الأشكال العشرية الوجوه التسعة والخمسون

📅 آخر تحديث: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 130 صور
الموسوعة الحرة

مخطط التشكيل النجمي للمجسم ذي العشرين وجهًا مع تحديد المثلث المركزي للمجسم الأصلي ذي العشرين وجهًا

كتاب "المجسمات العشرية التسع والخمسون" من تأليف ورسم إتش إس إم كوكسيتر ، وبي دو فال ، وإتش تي فلاثر، وجي إف بيتري . يسرد الكتاب بعض أشكال المجسم العشري المحدب المنتظم أو الأفلاطوني، وفقًا لمجموعة من القواعد التي وضعها جي سي بي ميلر .

نُشر لأول مرة من قبل جامعة تورنتو في عام 1938، وأعقب ذلك إعادة طبع الطبعة الثانية من قبل Springer-Verlag في عام 1982. وتضمنت الطبعة الثالثة لتاركوين عام 1999 مواد مرجعية جديدة وصور فوتوغرافية من قبل ك. ود. كرينيل.

متعددات السطوح النجمية

في هذا الكتاب، يُعرَّف الشكل النجمي للمجسم متعدد السطوح بتمديد مستويات أوجهه حتى تلتقي مجددًا لتشكيل مجسم أو مركب جديد. عند تمديد مستويات أوجه المجسم إلى ما لا نهاية، ينقسم الفضاء المحيط به إلى فضاءات فرعية غير محدودة، وغالبًا إلى عدد من المجسمات أو الخلايا المحدودة. وتنتج مجموعات مختلفة من الخلايا أشكالًا نجمية مختلفة.

بالنسبة للمجسم المتناظر، تندرج هذه الخلايا ضمن مجموعات من الخلايا المتطابقة، أو مجموعات فرعية - نقول إن الخلايا في هذه المجموعة من النوع نفسه. قد يؤدي هذا إلى عدد كبير من الأشكال الممكنة، لذا تُفرض معايير إضافية لتقليص المجموعة إلى تلك التشكيلات النجمية المهمة والمتميزة بطريقة ما.

من بين المجسمات الأفلاطونية ، لا يحتوي رباعي الأوجه والمكعب على أي نجوم، ويحتوي ثماني الأوجه على نجمة واحدة ( stella octangula )، ويحتوي اثنا عشري الأوجه على ثلاث نجوم ( اثنا عشري الأوجه صغير ذو نجوم ، واثنا عشري الأوجه كبير ، واثنا عشري الأوجه كبير ذو نجوم )، ويحتوي عشروني الأوجه على عدد أكبر بكثير (يختتم هذا الكتاب 59).

أبرز التكوينات النجمية للمجسم العشري الوجوه
عادينجم عادي ثنائيات موحدة
(محدب) عشريني الوجوهمجسم عشريني الوجوه عظيممجسم عشريني الوجوه ثلاثي صغيرمجسم عشريني الوجوه ثلاثي الأضلاع متوسطمجسم عشريني الوجوه ثلاثي الأضلاع عظيم
المركبات المنتظمةآحرون
مركب من خمسة ثمانيات الأوجهمركب من خمسة رباعيات الأوجهمركب من عشرة رباعيات الأوجهمجسم ذو اثني عشر وجهاً تم استخراجهالتشكيل النجمي النهائي

منشورات سابقة حول المجسمات العشرين السطوح النجمية

كتاب "العشرون وجهاً التسعة والخمسون" ليس أول عمل يتناول موضوع العشرون وجهاً النجمية.

في عام 1809 اكتشف لويس بوينسو أول الأمثلة المعروفة، وهي المجسم العشري الوجوه الكبير ( G في القائمة أدناه) والمجسم الاثني عشري الوجوه الكبير ، ليكمل بذلك مجموعة ما يُعرف اليوم باسم النجمة المنتظمة أو متعددات وجوه كيبلر-بوينسو . [ 1 ]

في عام 1876، استخدم إدموند هيس مخططات النجومية واكتشف ما تبقى من المجسمات النجمية الرئيسية ذات العشرين وجهًا. (من B إلى F و H في القائمة أدناه) [ 2 ] [ 3 ]

في عام 1900، وصف ماكس بروكنر وصور العديد من الأشكال النجمية في كتابه Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte ( المضلعات ومتعددات الوجوه: النظرية والتاريخ ، لايبزيغ: بي جي تيوبنر، 1900). [ 4 ]

في عام ١٩٢٤، ألقى أ. هاري ويلر محاضرةً بصفته متحدثًا مدعوًا في المؤتمر الدولي للرياضيات في تورنتو. [ ٥ ] وقدّم في محاضرته طريقةً لاختيار مناطق من مخطط النجوم ودمج خلاياها لتشكيل أشكال متعددة السطوح جديدة. وشمل ويلر أشكالًا متعددة السطوح مجوفة ومجموعات من الخلايا المنفصلة (غير المتصلة). كان من المقرر في البداية أن يكون ويلر مؤلفًا مشاركًا في كتاب " الأشكال العشرية التسع والخمسون" ، لكنه اعترض على منهج كوكسيتر، الذي وجده "معقدًا وغير متقن لدرجة أنني لم أرغب في الخوض فيه... لدى كوكسيتر أسلوبٌ في تناول موضوع ما وتعقيده بشكلٍ يصعب عليّ فهمه، بل وأحيانًا يصعب عليّ استيعابه." [ ٦ ]

مساهمات المؤلفين

قواعد ميلر

على الرغم من أن جيه سي بي ميلر لم يساهم في الكتاب بشكل مباشر، إلا أنه كان زميلًا مقربًا لكوكسيتر وبيتري. وقد خُلِّدت مساهمته في مجموعة قواعده (التي تُعرف الآن باسم قواعد ميلر ) لتحديد أي من التشكيلات النجمية يجب اعتبارها "ذات دلالة ومتميزة بشكل صحيح".

(i) يجب أن تقع الوجوه في عشرين مستوى، أي المستويات المحيطة بالمجسم العشري الوجوه المنتظم.

(ii) يجب أن تكون جميع الأجزاء المكونة للوجوه متطابقة في كل مستوى، على الرغم من أنها قد تكون منفصلة تمامًا.

(ثالثاً) يجب أن تتمتع الأجزاء الموجودة في أي مستوى واحد بتناظر ثلاثي، سواء مع الانعكاس أو بدونه. وهذا يضمن التناظر العشري الوجوه للجسم الصلب بأكمله.

(رابعاً) يجب أن تكون جميع الأجزاء الموجودة في أي مستوى "قابلة للوصول" في الجسم الصلب المكتمل (أي يجب أن تكون على "الخارج"). في بعض الحالات، قد نحتاج إلى نماذج ضخمة الحجم لرؤية كل ما هو خارجي. أما مع نموذج ذي حجم عادي، فلا يمكن استكشاف بعض أجزاء "الخارج" إلا بواسطة حشرة زاحفة.

(خامساً) نستبعد من الدراسة الحالات التي يمكن فيها تقسيم الأجزاء إلى مجموعتين، تُعطي كل منهما مجسمًا بنفس درجة التناظر التي يتمتع بها الشكل بأكمله. لكننا نسمح بتركيب زوج متماثلين عكسيًا لا يشتركان في أي جزء (وهو ما يحدث في حالة واحدة فقط). [ 7 ]

القواعد من (أ) إلى (ج) هي متطلبات التناظر لمستويات الأوجه. القاعدة (د) تستبعد الثقوب المدفونة، لضمان عدم تشابه أي شكلين نجميين ظاهريًا. القاعدة (هـ) تمنع أي مركب منفصل من أشكال نجمية أبسط.

كوكسيتر

كان كوكسيتر القوة الدافعة الرئيسية وراء هذا العمل. وقد أجرى التحليل الأصلي استناداً إلى قواعد ميلر، معتمداً عدداً من التقنيات مثل التوافقية ونظرية الرسم البياني المجردة التي كان استخدامها في سياق هندسي جديداً آنذاك.

لاحظ أن مخطط النجومية يتألف من العديد من القطع المستقيمة. ثم طور إجراءات لمعالجة تركيبات المناطق المستوية المتجاورة، لحصر التركيبات المسموح بها وفقًا لقواعد ميلر بشكل رسمي.

يُظهر الرسم البياني الخاص به، والمُعاد إنتاجه هنا، ترابط الوجوه المختلفة المُحددة في مخطط النجومية (انظر أدناه). تُمثل الرموز اليونانية مجموعات من البدائل المُحتملة:

قد تكون قيمة λ 3 أو 4
قد تكون قيمة μ 7 أو 8
قد تكون قيمة ν هي 11 أو 12

دو فال

ابتكر دو فال تدوينًا رمزيًا لتحديد مجموعات الخلايا المتطابقة، استنادًا إلى الملاحظة القائلة بأن جميع مستويات الوجه الممتدة (أو الحدود) تقطع معًا الفضاء المحيط بالمجسم العشري الوجوه إلى العديد من المناطق ثلاثية الأبعاد المحدودة المختلفة التي أطلق عليها اسم الخلايا.

يتقاطع الخط المستقيم الواصل بين نقطة في خلية ومركز المجسم العشري الوجوه مع عدد من مستويات الأوجه (الممتدة)؛ هذا العدد هو قوة النقطة والخلية. تشكل جميع الخلايا ذات القوة نفسها غلافًا (أو طبقة). يُسمى المجسم العشري الوجوه الداخلي (القوة = 0) A ، والغلاف ذو القوة 1 b ، والغلاف ذو القوة 2 c ، وهكذا. إذا كانت جميع خلايا الغلاف متطابقة، تُسمى باسم الغلاف نفسه؛ أما إذا كانت هناك خلايا مختلفة غير متطابقة في الغلاف، فتُرقم مثل e1 و e2 . إذا كان هناك زوج من الخلايا المتناظرة في الغلاف، فإذا تم الإشارة إلى كليهما، يُستخدم f1 ، وإذا تم استخدام أحدهما فقط، فيُكتب أحدهما بخط عادي والآخر بخط مائل مثل f1 و f1 . على سبيل المثال، هناك 3 أنواع من الخلايا في الطبقة ذات القوة 5 (الغلاف f ): f1 و f1 و f2 . يتم استخدام f1 إذا تم استخدام f1 و f1 فقط.

يُسمى الشكل النجمي الذي يتكون من غلاف كامل وجميع الخلايا الداخلية باسم الغلاف الخارجي، بحرف كبير، على سبيل المثال B لـ A + b و De1 لـ A + b + c + d + e1 . أي تركيبة من الخلايا تُشكل مجسمًا نجميًا عشريني الوجوه، باستثناء الشرطين الأخيرين من شروط ميلر (انظر أعلاه) اللذين يستبعدان العديد من التركيبات.

وبهذا المخطط، اختبر دو فال جميع التركيبات الممكنة مقابل قواعد ميلر، مؤكداً نتيجة نهج كوكسيتر.

فلاتر

كانت مساهمة فلاثر غير مباشرة: فقد صنع نماذج ورقية لجميع الأشكال النجمية التسعة والخمسين. عندما التقى كوكسيتر لأول مرة، كان قد صنع بالفعل العديد من الأشكال النجمية، بما في ذلك بعض الأمثلة "غير المنسوبة إلى ميلر". ثم أكمل سلسلة الأشكال التسعة والخمسين، المحفوظة في مكتبة الرياضيات بجامعة كامبريدج، إنجلترا. تضم المكتبة أيضًا بعض النماذج غير المنسوبة إلى ميلر، ولكن من غير المعروف ما إذا كان فلاثر هو من صنعها أم طلاب ميلر اللاحقون. [ 8 ]

بيتري

كان جون فليندرز بيتري صديقًا حميمًا لكوكسيتر طوال حياته، وكان يتمتع بقدرة مذهلة على تصور الهندسة رباعية الأبعاد. وقد تعاون هو وكوكسيتر في حل العديد من المسائل الرياضية. وكانت مساهمته المباشرة في المجسمات العشرين الوجوه التسعة والخمسين هي مجموعة الرسومات ثلاثية الأبعاد الرائعة التي تُضفي الكثير من السحر على العمل المنشور.

عائلة كرينيل

في الطبعة الثالثة، أعاد كيت وديفيد كرينيل صياغة النص ورسم المخططات من جديد. كما قاما بترقيم المجسمات العشرين السطوح، وأضافا قسمًا مرجعيًا يحتوي على جداول ومخططات وصور لبعض نماذج كامبريدج (التي كان يُعتقد آنذاك أنها جميعًا من تصميم فلاثر). وقد نُشرت تصحيحات هذه الطبعة على الإنترنت. [ 9 ]

ملاحظات على القائمة

مخطط الخلية باستخدام ترميز دو فال للخلايا

قبل كوكسيتر، لم يسجل سوى بروكينر وويلر مجموعات مهمة من التشكيلات النجمية، على الرغم من أن بعضها ، مثل المجسم العشري الوجوه الكبير، كان معروفًا منذ فترة أطول. منذ نشر كتاب "الـ 59" ، نشر وينينجر تعليمات حول صنع نماذج للعديد من المجسمات متعددة الوجوه، بعضها تشكيلات نجمية للمجسمات العشرية الوجوه؛ وأصبح نظام الترقيم المستخدم في كتابه مرجعًا شائعًا، على الرغم من أنه لم يسجل سوى عدد قليل من تشكيلات المجسمات العشرية الوجوه.

فِهرِس

  • أُضيف ترقيم الفهرس إلى الطبعة الثالثة بواسطة عائلة كرينيل، حيث تمثل الأشكال العشرية الوجوه الـ 32 الأولى (الفهارس من 1 إلى 32) نماذج عاكسة ، بينما تمثل الأشكال الكيرالية الـ 27 الأخيرة (الفهارس من 33 إلى 59)، مع إدراج الأشكال اليمنى فقط. ويتبع هذا الفهرس ترتيب ظهور النجوم في الكتاب (جميع الطبعات).

الخلايا

  • في تدوين دو فال (انظر أعلاه)، يُشار إلى كل غلاف بخط غامق، بدءًا من الخارج، بالأحرف a ، b ، c ، ...، h ، حيث يُمثل a المجسم العشري الوجوه الأصلي. تنقسم بعض الأغلفة إلى نوعين من الخلايا، على سبيل المثال ، يتألف e من e1 و e2 . وتنقسم المجموعة f1 بدورها إلى شكلين: يميني ويساري، وهما f1 ( خط عادي) و f1 (خط مائل) على التوالي. عندما تحتوي النجمة على جميع الخلايا الموجودة داخل غلاف خارجي، يُكتب اسم الغلاف الخارجي بحرف كبير ويُحذف اسم الغلاف الداخلي، على سبيل المثال، يُكتب a + b + c + e1 على النحو التالي : Ce1 .
مخطط كوكبة بمجموعات وجوه مرقمة

وجوه

  • يمكن تحديد جميع التشكيلات النجمية بواسطة مخطط التشكيل النجمي . في المخطط الموضح هنا، تشير الألوان المرقمة إلى مناطق مخطط التشكيل النجمي التي يجب أن تظهر معًا كمجموعة واحدة، للحفاظ على التناظر العشري الوجوه الكامل . يحتوي المخطط على 13 مجموعة من هذا النوع. بعض هذه المجموعات ينقسم إلى أزواج حلزونية (غير موضحة)، مما يسمح بتشكيلات نجمية ذات تناظر دوراني ولكن ليس انعكاسي . في الجدول، تُشار إلى الأوجه التي تُرى من الأسفل (من مركز التشكيل النجمي) بعلامة اقتباس مفردة، على سبيل المثال 3 ' .

وينينجر

  • قام ناشر وينينجر بتخصيص أرقام الفهرس والأسماء المرقمة بشكل عشوائي وفقًا لتكرارها في كتابه " نماذج متعددة الأوجه" ، ولا ترتبط بأي تسلسل رياضي. عدد قليل فقط من نماذجه كانت من نوع المجسمات العشرين وجهًا. وقد وردت أسماؤه بصيغة مختصرة، حيث حُذفت عبارة "... من المجسم العشرين وجهًا".

ويلر

  • إن أرقام وأسماء المجسمات العشرية الوجوه لـ ويلر (والتي لم تكن بأي حال من الأحوال تهدف إلى أن تكون حصرًا كاملاً) مأخوذة من المحاضرة التي ألقاها كمتحدث مدعو في المؤتمر الدولي للرياضيات عام 1924 في تورنتو. [ 5 ]

بروكينر

  • صنع ماكس بروكينر نماذج للعديد من المجسمات متعددة الأوجه وصورها، ولم يكن من بينها سوى عدد قليل من المجسمات العشرين وجهاً. Taf. هو اختصار لكلمة Tafel ، وهي كلمة ألمانية تعني " صفيحة" .

ملاحظات

قائمة الأشكال العشرين الوجوه التسعة والخمسين

تم تحديد العديد من الفئات الأكثر تقييدًا من المجسمات النجمية، وبعضها يسهل التعرف عليه:

  • المجموعات النجمية الرئيسية هي المجموعات النجمية التي يتكون اسمها من حرف كبير واحد من A إلى H (بما في ذلك H ).
  • التشكيلات المدعومة بالكامل : هي التشكيلات التي لا تحتوي على نتوءات، ويمكن رؤية جميع الأجزاء المرئية من الوجه من نفس الجانب. هذه هي التشكيلات التي لا يحتوي فيها عمود الوجوه على أي وجه به فاصلة عليا، على سبيل المثال 3 ' .

المجسم الوحيد من نوع كبلر-بوانسو في القائمة هو المجسم العشري الوجوه العظيم G.

إن المجسم النجمي العظيم ذو الاثني عشر وجهاً هو مجسم نجمي ذو عشرين وجهاً، ولكن المجسمات النجمية ذات العشرين وجهاً فقط هي الموجودة في القائمة، وبالتالي فهو غير مدرج في القائمة.

توضح بعض الصور شكل المجسم العشري الوجوه المعكوس مع الخلية f 1 بدلاً من الخلية f 1 .

النقاش اللاحق

وقد دار نقاش لاحق حول قواعد ميلر، حيث شكك فيها بعض الكتّاب. وقد صنع فلاثر نفسه نماذج "غير تابعة لقواعد ميلر" وعرضها. [ 10 ] وحصل بريدج (1974) على أشكال نجمية للمجسم ذي العشرين وجهًا من خلال مضاعفة أوجه المجسم ذي الاثني عشر وجهًا، مشيرًا إلى أهمية البنية الداخلية في التمييز بين الأشكال النجمية التي تعتبرها قواعد ميلر متطابقة. [ 11 ] واعتمد هدسون وكينغستون (1988) مجموعة قواعد مختصرة. [ 12 ] وأشار إنشبالد إلى شكلين نجميين غير تابعين لقواعد ميلر، ثم ناقش قضايا مختلفة ذات صلة. [ 13 ] [ 14 ]

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ كرومويل (1997)
  2. ↑ Über die zugleich gleicheckigen und gleichflächigen Polyeder. في: Sitzungsberichte der Gesellschaft zur Beförderung der gesamten Naturwissenschaften zu Marburg (1876).
  3. ^ إدموند هيس (1883). Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder (باللغة الألمانية). تيوبنر.
  4. ↑ بروكينر (1900)
  5. 1 2 Wheeler (1924)
  6. ↑ روبرتس، ديفيد ل. (1996). "ألبرت هاري ويلر (1873-1950): دراسة حالة في تصنيف النشاط الرياضي الأمريكي" (ملف PDF) . مجلة التاريخ الرياضي . 23 (3): 269-287 . doi : 10.1006/hmat.1996.0028 .
  7. ^ كوكستر، دو فال، وآخرون (الطبعة الثالثة 1999) الصفحات 15-16.
  8. ^ إنشبالد، ج. بعض النجوم المفقودة من المجسمات العشرينية ، Steelpillow.com، 11 يوليو 2006.(تم الاطلاع عليه بتاريخ 14 سبتمبر 2017)]
  9. ↑ ك. ود. كرينيل؛ المجسمات العشرية الوجوه التسعة والخمسون ، أصدقاء فورتران،(تم الاطلاع عليه بتاريخ 14 سبتمبر 2017).
  10. ^ طبعة تاركوين (1999)، ص 9.
  11. ↑ بريدج، جيمس؛ "تقسيم المجسم ذي الاثني عشر وجهًا"، أكتا كريستالوغرافيكا . المجلد A30 (1974). الصفحات 548-552.
  12. ↑ Hudson, JL and Kingston, JG; “Stellating Polyhedra”, Mathematical Intelligencer , Vol 10, No 3, 1988. pp.50-61.
  13. ↑ إنشبالد، ج. "بحثًا عن المجسمات العشرية المفقودة"، المجلة الرياضية ، المجلد 86، العدد 506، يوليو 2002. ص 208-215.
  14. ↑ إنشبالد، ج. "نحو تشكيل النجمة على شكل عشروني الوجوه وتشكيل أوجه على شكل اثني عشري الوجوه"، التناظر: الثقافة والعلم ، المجلد 11، الأعداد 1-4، 2000. ص 269-291.

مراجع