مساحة LF

يفترض طوال الوقت أن

• ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$إما أن تكون فئة الفضاءات الطوبولوجية أو فئة فرعية من فئة الفضاءات المتجهة الطوبولوجية (TVSs)؛
  • إذا كانت جميع الكائنات في الفئة لها بنية جبرية، فسيتم افتراض أن جميع التشكلات هي تشكلات متماثلة لتلك البنية الجبرية.
• I هي مجموعة موجهة غير فارغة ؛
• X _• = ( X _i ) _{i ∈ I} هي عائلة من الكائنات في${\displaystyle {\mathcal {C}}}$حيث ( X _i , τ _{X i} ) هو فضاء طوبولوجي لكل مؤشر i ؛
  • لتجنب أي لبس محتمل، لا ينبغي تسمية τ _{X i} بـ"الطوبولوجيا الأولية" لـ X _i ، لأن مصطلح " الطوبولوجيا الأولية " له تعريف معروف. تُسمى الطوبولوجيا τ _{X i} بالطوبولوجيا الأصلية على X _i أو الطوبولوجيا المعطاة لـ X _i .
• X هي مجموعة (وإذا كانت العناصر في${\displaystyle {\mathcal {C}}}$إذا كانت لها أيضًا هياكل جبرية، فسيتم افتراض أن X تمتلك تلقائيًا أي هيكل جبري مطلوب)؛
• f _• = ( f _i ) _{i ∈ I} هي عائلة من التطبيقات حيث يكون لكل فهرس i ، يكون للتطبيق نموذج أولي f _i  : ( X _i , τ _{X i} ) → X . إذا كانت جميع الكائنات في الفئة لها بنية جبرية، فسيتم افتراض أن هذه التطبيقات هي أيضًا تشاكلات لتلك البنية الجبرية.

إذا كان موجودًا، فإن الطوبولوجيا النهائية على X في${\displaystyle {\mathcal {C}}}$، وتسمى أيضًا بالحد المشترك أو الطوبولوجيا الاستقرائية في${\displaystyle {\mathcal {C}}}$، ويُرمز لها بـ τ _{f •} أو τ _f ، هي أفضل طوبولوجيا على X بحيث

1. ( X , τf ₎ هو كائن في${\displaystyle {\mathcal {C}}}$، و
2. لكل فهرس i ، فإن التطبيق f _i  : ( X _i , τ _{X i} ) → ( X , τ _f ) هو تشاكل مستمر في${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.

في فئة الفضاءات الطوبولوجية، توجد الطوبولوجيا النهائية دائمًا، وعلاوة على ذلك، فإن المجموعة الجزئية U ⊆ X تكون مفتوحة (أو مغلقة) في ( X ، τf ₎ إذا وفقط إذا كانت f _i ^{- 1} ( U ) مفتوحة (أو مغلقة) في ₍ Xi ، _τXi ) _لكل فهرس i .

_{ومع ذلك} ، قد لا توجد الطوبولوجيا النهائية في فئة الفضاءات الطوبولوجية هاوسدورف بسبب شرط أن ينتمي ( X , τXf ₎ إلى الفئة الأصلية (أي ينتمي إلى فئة الفضاءات الطوبولوجية هاوسدورف). ^{[ 3 ]}

لنفترض أن ( I , ≤) هي مجموعة موجهة ، وأنه لكل مؤشر i ≤ j توجد تشاكلات (متصلة) في${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

بحيث إذا كان i = j فإن f _i ^j هي دالة التطابق على X _i وإذا كان i ≤ j ≤ k فإن شرط التوافق التالي يتحقق:

وهذا يعني أن التركيب

${\displaystyle X_{i}\xrightarrow {f_{i}^{j}} X_{j}\xrightarrow {f_{j}^{k}} X_{k}\;\;\;\;{\text{ يساوي }}\;\;\;\;X_{i}\xrightarrow {f_{i}^{k}} X_{k}.}$

إذا تحققت الشروط المذكورة أعلاه، فإن الثلاثية المكونة من مجموعات هذه الكائنات، والتشاكلات، ومجموعة الفهرسة

${\displaystyle \left(X_{\bullet },\left\{f_{i}^{j}\;:\;i,j\in I\;{\text{ and }}\;i\leq j\right\},I\right)}$

يُعرف باسم النظام المباشر في هذه الفئة${\displaystyle {\mathcal {C}}}$يتم توجيهها (أو فهرستها ) بواسطة I. وبما أن مجموعة الفهرسة I هي مجموعة موجهة ، يُقال إن النظام المباشر موجه . ^{[ 4 ]} تُسمى الدوال f و _{i و} ^j دوال الربط أو التوصيل أو الربط للنظام.

إذا كانت مجموعة الفهرسة I مفهومة ضمنيًا، فغالبًا ما تُحذف I من المجموعة المذكورة أعلاه (أي لا تُكتب)؛ وينطبق الأمر نفسه على خرائط الترابط إذا كانت مفهومة ضمنيًا. ونتيجةً لذلك، غالبًا ما نرى عبارة " X _• نظام مباشر" مكتوبة، حيث تمثل " X _• " في الواقع ثلاثية تتضمن خرائط الترابط ومجموعة الفهرسة، إما مُعرّفة في مكان آخر (مثل خرائط الترابط المتعارف عليها، كالتضمينات الطبيعية)، أو يُفترض وجود خرائط الترابط دون الحاجة إلى تعيين رموز لها (مثلًا، لا حاجة لخرائط الترابط لصياغة نظرية).

للاطلاع على كيفية بناء حد مباشر لنظام استقرائي عام، يرجى مراجعة المقالة: الحد المباشر .

الحدود المباشرة للأنظمة الحقنية

إذا كانت كل خريطة من خرائط الترابط${\displaystyle f_{i}^{j}}$إذا كان النظام حقنيًا، فإنه يُسمى نظامًا حقنيًا . ^{[ 4 ]}

الافتراضات : في حالة كون النظام المباشر أحاديًا، يُفترض غالبًا، دون فقدان للعمومية، أنه لكل مؤشر i ≤ j ، فإن كل X _i هو فضاء متجهي جزئي من X _j (على وجه الخصوص، يتم تحديد X _i مع مدى${\displaystyle f_{i}^{j}}$) وأن خريطة الترابط${\displaystyle f_{i}^{j}}$هو الإدراج الطبيعي

في ^j _i  : X _i → X _j

(أي معرفة بواسطة x ↦ x ) بحيث تكون طوبولوجيا الفضاء الجزئي على X _i المستحثة بواسطة X _j أضعف (أي أكثر خشونة) من الطوبولوجيا الأصلية (أي المعطاة) على X _i .

في هذه الحالة، خذ أيضًا

X  := ∪ i ∈ I X _i .

تكون خرائط الحد هي التضمينات الطبيعية In _i  : X _i → X. طوبولوجيا الحد المباشر على X هي الطوبولوجيا النهائية المستحثة بواسطة خرائط التضمين هذه.

إذا كانت المجموعات Xᵢ ذات بنية جبرية، كعملية الجمع مثلاً، فإنه لأي عنصرين x و y ينتميان إلى Xᵢ ، نختار أي فهرس i بحيث يكون x و y ينتميان إلى _Xᵢ ، _ثم نُعرّف مجموعهما باستخدام عامل الجمع الخاص بـ Xᵢ _. أي،

حيث يمثل + _i عامل الجمع لـ X _i . هذا المجموع مستقل عن الفهرس i الذي يتم اختياره.

في فئة الفضاءات المتجهة الطوبولوجية المحدبة محليًا، يمكن وصف الطوبولوجيا على النهاية المباشرة X لنهاية استقرائية موجهة حقنية للفضاءات المحدبة محليًا بتحديد أن مجموعة جزئية محدبة مطلقًا U من X هي جوار للصفر إذا وفقط إذا كانت U ∩ X _i جوارًا محدبًا مطلقًا للصفر في X i _لكل دليل i . ^{[ 4 ]}

الحدود المباشرة في أعلى

توجد دائمًا نهايات مباشرة للأنظمة الموجهة المباشرة في فئات المجموعات، والفضاءات الطوبولوجية، والمجموعات، وأنظمة الفضاء الطوبولوجية المحدبة محليًا . في فئة الفضاءات الطوبولوجية، إذا كانت كل دالة ربط f _^ij دالة أحادية (أو شاملة ، أو تقابلية، أو تماثلية ، أو تضمين طوبولوجي ، أو دالة خارج قسمة )، فإن كل f _{_i} : X _{_i} → X هي أيضًا دالة أحادية . ^{[ 3 ]} 

إذا كانت كل خريطة من خرائط الترابط${\displaystyle f_{i}^{j}}$هو تضمين لـ TVSs على فضاءات متجهة فرعية مناسبة، وإذا كان النظام موجهًا بواسطة${\displaystyle \mathbb {N} }$مع ترتيبها الطبيعي، تُسمى النهاية الناتجة نهايةً مباشرة صارمة ( قابلة للعد ) . في مثل هذه الحالة _، يمكننا أن نفترض، دون فقدان للعمومية، أن كل _Xᵢ هو _فضاء جزئي متجهي من Xᵢ₊₁ _، وأن طوبولوجيا الفضاء الجزئي المستحثة على _Xᵢ ^بواسطة Xᵢ₊₁ مطابقة _{للطوبولوجيا} الأصلية على Xᵢ _. ^{[ 1} ]

كل فضاء LF هو مجموعة جزئية ضئيلة من نفسه. ^{[ 6 ]} النهاية الاستقرائية الصارمة لتسلسل من الفضاءات المحدبة محليًا الكاملة (مثل فضاءات فريشيه) كاملة بالضرورة. على وجه الخصوص، كل فضاء LF كامل. ^{[ 7 ]} كل فضاء LF برميلي وبورنولوجي ، مما يعني، إلى جانب الاكتمال، أن كل فضاء LF فائق البورنولوجي . فضاء LF الذي يمثل النهاية الاستقرائية لتسلسل قابل للعد من الفضاءات القابلة للفصل هو فضاء قابل للفصل. ^{[ 8 ]} فضاءات LF مميزة ، ونظائرها القوية بورنولوجي وبرميلي (نتيجة تعود إلى ألكسندر غروتينديك ) .

إذا كانت X هي النهاية الاستقرائية الصارمة لمتتالية متزايدة في فضاء فريشيه X _n، فإن المجموعة الجزئية B من X تكون محدودة في X إذا وفقط إذا وُجد عدد n بحيث تكون B مجموعة جزئية محدودة من X _n . ^{[ 7 ]}

تكون الدالة الخطية من فضاء LF إلى فضاء TVS آخر متصلة إذا وفقط إذا كانت متصلة بالتتابع . ^{[ 9 ]} وتكون الدالة الخطية من فضاء LF X إلى فضاء فريشيه Y متصلة إذا وفقط إذا كان رسمها البياني مغلقًا في X × Y. ^{[ 10 ]} كل مؤثر خطي محدود من فضاء LF إلى فضاء TVS آخر يكون متصلًا ^{. [ 11} ]

إذا كان X فضاءً LF معرفًا بواسطة متتالية${\displaystyle \left(X_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ثم الفضاء المزدوج القوي${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$يكون فضاء X فضاءً فريشيه إذا وفقط إذا كانت جميع _عناصر X قابلة للتطبيع . ^{[ 12 ]} وبالتالي ، فإن الفضاء الثنائي القوي لفضاء LF يكون فضاء فريشيه إذا وفقط إذا كان فضاء LB.

ومن الأمثلة النموذجية على فضاء LF ما يلي:${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$، فضاء جميع الدوال القابلة للتفاضل بلا حدود على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$مع دعم مضغوط. يتم الحصول على بنية فضاء LF من خلال النظر في سلسلة من المجموعات المضغوطة${\displaystyle K_{1}\subset K_{2}\subset \ldots \subset K_{i}\subset \ldots \subset \mathbb {R} ^{n}}$مع${\displaystyle \bigcup _{i}K_{i}=\mathbb {R} ^{n}}$وبالنسبة لي جميعاً، ${\displaystyle K_{i}}$هي مجموعة فرعية من الجزء الداخلي من${\displaystyle K_{i+1}}$يمكن أن يكون هذا التسلسل عبارة عن كرات نصف قطرها i متمركزة عند نقطة الأصل. الفضاء${\displaystyle C_{c}^{\infty }(K_{i})}$من الدوال القابلة للتفاضل بلا حدود على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$مع دعم مضغوط موجود في${\displaystyle K_{i}}$يتميز ببنية فراغية طبيعية من نوع فريشيه و ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ترث بنية فضاء LF كما هو موضح أعلاه. لا تعتمد طوبولوجيا فضاء LF على التسلسل المحدد للمجموعات المدمجة.${\displaystyle K_{i}}$.

باستخدام بنية الفضاء منخفض التردد هذه ،${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$يُعرف باسم فضاء دوال الاختبار، وهو ذو أهمية أساسية في نظرية التوزيعات .

لنفترض أنه لكل عدد صحيح موجب n ، فإن X _n  :=${\displaystyle \mathbb {R} }$^{بالنسبة لـ n،} ولـ m < n ، نعتبرX _{_m} فضاءً متجهيًا جزئيًا من X _{_n} عبر التضمين الكنسي X _{_m} → X _{_n} المعرف بـ x  := ( x _₁, ... , x _m ) ↦ ( x _₁ , ..., x _m, 0, ..., 0) . نرمز إلى فضاء LF الناتج بـX.بما أن أي طوبولوجيا TVS علىXتجعل تضميناتX _{_m} في X، فإن هذا الفضاء الأخير يمتلك القيمة القصوى بين جميع طوبولوجيات TVS على${\displaystyle \mathbb {R} }$فضاء متجهي ذو بُعد هامل قابل للعد . وهو طوبولوجيا LC، مرتبطة بمجموعة جميع المعايير شبه المعيارية على X. كما أن طوبولوجيا الحد الاستقرائي TVS لـ X تتطابق مع الحد الاستقرائي الطوبولوجي؛ أي أن الحد المباشر للفضاءات ذات الأبعاد المحدودة X_{_n} في فئة TOP وفي فئة TVS يتطابق. الفضاء الثنائي المتصل${\displaystyle X^{\prime }}$فضاء X يساوي الفضاء الجبري الثنائي لـ X ، أي فضاء جميع المتتابعات ذات القيم الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ والطوبولوجيا الضعيفة على${\displaystyle X^{\prime }}$يساوي الطوبولوجيا القوية على${\displaystyle X^{\prime }}$(أي${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }=X_{b}^{\prime }}$^{[ 13 ]} في الواقع ، إنها البنية الفريدة للبلورات السائلة على${\displaystyle X^{\prime }}$الفضاء الثنائي الطوبولوجي الخاص به هو X.