متعدد السطوح المزدوج المنتظم

المجسم المنتظم المزدوج هو المجسم المزدوج للمجسم المنتظم . وبما أن المجسم المنتظم يكون متعديًا على الرؤوس ، فإن المجسم المنتظم المزدوج يكون متعديًا على الأوجه .

تتألف المجسمات متعددة الأوجه المتعدية على الوجوه من مجموعة من 9 مجسمات منتظمة، ومجموعتين منتهيتين تضم كل منهما 66 مجسمًا غير منتظم، ومجموعتين غير منتهيتين:

• خمسة مجسمات أفلاطونية منتظمة محدبة : رباعي الأوجه المنتظم ، المكعب ، ثماني الأوجه المنتظم ، اثنا عشري الأوجه المنتظم ، وعشروني الأوجه المنتظم . ثماني الأوجه المنتظم ثنائي للمكعب، وعشروني الأوجه المنتظم ثنائي لاثني عشري الأوجه المنتظم. رباعي الأوجه المنتظم ثنائي ذاتي ، أي أن ثنائيته هي رباعي الأوجه المنتظم نفسه. ^{[ 1 ]}
• أربعة مجسمات كبلر-بوانسو النجمية المنتظمة : المجسم الاثنا عشري الكبير ، والمجسم الاثنا عشري النجمي الصغير ، والمجسم العشري الكبير ، والمجسم الاثنا عشري النجمي الكبير . المجسم الاثنا عشري الكبير ثنائي للمجسم الاثنا عشري النجمي الصغير، والمجسم العشري الكبير ثنائي للمجسم الاثنا عشري النجمي الكبير.
• 13 مجسمًا محدبًا من نوع كاتالان ، وهي مجسمات ثنائية للمجسمات المحدبة المنتظمة من نوع أرخميدس .
• 53 متعددات السطوح النجمية، وهي ثنائية لمتعددات السطوح النجمية المنتظمة .
• السلسلة اللانهائية من الأهرامات الثنائية، والتي تعتبر ثنائية للموشورات المنتظمة ، سواء كانت محدبة أو نجمية.
• السلسلة اللانهائية من الأشكال شبه المنحرفة ، والتي هي ثنائية للموشورات المضادة المنتظمة ، سواء كانت محدبة أو نجمية.

تم وصف المجموعة الكاملة من قبل وينينجر، بالإضافة إلى تعليمات بناء النماذج، في كتابه " النماذج المزدوجة" .

بالنسبة للمجسم متعدد السطوح المنتظم ، يمكن اشتقاق كل وجه من أوجه المجسم الثنائي من شكل الرأس المقابل للمجسم الأصلي باستخدام بناء دورمان لوك . ^{[ 2 ]} يتم بناء دورمان لوك على النحو التالي:

1. حدد النقاط A و B و C و D لكل حافة متصلة بالرأس V (في هذه الحالة، نقاط المنتصف) بحيث يكون VA = VB = VC = VD .
2. ارسم شكل الرؤوس ABCD .
3. ارسم الدائرة المحيطة بالشكل ABCD .
4. ارسم الخط المماس للدائرة المحيطة عند كل زاوية من الزوايا A و B و C و D.
5. حدد النقاط E و F و G و H ، حيث يلتقي كل خطين مماسين متجاورين.

تم رسم القطع المستقيمة EF و FG و GH و HE مسبقًا، كجزء من خطوط المماس. المضلع EFGH هو وجه المجسم الثنائي الذي يقابل الرأس الأصلي V.

في هذا المثال، تم اختيار حجم شكل الرأس بحيث تقع دائرته المحيطة على الكرة الداخلية للمكعب الثماني الأوجه، والتي تصبح بدورها الكرة الداخلية للمكعب الاثني عشري المعيني المزدوج. لا يمكن استخدام طريقة دورمان لوك إلا عندما يكون للمجسم متعدد الأوجه كرة داخلية كهذه بحيث يكون لشكل الرأس دائرة محيطة. على سبيل المثال، يمكن تطبيقها على المجسمات متعددة الأوجه المنتظمة .

• قائمة المجسمات المنتظمة

• كندي، إتش. مارتن ؛ روليت، إيه بي (1961)، النماذج الرياضية (الطبعة الثانية  )، أكسفورد: مطبعة كلارندون، MR 0124167 .
• جايليوناس، ب.؛ شارب، ج. (2005)، "ازدواجية المجسمات"، المجلة الدولية للتعليم الرياضي في العلوم والتكنولوجيا ، 36 (6): 617-642 ، doi : 10.1080/00207390500064049 ، S2CID 120818796 .
• هيرمان، ديان ل.؛ سالي، بول ج. (2013). العدد والشكل والتناظر: مقدمة في نظرية الأعداد والهندسة ونظرية الزمر . مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-1-4665-5464-1.
• وينينجر، ماغنوس (1974). نماذج متعددة السطوح . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-09859-9.
• وينينجر، ماغنوس (1983). النماذج الثنائية . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-54325-8.