تحليل الزمن والتردد

توجد عدة طرق مختلفة لصياغة دالة توزيع زمني-ترددي صحيحة، مما ينتج عنه العديد من التوزيعات الزمنية-الترددية المعروفة، مثل:

• تحويل فورييه قصير المدى (بما في ذلك تحويل غابور )،
• تحويل المويجات ،
• دالة التوزيع الزمني-الترددي ثنائية الخطية ( دالة توزيع ويغنر ، أو WDF)،
• دالة توزيع ويغنر المعدلة ، دالة توزيع غابور-ويغنر، وما إلى ذلك (انظر تحويل غابور-ويغنر ).
• تحويل هيلبرت-هوانغ

يمكن العثور على مزيد من المعلومات حول تاريخ ودوافع تطوير توزيع التردد الزمني في مدخل تمثيل التردد الزمني .

تتمتع دالة التوزيع الزمني الترددي المثالية بالخصائص التالية:

1. دقة عالية في كل من الوقت والتردد، لتسهيل تحليلها وتفسيرها.
2. لا يوجد مصطلح متقاطع لتجنب الخلط بين المكونات الحقيقية والقطع الأثرية أو الضوضاء.
3. قائمة بالخصائص الرياضية المرغوبة لضمان استفادة التطبيقات العملية من هذه الأساليب.
4. يؤدي انخفاض التعقيد الحسابي لضمان الوقت اللازم لتمثيل ومعالجة الإشارة على مستوى التردد الزمني إلى إمكانية التنفيذ في الوقت الحقيقي.

فيما يلي مقارنة موجزة لبعض دوال التوزيع الزمني الترددي المختارة. ^{[ 4 ]}

لتحليل الإشارات بدقة، يُعد اختيار دالة توزيع مناسبة للزمن والتردد أمرًا بالغ الأهمية. ويعتمد اختيار دالة التوزيع المناسبة على التطبيق المُراد دراسته، كما يتضح من مراجعة قائمة التطبيقات. ^{[ 5 ]} تُعزى الوضوح العالي لدالة توزيع ويغنر (WDF) المُستخلصة لبعض الإشارات إلى دالة الارتباط الذاتي المُتأصلة في صياغتها؛ إلا أن هذه الدالة تُسبب أيضًا مشكلة الحدود المتداخلة. لذا، إذا أردنا تحليل إشارة أحادية الحد، فقد يكون استخدام دالة توزيع ويغنر هو الأسلوب الأمثل؛ أما إذا كانت الإشارة مُكوّنة من عدة عناصر، فقد تكون بعض الطرق الأخرى، مثل تحويل غابور، أو توزيع غابور-ويغنر، أو دوال توزيع B المُعدّلة، خيارات أفضل.

على سبيل المثال، لا تستطيع المقادير الناتجة عن تحليل فورييه غير الموضعي التمييز بين الإشارات:

${\displaystyle x_{1}(t)={\begin{cases}\cos(\pi t);&t<10\\\cos(3\pi t);&10\leq t<20\\\cos(2\pi t);&t>20\end{cases}}}$

${\displaystyle x_{2}(t)={\begin{cases}\cos(\pi t);&t<10\\\cos(2\pi t);&10\leq t<20\\\cos(3\pi t);&t>20\end{cases}}}$

لكن تحليل التردد الزمني يمكنه ذلك.

• دالة التغاير الذاتي (ACF)${\displaystyle R_{x}(t,\tau )}$

${\displaystyle R_{x}(t,\tau )=E[x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)]}$

في العادة، نفترض أن${\displaystyle E[x(t)]=0}$لأي قيمة لـ t،

${\displaystyle E[x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)]}$

${\displaystyle =\iint x(t+\tau /2,\xi _{1})x^{*}(t-\tau /2,\xi _{2})P(\xi _{1},\xi _{2})d\xi _{1}d\xi _{2}}$

(تعريف بديل لدالة التغاير الذاتي)

${\displaystyle {\overset {\land }{R_{x}}}(t,\tau )=E[x(t)x(t+\tau )]}$

• كثافة القدرة الطيفية (PSD)${\displaystyle S_{x}(t,f)}$

${\displaystyle S_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }R_{x}(t,\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau }$

• العلاقة بين دالة توزيع ويغنر (WDF) وكثافة القدرة الطيفية (PSD)

${\displaystyle E[W_{x}(t,f)]=\int _{-\infty }^{\infty }E[x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)]\cdot e^{-j2\pi f\tau }\cdot d\tau }$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }R_{x}(t,\tau )\cdot e^{-j2\pi f\tau }\cdot d\tau }$${\displaystyle =S_{x}(t,f)}$

• العلاقة بين دالة الغموض ودالة الارتباط الذاتي

${\displaystyle E[A_{X}(\eta ,\tau )]=\int _{-\infty }^{\infty }E[x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)]e^{-j2\pi t\eta }dt}$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }R_{x}(t,\tau )e^{-j2\pi t\eta }dt}$

• العملية العشوائية الثابتة : لا تتغير خصائصها الإحصائية مع الزمن t. دالة التغاير الذاتي الخاصة بها:

${\displaystyle R_{x}(t_{1},\tau )=R_{x}(t_{2},\tau )=R_{x}(\tau )}$ لأي${\displaystyle t}$، لذلك، ${\displaystyle R_{x}(\tau )=E[x(\tau /2)x^{*}(-\tau /2)]}$${\displaystyle =\iint x(\tau /2,\xi _{1})x^{*}(-\tau /2,\xi _{2})P(\xi _{1},\xi _{2})d\xi _{1}d\xi _{2}}$PSD، ${\displaystyle S_{x}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }R_{x}(\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau }$الضوضاء البيضاء:

${\displaystyle S_{x}(f)=\sigma }$ ، أين${\displaystyle \sigma }$هو ثابت ما.

• عندما تكون x(t) ثابتة،

${\displaystyle E[W_{x}(t,f)]=S_{x}(f)}$ ، (ثابت مع${\displaystyle t}$)

${\displaystyle E[A_{x}(\eta ,\tau )]=\int _{-\infty }^{\infty }R_{x}(\tau )\cdot e^{-j2\pi t\eta }\cdot dt}$${\displaystyle =R_{x}(\tau )\int _{-\infty }^{\infty }e^{-j2\pi t\eta }\cdot dt}$${\displaystyle =R_{x}(\tau )\delta (\eta )}$ ، (غير صفري فقط عندما${\displaystyle \eta =0}$)

• بالنسبة للضوضاء البيضاء المضافة (AWN)،

${\displaystyle E[W_{g}(t,f)]=\sigma }$

${\displaystyle E[A_{x}(\eta ,\tau )]=\sigma \delta (\tau )\delta (\eta )}$

• تصميم مرشح لإشارة في ضوضاء بيضاء مضافة

${\displaystyle E_{x}}$طاقة الإشارة

${\displaystyle A}$ : مساحة التوزيع الزمني الترددي للإشارة

كثافة القدرة الطيفية للضوضاء البيضاء هي${\displaystyle S_{n}(f)=\sigma }$

${\displaystyle SNR\approx 10\log _{10}{\frac {E_{x}}{\iint \limits _{(t,f)\in {\text{signal part}}}S_{x}(t,f)dtdf}}}$

${\displaystyle SNR\approx 10\log _{10}{\frac {E_{x}}{\sigma \mathrm {A} }}}$

• لو${\displaystyle E[W_{x}(t,f)]}$يختلف بـ${\displaystyle t}$و${\displaystyle E[A_{x}(\eta ,\tau )]}$تكون غير صفرية عندما${\displaystyle \eta =0}$، ثم${\displaystyle x(t)}$هي عملية عشوائية غير مستقرة.
• لو
  1. ${\displaystyle h(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)+x_{3}(t)+......+x_{k}(t)}$
  2. ${\displaystyle x_{n}(t)}$متوسط ​​جميع القيم يساوي صفرًا${\displaystyle t}$'s
  3. ${\displaystyle x_{n}(t)}$جميعها مستقلة عن بعضها البعض.${\displaystyle t}$'رمل${\displaystyle \tau }$'s

ثم:

${\displaystyle E[x_{m}(t+\tau /2)x_{n}^{*}(t-\tau /2)]=E[x_{m}(t+\tau /2)]E[x_{n}^{*}(t-\tau /2)]=0}$

• لو${\displaystyle m\neq n}$، ثم

${\displaystyle E[W_{h}(t,f)]=\sum _{n=1}^{k}E[W_{x_{n}}(t,f)]}$

${\displaystyle E[A_{h}(\eta ,\tau )]=\sum _{n=1}^{k}E[A_{x_{n}}(\eta ,\tau )]}$

• عملية عشوائية لتحويل فورييه قصير المدى (STFT)

${\displaystyle E[x(t)]\neq 0}$ ينبغي استيفاء هذا الشرط. وإلا، ${\displaystyle E[X(t,f)]=E[\int _{t-B}^{t+B}x(\tau )w(t-\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau ]}$${\displaystyle =\int _{t-B}^{t+B}E[x(\tau )]w(t-\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau }$بالنسبة للعملية العشوائية ذات المتوسط ​​الصفري،${\displaystyle E[X(t,f)]=0}$

• يمكن تحليل أي عملية عشوائية غير مستقرة باستخدام تحويل فورييه الكسري (أو ضرب التردد المتغير) لعملية عشوائية مستقرة.

تعريف التردد اللحظي هو معدل تغير الطور مع الزمن، أو

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}{\frac {d}{dt}}\phi (t),}$

أين${\displaystyle \phi (t)}$هي الطور اللحظي للإشارة. يمكننا معرفة التردد اللحظي مباشرةً من مستوى الزمن-التردد إذا كانت الصورة واضحة بما يكفي. ولأن الوضوح العالي أمر بالغ الأهمية، فإننا نستخدم غالبًا دالة WDF لتحليلها.

يهدف تصميم المرشحات إلى إزالة المكونات غير المرغوب فيها من الإشارة. عادةً، يمكننا تطبيق الترشيح في المجال الزمني أو في المجال الترددي بشكل منفصل كما هو موضح أدناه.

لا تُجدي طرق الترشيح المذكورة أعلاه نفعًا مع جميع الإشارات التي قد تتداخل في المجال الزمني أو الترددي. باستخدام دالة توزيع الزمن-التردد، يُمكننا الترشيح في المجال الزمني-الترددي الإقليدي أو في المجال الكسري باستخدام تحويل فورييه الكسري . يوضح المثال التالي ذلك.

يتعامل تصميم المرشحات في تحليل الزمن والتردد دائمًا مع إشارات تتكون من مكونات متعددة، لذا لا يمكن استخدام دالة توزيع ويغنر (WDF) بسبب وجود حدود متداخلة. قد تكون تحويلات غابور، أو دالة توزيع غابور-ويغنر، أو دالة توزيع كوهين الفئوية خيارات أفضل.

يرتبط مفهوم تحليل الإشارة بالحاجة إلى فصل أحد مكونات الإشارة عن المكونات الأخرى؛ ويمكن تحقيق ذلك من خلال عملية ترشيح تتطلب مرحلة تصميم مرشح. يُجرى هذا الترشيح عادةً في المجال الزمني أو المجال الترددي؛ إلا أن ذلك قد لا يكون ممكنًا في حالة الإشارات غير المستقرة متعددة المكونات، حيث قد تتداخل هذه المكونات في كل من المجال الزمني والمجال الترددي؛ ونتيجةً لذلك، فإن الطريقة الوحيدة الممكنة لتحقيق فصل المكونات، وبالتالي تحليل الإشارة، هي استخدام مرشح زمني-ترددي.

باستخدام نظرية نايكويست-شانون لأخذ العينات ، نستنتج أن الحد الأدنى لعدد نقاط أخذ العينات دون حدوث تشويه مكافئ لمساحة توزيع الزمن-التردد للإشارة. (هذا في الواقع مجرد تقريب، لأن مساحة توزيع الزمن-التردد لأي إشارة لانهائية). فيما يلي مثال قبل وبعد دمج نظرية أخذ العينات مع توزيع الزمن-التردد:

من الملاحظ أن عدد نقاط أخذ العينات يتناقص بعد تطبيق توزيع التردد الزمني.

عند استخدام تحويل WDF، قد تظهر مشكلة التداخل (أو ما يُعرف بالتداخل). في المقابل، يُحسّن استخدام تحويل غابور من وضوح التمثيل وسهولة قراءته، مما يُسهّل تفسيره وتطبيقه على المشكلات العملية.

وبالتالي، عندما تتكون الإشارة التي نميل إلى أخذ عينات منها من مكون واحد، فإننا نستخدم WDF؛ ومع ذلك، إذا كانت الإشارة تتكون من أكثر من مكون واحد، فإن استخدام تحويل غابور، أو دالة توزيع غابور-ويغنر، أو دوال توزيع زمن الرحلة الأخرى ذات التداخل المنخفض قد يحقق نتائج أفضل.

تُضفي نظرية باليان -لو الطابع الرسمي على هذا، وتوفر حدًا أدنى لعدد عينات التردد الزمني المطلوبة.

تقليديًا، تتركز عمليات التضمين والدمج في الزمن أو التردد بشكل منفصل. ولكن بالاستفادة من توزيع الزمن والتردد، يمكننا جعل التضمين والدمج أكثر كفاءة. كل ما علينا فعله هو ملء مستوى الزمن والتردد. نعرض مثالًا على ذلك أدناه.

كما هو موضح في المثال أعلاه، فإن استخدام WDF ليس ذكيًا لأن مشكلة الحدود المتقاطعة الخطيرة تجعل من الصعب تعدد الإرسال والتضمين.

يمكننا تمثيل الموجة الكهرومغناطيسية على شكل مصفوفة 2 × 1

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},}$

وهو مشابه لمستوى الزمن والتردد. عندما تنتشر الموجة الكهرومغناطيسية عبر الفضاء الحر، يحدث حيود فرينل . يمكننا التعامل مع مصفوفة 2×1.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$

باستخدام LCT مع مصفوفة المعلمات

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&\lambda z\\0&1\end{bmatrix}},}$

حيث z هي مسافة الانتشار و${\displaystyle \lambda }$يمثل الطول الموجي. عندما تمر الموجة الكهرومغناطيسية عبر عدسة كروية أو تنعكس بواسطة قرص، يجب أن تكون مصفوفة المعاملات

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\-{\frac {1}{\lambda f}}&1\end{bmatrix}}}$

و

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {1}{\lambda R}}&1\end{bmatrix}}}$

على التوالي، حيث ƒ هي البعد البؤري للعدسة و R هو نصف قطر القرص. ويمكن الحصول على هذه النتائج المقابلة من

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}.}$

الضوء عبارة عن موجة كهرومغناطيسية، لذا فإن تحليل التردد الزمني ينطبق على البصريات بنفس الطريقة التي ينطبق بها على انتشار الموجات الكهرومغناطيسية العامة.

وبالمثل، فإن من خصائص الإشارات الصوتية أن مكونات ترددها تخضع لتغيرات مفاجئة في الوقت، وبالتالي لن يتم تمثيلها بشكل جيد من خلال تحليل مكون تردد واحد يغطي مدتها بالكامل.

بما أن الإشارات الصوتية تستخدم كالكلام في التواصل بين المرسل والمستقبل البشري، فإن نقلها دون تأخير في أنظمة الاتصالات التقنية أمر بالغ الأهمية، مما يجعل استخدام تحويلات التردد الزمني الأبسط، مثل تحويل غابور، مناسبًا لتحليل هذه الإشارات في الوقت الحقيقي عن طريق تقليل التعقيد الحسابي.

إذا لم تكن سرعة تحليل التردد عائقًا، فينبغي إجراء مقارنة تفصيلية للخصائص بمعايير محددة جيدًا قبل اختيار توزيع زمني-ترددي معين. وثمة نهج آخر يتمثل في تعريف توزيع زمني-ترددي يعتمد على الإشارة ويتكيف مع البيانات. في الطب الحيوي، يمكن استخدام التوزيع الزمني-الترددي لتحليل تخطيط كهربية العضل (EMG)، وتخطيط كهربية الدماغ (EEG)، وتخطيط كهربية القلب (ECG)، أو الانبعاثات الصوتية الأذنية (OAEs).