مجموعة فرعية للمبدل

في الرياضيات ، وتحديداً في الجبر المجرد ، تُعرف المجموعة الجزئية التبادلية أو المجموعة الجزئية المشتقة لمجموعة ما بأنها المجموعة الجزئية المولدة بواسطة جميع التبادلات في تلك المجموعة. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

تُعدّ الزمرة الجزئية التبادلية مهمة لأنها أصغر زمرة جزئية طبيعية بحيث تكون زمرة القسمة للزمرة الأصلية على هذه الزمرة الجزئية زمرة تبديلية . بعبارة أخرى،${\displaystyle G/N}$تكون أبيلية إذا وفقط إذا${\displaystyle N}$تحتوي على مجموعة التبديل الفرعية لـ${\displaystyle G}$لذا فهو يوفر بمعنى ما مقياسًا لمدى بعد المجموعة عن كونها تبديلية؛ فكلما كانت المجموعة الفرعية للمبدل أكبر، كانت المجموعة "أقل تبديلية".

للعناصر${\displaystyle g}$و${\displaystyle h}$من مجموعة G ، مبدل${\displaystyle g}$و${\displaystyle h}$يكون${\displaystyle [g,h]=g^{-1}h^{-1}gh}$المبدل${\displaystyle [g,h]}$يساوي العنصر المحايد e إذا وفقط إذا${\displaystyle gh=hg}$أي، إذا وفقط إذا${\displaystyle g}$و${\displaystyle h}$التنقل. بشكل عام،${\displaystyle gh=hg[g,h]}$.

ومع ذلك، فإن الترميز تعسفي إلى حد ما، وهناك تعريف بديل غير مكافئ للمبدل يحتوي على المعكوسات على الجانب الأيمن من المعادلة:${\displaystyle [g,h]=ghg^{-1}h^{-1}}$وفي هذه الحالة ${\displaystyle gh\neq hg[g,h]}$لكن بدلاً من ذلك${\displaystyle gh=[g,h]hg}$.

عنصر من G على الشكل${\displaystyle [g,h]}$بالنسبة لبعض g و h، يُطلق على العنصر اسم المُبدِّل. العنصر المحايد e = [ e , e ] هو دائمًا مُبدِّل، وهو المُبدِّل الوحيد إذا وفقط إذا كانت G تبديلية.

فيما يلي بعض متطابقات التبديل البسيطة ولكن المفيدة، وهي صحيحة لأي عناصر s و g و h من مجموعة G :

• ${\displaystyle [g,h]^{-1}=[h,g],}$
• ${\displaystyle [g,h]^{s}=[g^{s},h^{s}],}$أين${\displaystyle g^{s}=s^{-1}gs}$(أو، على التوالي،${\displaystyle g^{s}=sgs^{-1}}$) هو المرافق لـ${\displaystyle g}$بواسطة${\displaystyle s,}$
• لأي تشاكل${\displaystyle f:G\to H}$،${\displaystyle f([g,h])=[f(g),f(h)].}$

تُشير المتطابقتان الأولى والثانية إلى أن مجموعة المُبدِّلات في G مُغلقة تحت عمليتي الانعكاس والاقتران. إذا اعتبرنا في المتطابقة الثالثة H = G ، فإننا نحصل على أن مجموعة المُبدِّلات مستقرة تحت أي تشاكل داخلي لـ G. وهذا في الواقع تعميم للمتطابقة الثانية، حيث يُمكننا اعتبار f التشاكل الذاتي للاقتران على G.${\displaystyle x\mapsto x^{s}}$، للحصول على الهوية الثانية.

مع ذلك، ليس بالضرورة أن يكون حاصل ضرب اثنين أو أكثر من المبدلات مبدلاً. مثال عام على ذلك هو [ a , b ][ c , d ] في المجموعة الحرة على a , b , c , d . من المعروف أن أصغر رتبة لمجموعة منتهية يوجد فيها مبدلان لا يكون حاصل ضربهما مبدلاً هي 96؛ في الواقع، توجد مجموعتان غير متماثلتين من الرتبة 96 تتمتعان بهذه الخاصية. ^{[ 3 ]}

وهذا ما يحفز تعريف المجموعة الفرعية للمبدلات${\displaystyle [G,G]}$(وتسمى أيضًا المجموعة الفرعية المشتقة ، ويرمز لها بـ)${\displaystyle G'}$أو${\displaystyle G^{(1)}}$) من G : إنها المجموعة الفرعية المتولدة بواسطة جميع المبدلات.

ويترتب على هذا التعريف أن أي عنصر من${\displaystyle [G,G]}$وهو على شكل

${\displaystyle [g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}]}$

لبعض الأعداد الطبيعية${\displaystyle n}$حيث أن g _و h عناصر من G. _علاوة على ذلك، بما أن${\displaystyle ([g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}])^{s}=[g_{1}^{s},h_{1}^{s}]\cdots [g_{n}^{s},h_{n}^{s}]}$، تكون المجموعة الفرعية للمبدل طبيعية في G. لأي تشاكل f : G → H ،

${\displaystyle f([g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}])=[f(g_{1}),f(h_{1})]\cdots [f(g_{n}),f(h_{n})]}$،

لهذا السبب.${\displaystyle f([G,G])\subseteq [H,H]}$.

يُبين هذا أن الزمرة الجزئية التبادلية يُمكن اعتبارها دالة على فئة الزمر ، وسيتم استكشاف بعض دلالات ذلك لاحقًا. علاوة على ذلك، بأخذ G = H، يتضح أن الزمرة الجزئية التبادلية مستقرة تحت كل تشاكل داخلي لـ G : أي أن [ G , G ] هي زمرة جزئية مميزة تمامًا لـ G ، وهي خاصية أقوى بكثير من خاصية الانتظام.

يمكن أيضًا تعريف المجموعة الفرعية التبادلية على أنها مجموعة العناصر g من المجموعة التي لها تعبير كحاصل ضرب g = g ₁ g ₂ ... g _k والذي يمكن إعادة ترتيبه لإعطاء العنصر المحايد.

• الزمرة الجزئية التبادلية لأي زمرة أبيلية هي زمرة تافهة .
• المجموعة الفرعية التبادلية للمجموعة الخطية العامة${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(k)}$على حقل أو حلقة قسمة، k يساوي المجموعة الخطية الخاصة${\displaystyle \operatorname {SL} _{n}(k)}$بشرط أن${\displaystyle n\neq 2}$أو أن k ليس الحقل الذي يحتوي على عنصرين . ^{[ 5 ]}
• المجموعة الفرعية المبدلة للمجموعة المتناوبة A ₄ هي مجموعة كلاين الرباعية .
• المجموعة الفرعية التبادلية للمجموعة المتناظرة S _n هي المجموعة المتناوبة A _n .
• المجموعة الفرعية للمبدلات لمجموعة الكواترنيون Q = {1, − 1, i , − i , j , − j , k , − k } هي [ Q , Q ] = {1, − 1}.

• مجموعة قابلة للحل
• مجموعة عديمة القوة
• إن التحويل الأبلياني H / H ' لمجموعة فرعية H  < G ذات دليل محدود ( G : H ) هو هدف نقل أرتين T ( G , H ).  

• دوميت، ديفيد س.؛ فوت، ريتشارد م. (2004)، الجبر المجرد (  الطبعة الثالثة)، جون وايلي وأولاده ، ISBN 0-471-43334-9
• فرالي، جون ب. (1976)، مدخل إلى الجبر المجرد (  الطبعة الثانية)، ريدينغ: أديسون-ويسلي ، رقم ISBN 0-201-01984-1
• لانغ، سيرج (2002)، الجبر ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، سبرينغر ، ISBN 0-387-95385-X
• سواريز-ألفاريز، ماريانو. "المجموعات الفرعية المشتقة والمبدلات" .

• "مجموعة التبديل الفرعية" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]