذلك تجارب وملاحظات عديدة في نطاق الطاقات المنخفضة. مع ذلك، أدت محاولات تكميم النسبية العامة إلى مشاكل خطيرة عديدة ، ولذلك، لا يزال التركيب المجهري للجاذبية غير محدد بدقة. قد يكون هناك سبب جوهري لذلك، وهو أن درجات حرية النسبية العامة مبنية على ما قد يكون تقريبيًا وفعالًا فقط . وقد طُرح سؤال ما إذا كانت النسبية العامة نظرية فعالة منذ زمن طويل. [ 10 ]

وفقًا لنظرية SVT، ينشأ الزمكان المنحني كنمط إثارة جماعي صغير السعة للمكثف الخلفي غير النسبي. [ 6 ] [ 11 ] ويشابه الوصف الرياضي لهذا النمط تشبيه جاذبية الموائع ، المستخدم أيضًا في نماذج الجاذبية التناظرية . [ 12 ] وبالتالي، فإن الجاذبية النسبية هي في جوهرها نظرية ذات أطوال موجية طويلة للأنماط الجماعية التي تكون سعتها صغيرة مقارنةً بسعة الخلفية. وبدون هذا الشرط، يصبح وصف الجاذبية في الفضاء المنحني، باستخدام الهندسة الريمانية، غير مكتمل أو غير محدد بدقة.

الثابت الكوني

إن مفهوم الثابت الكوني لا معنى له إلا في النظرية النسبية، ولذلك، ضمن إطار نظرية الفراغ القياسي، يمكن أن يشير هذا الثابت في أقصى الأحوال إلى طاقة التقلبات الصغيرة للفراغ فوق قيمة أساسية، وليس إلى طاقة الفراغ نفسه. [ 13 ] وبالتالي، في نظرية الفراغ القياسي، لا يحمل هذا الثابت أي معنى فيزيائي جوهري، ولا تحدث المشكلات المرتبطة به، مثل كارثة الفراغ ، من الأساس.

الموجات الثقالية والجرافيتونات

وفقًا لنظرية النسبية العامة ، فإن الموجة الثقالية التقليدية هي:

  1. التذبذب الطفيف للزمكان المنحني الذي
  2. انفصل عن مصدره وينتشر بشكل مستقل.

تُثير نظرية الفراغ فائق الميوعة تساؤلات حول إمكانية وجود جسم نسبي يمتلك هاتين الخاصيتين في الطبيعة. [ 11 ] في الواقع، وفقًا لهذا النهج، فإن الزمكان المنحني نفسه هو إثارة جماعية صغيرة للخلفية فائقة الميوعة، وبالتالي، فإن الخاصية (1) تعني أن الجرافيتون سيكون في الواقع "تذبذبًا صغيرًا للتذبذب الصغير"، وهو ما لا يبدو مفهومًا قويًا من الناحية الفيزيائية (كما لو حاول أحدهم إدخال تذبذبات صغيرة داخل فونون ، على سبيل المثال). ونتيجة لذلك، قد لا يكون من قبيل المصادفة أن المجال الجاذبي وحده في النسبية العامة لا يمتلك موترًا محددًا جيدًا للإجهاد والطاقة ، بل يمتلك فقط موترًا زائفًا . [ 14 ] لذلك، لا يمكن تبرير الخاصية (2) بشكل كامل في نظرية ذات تناظر لورنتز دقيق ، كما هو الحال في النسبية العامة. مع ذلك، لا تستبعد نظرية الميوعة الفائقة (SVT) مسبقًا وجود إثارات موجية غير موضعية في خلفية الميوعة الفائقة، والتي قد تكون مسؤولة عن الظواهر الفيزيائية الفلكية التي تُعزى حاليًا إلى موجات الجاذبية، مثل نظام هولس-تايلور الثنائي . إلا أن هذه الإثارات لا يمكن وصفها بدقة ضمن إطار نظرية نسبية كاملة .

توليد الكتلة وبوزون هيغز

بوزون هيغز هو الجسيم ذو اللف المغزلي صفر الذي تم إدخاله في نظرية التفاعل الكهروضعيف لإعطاء كتلة للبوزونات الضعيفة . لا تفسر نظرية التفاعل الكهروضعيف أصل كتلة بوزون هيغز نفسه. بدلاً من ذلك، تُدخل هذه الكتلة كمعامل حر بواسطة جهد هيغز ، مما يجعلها بالتالي معاملًا حرًا آخر في النموذج القياسي . [ 15 ] ضمن إطار النموذج القياسي (أو امتداداته)، لا يمكن الحصول على التقديرات النظرية لقيمة هذا المعامل إلا بشكل غير مباشر، وتختلف النتائج فيما بينها اختلافًا كبيرًا. [ 16 ] لذا، فإن استخدام بوزون هيغز (أو أي جسيم أولي آخر ذي كتلة محددة مسبقًا) وحده ليس الحل الأمثل لمشكلة توليد الكتلة، بل هو مجرد إعادة صياغة لها إلى ما لا نهاية . من المشكلات المعروفة الأخرى في نموذج غلاشو-واينبرغ-سلام الإشارة الخاطئة لحد الكتلة في قطاع هيغز (غير المكسور) للطاقات التي تتجاوز مقياس كسر التناظر . [ ملاحظة 2 ]

على الرغم من أن نظرية SVT لا تمنع صراحةً وجود جسيم هيغز الكهروضعيف ، إلا أنها تقدم تصورها الخاص لآلية توليد الكتلة الأساسية، حيث تكتسب الجسيمات الأولية كتلتها نتيجة تفاعلها مع مكثف الفراغ، على غرار آلية توليد الفجوة في الموصلات الفائقة أو الموائع الفائقة . [ 11 ] [ 17 ] ورغم أن هذه الفكرة ليست جديدة تمامًا، يمكن استحضار نهج كولمان-واينبرغ النسبي . [ 18 ] تُفسر نظرية SVT حقل القياس النسبي الذي يكسر التناظر بأنه يصف تقلبات صغيرة في خلفية المائع الفائق، والتي لا يمكن تفسيرها كجسيم أولي إلا في ظل شروط معينة. [ 19 ] وبشكل عام، تسمح النظرية بحدوث سيناريوهين:

  • بوزون هيغز موجود: في هذه الحالة، توفر نظرية SVT آلية توليد الكتلة التي تقوم عليها القوة الكهروضعيفة وتشرح أصل كتلة بوزون هيغز نفسه؛
  • إن بوزون هيغز غير موجود: إذن تكتسب البوزونات الضعيفة كتلة من خلال التفاعل المباشر مع مكثف الفراغ.

وبالتالي، فإن بوزون هيغز، حتى لو كان موجوداً، سيكون نتاجاً ثانوياً لظاهرة توليد الكتلة الأساسية وليس سبباً لها. [ 19 ]

كذلك، تُفضّل بعض إصدارات نظرية الفضاء الذاتي معادلة موجية مبنية على الجهد اللوغاريتمي بدلاً من الجهد الرباعي . فالجهد الأول لا يتميز فقط بشكله الشبيه بقبعة المكسيك، الضروري لكسر التناظر التلقائي ، بل يمتلك أيضاً بعض الخصائص الأخرى التي تجعله أكثر ملاءمة لوصف الفراغ.

نظرية فراغ مكثف بوز-أينشتاين اللوغاريتمية

في هذا النموذج، يُفترض أن الفراغ الفيزيائي عبارة عن سائل بوز كمومي مترابط بقوة، وتُوصَف دالة الموجة لحالته الأرضية بمعادلة شرودنغر اللوغاريتمية . وقد بُيّن أن التفاعل الجاذبي النسبي ينشأ كنمط إثارة جماعية ذي سعة صغيرة، بينما يمكن وصف الجسيمات الأولية النسبية بأنماط شبيهة بالجسيمات في حالة الطاقات والزخم المنخفضين. [ 17 ] ويكمن الاختلاف الجوهري لهذه النظرية عن غيرها في أن السرعة القصوى للتقلبات في المائع الفائق اللوغاريتمي ثابتة في الرتبة الرئيسية (الكلاسيكية). وهذا يسمح باستعادة مسلمات النسبية بالكامل في الحد "الفونوني" (الخطي). [ 11 ]

تترتب على النظرية المقترحة العديد من النتائج الرصدية. وتستند هذه النتائج إلى حقيقة أنه عند الطاقات والزخم العاليين، يصبح سلوك الأنماط الشبيهة بالجسيمات مختلفًا في نهاية المطاف عن السلوك النسبي ، إذ يمكنها الوصول إلى حد سرعة الضوء عند طاقة محدودة. [ 20 ] ومن بين التأثيرات الأخرى المتوقعة الانتشار بسرعة تفوق سرعة الضوء وإشعاع تشيرينكوف الفراغي . [ 21 ]

تدعم النظرية آلية توليد الكتلة التي يُفترض أن تحل محل آلية هيغز الكهروضعيفة أو تُعدّلها . وقد ثبت أن كتل الجسيمات الأولية يمكن أن تنشأ نتيجة التفاعل مع فراغ الميوعة الفائقة، على غرار آلية توليد الفجوة في الموصلات الفائقة . [ 11 ] [ 17 ] على سبيل المثال، يكتسب الفوتون المنتشر في الفراغ بين النجوم كتلة ضئيلة تُقدّر بنحو 10⁻³⁵ إلكترون فولت . ويمكن أيضًا اشتقاق جهد فعّال لقطاع هيغز يختلف عن ذلك المستخدم في نموذج غلاشو-واينبرغ-سلام ، ولكنه يُنتج توليد الكتلة وهو خالٍ من مشكلة الكتلة التخيلية [ nb 2 ] التي تظهر في جهد هيغز التقليدي . [ 19 ]

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. يشير مصطلح "صغير" هنا إلى الحد الخطي، وفي الواقع العملي قد لا تكون قيم هذه الزخم صغيرة على الإطلاق.
  2. 1 2 إذا قمنا بتوسيع جهد هيغز، فإن معامل الحد التربيعي يبدو سالباً . هذا المعامل له دلالة فيزيائية تمثل مربع كتلة جسيم قياسي.

مراجع

  1. 1 2 ديراك، بام (24 نوفمبر 1951). "هل يوجد أثير؟". رسائل إلى الطبيعة . 168 (4282). الطبيعة: 906-907 . Bibcode : 1951Natur.168..906D . doi : 10.1038/168906a0 . S2CID 4288946 . 
  2. 1 2 ديراك، بام (26 أبريل 1952). "هل يوجد أثير؟" . مجلة نيتشر . 169 (4304): 702. Bibcode : 1952Natur.169..702D . doi : 10.1038/169702b0 . S2CID 4279193 . 
  3. سينها، ك.ب.؛ سيفارام، س.؛ سودارشان، إ.س.ج. (1976). "الأثير كحالة مائعة فائقة لأزواج الجسيمات والجسيمات المضادة". أسس الفيزياء . 6 (1). سبرينغر نيتشر: 65-70 . Bibcode : 1976FoPh....6...65S . doi : 10.1007/bf00708664 . ISSN 0015-9018 . S2CID 119731867 .  
  4. سينها، ك.ب.؛ سيفارام، س.؛ سودارشان، إ.س.ج. (1976). "حالة الفراغ المائع الفائق، والثابت الكوني المتغير مع الزمن، والنماذج الكونية غير المنفردة". أسس الفيزياء . 6 (6). سبرينغر نيتشر: 717-726 . Bibcode : 1976FoPh....6..717S . doi : 10.1007/bf00708950 . ISSN 0015-9018 . S2CID 122996788 .  
  5. سينها، ك.ب.؛ سودارشان، إ.س.ج. (1978). "المائع الفائق كمصدر لجميع التفاعلات". أسس الفيزياء . 8 ( 11-12 ). سبرينغر نيتشر: 823-831 . Bibcode : 1978FoPh....8..823S . doi : 10.1007/bf00715056 . ISSN 0015-9018 . S2CID 123412015 .  
  6. 1 2 جي إي فولوفيك، الكون في قطرة الهيليوم ، Int. سر. حرف واحد فقط. فيز. 117 (2003) 1-507.
  7. إن إن بوغوليوبوف، إزف. أكاد. ناوك اتحاد الجمهوريات الاشتراكية السوفياتية 11 ، 77 (1947).
  8. NN Bogoliubov, J. Phys. 11, 23 (1947)
  9. ^ في إل جينزبرج، إل دي لانداو، ز. إكسب. تيور. فيز. 20، 1064 (1950).
  10. أ. د. ساخاروف، سوف. فيز. دوكل. 12، 1040 (1968). أُعيد نشر هذه الورقة في جين. ريل. جراف. 32، 365 (2000) وعُلِّق عليها في: م. فيسر، مود. فيز. ليت. أ 17، 977 (2002).
  11. 1 2 3 4 5 زلوشاستييف، ك.ج. (2011). "الكسر التلقائي للتناظر وتوليد الكتلة كظواهر متأصلة في نظرية الكم غير الخطية اللوغاريتمية". مجلة الفيزياء البولندية، الجزء ب . 42 (2): 261-292 . arXiv : 0912.4139 . Bibcode : 2011AcPPB..42..261Z . doi : 10.5506/aphyspolb.42.261 . ISSN 0587-4254 . S2CID 118152708 .  
  12. M. Novello, M. Visser, G. Volovik, Artificial Black Holes , World Scientific, River Edge, USA, 2002, p391.
  13. فولوفيك، جي إي (2006). "طاقة الفراغ: خرافات وحقائق". المجلة الدولية للفيزياء الحديثة د . 15 (12): 1987-2010 . arXiv : gr-qc/0604062 . Bibcode : 2006IJMPD..15.1987V . doi : 10.1142/s0218271806009431 . ISSN 0218-2718 . S2CID 11256434 .  
  14. LD Landau و EM Lifshitz، النظرية الكلاسيكية للحقول ، (1951)، دار نشر بيرغامون، الفصل 11.96.
  15. بيدنياكوف، ف.أ.؛ جيوكاريس، ن.د.؛ بيدنياكوف، أ.ف. (2008). "حول آلية توليد كتلة هيغز في النموذج القياسي". فيزياء الجسيمات والنوى . 39 (1): 13-36 . arXiv : hep-ph/0703280 . Bibcode : 2008PPN....39...13B . doi : 10.1134/s1063779608010024 . ISSN 1063-7796 . S2CID 258710188 .  
  16. شريمب، ب؛ ويمر، م (1996). "كتل الكوارك العلوي وبوزون هيغز: التفاعل بين فيزياء الأشعة تحت الحمراء والأشعة فوق البنفسجية". التقدم في فيزياء الجسيمات والفيزياء النووية . 37 : 1-90 . arXiv : hep-ph/9606386 . Bibcode : 1996PrPNP..37....1S . doi : 10.1016/0146-6410(96)00059-2 . ISSN 0146-6410 . S2CID 118976123 .  
  17. 1 2 3 أفدينكوف، ألكسندر ف؛ زلوشاستيف، كونستانتين ج (13 سبتمبر 2011). "سوائل بوز الكمومية ذات اللاخطية اللوغاريتمية: الاستدامة الذاتية وظهور الامتداد المكاني". مجلة الفيزياء ب: الفيزياء الذرية والجزيئية والبصرية . 44 (19) 195303. دار نشر IOP. arXiv : 1108.0847 . Bibcode : 2011JPhB...44s5303A . doi : 10.1088/0953-4075/44/19/195303 . ISSN 0953-4075 . S2CID 119248001 .  
  18. كولمان، سيدني؛ واينبرغ، إريك (15 مارس 1973). "التصحيحات الإشعاعية كمصدر لكسر التناظر التلقائي". مجلة Physical Review D. 7 ( 6). الجمعية الفيزيائية الأمريكية (APS): 1888-1910 . arXiv : hep-th/0507214 . Bibcode : 1973PhRvD ...7.1888C . doi : 10.1103/physrevd.7.1888 . ISSN 0556-2821 . S2CID 6898114 .  
  19. 1 2 3 ف. دزونوشالييف وك. ج. زلوشاشاستيف (2013). "نموذج خالٍ من التفرد للشحنة الكهربائية في الفراغ الفيزيائي: امتداد مكاني غير صفري وتوليد كتلة". مجلة الفيزياء الأوروبية المركزية 11 ( 3): 325-335 . arXiv : 1204.6380 . Bibcode : 2013CEJPh..11..325D . doi : 10.2478/s11534-012-0159-z . S2CID 91178852 . 
  20. زلوشاستيف، ك.ج. (2010). "اللاخطية اللوغاريتمية في نظريات الجاذبية الكمومية: أصل الزمن ونتائجه الرصدية". الجاذبية وعلم الكونيات . 16 (4): 288-297 . arXiv : 0906.4282 . Bibcode : 2010GrCo...16..288Z . doi : 10.1134/s0202289310040067 . ISSN 0202-2893 . S2CID 119187916 .  
  21. زلوشاستييف، كونستانتين ج. (2011). "تأثير تشيرينكوف الفراغي في نظرية الكم غير الخطية اللوغاريتمية". رسائل الفيزياء أ . 375 (24): 2305-2308 . arXiv : 1003.0657 . Bibcode : 2011PhLA..375.2305Z . doi : 10.1016/j.physleta.2011.05.012 . ISSN 0375-9601 . S2CID 118152360 .