التماثل الطوبولوجي

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 37 صور
الموسوعة الحرة

في التحليل الوظيفي ، يُعدّ التشاكل الطوبولوجي ، أو التشاكل ببساطة (إن لم يكن هناك لبس)، نظيرًا للتشاكلات في فئة الفضاءات المتجهة الطوبولوجية . ويكتسب هذا المفهوم أهمية بالغة في التحليل الوظيفي، إذ تُقدّم نظرية التطبيق المفتوح الشهيرة شرطًا كافيًا لكي يكون التطبيق الخطي المتصل بين فضاءات فريشيه تشاكلًا طوبولوجيًا.

التعريفات

التشاكل الطوبولوجي أو ببساطة التشاكل (إذا لم يحدث لبس) هو تطبيق خطي متصلu:X→Y{\displaystyle u:X\to Y}بين فضاءات المتجهات الطوبولوجية (TVSs) بحيث تكون الخريطة المستحثةu:X→أنا⁡u{\displaystyle u:X\to \operatorname {Im} u}هي خريطة مفتوحة عندماأنا⁡u:=u(X)،{\displaystyle \operatorname {Im} u:=u(X),}وهي صورة​u،{\displaystyle u,}يتم إعطاء طوبولوجيا الفضاء الجزئي المستحثة بواسطةY.{\displaystyle Y.}[ 1 ] هذا المفهوم ذو أهمية كبيرة في التحليل الوظيفي، ونظريةالتطبيق المفتوحتعطي شرطًا كافيًا لكييكونفضاءات فريشيه

تضمين TVSأو أن التشكل الطوبولوجي الأحادي [ 2 ] هو تماثل طوبولوجي حقني . وبالمثل، فإن تضمين TVS هو تطبيق خطي هو أيضًا تضمين طوبولوجي .

الخصائص

لنفترض أنu:X→Y{\displaystyle u:X\to Y}هي دالة خطية بين TVSs، ولاحظ أنu{\displaystyle u}يمكن تحليلها إلى تركيب الخرائط الخطية المتعارف عليها التالية:

X →π X/كير⁡u →u0 أنا⁡u →في Y{\displaystyle X~{\overset {\pi }{\rightarrow }}~X/\operatorname {ker} u~{\overset {u_{0}}{\rightarrow }}~\operatorname {Im} u~{\overset {\operatorname {In} }{\rightarrow }}~Y}

أينπ:X→X/كير⁡u{\displaystyle \pi :X\to X/\operatorname {ker} u}هي خريطة القسمة المتعارف عليها وفي:أنا⁡u→Y{\displaystyle \operatorname {In} :\operatorname {Im} u\to Y} هي خريطة التضمين .

ما يلي متكافئ:

  1. u{\displaystyle u}هو تشاكل طوبولوجي
  2. لكل قاعدة حييو{\displaystyle {\mathcal {U}}}من أصل فيX،{\displaystyle X,}u(يو){\displaystyle u\left({\mathcal {U}}\right)}هي قاعدة محلية للأصل فيY{\displaystyle Y}[ 1 ]
  3. الخريطة المستحثةu0:X/كير⁡u→أنا⁡u{\displaystyle u_{0}:X/\operatorname {ker} u\to \operatorname {Im} u}هو تماثل لـ TVSs [ 1 ]

إذا كان نطاقu{\displaystyle u}إذا كان فضاء هاوسدورف محدود الأبعاد، فإن ما يلي متكافئ:

  1. u{\displaystyle u}هو تشاكل طوبولوجي
  2. u{\displaystyle u}متصلة [ 1 ]
  3. u{\displaystyle u}متصلة عند نقطة الأصل [ 1 ]
  4. u-1(0){\displaystyle u^{-1}(0)}مغلق فيX{\displaystyle X}[ 1 ]

شروط كافية

النظرية [ 1 ] — ليكنu:X→Y{\displaystyle u:X\to Y}ليكن تطبيقًا خطيًا متصلًا شاملًا من فضاء LFX{\displaystyle X}في جهاز تلفزيونY.{\displaystyle Y.} لوY{\displaystyle Y}وهو أيضًا فضاء منخفض التردد أو إذاY{\displaystyle Y}إذن، هذه مساحة فريشيهu:X→Y{\displaystyle u:X\to Y}هو تماثل طوبولوجي.

النظرية [ 3 ] — لنفترضو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}ليكن مؤثرًا خطيًا متصلًا بين نظامين من أنظمة هاوسدورف الانتقالية. إذام{\displaystyle M}هو فضاء متجهي كثيف منX{\displaystyle X}وإذا كان التقييدو|م:م→Y{\displaystyle f{\big \vert }_{M}:M\to Y}لم{\displaystyle M}إذا كان تشاكلاً طوبولوجياًو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}وهو أيضًا تماثل طوبولوجي. [ 3 ]

لذلك إذاج{\displaystyle C}ود{\displaystyle D}تُعدّ إنجازات هاوسدورفX{\displaystyle X}وY،{\displaystyle Y,}على التوالي، وإذاو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}إذا كان تماثلًا طوبولوجيًا،و{\displaystyle f}امتداد خطي متصل فريد من نوعهF:ج→د{\displaystyle F:C\to D}هو تماثل طوبولوجي. (ومع ذلك، من الممكن لـو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}أن تكون شاملاً ولكن لـF:ج→د{\displaystyle F:C\to D}(لأنه ليس حقنيًا.)

نظرية الخرائط المفتوحة

تُعطي نظرية التطبيق المفتوح ، والمعروفة أيضًا باسم نظرية باناش للتجانس، شرطًا كافيًا لكي يكون المؤثر الخطي المستمر بين TVSs القابلة للقياس الكاملة تجانسًا طوبولوجيًا.

النظرية [ 4 ] — ليكنu:X→Y{\displaystyle u:X\to Y}لتكن دالة خطية متصلة بين نظامين متريين كاملين. إذاأنا⁡u،{\displaystyle \operatorname {Im} u,}وهو نطاقu،{\displaystyle u,}هي مجموعة فرعية كثيفة منY{\displaystyle Y}ثم إماأنا⁡u{\displaystyle \operatorname {Im} u}ضئيل (أي من الفئة الأولى ) فيY{\displaystyle Y}وإلاu:X→Y{\displaystyle u:X\to Y}هو تماثل طوبولوجي شامل. على وجه الخصوص،u:X→Y{\displaystyle u:X\to Y}يكون التماثل الطوبولوجي إذا وفقط إذاأنا⁡u{\displaystyle \operatorname {Im} u}هي مجموعة فرعية مغلقة منY.{\displaystyle Y.}

النتيجة [ 4 ] — ليكنσ{\displaystyle \sigma }وτ{\displaystyle \tau }لتكن طوبولوجيات TVS على فضاء متجهيX{\displaystyle X}بحيث تجعل كل طوبولوجياX{\displaystyle X}إلى نظام تلفزيوني كامل قابل للقياس . إذا كان أي منهماσ⊆τ{\displaystyle \sigma \subseteq \tau }أوτ⊆σ{\displaystyle \tau \subseteq \sigma }ثمσ=τ.{\displaystyle \sigma =\tau .}

النتيجة [ 4 ] — إذاX{\displaystyle X}هو جهاز تلفزيون قابل للقياس بالكامل ،م{\displaystyle M}وشمال{\displaystyle N}هما فضاءان متجهان مغلقان منX،{\displaystyle X,}وإذاX{\displaystyle X}هو المجموع الجبري المباشر لـم{\displaystyle M}وشمال{\displaystyle N}(أي المجموع المباشر في فئة الفضاءات المتجهة)، إذنX{\displaystyle X}هو المجموع المباشر لـم{\displaystyle M}وشمال{\displaystyle N}في فئة الفضاءات المتجهة الطوبولوجية.

أمثلة

كل دالة خطية متصلة على TVS هي تشاكل طوبولوجي. [ 1 ]

يتركX{\displaystyle X}كن1{\displaystyle 1}تلفزيونات تلفزيونية متعددة الأبعاد فوق الحقلك{\displaystyle \mathbb {K} }ودعx∈X{\displaystyle x\in X}ليكن غير صفري.ل:ك→X{\displaystyle L:\mathbb {K} \to X}يتم تعريفها بواسطةل(s):=sx.{\displaystyle L(s):=sx.}لوك{\displaystyle \mathbb {K} }لها طوبولوجيا إقليدية معتادة ، وإذاX{\displaystyle X}هل هذا هو هاوسدورف إذن؟ل:ك→X{\displaystyle L:\mathbb {K} \to X}هو تماثل TVS.

انظر أيضاً

مراجع

فهرس