تحويل الموجات

في الرياضيات ، سلسلة الموجات هي تمثيل لدالة قابلة للتكامل التربيعي ( قيمة حقيقية أو مركبة ) بواسطة سلسلة متعامدة عمودية معينة يتم إنشاؤها بواسطة موجة . تقدم هذه المقالة تعريفًا رسميًا رياضيًا للموجة المتعامدة العمودية وتحويل الموجة التكاملي . ^{[1] [2] [3] [4] [5]}

تُسمى الدالة موجة متعامدة عمودية إذا كان من الممكن استخدامها لتحديد أساس هيلبرت ، أي نظام متعامد عمودي كامل ، لفضاء هيلبرت للوظائف المربعة القابلة للتكامل . ${\displaystyle \psi \,\in \,L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}\left(\mathbb {R} \right)}$

تم إنشاء أساس هيلبرت كعائلة من الوظائف عن طريق الترجمات الثنائية والتوسعات لـ ،${\displaystyle \{\psi _{jk}:\,j,\,k\,\in \,\mathbb {Z} \}}$ ${\displaystyle \psi \,}$

${\displaystyle \psi _{jk}(x)=2^{\frac {j}{2}}\psi \left(2^{j}xk\right)\,}$

للأعداد الصحيحة . ${\displaystyle j,\,k\,\in \,\mathbb {Z} }$

إذا كان تحت المنتج الداخلي القياسي على ، ${\displaystyle L^{2}\left(\mathbb {R} \right)}$

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-\infty}^{\infty}f(x){\overline {g(x)}}dx}$

هذه العائلة متعامدة بشكل عمودي، إنها نظام متعامد بشكل عمودي:

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \psi _{jk},\psi _{lm}\rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{jk}(x){\overline {\psi _{lm}(x)}}dx\\&=\delta _{jl}\delta _{km}\end{aligned}}}$

أين دلتا كرونيكر ؟ ${\displaystyle \delta _{jl}\,}$

يتم تحقيق الاكتمال إذا كان من الممكن توسيع كل وظيفة في الأساس كما يلي: ${\displaystyle f\,\in \,L^{2}\left(\mathbb {R} \right)}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{j,k=-\infty }^{\infty }c_{jk}\psi _{jk}(x)}$

مع تقارب السلسلة المفهوم على أنه تقارب في القاعدة . يُعرف مثل هذا التمثيل لـ f باسم سلسلة الموجات . وهذا يعني أن الموجة المتعامدة العمودية مزدوجة ذاتيًا .

تحويل الموجة التكاملي هو التحويل التكاملي الذي يتم تعريفه على أنه

${\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {|a|}}}\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {\psi \left({\frac {x-b}{a}}\right)}}f(x)dx\,}$

يتم بعد ذلك إعطاء معاملات الموجة بواسطة${\displaystyle c_{jk}}$

${\displaystyle c_{jk}=\left[W_{\psi }f\right]\left(2^{-j},k2^{-j}\right)}$

هنا يسمى التمدد الثنائي أو التمدد الثنائي ، وهو الموضع الثنائي أو الثنائي . ${\displaystyle a=2^{-j}}$${\displaystyle b=k2^{-j}}$

الفكرة الأساسية لتحويلات الموجات هي أن التحويل يجب أن يسمح فقط بالتغييرات في امتداد الوقت، ولكن ليس الشكل، مما يفرض قيدًا على اختيار وظائف الأساس المناسبة. ومن المتوقع أن تتوافق التغييرات في امتداد الوقت مع تردد التحليل المقابل لوظيفة الأساس. بناءً على مبدأ عدم اليقين في معالجة الإشارة،

${\displaystyle \Delta t\Delta \omega \geq {\frac {1}{2}}}$

حيث يمثل الزمن والتردد الزاوي ( ، حيث هو التردد العادي ). ${\displaystyle t}$${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega =2\pi f}$${\displaystyle f}$

كلما زادت الدقة المطلوبة في الوقت، كلما كان لزامًا أن تكون الدقة في التردد أقل. وكلما تم اختيار امتداد أكبر لنوافذ التحليل ، كلما كانت قيمة . أكبر.${\displaystyle \Delta t}$

عندما يكون كبيرا، ${\displaystyle \Delta t}$

1. قرار الوقت سيئ
2. دقة تردد جيدة
3. تردد منخفض وعامل قياس كبير

عندما يكون صغيرا ${\displaystyle \Delta t}$

1. قرار الوقت المناسب
2. دقة التردد سيئة
3. تردد عالي وعامل قياس صغير

بعبارة أخرى، يمكن اعتبار الدالة الأساسية استجابة نبضية لنظام تمت تصفية الدالة به. توفر الإشارة المحولة معلومات حول الوقت والتردد. لذلك، يحتوي تحويل الموجات على معلومات مماثلة لتحويل فورييه قصير المدى ، ولكن مع خصائص خاصة إضافية للموجات، والتي تظهر بدقة في الوقت عند ترددات تحليل أعلى للدالة الأساسية. يظهر أدناه الفرق في دقة الوقت عند الترددات الصاعدة لتحويل فورييه وتحويل الموجات. ومع ذلك، لاحظ أن دقة التردد تتناقص مع زيادة الترددات بينما تزداد الدقة الزمنية. لا يتم عرض هذه النتيجة لمبدأ عدم اليقين فورييه بشكل صحيح في الشكل. ${\displaystyle \psi }$${\displaystyle x(t)}$

يوضح هذا أن تحويل الموجات جيد في دقة الوقت للترددات العالية، بينما بالنسبة للوظائف المتغيرة ببطء، فإن دقة التردد رائعة.

مثال آخر: تحليل ثلاث إشارات جيبية متراكبة باستخدام تحويل فورييه قصير المدى وتحويل الموجات. ${\displaystyle y(t)\;=\;\sin(2\pi f_{0}t)\;+\;\sin(4\pi f_{0}t)\;+\;\sin(8\pi f_{0}t)}$

ضغط الموجات هو شكل من أشكال ضغط البيانات مناسب تمامًا لضغط الصور (أحيانًا أيضًا ضغط الفيديو وضغط الصوت ). ومن التطبيقات البارزة JPEG 2000 و DjVu و ECW للصور الثابتة و JPEG XS و CineForm و Dirac من BBC . والهدف هو تخزين بيانات الصورة في أقل مساحة ممكنة في ملف . يمكن أن يكون ضغط الموجات إما بدون فقدان أو مع فقدان . ^[6]

باستخدام تحويل الموجات، تكون طرق ضغط الموجات كافية لتمثيل العناصر العابرة ، مثل أصوات الإيقاع في الصوت، أو المكونات عالية التردد في الصور ثنائية الأبعاد، على سبيل المثال صورة النجوم في سماء الليل. وهذا يعني أنه يمكن تمثيل العناصر العابرة لإشارة البيانات بكمية أقل من المعلومات مما قد يحدث إذا تم استخدام تحويل آخر، مثل تحويل جيب التمام المنفصل الأكثر انتشارًا.

تم تطبيق تحويل الموجات المنفصلة بنجاح لضغط إشارات تخطيط القلب (ECG) ^[7] في هذا العمل، يتم استخدام الارتباط العالي بين معاملات الموجات المقابلة لإشارات الدورات القلبية المتعاقبة باستخدام التنبؤ الخطي.

لا يعد ضغط الموجات فعالاً لجميع أنواع البيانات. يتعامل ضغط الموجات جيدًا مع الإشارات العابرة. ولكن يتم ضغط الإشارات السلسة والدورية بشكل أفضل باستخدام طرق أخرى، وخاصة التحليل التوافقي التقليدي في مجال التردد باستخدام التحويلات المرتبطة بفورييه . يمكن ضغط البيانات التي تحتوي على خصائص عابرة ودورية باستخدام تقنيات هجينة تستخدم الموجات جنبًا إلى جنب مع التحليل التوافقي التقليدي. على سبيل المثال، يستخدم برنامج ترميز الصوت Vorbis بشكل أساسي تحويل جيب التمام المنفصل المعدل لضغط الصوت (الذي يكون سلسًا ودوريًا بشكل عام)، ومع ذلك يسمح بإضافة مجموعة مرشح موجات هجينة لتحسين إعادة إنتاج الإشارات العابرة. ^[8]

راجع مذكرات مطور x264: المشاكل المتعلقة بالموجات (2010) لمناقشة القضايا العملية للطرق الحالية التي تستخدم الموجات لضغط الفيديو.

أولاً، يتم تطبيق تحويل الموجة. وينتج عن هذا عدد من المعاملات يساوي عدد وحدات البكسل في الصورة (أي أنه لا يوجد ضغط حتى الآن لأنه تحويل فقط). ومن ثم يمكن ضغط هذه المعاملات بسهولة أكبر لأن المعلومات مركزة إحصائيًا في عدد قليل من المعاملات. ويسمى هذا المبدأ ترميز التحويل . وبعد ذلك، يتم تحديد المعاملات كميًا وترميز القيم الكمية حسب الإنتروبيا و/أو ترميز طول التشغيل .

تستخدم بعض تطبيقات ضغط الموجات أحادية وثنائية الأبعاد تقنية تسمى "آثار الموجات". ^{[9] [10]}

بالنسبة لمعظم الصور الطبيعية، تكون كثافة طيف التردد المنخفض أعلى. ^[11] ونتيجة لذلك، يتم الاحتفاظ بمعلومات الإشارة ذات التردد المنخفض (الإشارة المرجعية) بشكل عام، بينما يتم تجاهل المعلومات الموجودة في إشارة التفاصيل. من منظور ضغط الصورة وإعادة بنائها، يجب أن تلبي الموجة المعايير التالية أثناء إجراء ضغط الصورة:

• القدرة على تحويل الصورة الأصلية إلى إشارة مرجعية.
• أعلى دقة في إعادة البناء بناءً على إشارة المرجع.
• لا ينبغي أن يؤدي ذلك إلى حدوث آثار جانبية في الصورة التي تم إعادة بنائها من إشارة المرجع وحدها.

يتضمن نظام ضغط الصور الموجية المرشحات والتقليص، لذا يمكن وصفه بنظام تحويل خطي متغير. يظهر الرسم التخطيطي النموذجي لتحويل الموجات أدناه:

يحتوي نظام التحويل على مرشحين للتحليل (مرشح تمرير منخفض ومرشح تمرير عالي )، وعملية تقليل، وعملية استيفاء، ومرشحين للتوليف ( و ). يتضمن نظام الضغط وإعادة البناء بشكل عام مكونات التردد المنخفض، وهي مرشحات التحليل لضغط الصورة ومرشحات التوليف لإعادة البناء. لتقييم مثل هذا النظام، يمكننا إدخال نبضة ومراقبة إعادة بنائها ؛ الموجات المثلى هي تلك التي تجلب الحد الأدنى من تباين التحول والفص الجانبي إلى . على الرغم من أن الموجات ذات تباين التحول الصارم ليست واقعية، فمن الممكن تحديد الموجات ذات تباين التحول الطفيف فقط. على سبيل المثال، يمكننا مقارنة تباين التحول لمرشحين: ^[12]${\displaystyle h_{0}(n)}$${\displaystyle h_{1}(n)}$${\displaystyle g_{0}(n)}$${\displaystyle g_{1}(n)}$${\displaystyle h_{0}(n)}$${\displaystyle g_{0}(n)}$${\displaystyle \delta (n-n_{i})}$${\displaystyle h(n-n_{i})}$${\displaystyle h(n-n_{i})}$

مرشحات ثنائية التعامد لضغط صور الموجات

		طول	معاملات الفلترة	الإنتظام
مرشح الموجات 1	ح0	9	.852699، .377402، -.110624، -.023849، .037828	1.068
	ج0	7	.788486، .418092، -.040689، -.064539	1.701
مرشح الموجات 2	ح0	6	.788486، .047699، -.129078	0.701
	ج0	10	.615051، .133389، -.067237، .006989، .018914	2.068

من خلال مراقبة الاستجابات النبضية للمرشحين، يمكننا أن نستنتج أن المرشح الثاني أقل حساسية لموقع الإدخال (أي أنه أقل تنوعًا في التحول).

هناك قضية أخرى مهمة تتعلق بضغط الصورة وإعادة بنائها، وهي السلوك التذبذبي للنظام، والذي قد يؤدي إلى تشوهات غير مرغوب فيها في الصورة المعاد بناؤها. ولتحقيق هذه الغاية، يجب أن تكون نسبة الذروة إلى الفص الجانبي كبيرة في مرشحات الموجات.

لقد ناقشنا حتى الآن التحويل أحادي البعد لنظام ضغط الصور. ويمكن توسيع هذه المشكلة لتشمل بعدين، في حين تم اقتراح مصطلح أكثر عمومية - التحويلات متعددة المقاييس القابلة للتحويل. ^[13]

كما ذكرنا سابقًا، يمكن استخدام استجابة النبضة لتقييم نظام ضغط الصورة/إعادة بنائها.

بالنسبة لتسلسل الإدخال ، فإن إشارة المرجع بعد مستوى واحد من التحلل تمر عبر التحلل بمقدار اثنين، بينما يكون مرشح تمرير منخفض. وبالمثل، يتم الحصول على إشارة المرجع التالية من خلال التحلل بمقدار اثنين. بعد مستويات L من التحلل (والتحلل)، يتم الحصول على استجابة التحليل عن طريق الاحتفاظ بعينة واحدة من كل العينات: . ${\displaystyle x(n)=\delta (n-n_{i})}$${\displaystyle r_{1}(n)}$${\displaystyle x(n)*h_{0}(n)}$${\displaystyle h_{0}(n)}$${\displaystyle r_{2}(n)}$${\displaystyle r_{1}(n)*h_{0}(n)}$${\displaystyle 2^{L}}$${\displaystyle h_{A}^{(L)}(n,n_{i})=f_{h0}^{(L)}(n-n_{i}/2^{L})}$

من ناحية أخرى، لإعادة بناء الإشارة x(n)، يمكننا اعتبار إشارة مرجعية . إذا كانت إشارات التفاصيل تساوي صفرًا لـ ، فإن إشارة المرجع في المرحلة السابقة ( المرحلة) هي ، والتي يتم الحصول عليها عن طريق الاستيفاء والالتواء مع . وبالمثل، يتم تكرار الإجراء للحصول على إشارة مرجعية في المرحلة . بعد تكرارات L، يتم حساب استجابة نبضة التوليف: ، والتي تربط بين إشارة المرجع والإشارة المعاد بناؤها. ${\displaystyle r_{L}(n)=\delta (n-n_{j})}$${\displaystyle d_{i}(n)}$${\displaystyle 1\leq i\leq L}$${\displaystyle L-1}$${\displaystyle r_{L-1}(n)=g_{0}(n-2n_{j})}$${\displaystyle r_{L}(n)}$${\displaystyle g_{0}(n)}$${\displaystyle r(n)}$${\displaystyle L-2,L-3,....,1}$${\displaystyle h_{s}^{(L)}(n,n_{i})=f_{g0}^{(L)}(n/2^{L}-n_{j})}$${\displaystyle r_{L}(n)}$

للحصول على نظام التحليل/التوليف الشامل على مستوى L، يتم دمج استجابات التحليل والتوليف على النحو التالي:

${\displaystyle h_{AS}^{(L)}(n,n_{i})=\sum _{k}f_{h0}^{(L)}(k-n_{i}/2^{L})f_{g0}^{(L)}(n/2^{L}-k)}$.

أخيرًا، يمكن استخدام نسبة الذروة إلى الفص الجانبي الأول ومتوسط ​​الفص الجانبي الثاني للاستجابة النبضية الكلية لتقييم أداء ضغط صورة الموجة. ${\displaystyle h_{AS}^{(L)}(n,n_{i})}$

تحويل	التمثيل	مدخل
تحويل فورييه	${\displaystyle {\hat {X}}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-i2\pi ft}\,dt}$	${\displaystyle f}$ : تكرار
تحليل الزمن والتردد	${\displaystyle X(t,f)}$	${\displaystyle t}$الوقت؛ التردد ${\displaystyle f}$
تحويل الموجات	${\displaystyle X(a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {\Psi \left({\frac {t-b}{a}}\right)}}x(t)\,dt}$	${\displaystyle a}$التدرج؛ عامل التحول الزمني ${\displaystyle b}$

تتمتع الموجات ببعض الفوائد الطفيفة مقارنة بتحويلات فورييه في تقليل العمليات الحسابية عند فحص ترددات معينة. ومع ذلك، نادرًا ما تكون أكثر حساسية، والواقع أن موجة مورليت الشائعة متطابقة رياضيًا مع تحويل فورييه قصير المدى باستخدام دالة نافذة جاوسية. ^[14] الاستثناء هو عند البحث عن إشارات ذات شكل غير جيبي معروف (على سبيل المثال، ضربات القلب)؛ في هذه الحالة، يمكن أن يتفوق استخدام الموجات المتطابقة على تحليلات STFT/Morlet القياسية. ^[15]

يمكن أن يوفر لنا تحويل الموجات تردد الإشارات والوقت المرتبط بهذه الترددات، مما يجعله ملائمًا جدًا لتطبيقه في العديد من المجالات. على سبيل المثال، معالجة إشارات التسارع لتحليل المشي، ^[16] للكشف عن الأخطاء، ^[17] لتحليل النزوح الموسمي للانهيارات الأرضية، ^[18] لتصميم أجهزة تنظيم ضربات القلب منخفضة الطاقة وأيضًا في الاتصالات اللاسلكية ذات النطاق العريض للغاية (UWB). ^{[19] [20] [21]}

لمعالجة الإشارات الزمنية في الوقت الفعلي، من الضروري ألا تتمكن مرشحات الموجات من الوصول إلى قيم الإشارة من المستقبل بالإضافة إلى إمكانية الحصول على فترات زمنية دنيا. تم تطوير تمثيلات الموجات السببية الزمنية بواسطة Szu et al ^[24] و Lindeberg، ^[25] مع الطريقة الأخيرة التي تنطوي أيضًا على تنفيذ تكراري زمني فعال للذاكرة.

يمكن أن يعمل التحويل المضغوط المتزامن على تعزيز الدقة الزمنية والترددية بشكل كبير لتمثيل التردد الزمني الذي تم الحصول عليه باستخدام تحويل الموجات التقليدي. ^{[26] [27]}

• QMF ثنائي الحدين (يُعرف أيضًا باسم موجة Daubechies )
• أساس شبه متعامد للموجات ، والذي يوضح أن الموجات المستخدمة في ضغط الصورة يمكن أن تكون أيضًا شبه متعامدة (متعامدة تقريبًا)
• تحويل شيربليت
• تحويل الموجات المعقدة
• تحويل ثابت-Q
• تحويل الموجة المستمر
• موجة دوبيشيز
• تحويل الموجة المنفصلة
• يستخدم تنسيق DjVu خوارزمية IW44 المستندة إلى الموجات لضغط الصور
• موجة مزدوجة
• ECW ، تنسيق صور جغرافية مكانية يعتمد على الموجات مصمم للسرعة وكفاءة المعالجة
• موجة جابور
• موجة شعر
• JPEG 2000 ، وهو معيار ضغط الصور القائم على الموجات
• التحليل الطيفي لأقل المربعات
• موجة مورليت
• تحليل متعدد الدقة
• MrSID ، تنسيق الصورة الذي تم تطويره من أبحاث ضغط الموجات الأصلية في مختبر لوس ألاموس الوطني (LANL)
• تحويل S
• مخططات القياس ، نوع من المخططات الطيفية التي يتم إنشاؤها باستخدام الموجات بدلاً من تحويل فورييه قصير المدى
• تعيين التقسيم في الأشجار الهرمية
• تحويل فورييه قصير الأمد
• تحويل الموجة الثابتة
• تمثيل الزمن والتردد
• موجة

• Maan, Jeetendrasingh; Prasad, Akhilesh (1 مايو 2024). "تحويل حزمة الموجة وحاصل التفاف الموجة الذي يتضمن تحويل ويتاكر ذي المؤشر". مجلة رامانوجان . 64 (1): 19–36. doi :10.1007/s11139-023-00793-3. ISSN  1572-9303.
• براساد، أخيليش؛ مان، جيتندراسينغ؛ فيرما، سانديب كومار (2021). "تحويلات الموجات المرتبطة بتحويل ويتاكر ذي المؤشر". الأساليب الرياضية في العلوم التطبيقية . 44 (13): 10734-10752. رمز Bibcode : 2021MMAS...4410734P. doi : 10.1002/mma.7440. ISSN  1099-1476. S2CID  235556542.

• أمارا جرابس (يونيو 1995). "مقدمة إلى الموجات". IEEE Computational Science and Engineering . 2 (2): 50–61. doi :10.1109/99.388960.
• روبي بوليكار (12 يناير 2001). "برنامج تعليمي عن الموجات".
• مقدمة موجزة عن الموجات بواسطة رينيه بوشينجر