الرباعيات الهاميلتونية الكلاسيكية

ابتكر هاميلتون مصطلح " الأعداد القياسية" للأعداد الحقيقية ، لأنها تغطي "مقياس التدرج من الموجب إلى السالب اللانهائي" ^{[ 3 ]} أو لأنها تمثل "مقارنة المواضع على مقياس مشترك واحد". ^{[ 4 ]} اعتبر هاميلتون الجبر القياسي العادي علم الزمن الخالص. ^{[ 5 ]}

عرّف هاميلتون المتجه بأنه "خط مستقيم... له طول واتجاه". ^{[ 6 ]} وقد اشتق هاميلتون كلمة متجه من الكلمة اللاتينية vehere ، التي تعني حمل. ^{[ 7 ]}

عرّف هاميلتون المتجه بأنه "الفرق بين نقطتيه المتطرفتين". ^{[ 6 ]} بالنسبة لهاميلتون، كان المتجه دائمًا كيانًا ثلاثي الأبعاد، له ثلاثة إحداثيات بالنسبة لأي نظام إحداثيات معين، بما في ذلك على سبيل المثال لا الحصر النظامين القطبي والمستطيلي . ^{[ 8 ]} ولذلك أشار إلى المتجهات باسم "الثلاثيات" .

عرّف هاميلتون عملية جمع المتجهات بمصطلحات هندسية، وذلك بوضع نقطة الأصل للمتجه الثاني عند نهاية المتجه الأول. ^{[ 9 ]} ثم قام بتعريف عملية طرح المتجهات .

بإضافة متجه إلى نفسه عدة مرات، عرّف ضرب متجه في عدد صحيح ، ثم وسّع هذا التعريف ليشمل القسمة على عدد صحيح، وضرب (وقسمة) متجه في عدد نسبي . وأخيرًا، بأخذ النهايات، عرّف ناتج ضرب متجه α في أي عدد قياسي x على أنه متجه β له نفس اتجاه α إذا كان x موجبًا؛ وفي الاتجاه المعاكس لـ α إذا كان x سالبًا؛ وطوله يساوي | x | مضروبًا في طول α. ^{[ 10 ]}

وبالتالي، فإن ناتج قسمة متجهين متوازيين أو متضادين هو كمية قياسية قيمتها المطلقة تساوي نسبة طولي المتجهين؛ وتكون هذه الكمية موجبة إذا كان المتجهان متوازيين وسالبة إذا كانا متضادين. ^{[ 11 ]}

ملاحظة: لا يتطابق استخدام هاميلتون لكلمة "موتر" مع المصطلحات الحديثة. في الواقع، موتر هاميلتون هو القيمة المطلقة في جبر الكواترنيون، مما يجعله فضاءً متجهيًا معياريًا .

عرّف هاميلتون الموتر بأنه كمية عددية موجبة، أو بتعبير أدق، عدد بلا إشارة. ^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]} ويمكن اعتبار الموتر كمية قياسية موجبة. ^{[ 15 ]} ويمكن اعتبار "الموتر" بمثابة "عامل تمدد". ^{[ 16 ]}

قدم هاميلتون مصطلح "الموتر" في كتابه الأول، "محاضرات حول الرباعيات"، استناداً إلى محاضرات ألقاها بعد فترة وجيزة من اختراعه للرباعيات:

• يبدو من المناسب توسيع دلالة كلمة "الموتر" الجديدة، بحيث تشمل الحالات الأخرى التي نجري فيها عمليات على خط ما عن طريق إنقاص طوله بدلاً من زيادته، وعمومًا عن طريق تغيير هذا الطول بنسبة محددة. وبالتالي، سنحصل (كما أُشير إليه في نهاية المقال المذكور) على موترات كسرية، بل وحتى موترات غير قابلة للقياس ، والتي ستكون ببساطة مضاعفات عددية، وستكون جميعها موجبة ، أو (بتعبير أدق) أعدادًا بلا إشارات ، أي خالية من الإشارات الجبرية للموجب والسالب ؛ لأننا في العملية المذكورة هنا، نتجاهل اتجاهات (وكذلك حالات) الخطوط التي تتم مقارنتها أو إجراء العمليات عليها.

لكل رباعي موتر، وهو مقياس لمقداره (كما أن طول المتجه مقياس لمقدار المتجه). عندما يُعرَّف الرباعي بأنه خارج قسمة متجهين، فإن موتره هو نسبة أطوال هذين المتجهين.

المتجه الرباعي هو رباعي ذو موتر يساوي 1. أو يمكن تعريف المتجه الرباعي بأنه خارج قسمة متجهين متساويين في الطول . ^{[ 17 ] [ 18 ]}

بشكل عام، يحدد المتجه كل ما يلي: محور اتجاهي؛ المستوى العمودي على هذا المحور؛ وزاوية الدوران. ^{[ 19 ]}

عندما يتم ضرب متجه متجهي ومتجه يقع في مستوى المتجه المتجهي، تكون النتيجة متجهًا جديدًا بنفس الطول ولكن بزاوية المتجه المتجهي.

يمكن تحليل كل رباعي إلى كمية قياسية وكمية متجهة.

${\displaystyle q=\mathbf {S} (q)+\mathbf {V} (q)}$

تُسمى هاتان العمليتان S و V "أخذ القيمة العددية" و "أخذ متجه" الكواترنيون. ويُسمى الجزء المتجه من الكواترنيون أيضًا بالجزء الأيمن. ^{[ 23 ]}

كل رباعي يساوي متجهًا مضروبًا في موتر الرباعي. يُرمز إلى متجه الرباعي بـ

${\displaystyle \mathbf {U} q}$

وموتر الرباعي بواسطة

${\displaystyle \mathbf {T} q}$

لدينا

${\displaystyle q=\mathbf {T} q\mathbf {U} q}$

كانت العمليتان الترتيبيتان في تدوين الكواترنيون الكلاسيكي هما الجمع والطرح أو + و −.

هذه العلامات هي:

"...خصائص التركيب والتحليل لحالة من التقدم، وفقًا لما تعتبر هذه الحالة مشتقة من حالة أخرى من ذلك التقدم أو مقارنة بها." ^{[ 26 ]}

العمليتان الأساسيتان ^{[ 32 ]} في تدوين الكواترنيون هما الضرب الهندسي والقسمة الهندسية ويمكن كتابتهما على النحو التالي:

÷, ×

ليس من الضروري تعلم المصطلحات الأكثر تقدماً التالية لاستخدام القسمة والضرب.

القسمة نوع من التحليل يُسمى التحليل الكمي. ^{[ 33 ]} الضرب نوع من التركيب يُسمى التركيب الكمي. ^{[ 34 ]}

قسمة متجهات الوحدة i و j و k

كانت نتائج استخدام عامل القسمة على i و j و k كما يلي. ^{[ 43 ]}

${\displaystyle ij=k}$	${\displaystyle {\frac {k}{j}}=i}$
${\displaystyle jk=i}$	${\displaystyle {\frac {i}{k}}=j}$
${\displaystyle ki=j}$	${\displaystyle {\frac {j}{i}}=k}$
${\displaystyle ji=-k}$	${\displaystyle {\frac {-k}{i}}=j}$
${\displaystyle kj=-i}$	${\displaystyle {\frac {-i}{j}}=k}$
${\displaystyle ik=-j}$	${\displaystyle {\frac {-j}{k}}=i}$
${\displaystyle i(-j)=-k}$	${\displaystyle {\frac {-k}{-j}}=i}$
${\displaystyle i(-k)=j}$	${\displaystyle {\frac {j}{-k}}=i}$
${\displaystyle k(-i)=-j}$	${\displaystyle {\frac {-j}{-i}}=k}$
${\displaystyle k(-j)=i}$	${\displaystyle {\frac {i}{-j}}=k}$
${\displaystyle j(-k)=-i}$	${\displaystyle {\frac {-i}{-k}}=j}$
${\displaystyle j(-i)=k}$	${\displaystyle {\frac {k}{-i}}=j}$

مقلوب متجه الوحدة هو المتجه المعكوس. ^{[ 44 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{i}}=i^{-1}=-i}$

لأن متجه الوحدة ومقلوبه متوازيان مع بعضهما البعض ولكنهما يشيران في اتجاهين متعاكسين، فإن حاصل ضرب متجه الوحدة ومقلوبه له خاصية تبديلية خاصة، على سبيل المثال إذا كان a أي متجه وحدة فإن: ^{[ 45 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{a}}a=(-a)a=1=a(-a)=a{\frac {1}{a}}.}$

مع ذلك، في الحالة الأكثر عمومية التي تتضمن أكثر من متجه واحد (سواء كان متجه وحدة أم لا)، لا تتحقق خاصية التبديل. ^{[ 46 ]} على سبيل المثال:

${\displaystyle i{\frac {k}{i}}}$≠${\displaystyle {\frac {k}{i}}i.}$

وذلك لأن k/i يُعرَّف بدقة على النحو التالي:

${\displaystyle {\frac {k}{i}}=k{\frac {1}{i}}=ki^{-1}=k(-i)=-(ki)=-(j)=-j}$.

لهذا السبب:

${\displaystyle i{\frac {k}{i}}=i(-j)=-k}$،

لكن

${\displaystyle {\frac {k}{i}}i=(-j)i=-(ji)=-(-k)=k}$

كانت العمليتان S (q) و V (q) عمليتين مهمتين في نظام الترميز الكلاسيكي للرباعيات، حيث تعني الأولى أخذ الجزء القياسي من الرباعي، والثانية أخذ الجزء التخيلي منه، وهو ما أسماه هاميلتون الجزء المتجهي. هنا، S و V هما مؤثران يعملان على q. يمكن حذف الأقواس في هذا النوع من التعبيرات دون أي لبس. الترميز الكلاسيكي:

${\displaystyle q=\,\mathbf {S} q+\mathbf {V} q}$

هنا، q هو عدد رباعي. S q هو العدد القياسي للأعداد الرباعية بينما V q هو متجه الأعداد الرباعية.

K هو المؤثر المرافق. مرافق الكواترنيون هو كواترنيون يتم الحصول عليه بضرب الجزء المتجهي من الكواترنيون الأول في سالب واحد.

لو

${\displaystyle q=\,\mathbf {S} q+\mathbf {V} q}$

ثم

${\displaystyle \mathbf {K} q=\mathbf {S} \,q-\mathbf {V} q}$.

التعبير

${\displaystyle r=\,\mathbf {K} q}$،

يعني ذلك، تعيين قيمة المرافق للرباعي q للرباعي r.

T هو عامل الموتر . وهو يُرجع نوعًا من الأرقام يُسمى الموتر .

موتر العدد القياسي الموجب هو ذلك العدد القياسي نفسه. أما موتر العدد القياسي السالب فهو القيمة المطلقة للعدد القياسي (أي بدون الإشارة السالبة). على سبيل المثال:

${\displaystyle \mathbf {T} (5)=5}$

${\displaystyle \mathbf {T} (-5)=5}$

موتر المتجه هو، بحسب التعريف، طول المتجه. على سبيل المثال، إذا:

${\displaystyle \alpha =xi+yj+zk}$

ثم

${\displaystyle \mathbf {T} \alpha ={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$

موتر متجه الوحدة يساوي واحدًا. وبما أن متجه الوحدة هو متجه وحدة، فإن موتر متجه الوحدة لأي متجه يساوي دائمًا واحدًا. ويرمز له بـ:

${\displaystyle \mathbf {TU} \alpha =1}$^{[ 52 ]}

الكواتيرنيون، بحسب التعريف، هو خارج قسمة متجهين، وموتر الكواتيرنيون، بحسب التعريف، هو خارج قسمة موترَي هذين المتجهين. بالرموز:

${\displaystyle q={\frac {\alpha }{\beta }}.}$

${\displaystyle \mathbf {T} q={\frac {\mathbf {T} \alpha }{\mathbf {T} \beta }}.}$^{[ 53 ]}

من هذا التعريف يمكن إثبات أن الصيغة المفيدة لموتر الكواتيرنيون هي: ^{[ 54 ]}

${\displaystyle \mathbf {T} q={\sqrt {w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$

يمكن إثبات ذلك أيضاً من هذا التعريف، حيث يمكن الحصول على صيغة أخرى لحساب موتر الكواترنيون من خلال المعيار المشترك، المعرّف بأنه حاصل ضرب الكواترنيون في مرافقه. الجذر التربيعي للمعيار المشترك للكواترنيون يساوي موتر الكواترنيون.

${\displaystyle \mathbf {T} q={\sqrt {qKq}}}$

من المتطابقات المفيدة أن مربع موتر الكواترنيون يساوي موتر مربع الكواترنيون، بحيث يمكن حذف الأقواس. ^{[ 55 ]}

${\displaystyle (\mathbf {T} q)^{2}=\mathbf {T} (q^{2})=\mathbf {T} q^{2}}$

كذلك، فإن موترات الأعداد الرباعية المترافقة متساوية. ^{[ 56 ]}

${\displaystyle \mathbf {TK} q=\mathbf {T} q}$

يُطلق الآن على موتر الرباعي اسم معياره .

أدى حساب زاوية الكواترنيون غير القياسي إلى قيمة أكبر من الصفر وأقل من π. ^{[ 57 ] [ 58 ]}

عندما يُنظر إلى الكواترنيون غير القياسي على أنه ناتج قسمة متجهين، فإن محور الكواترنيون هو متجه وحدة عمودي على مستوى المتجهين في ناتج القسمة الأصلي، في اتجاه تحدده قاعدة اليد اليمنى. ^{[ 59 ]} الزاوية هي الزاوية بين المتجهين.

بالرموز،

${\displaystyle u=Ax.q}$

${\displaystyle \theta =\angle q}$

لو

${\displaystyle q={\frac {\alpha }{\beta }}}$

ثم يُعرَّف مقلوبه على النحو التالي:

${\displaystyle {\frac {1}{q}}=q^{-1}={\frac {\beta }{\alpha }}}$

التعبير:

${\displaystyle {q}\times {\alpha }\times {\frac {1}{q}}}$

للمقلوبات تطبيقات مهمة عديدة، ^{[ 60 ] [ 61 ]} على سبيل المثال الدوران ، خاصةً عندما يكون q متجهًا متجهيًا. للمتجه المتجهي صيغة سهلة لحساب مقلوبه. ^{[ 62 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{(\mathbf {U} q)}}=\mathbf {S.U} q-\mathbf {V.U} q=\mathbf {K.U} q}$

بمعنى آخر، مقلوب المتجه يساوي مرافقه. تشير النقاط بين العمليات إلى ترتيبها، وتساعد أيضاً في توضيح أن S و U، على سبيل المثال، عمليتان مختلفتان وليستا عملية واحدة تُسمى SU.

حاصل ضرب الكواترنيون مع مرافقه هو معياره المشترك. ^{[ 63 ]}

تُرمز عملية حساب المعيار المشترك للرباعي بالحرف N. المعيار المشترك، بحسب التعريف، هو حاصل ضرب الرباعي في مرافقه. يمكن إثبات ^{[ 64 ] [ 65 ]} أن المعيار المشترك يساوي مربع موتر الرباعي. مع ذلك، لا يُعد هذا الإثبات تعريفًا. يقدم هاميلتون تعريفات دقيقة ومستقلة لكل من المعيار المشترك والموتر. تم اعتماد هذا المعيار بناءً على اقتراح من نظرية الأعداد، ولكن كما قال هاميلتون: "لن تكون هناك حاجة إليه كثيرًا". الموتر عمومًا أكثر فائدة. لا تظهر كلمة "المعيار " في كتاب "محاضرات في الرباعيات" ، وتظهر مرتين فقط في فهرس كتاب " عناصر الرباعيات" .

بالرموز:

${\displaystyle \mathbf {N} q=\,q\mathbf {K} q=\,(\mathbf {T} q)^{2}}$

المعيار المشترك للمتجه يساوي دائمًا الوحدة الموجبة. ^{[ 66 ]}

${\displaystyle \mathbf {NU} q=\mathbf {U} q.\mathbf {KU} q=1}$

في الأدبيات الكلاسيكية للأكواد، المعادلة

${\displaystyle q^{2}=-1}$

كان يُعتقد أن للمعادلة عددًا لا نهائيًا من الحلول التي تُسمى حلولًا حقيقية هندسيًا . هذه الحلول هي متجهات الوحدة التي تُشكل سطح كرة الوحدة.

الكواترنيون الحقيقي هندسيًا هو الذي يمكن كتابته كتركيبة خطية من i و j و k ، بحيث يكون مجموع مربعات المعاملات مساويًا للواحد. وقد أثبت هاميلتون وجود جذور إضافية لهذه المعادلة إلى جانب الجذور الحقيقية هندسيًا. وبوجود العدد التخيلي القياسي، يمكن كتابة عدد من التعبيرات وتسميتها بأسماء مناسبة. وكانت جميع هذه التعبيرات جزءًا من حساب الكواترنيون الأصلي لهاميلتون. بالرموز:

${\displaystyle q+q'{\sqrt {-1}}}$

حيث q و q′ هي أعداد رباعية حقيقية، والجذر التربيعي لسالب واحد هو الجزء التخيلي من الجبر العادي ، وتسمى الجذور التخيلية أو الرمزية ^{[ 67 ]} وليست كمية متجهة حقيقية هندسيًا.

الكميات التخيلية هندسيًا هي جذور إضافية للمعادلة المذكورة أعلاه ذات طبيعة رمزية بحتة. في المادة 214 من كتاب "الأصول"، يثبت هاميلتون أنه إذا وُجدت أعداد i و j و k، فلا بد من وجود كمية أخرى h وهي كمية قياسية تخيلية، وهو ما لاحظ أنه كان ينبغي أن يتبادر إلى ذهن أي شخص قرأ المواد السابقة بانتباه. ^{[ 68 ]} تتناول المادة 149 من كتاب "الأصول" الأعداد التخيلية هندسيًا، وتتضمن حاشية تُعرّف مصطلح "الرباعي المزدوج" . ^{[ 69 ]} يُستخدم مصطلحا "التخيلي في الجبر العادي" و "التخيلي القياسي" أحيانًا للإشارة إلى هذه الكميات التخيلية هندسيًا.

فُسِّرت الجذور التخيلية الهندسية للمعادلة في الفكر الكلاسيكي على أنها حالات مستحيلة هندسيًا. تستكشف المادة 214 من كتاب "عناصر الرباعيات" مثال معادلة خط مستقيم ودائرة لا يتقاطعان، كما يتضح من وجود جذر تخيلي هندسي فقط في المعادلة. ^{[ 70 ]}

في كتابات هاميلتون اللاحقة اقترح استخدام الحرف h للدلالة على الكمية القياسية التخيلية ^{[ 71 ] [ 72 ] [ 73 ]}

في الصفحة 665 من كتاب "عناصر الكواترنيونات"، يُعرّف هاميلتون الكواترنيون الثنائي بأنه كواترنيون ذو معاملات عددية مركبة . الجزء القياسي من الكواترنيون الثنائي هو عدد مركب يُسمى ثنائي قياسي . أما الجزء المتجهي منه فهو متجه ثنائي يتكون من ثلاثة مركبات مركبة. وبذلك، تُعدّ الكواترنيونات الثنائية تحويلًا للأعداد المركبة من الكواترنيونات الأصلية (الحقيقية).

ابتكر هاميلتون مصطلح "التجميعي" للتمييز بين العدد القياسي التخيلي (المعروف الآن بالعدد المركب ) الذي يتميز بخاصيتي التبديل والتجميع، وأربعة جذور أخرى محتملة للعدد سالب واحد، أطلق عليها الأحرف L وM وN وO، وذكرها بإيجاز في الملحق ب من كتاب " محاضرات في الأعداد الرباعية" وفي رسائل خاصة. مع ذلك، لا تظهر الجذور غير التجميعية للعدد سالب واحد في كتاب "عناصر الأعداد الرباعية" . توفي هاميلتون قبل أن يعمل على هذه الكيانات الغريبة. زعم ابنه أنها "أقواس محفوظة لأيدي يوليسيس آخر". ^{[ 74 ]}

• دبليو آر هاميلتون (1853)، محاضرات حول الرباعيات، دبلن: هودجز وسميث، على كتب جوجل
• WR Hamilton (1866)، عناصر الرباعيات في كتب جوجل ، الطبعة الثانية، حررها تشارلز جاسبر جولي، لونجمانز جرين وشركاه.
• أ. س. هاردي (1887)، عناصر الرباعيات
• بي جي تايت (1890)، رسالة تمهيدية في الرباعيات ، كامبريدج: سي جيه كلاي وأبناؤه
• هربرت غولدشتاين (1980)، الميكانيكا الكلاسيكية ، الطبعة الثانية، رقم فهرس مكتبة الكونغرس QA805.G6 1980