فضاء باناش

في الرياضيات ، وتحديدًا في التحليل الوظيفي ، يُعرف فضاء باناخ ( يُلفظ بالبولندية : [ ˈba.nax ] ) بأنه فضاء متجهي معياري كامل . وبالتالي، فإن فضاء باناخ هو فضاء متجهي ذو مقياس يسمح بحساب طول المتجه والمسافة بين المتجهات ، وهو كامل بمعنى أن متتالية كوشي من المتجهات تتقارب دائمًا إلى نهاية محددة تقع ضمن هذا الفضاء.

سُميت فضاءات باناخ نسبةً إلى عالم الرياضيات البولندي ستيفان باناخ ، الذي قدم هذا المفهوم ودرسه بشكل منهجي بين عامي 1920 و1922 بالتعاون مع هانز هان وإدوارد هيلي . ^{[ 1 ]} وكان موريس رينيه فريشيه أول من استخدم مصطلح "فضاء باناخ"، ثم صاغ باناخ بدوره مصطلح " فضاء فريشيه ". ^{[ 2 ]} نشأت فضاءات باناخ في الأصل من دراسة فضاءات الدوال التي أجراها هيلبرت وفريشيه وريز في وقت سابق من القرن. وتلعب فضاءات باناخ دورًا محوريًا في التحليل الوظيفي. وفي مجالات تحليلية أخرى، غالبًا ما تكون الفضاءات قيد الدراسة هي فضاءات باناخ.

تعريف

فضاء باناخ هو فضاء معياري كامل $(X,\|{\cdot }\|).$ الفضاء المعياري هو زوج ^{[ ملاحظة 1 ]} $(X,\|{\cdot }\|)$ يتكون من فضاء متجهي $X$ على حقل قياسي $\mathbb {K}$ (أين $\mathbb {K}$ شائع $\mathbb {R}$ أو $\mathbb {C}$ ) بالإضافة إلى معيار مميز ^{[ ملاحظة 2 ]} $\|{\cdot }\|:X\to \mathbb {R} .$ وكما هو الحال مع جميع المعايير، فإن هذا المعيار يُنتج دالة مسافة ثابتة تحت الإزاحة ^{[ ملاحظة 3 ]} ، تُسمى المقياس المتعارف عليه أو المقياس المُستحث (بالمعيار) ، والمُعرّف لجميع المتجهات. $x,y\in X$ بواسطة ^{[ ملاحظة 4 ]} $d(x,y):=\|yx\|=\|xy\|.$ هذا يجعل $X$ في فضاء متري $(X,d).$ تسلسل $x_{1},x_{2},\ldots$ يُطلق عليه اسم كوشي في $(X,d)$ أو $d$ -كوشي أو $\|{\cdot }\|$ -كوشي إن كان لكل حقيقي $r>0,$ يوجد فهرس ما $N$ بحيث يكون، من أجل $m$ و $n$ أكبر من $N$ $d(x_{n},x_{m})=\|x_{n}-x_{m}\|<r.$ المساحة المعيارية $(X,\|{\cdot }\|)$ يُطلق عليه اسم فضاء باناخ والمقياس الكنسي $d$ يُطلق عليه اسم المقياس الكامل إذا $(X,d)$ هو فضاء متري كامل ، وهو ما يعني بحكم التعريف أنه لكل متتالية كوشي $x_{1},x_{2},\ldots$ في $(X,d),$ يوجد بعض $x\in X$ بحيث $\lim _{n\to \infty }x_{n}=x\;{\text{ in }}(X,d),$ أين لأن $\|x_{n}-x\|=d(x_{n},x),$ تقارب هذه المتتالية إلى $x$ ويمكن التعبير عنها بشكل مكافئ على النحو التالي $\lim _{n\to \infty }\|x_{n}-x\|=0\;{\text{ في }}\mathbb {R} .$

الوضع الطبيعي $\|{\cdot }\|$ في فضاء معياري $(X,\|{\cdot }\|)$ يُطلق عليه اسمالوضع الطبيعي الكامل إذا $(X,\|{\cdot }\|)$ هو فضاء باناش.

المنتج شبه الداخلي L

لأي مساحة معيارية $(X,\|{\cdot }\|),$ يوجد منتج داخلي شبه من النوع L $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ على $X$ بحيث ${\textstyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}$ للجميع $x\in X.$ ^{[ 3 ]} بشكل عام، قد يوجد عدد لا نهائي من الضرب الداخلي شبه L الذي يحقق هذا الشرط، ويعتمد إثبات وجود الضرب الداخلي شبه L علىنظرية هان-باناخ.^{[ 3 ]} يُعد الضرب الداخلي شبه L تعميمًاللضرب الداخلي، وهو ما يميزفضاءات هيلبرتعن جميع فضاءات باناخ الأخرى. وهذا يُبين أن جميع الفضاءات المعيارية (وبالتالي جميع فضاءات باناخ) يُمكن اعتبارها تعميمات لفضاءات (ما قبل) هيلبرت.

التوصيف من حيث المتسلسلات

يُتيح هيكل الفضاء المتجهي ربط سلوك متتابعات كوشي بسلوك المتسلسلات المتقاربة للمتجهات . فضاء معياري $X$ تكون فضاء باناخ إذا وفقط إذا كانت كل متسلسلة متقاربة مطلقًا فيه $X$ يتقارب إلى قيمة تقع ضمن $X,$ ^{[ 4 ]} بشكل رمزي $\sum _{n=1}^{\infty }\|v_{n}\|<\infty \implies \sum _{n=1}^{\infty }v_{n}{\text{ يتقارب في }}X.$

الطوبولوجيا

المقياس المتعارف عليه $d$ في فضاء معياري $(X,\|{\cdot }\|)$ يؤدي إلى طوبولوجيا القياس المعتادة $\tau _{d}$ على $X,$ والتي يُشار إليها بالطوبولوجيا المعيارية أو الطوبولوجيا المستحثة بالمعيار . يُفترض تلقائيًا أن كل فضاء معياري يحمل طوبولوجيا هاوسدورف هذه، ما لم يُذكر خلاف ذلك. مع هذه الطوبولوجيا، يكون كل فضاء باناخ فضاء باير ، على الرغم من وجود فضاءات معيارية باير وليست باناخ. ^{[ 5 ]} المعيار $\|{\cdot }\|:X\to \mathbb {R}$ هي دائماً دالة متصلة بالنسبة للطوبولوجيا التي تحفزها.

الكرات المفتوحة والمغلقة ذات نصف القطر $r>0$ متمركزة عند نقطة $x\in X$ وهي، على التوالي، المجموعات $B_{r}(x):=\{z\in X\mid \|zx\|<r\}\qquad {\text{ و }}\qquad C_{r}(x):=\{z\in X\mid \|zx\|\leq r\}.$ أي كرة من هذا القبيل هي مجموعة جزئية محدبة ومحدودة من $X,$ لكن الكرة/ الجوار المتراص موجود إذا وفقط إذا $X$ هو فضاء ذو أبعاد محدودة . على وجه الخصوص، لا يمكن لأي فضاء معياري ذي أبعاد لا نهائية أن يكون متراصًا محليًا أو أن يتمتع بخاصية هاين-بوريل . إذا $x_{0}$ هو متجه و $s\neq 0$ إذا كان عددًا قياسيًا، $x_{0}+s\,B_{r}(x)=B_{|s|r}(x_{0}+sx)\qquad {\text{ و }}\qquad x_{0}+s\,C_{r}(x)=C_{|s|r}(x_{0}+sx).$ استخدام $s=1$ يُظهر ذلك أن الطوبولوجيا المستحثة بالمعيار ثابتة تحت الإزاحة ، مما يعني أنه لأي $x\in X$ و $S\subseteq X,$ المجموعة الفرعية $S$ مفتوح (على التوالي، مغلق ) في $X$ إذا وفقط إذا كانت ترجمتها $x+S:=\{x+s\mid s\in S\}$ مفتوحة (أو مغلقة). وبالتالي، فإن الطوبولوجيا المستحثة بالمعيار تتحدد تمامًا بأي أساس جوار عند نقطة الأصل. تتضمن بعض أسس الجوار الشائعة عند نقطة الأصل ما يلي: $\{B_{r}(0)\mid r>0\},\qquad \{C_{r}(0)\mid r>0\},\qquad \{B_{r_{n}}(0)\mid n\in \mathbb {N} \},\qquad {\text{ و }}\qquad \{C_{r_{n}}(0)\mid n\in \mathbb {N} \},$ أين $r_{1},r_{2},\ldots$ يمكن أن تكون أي متتالية من الأعداد الحقيقية الموجبة التي تتقارب إلى $0$ في $\mathbb {R}$ (الخيارات الشائعة هي $r_{n}:={\tfrac {1}{n}}$ أو $r_{n}:=1/2^{n}$ ). لذا، على سبيل المثال، أي مجموعة جزئية مفتوحة $U$ ل $X$ يمكن كتابتها كاتحاد $U=\bigcup _{x\in I}B_{r_{x}}(x)=\bigcup _{x\in I}x+B_{r_{x}}(0)=\bigcup _{x\in I}x+r_{x}\,B_{1}(0)$ مفهرسة بواسطة مجموعة فرعية $I\subseteq U,$ حيث كل $r_{x}$ يمكن اختيارها من التسلسل المذكور أعلاه $r_{1},r_{2},\ldots .$ (يمكن أيضًا استبدال الكرات المفتوحة بالكرات المغلقة، على الرغم من مجموعة الفهرسة) $I$ ونصف القطر $r_{x}$ وقد يلزم استبدالها أيضًا). بالإضافة إلى ذلك، $I$ يمكن دائمًا اختيارها لتكون قابلة للعد إذا $X$ هو فضاء قابل للفصل ، وهو ما يعني بحكم التعريف أن $X$ يحتوي على مجموعة فرعية كثيفة قابلة للعد .

فئات التشاكل المتماثل للفضاءات البناخية القابلة للفصل

جميع الفضاءات المعيارية ذات الأبعاد المحدودة هي فضاءات باناخ قابلة للفصل، وأي فضاءين من فضاءات باناخ لهما نفس البعد المحدود متماثلان خطيًا. كل فضاء هيلبرت قابل للفصل ذو أبعاد غير محدودة متماثل خطيًا متساوي القياس مع فضاء متتابعات هيلبرت القابل للفصل. $\ell ^{2}(\mathbb {N} )$ بمعيارها المعتاد $\|{\cdot }\|_{2}.$

تنص نظرية أندرسون -كاديك على أن كل فضاء فريشيه قابل للفصل ذو أبعاد لا نهائية يكون متماثلاً مع فضاء الضرب ${\textstyle \prod _{i\in \mathbb {N} }\mathbb {R} }$ من نسخ عديدة قابلة للعد من $\mathbb {R}$ (لا يشترط أن يكون هذا التشاكل خطيًا ). ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]} وبالتالي، فإن جميع فضاءات فريشيه المنفصلة ذات الأبعاد اللانهائية متماثلة فيما بينها (أو بعبارة أخرى، تكون طوبولوجيتها فريدة حتى التشاكل). وبما أن كل فضاء باناخ هو فضاء فريشيه، فإن هذا ينطبق أيضًا على جميع فضاءات باناخ المنفصلة ذات الأبعاد اللانهائية، بما في ذلك $\ell ^{2}(\mathbb {N} ).$ في الحقيقة، $\ell ^{2}(\mathbb {N} )$ بل إنها متماثلة شكليًا مع كرة الوحدة الخاصة بها $\{x\in \ell ^{2}(\mathbb {N} )\mid \|x\|_{2}=1\},$ وهو ما يتناقض بشكل حاد مع الفضاءات ذات الأبعاد المحدودة ( المستوى الإقليدي). $\mathbb {R} ^{2}$ (على سبيل المثال، ليس متماثلاً مع دائرة الوحدة ).

يمتد هذا النمط في فئات التشاكل الموضعي إلى تعميمات للمشعبات الطوبولوجية القابلة للقياس ( الإقليدية محليًا ) والمعروفة باسم مشعبات باناخ المترية ، وهي فضاءات مترية متماثلة موضعيًا حول كل نقطة مع مجموعة فرعية مفتوحة من فضاء باناخ معين ( يتم تعريف مشعبات هيلبرت المترية ومشعبات فريشيه المترية بشكل مشابه). ^[⁷^] على سبيل المثال، كل مجموعة فرعية مفتوحة $U$ من فضاء باناخ $X$ هي بشكل أساسي مشعب باناش متري مصمم على $X$ منذ خريطة الإدراج $U\to X$ هو تماثل موضعي مفتوح . باستخدام الحزم الدقيقة في فضاء هيلبرت ، أظهر ديفيد هندرسون ^[⁸^] في عام 1969 أن كل مشعب متري مصمم على فضاء باناخ (أو فريشيه ) قابل للفصل لا نهائي الأبعاد يمكن تضمينه طوبولوجيًا كمجموعة فرعية مفتوحة من $\ell ^{2}(\mathbb {N} )$ وبالتالي، يسمح أيضًا ببنية ناعمة فريدة تجعله... $C^{\infty }$ متعدد الشعب هيلبرت .

المجموعات الفرعية المدمجة والمحدبة

توجد مجموعة فرعية مضغوطة $S$ ل $\ell ^{2}(\mathbb {N} )$ هيكله المحدب $\operatorname {co} (S)$ ليس مغلقًا ، وبالتالي ليس مضغوطًا أيضًا. ^{[ ملاحظة 5 ]}^{[ 9 ]} ومع ذلك، كما هو الحال في جميع فضاءات باناخ، فإن الغلاف المحدب المغلق ${\overline {\operatorname {co} }}S$ ستكون هذه المجموعة الفرعية المدمجة (وكل مجموعة فرعية مدمجة أخرى) مدمجة. ^{[ 10 ]} في فضاء معياري غير كامل، فإنه ليس من المضمون عمومًا أن ${\overline {\operatorname {co} }}S$ سيكون صغير الحجم كلما $S$ ويمكن إيجاد مثال ^{[ ملاحظة 5 ]} حتى في فضاء متجهي (غير كامل) قبل هيلبرت من $\ell ^{2}(\mathbb {N} ).$

باعتباره فضاء متجهي طوبولوجي

هذه الطوبولوجيا المستحثة بالمعيار تجعل $(X,\tau _{d})$ إلى ما يُعرف باسم فضاء المتجهات الطوبولوجي (TVS)، وهو بحكم تعريفه فضاء متجهات مزود بطوبولوجيا تجعل عمليتي الجمع والضرب القياسي متصلتين. ويُشدد على أن فضاء المتجهات الطوبولوجي (TVS) $(X,\tau _{d})$ هو مجرد فضاء متجهي مرتبط بنوع معين من الطوبولوجيا؛ أي أنه عند اعتباره فضاءً متجهيًا، فإنه لا يرتبط بأي معيار أو مقياس محدد (وكلاهما " مُهمَل "). هذا هو فضاء هاوسدورف المتجهي $(X,\tau _{d})$ حتى أن الفضاء محدب محليًا لأن مجموعة جميع الكرات المفتوحة المتمركزة عند نقطة الأصل تُشكل أساسًا للجوار عند نقطة الأصل، ويتكون هذا الأساس من مجموعات مفتوحة محدبة ومتوازنة . هذا الفضاء الفضائي المعياري قابل للتطبيع ، والذي يُشير، بحسب التعريف، إلى أي فضاء فضائي معياري تُستحث طوبولوجيته بواسطة معيار ما (قد يكون غير معروف). تتميز الفضاءات الفضائية المعيارية بكونها فضاءات هاوسدورف، وبوجود جوار محدب محدود عند نقطة الأصل. جميع فضاءات باناخ هي فضاءات برميلية ، مما يعني أن كل برميل هو جوار لنقطة الأصل (جميع الكرات المغلقة المتمركزة عند نقطة الأصل هي براميل، على سبيل المثال)، ويضمن ذلك صحة نظرية باناخ-شتاينهاوس .

مقارنة بين طوبولوجيات المتجهات القابلة للقياس الكاملة

تشير نظرية التطبيق المفتوح إلى أنه عندما $\tau _{1}$ و $\tau _{2}$ هي طوبولوجيات على $X$ وهذا يجعل كليهما $(X,\tau _{1})$ و $(X,\tau _{2})$ في فضاءات TVS القابلة للقياس الكاملة (على سبيل المثال، فضاءات باناخ أو فريشيه )، إذا كانت إحدى الطوبولوجيات أدق أو أغلظ من الأخرى، فيجب أن تكون متساوية (أي، إذا $\tau _{1}\subseteq \tau _{2}$ أو $\tau _{2}\subseteq \tau _{1}$ ثم $\tau _{1}=\tau _{2}$ [ ^{11 ] على} سبيل المثال، إذا $(X,p)$ و $(X,q)$ هي فضاءات باناخ ذات طوبولوجيا $\tau _{p}$ و $\tau _{q},$ وإذا احتوت إحدى هاتين المساحتين على كرة مفتوحة تُعدّ أيضًا مجموعة جزئية مفتوحة من المساحة الأخرى (أو، بصورة مكافئة، إذا كانت إحدى $p:(X,\tau _{q})\to \mathbb {R}$ أو $q:(X,\tau _{p})\to \mathbb {R}$ إذا كانت متصلة)، فإن طوبولوجياتها تكون متطابقة والمعايير $p$ و $q$ متكافئان .

اكتمال

المعايير الكاملة والمعايير المكافئة

معياران، $p$ و $q,$ في فضاء متجهي $X$ يُقال إنهما متكافئان إذا كانا يُنتجان نفس البنية الطوبولوجية؛ ^{[ 12 ]} ويحدث هذا إذا وفقط إذا وُجدت أعداد حقيقية $c,C>0$ بحيث ${\textstyle c\,q(x)\leq p(x)\leq C\,q(x)}$ للجميع $x\in X.$ لو $p$ و $q$ هما معياران متكافئان على فضاء متجهي $X$ ثم $(X,p)$ تكون فضاءً باناخياً إذا وفقط إذا $(X,q)$ هو فضاء باناخ. انظر هذه الحاشية للاطلاع على مثال لمعيار متصل على فضاء باناخ لا يكافئ المعيار المعطى لذلك الفضاء. ^{[ ملاحظة 6 ]}^{[ 12 ]} جميع المعايير على فضاء متجهي محدود الأبعاد متكافئة، وكل فضاء معياري محدود الأبعاد هو فضاء باناخ. ^{[ 13 ]}

المعايير الكاملة مقابل المقاييس الكاملة

مقياس $D$ في فضاء متجهي $X$ يتم استحداثه بواسطة معيار على $X$ إذا وفقط إذا $D$ ثابت تحت التحويل ^{[ ملاحظة 3 ]} ومتجانس تمامًا ، مما يعني أن $D(sx,sy)=|s|D(x,y)$ لجميع الكميات القياسية $s$ وكل شيء $x,y\in X,$ وفي هذه الحالة، تكون الوظيفة $\|x\|:=D(x,0)$ يُعرّف معيارًا على $X$ والمقياس المتعارف عليه الناتج عن $\|{\cdot }\|$ يساوي $D.$

لنفترض أن $(X,\|{\cdot }\|)$ هو فضاء معياري وهذا $\tau$ هل طوبولوجيا المعيار مستحثة على $X.$ لنفترض أن $D$ هل يوجد أي مقياس على $X$ بحيث تكون الطوبولوجيا التي $D$ يحفز على $X$ يساوي $\tau .$ لو $D$ هل يكون ثابتًا تحت الإزاحة ^{[ ملاحظة 3 ]} ؟ $(X,\|{\cdot }\|)$ تكون فضاءً باناخياً إذا وفقط إذا $(X,D)$ هو فضاء متري كامل. ^{[ 14 ]} إذا $D$ إذا لم يكن ثابتًا تحت الترجمة، فقد يكون من الممكن $(X,\|{\cdot }\|)$ أن يكون فضاءً لباناش، ولكن لـ $(X,D)$ لكي لا يكون فضاءً متريًا كاملاً ^{[ 15 ]} (انظر هذه الحاشية ^{[ ملاحظة 7 ]} كمثال). في المقابل، تنص نظرية كلي ^{[ 16 ]}^{[ 17 ]}^{[ ملاحظة 8 ]} ، والتي تنطبق أيضًا على جميع فضاءات المتجهات الطوبولوجية القابلة للقياس ، على أنه إذا وُجد أي ^{[ ملاحظة 9 ]} فضاء متري كامل $D$ على $X$ وهذا ما يؤدي إلى طوبولوجيا المعيار $\tau$ على $X,$ ثم $(X,\|{\cdot }\|)$ هو فضاء باناش.

فضاء فريشيه هو فضاء متجهي طوبولوجي محدب محليًا، وتُستحث طوبولوجيته بواسطة مقياس كامل ثابت تحت الإزاحة. كل فضاء باناخ هو فضاء فريشيه، ولكن ليس العكس؛ بل توجد فضاءات فريشيه لا تكون فيها أي معيار دالة متصلة (مثل فضاء المتتابعات الحقيقية). ${\textstyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }=\prod _{i\in \mathbb {N} }\mathbb {R} }$ مع طوبولوجيا المنتج ). ومع ذلك، فإن طوبولوجيا كل فضاء فريشيه تُستحث بواسطة عائلة قابلة للعد من التطبيقات ذات القيم الحقيقية (المتصلة بالضرورة) والتي تُسمى أنصاف المعايير ، وهي تعميمات للمعايير . بل من الممكن أن يمتلك فضاء فريشيه طوبولوجيا مستحثة بواسطة عائلة قابلة للعد من المعايير (ستكون هذه المعايير متصلة بالضرورة) ^{[ ملاحظة 10 ]}^{[ 18 ]} ولكنه لا يكون فضاءً معياريًا/باناخيًا لأن طوبولوجياه لا يمكن تعريفها بواسطة أي معيار واحد . ومن أمثلة هذا الفضاء فضاء فريشيه $C^{\infty }(K),$ ويمكن إيجاد تعريفها في المقالة المتعلقة بفضاءات دوال الاختبار والتوزيعات .

المعايير الكاملة مقابل فضاءات المتجهات الطوبولوجية الكاملة

يوجد مفهوم آخر للاكتمال إلى جانب الاكتمال المتري، وهو مفهوم الفضاء المتجهي الطوبولوجي الكامل (TVS) أو اكتمال TVS، والذي يستخدم نظرية الفضاءات المنتظمة . وبالتحديد، يستخدم مفهوم اكتمال TVS انتظامًا فريدًا ثابتًا تحت الإزاحة ، يُسمى الانتظام الكنسي ، والذي يعتمد فقط على طرح المتجهات والطوبولوجيا. $\tau$ أن الفضاء المتجهي مزود بـ، وبالتالي على وجه الخصوص، فإن مفهوم اكتمال TVS هذا مستقل عن أي معيار أدى إلى ظهور الطوبولوجيا $\tau$ (وينطبق هذا حتى على فضاءات المتجهات الطوبولوجية التي لا يمكن قياسها). كل فضاء باناخ هو فضاء متجهات طوبولوجي كامل. علاوة على ذلك، يكون الفضاء المعياري فضاء باناخ (أي أن مقياسه المستحث بالمعيار كامل) إذا وفقط إذا كان كاملاً كفضاء متجهات طوبولوجي. $(X,\tau )$ إذا كان فضاءً متجهيًا طوبولوجيًا قابلًا للقياس (مثل أي طوبولوجيا مستحثة بالمعيار، على سبيل المثال)، فإن $(X,\tau )$ تكون سلسلة TVS كاملة إذا وفقط إذا كانت سلسلة TVS كاملة تسلسليًا ، مما يعني أنه يكفي التحقق من أن كل تسلسل كوشي في $(X,\tau )$ يتقارب في $(X,\tau )$ إلى حد ما من $X$ (أي أنه لا حاجة للنظر في المفهوم الأكثر عمومية لشبكات كوشي التعسفية ).

لو $(X,\tau )$ إذا كان فضاءً متجهيًا طوبولوجيًا تُستحث طوبولوجيته بواسطة معيار ما (قد يكون غير معروف) (وتسمى هذه الفضاءات فضاءات قابلة للتطبيع )، فإن $(X,\tau )$ تكون فضاءً متجهيًا طوبولوجيًا كاملاً إذا وفقط إذا $X$ قد يتم تحديد معيار $\|{\cdot }\|$ ذلك يحفز $X$ الطوبولوجيا $\tau$ ويجعل أيضًا $(X,\|{\cdot }\|)$ إلى فضاء باناخ. فضاء متجهي طوبولوجي محدب محليًا من نوع هاوسدورف $X$ يكون قابلاً للتطبيع إذا وفقط إذا كان فضاءه الثنائي القوي $X'_{b}$ قابل للتطبيع، ^{[ 19 ]} وفي هذه الحالة $X'_{b}$ هو فضاء باناش ( $X'_{b}$ يشير إلى الفضاء الثنائي القوي لـ $X,$ التي تُعدّ طوبولوجيتها تعميمًا للطوبولوجيا المستحثة بالمعيار الثنائي على الفضاء الثنائي المتصل $X'$ (انظر هذه الحاشية ^{[ ملاحظة 11 ]} لمزيد من التفاصيل). إذا $X$ إذا كان TVS قابلاً للقياس محلياً ومحدباً، $X$ يكون قابلاً للتطبيع إذا وفقط إذا $X'_{b}$ هو فضاء فريشيه-أوريسون . ^{[ 20 ]} وهذا يدل على أنه في فئة فضاءات TVS المحدبة محليًا ، فإن فضاءات باناخ هي بالضبط تلك الفضاءات الكاملة التي تكون قابلة للقياس ولها فضاءات ثنائية قوية قابلة للقياس .

إنجازات

يمكن تضمين كل فضاء معياري بشكل متساوي القياس على فضاء متجهي كثيف فرعي من فضاء باناخ، حيث يُسمى فضاء باناخ هذا إكمالًا للفضاء المعياري. هذا الإكمال الهاوسدورفي فريد من نوعه حتى التشاكل المتساوي القياس .

وبشكل أدق، لكل فضاء معياري $X,$ يوجد فضاء باناخ $Y$ ورسم الخرائط $T:X\to Y$ بحيث $T$ هو رسم تخطيطي متساوي القياس و $T(X)$ كثيف في $Y.$ لو $Z$ هي فضاء باناخ آخر بحيث يوجد تماثل متساوي القياس من $X$ على مجموعة فرعية كثيفة من $Z,$ ثم $Z$ متماثل قياسًا مع $Y.$ مساحة باناش $Y$ هو إكمال هاوسدورف للفضاء المعياري $X.$ الفضاء المتري الأساسي لـ $Y$ وهو نفس مقياس إتمام $X,$ مع عمليات الفضاء المتجهي الممتدة من $X$ ل $Y.$ إتمام $X$ يُشار إليه أحيانًا بـ ${\widehat {X}}.$

النظرية العامة

المؤثرات الخطية، التشاكلات

لو $X$ و $Y$ هي مساحات معيارية فوق نفس حقل الأرض $\mathbb {K} ,$ مجموعة جميع العناصر المتصلة $\mathbb {K}$ الخرائط الخطية $T:X\to Y$ يُرمز إليه بـ $B(X,Y).$ في الفضاءات اللانهائية الأبعاد، لا تكون جميع التحويلات الخطية متصلة. التحويل الخطي من فضاء معياري $X$ تكون الدالة إلى فضاء معياري آخر متصلة إذا وفقط إذا كانت محدودة على الكرة المغلقة ذات الوحدة في ذلك الفضاء. $X.$ وبالتالي، فإن الفضاء المتجهي $B(X,Y)$ يمكن إعطاء معيار المشغل $\|T\|=\sup\{\|Tx\|_{Y}\mid x\in X,\ \|x\|_{X}\leq 1\}.$

ل $Y$ فضاء باناخ، الفضاء $B(X,Y)$ هو فضاء باناخ بالنسبة لهذا المعيار. في السياقات الفئوية، يكون من الملائم أحيانًا حصر فضاء الدوال بين فضاءي باناخ في التطبيقات القصيرة فقط ؛ في هذه الحالة يكون الفضاء $B(X,Y)$ يظهر مرة أخرى كدالة ثنائية طبيعية . ^{[ 21 ]}

لو $X$ هو فضاء باناخ، الفضاء $B(X)=B(X,X)$ يشكل جبر باناخ أحادي ؛ يتم إعطاء عملية الضرب من خلال تركيب التطبيقات الخطية.

لو $X$ و $Y$ هي فضاءات معيارية، وهي فضاءات معيارية متماثلة إذا وُجد تقابل خطي. $T:X\to Y$ بحيث $T$ وعكسه $T^{-1}$ متصلة. إذا كان أحد الفراغين $X$ أو $Y$ إذا كان الفضاء كاملاً (أو انعكاسياً ، أو قابلاً للفصل ، إلخ)، فإن الفضاء الآخر يكون كذلك أيضاً. فضاءان معياريان $X$ و $Y$ تكون متماثلة قياسياً إذا، بالإضافة إلى ذلك، $T$ هو قياس متساوي ، أي $\|T(x)\|=\|x\|$ لكل $x$ في $X.$ مسافة باناش- مازور $d(X,Y)$ بين فضاءين متماثلين ولكن ليسا متساويي القياس $X$ و $Y$ يعطي مقياسًا لمدى تشابه المساحتين $X$ و $Y$ يختلف.

الدوال الخطية المتصلة والمحدودة وشبه المعايير

كل مؤثر خطي متصل هو مؤثر خطي محدود ، وإذا اقتصر التعامل على الفضاءات المعيارية، فإن العكس صحيح أيضًا. أي أن المؤثر الخطي بين فضاءين معياريين يكون محدودًا إذا وفقط إذا كان دالة متصلة . لذا، على وجه الخصوص، نظرًا لأن الحقل القياسي (وهو $\mathbb {R}$ أو $\mathbb {C}$ إذا كان الفضاء معياريًا، فإن الدالة الخطية عليه تكون محدودة إذا وفقط إذا كانت دالة خطية متصلة . وهذا يسمح بتطبيق نتائج متعلقة بالاتصال (مثل تلك المذكورة أدناه) على فضاءات باناخ. مع أن التقييد هو نفسه الاتصال بالنسبة للتطبيقات الخطية بين الفضاءات المعيارية، إلا أن مصطلح "محدود" يُستخدم بشكل أكثر شيوعًا عند التعامل مع فضاءات باناخ بشكل أساسي.

لو $f:X\to \mathbb {R}$ إذا كانت دالة شبه جمعية (مثل المعيار، أو الدالة شبه الخطية ، أو الدالة الخطية الحقيقية)، فإن ^{[ 22 ]} $f$ تكون الدالة متصلة عند نقطة الأصل إذا وفقط إذا $f$ متصلة بانتظام على جميع $X$ وإذا كان بالإضافة إلى ذلك $f(0)=0$ ثم $f$ تكون متصلة إذا وفقط إذا كانت قيمتها المطلقة $|f|:X\to [0,\infty )$ متصلة، وهذا يحدث إذا وفقط إذا $\{x\in X\mid |f(x)|<1\}$ هي مجموعة فرعية مفتوحة من $X.$ ^{[ 22 ]}^{[ ملاحظة 12 ]} ومن الأهمية بمكان لتطبيقنظرية هان-باناخ، دالة خطية $f$ تكون الدالة متصلة إذا وفقط إذا كان هذا صحيحًا بالنسبة لجزئها الحقيقي $\operatorname {Re} f$ وعلاوة على ذلك، $\|\operatorname {Re} f\|=\|f\|$ والجزء الحقيقي $\operatorname {Re} f$ يحدد بشكل كامل $f,$ ولهذا السبب، غالبًا ما تُذكر نظرية هان-باناخ فقط للدوال الخطية الحقيقية. $f$ على $X$ تكون متصلة إذا وفقط إذا كان المعيار النصفي $|f|$ تكون متصلة، وهذا يحدث إذا وفقط إذا وُجد شبه معيار متصل. $p:X\to \mathbb {R}$ بحيث $|f|\leq p$ ؛ هذا البيان الأخير يتعلق بالدالة الخطية $f$ وشبه طبيعي $p$ يُصادف هذا في العديد من صيغ نظرية هان-باناخ.

المفاهيم الأساسية

المنتج الديكارتي $X\times Y$ لا يمتلك فضاءان معياريان معيارًا بشكل أساسي. ومع ذلك، تُستخدم عدة معايير مكافئة بشكل شائع، ^{[ 23 ]} مثل $\|(x,y)\|_{1}=\|x\|+\|y\|,\qquad \|(x,y)\|_{\infty }=\max(\|x\|,\|y\|)$ والتي تُقابل (على التوالي) الضرب المشترك والضرب في فئة فضاءات باناخ والخرائط القصيرة (التي نوقشت أعلاه). ^[²¹^] بالنسبة للضربات (المشتركة) المنتهية، تُؤدي هذه المعايير إلى فضاءات معيارية متماثلة، والضرب $X\times Y$ (أو المجموع المباشر) $X\oplus Y$ تكون ) كاملة إذا وفقط إذا كان العاملان كاملين.

لو $M$ هو فضاء خطي مغلق جزئي من فضاء معياري $X,$ يوجد معيار طبيعي في فضاء القسمة $X/M,$ $\|x+M\|=\inf \limits _{m\in M}\|x+m\|.$

الناتج $X/M$ هو فضاء باناش عندما $X$ مكتملة. ^{[ 24 ]} خريطة القسمة من $X$ على $X/M,$ إرسال $x\in X$ إلى فئتها $x+M,$ خطي، شامل، ومعياري $1,$ إلا عندما $M=X,$ وفي هذه الحالة يكون ناتج القسمة هو الفضاء الصفري.

الفضاء الخطي المغلق $M$ ل $X$ ويُقال إنها فضاء فرعي مكمل لـ $X$ لو $M$ هو مدى إسقاط خطي شامل ومحدود $P:X\to M.$ في هذه الحالة، المساحة $X$ متماثل مع المجموع المباشر لـ $M$ و $\ker P,$ نواة الإسقاط $P.$

لنفترض أن $X$ و $Y$ هي فضاءات باناش وهذا $T\in B(X,Y).$ يوجد تحليل معياري لـ $T$ كما ^{[ 24 ]} $T=T_{1}\circ \pi ,\quad T:X{\overset {\pi }{{}\longrightarrow {}}}X/\ker T{\overset {T_{1}}{{}\longrightarrow {}}}Y$ أين الخريطة الأولى $\pi$ هي خريطة القسمة، والخريطة الثانية $T_{1}$ يرسل إلى كل فصل $x+\ker T$ في ناتج قسمة الصورة $T(x)$ في $Y.$ هذا مُحدد جيدًا لأن جميع العناصر في نفس الفئة لها نفس الصورة. التعيين $T_{1}$ هو تقابل خطي من $X/\ker T$ إلى المدى $T(X),$ والتي لا يشترط أن يكون معكوسها محدوداً.

المساحات الكلاسيكية

تتضمن الأمثلة الأساسية ^{[ 25 ]} لفضاءات باناخ ما يلي: فضاءات Lp $L^{p}$ وحالاتها الخاصة، فضاءات التسلسل $\ell ^{p}$ التي تتكون من متواليات قياسية مفهرسة بأعداد طبيعية $\mathbb {N}$ ومن بينها، الفضاء $\ell ^{1}$ من المتتاليات القابلة للجمع المطلق والفضاء $\ell ^{2}$ من المتتابعات المربعة القابلة للجمع؛ الفضاء $c_{0}$ من المتتاليات التي تقترب من الصفر والفضاء $\ell ^{\infty }$ من المتتاليات المحدودة؛ الفضاء $C(K)$ من الدوال العددية المتصلة على فضاء هاوسدورف مضغوط $K,$ مجهزة بأقصى المعايير، $\|f\|_{C(K)}=\max\{|f(x)|\mid x\in K\},\quad f\in C(K).$

وفقًا لنظرية باناخ-مازور ، فإن كل فضاء باناخ متماثل قياسيًا مع فضاء جزئي من فضاء ما $C(K).$ ^{[ 26 ]} لكل فضاء باناخ قابل للفصل $X,$ يوجد فضاء جزئي مغلق $M$ ل $\ell ^{1}$ بحيث $X:=\ell ^{1}/M.$ ^{[ 27 ]}

أي فضاء هيلبرت يُعد مثالاً على فضاء باناخ. فضاء هيلبرت $H$ على $\mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ يكتمل لمعيار من الشكل $\|x\|_{H}={\sqrt {\langle x,x\rangle }},$ أين $\langle \cdot ,\cdot \rangle :H\times H\to \mathbb {K}$ هو حاصل الضرب الداخلي ، خطي في وسيطه الأول، والذي يحقق ما يلي: ${\begin{aligned}\langle y,x\rangle &={\overline {\langle x,y\rangle }},\quad {\text{ for all }}x,y\in H\\\langle x,x\rangle &\geq 0,\quad {\text{ for all }}x\in H\\\langle x,x\rangle =0{\text{ if and only if }}x&=0.\end{aligned}}$

على سبيل المثال، المساحة $L^{2}$ هو فضاء هيلبرت.

تُعد فضاءات هاردي وفضاءات سوبوليف أمثلة على فضاءات باناخ المرتبطة بـ $L^{p}$ تتميز هذه الفراغات ببنية إضافية، وهي مهمة في فروع مختلفة من التحليل، مثل التحليل التوافقي والمعادلات التفاضلية الجزئية ، وغيرها.

جبر باناخ

جبر باناخ هو فضاء باناخ $A$ زيادة $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ أو $\mathbb {C} ,$ بالإضافة إلى بنية جبرية على $\mathbb {K}$ بحيث تكون خريطة المنتج $A\times A\ni (a,b)\mapsto ab\in A$ متصلة. معيار مكافئ على $A$ يمكن العثور عليها بحيث $\|ab\|\leq \|a\|\|b\|$ للجميع $a,b\in A.$

أمثلة

مساحة باناش $C(K)$ مع الضرب النقطي، هو جبر باناخ.
جبر القرص $A(\mathbf {D} )$ تتكون من دوال هولومورفية في القرص المفتوح للوحدة $D\subseteq \mathbb {C}$ ويستمر عند إغلاقه : ${\overline {\mathbf {D} }}.$ مزود بأقصى معيار ${\overline {\mathbf {D} }},$ جبر القرص $A(\mathbf {D} )$ هي جبر فرعي مغلق من $C\left({\overline {\mathbf {D} }}\right).$
جبر وينر $A(\mathbf {T} )$ هو جبر الدوال على دائرة الوحدة $\mathbf {T}$ باستخدام متسلسلات فورييه المتقاربة تمامًا . عبر الخريطة التي تربط دالة على $\mathbf {T}$ بالنسبة لتسلسل معاملات فورييه الخاصة بها، فإن هذا الجبر متماثل مع جبر باناخ $\ell ^{1}(Z),$ حيث يكون الناتج هو التفاف التسلسلات.
لكل مساحة باناش $X,$ المساحة $B(X)$ من المؤثرات الخطية المحدودة على $X,$ مع اعتبار تركيب الخرائط بمثابة ناتج ضرب، فإن جبر باناخ.
الجبر C * هو جبر باناخ معقد $A$ مع انقلاب مضاد للخطية $a\mapsto a^{*}$ بحيث $\|a^{*}a\|=\|a\|^{2}.$ المساحة $B(H)$ المؤثرات الخطية المحدودة على فضاء هيلبرت $H$ يُعد مثالًا أساسيًا على جبر C*. تنص نظرية جيلفاند-نايمارك على أن كل جبر C* متماثل قياسيًا مع جبر C* فرعي من نوع ما $B(H).$ المساحة $C(K)$ من الدوال المتصلة المعقدة على فضاء هاوسدورف مضغوط $K$ يُعد مثالاً على الجبر التبادلي C*، حيث يرتبط الانعكاس بكل دالة $f$ مرافقه المعقد ${\overline {f}}.$

مساحة مزدوجة

لو $X$ هو فضاء معياري و $\mathbb {K}$ الحقل الأساسي (سواء كان الأعداد الحقيقية أو الأعداد المركبة )، الفضاء الثنائي المتصل هو فضاء التطبيقات الخطية المتصلة من $X$ داخل $\mathbb {K} ,$ أو الدوال الخطية المتصلة . ويُرمز للدالة الثنائية المتصلة بـ $X'=B(X,\mathbb {K} )$ في هذه المقالة. ^{[ 28 ]} منذ $\mathbb {K}$ هو فضاء باناخ (باستخدام القيمة المطلقة كمعيار)، والفضاء الثنائي $X'$ هو فضاء باناخ، لكل فضاء معياري $X.$ تُحدد نظرية ديكسمير -نج خصائص الفضاءات الثنائية لفضاءات باناخ.

الأداة الرئيسية لإثبات وجود الدوال الخطية المستمرة هي نظرية هان-باناخ .

نظرية هان-باناخ — ليكن $X$ ليكن فضاء متجهي على الحقل $\mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C} .$ دعونا نواصل

$Y\subseteq X$ ليكن فضاءً جزئياً خطياً ،
$p:X\to \mathbb {R}$ لتكن دالة شبه خطية و
$f:Y\to \mathbb {K}$ ليكن دالة خطية بحيث $\operatorname {Re} (f(y))\leq p(y)$ للجميع $y\in Y.$

إذن، يوجد دالة خطية $F:X\to \mathbb {K}$ لهذا السبب. $F{\big \vert }_{Y}=f,\quad {\text{ and }}\quad {\text{ for all }}x\in X,\ \ \operatorname {Re} (F(x))\leq p(x).$

على وجه الخصوص، يمكن تمديد كل دالة خطية متصلة على فضاء جزئي من فضاء معياري بشكل متصل إلى الفضاء بأكمله، دون زيادة معيار الدالة. ^{[ 29 ]} ومن الحالات الخاصة المهمة ما يلي: لكل متجه $x$ في فضاء معياري $X,$ يوجد دالة خطية متصلة $f$ على $X$ بحيث $f(x)=\|x\|_{X},\quad \|f\|_{X'}\leq 1.$

متى $x$ لا يساوي $\mathbf {0}$ المتجه، الوظيفة $f$ يجب أن يكون لها معيار واحد، وتسمى دالة التطبيع لـ $x.$

تنص نظرية هان-باناخ للفصل على أنه يمكن فصل مجموعتين محدبتين غير فارغتين منفصلتين في فضاء باناخ حقيقي، إحداهما مفتوحة، بواسطة مستوى فائق مغلق . تقع المجموعة المحدبة المفتوحة تمامًا على أحد جانبي المستوى الفائق، بينما تقع المجموعة المحدبة الثانية على الجانب الآخر ولكنها قد تلامس المستوى الفائق. ^[³⁰^]

مجموعة فرعية $S$ في فضاء باناش $X$ يكون إجماليًا إذا كان الامتداد الخطي لـ $S$ كثيف في $X.$ المجموعة الفرعية $S$ إجمالي في $X$ إذا وفقط إذا كانت الدالة الخطية المستمرة الوحيدة التي تتلاشى على $S$ هو $\mathbf {0}$ وظيفي: هذا التكافؤ يتبع من نظرية هان-باناخ.

لو $X$ هو المجموع المباشر لفضاءين خطيين مغلقين $M$ و $N,$ ثم الثنائي $X'$ ل $X$ متماثل مع المجموع المباشر للمزدوجات لـ $M$ و $N.$ ^{[ 31 ]} إذا $M$ هو فضاء خطي مغلق في $X,$ يمكن للمرء أن يربط بين المتعامد و $M$ في الثنائية، $M^{\bot }=\{x'\in X\mid x'(m)=0{\text{ for all }}m\in M\}.$

المتعامد $M^{\bot }$ هو فضاء خطي مغلق جزئي من الفضاء الثنائي. الفضاء الثنائي لـ $M$ متماثل قياسًا مع $X'/M^{\bot }.$ ثنائية $X/M$ متماثل قياسًا مع $M^{\bot }.$ ^{[ 32 ]}

لا يشترط أن يكون الفضاء الثنائي لفضاء باناخ قابلاً للفصل، ولكن:

النظرية ^{[ 33 ]} — ليكن $X$ كن فضاءً معيارياً. إذا $X'$ إذا كان قابلاً للفصل ، فـ $X$ قابل للفصل.

متى $X'$ إذا كانت قابلة للفصل، فيمكن استخدام المعيار المذكور أعلاه للشمولية لإثبات وجود مجموعة جزئية كلية قابلة للعد في $X.$

الطوبولوجيات الضعيفة

الطوبولوجيا الضعيفة على فضاء باناخ $X$ هي أضعف بنية طوبولوجية على $X$ والتي من أجلها جميع العناصر $x'$ في الفضاء الثنائي المتصل $X'$ متصلة. لذا، فإن طوبولوجيا المعيار أدق من الطوبولوجيا الضعيفة. ويترتب على نظرية هان-باناخ للفصل أن الطوبولوجيا الضعيفة هي هاوسدورف ، وأن أي مجموعة فرعية محدبة مغلقة معياريًا في فضاء باناخ تكون أيضًا مغلقة ضعيفًا. ^{[ 34 ]} تطبيق خطي متصل معياريًا بين فضاءي باناخ $X$ و $Y$ وهي أيضًا متصلة بشكل ضعيف ، أي متصلة من الطوبولوجيا الضعيفة لـ $X$ إلى ذلك من $Y.$ ^{[ 35 ]}

لو $X$ إذا كان الفضاء لانهائي الأبعاد، فإنه توجد فيه تطبيقات خطية غير متصلة. $X^{*}$ من جميع الخرائط الخطية من $X$ إلى المجال الأساسي $\mathbb {K}$ (هذه المساحة) $X^{*}$ يُطلق عليه اسم الفضاء الثنائي الجبري ، وذلك لتمييزه عن $X'$ كما أنه يُحدث بنية طوبولوجية على $X$ وهو أدق من الطوبولوجيا الضعيفة، وأقل استخدامًا بكثير في التحليل الوظيفي.

في مساحة مزدوجة $X',$ توجد بنية طوبولوجية أضعف من البنية الطوبولوجية الضعيفة لـ $X',$ تُسمى الطوبولوجيا الضعيفة* . وهي الطوبولوجيا الأقل دقة على $X'$ والتي تشملها جميع خرائط التقييم $x'\in X'\mapsto x'(x),$ أين $x$ نطاقات $X,$ متصلة. وتأتي أهميتها من نظرية باناش-ألاوغلو .

نظرية باناش-ألاوغلو — ليكن $X$ ليكن فضاء متجهي معياري . عندئذٍ تكون الكرة المغلقة ذات الوحدة $B=\{x\in X\mid \|x\|\leq 1\}$ الفضاء الثنائي مضغوط في الطوبولوجيا الضعيفة*.

يمكن إثبات نظرية باناش-ألاوغلو باستخدام نظرية تيكونوف حول الجداءات اللانهائية للفضاءات المدمجة من نوع هاوسدورف. عندما $X$ قابلة للفصل، كرة الوحدة $B'$ ^[ 36 ]

أمثلة على الفضاءات المزدوجة

ثنائية $c_{0}$ متماثل قياسًا مع $\ell ^{1}$ لكل دالة خطية محدودة $f$ على $c_{0},$ هناك عنصر فريد $y=\{y_{n}\}\in \ell ^{1}$ بحيث $f(x)=\sum _{n\in \mathbb {N} }x_{n}y_{n},\qquad x=\{x_{n}\}\in c_{0},\ \ {\text{and}}\ \ \|f\|_{(c_{0})'}=\|y\|_{\ell _{1}}.$

ثنائية $\ell ^{1}$ متماثل قياسًا مع $\ell ^{\infty }$ . ثنائية فضاء ليبيغ $L^{p}([0,1])$ متماثل قياسًا مع $L^{q}([0,1])$ متى $1\leq p<\infty$ و ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1.$

لكل متجه $y$ في مساحة هيلبرت $H,$ رسم الخرائط $x\in H\to f_{y}(x)=\langle x,y\rangle$

يُعرّف دالة خطية متصلة $f_{y}$ على $H.$ تنص نظرية تمثيل ريز على أن كل دالة خطية متصلة على $H$ وهو على شكل $f_{y}$ بالنسبة لمتجه محدد بشكل فريد $y$ في $H.$ رسم الخرائط $y\in H\to f_{y}$ هو تقابل متساوي القياس مضاد للخطية من $H$ على وجهها المزدوج $H'.$ عندما تكون الكميات العددية حقيقية، فإن هذه الخريطة عبارة عن تماثل متساوي القياس.

متى $K$ هو فضاء طوبولوجي هاوسدورف مضغوط، ثنائي $M(K)$ ل $C(K)$ هي فضاء مقاييس رادون بمعنى بورباكي. ^{[ 37 ]} المجموعة الجزئية $P(K)$ ل $M(K)$ تتكون من مقاييس غير سالبة للكتلة 1 ( مقاييس الاحتمالية ) وهي مجموعة فرعية محدبة مغلقة من النوع w* من كرة الوحدة لـ $M(K).$ أقصى نقاط $P(K)$ هل مقاييس ديراك موجودة $K.$ مجموعة مقاييس ديراك على $K,$ مجهزة بطوبولوجيا w*، وهي متماثلة الشكل مع $K.$

نظرية باناش-ستون — إذا $K$ و $L$ هي مساحات هاوسدورف المدمجة، وإذا $C(K)$ و $C(L)$ إذا كانت متماثلة قياسياً، فإن الفضاءات الطوبولوجية $K$ و $L$ هي متماثلة الشكل . ^{[ 38 ]}^{[ 39 ]}

وقد تم توسيع هذه النتيجة بواسطة أمير ^{[ 40 ]} وكامبرن ^{[ 41 ]} لتشمل الحالة التي تكون فيها مسافة باناخ-مازور المضاعفة بين $C(K)$ و $C(L)$ يكون $<2.$ لم تعد النظرية صحيحة عندما تكون المسافة $=2.$ ^{[ 42 ]}

في جبر باناخ التبادلي $C(K),$ المُثُل القصوى هي بالضبط نوى قياسات ديراك على $K,$ $I_{x}=\ker \delta _{x}=\{f\in C(K)\mid f(x)=0\},\quad x\in K.$

بشكلٍ أعم، وبحسب نظرية جيلفاند-مازور ، يمكن تحديد المُثُل القصوى لجبر باناخ التبادلي الأحادي بخصائصه - ليس فقط كمجموعات، بل كفضاءات طوبولوجية: الأولى مع طوبولوجيا الغلاف-النواة، والثانية مع طوبولوجيا w*. في هذا التحديد، يمكن اعتبار فضاء المُثُل القصوى مجموعةً جزئيةً مضغوطةً من نوع aw* للكرة الأحادية في الفضاء الثنائي. $A'.$

نظرية — إذا $K$ إذا كان فضاء هاوسدورف مضغوطًا، فإن الفضاء المثالي الأقصى $\Xi$ من جبر باناخ $C(K)$ متماثل الشكل مع $K.$ ^{[ 38 ]}

ليس كل جبر باناخ تبادلي أحادي الشكل $C(K)$ لبعض المساحات المدمجة من هاوسدورف $K.$ لكن هذا البيان يبقى صحيحاً إذا وضع المرء $C(K)$ في الفئة الأصغر من الجبر التبادلي C* . تنص نظرية تمثيل جيلفاند للجبر التبادلي C* على أن كل جبر تبادلي أحادي C * $A$ متماثل قياسيًا مع $C(K)$ الفضاء. ^{[ 43 ]} فضاء هاوسدورف المضغوط $K$ وهنا مرة أخرى الفضاء المثالي الأقصى، والذي يُطلق عليه أيضًا طيف $A$ في سياق الجبر C*.

ثنائي

لو $X$ هو فضاء معياري، ثنائي (مستمر) $X''$ من الثنائي $X'$ يُطلق عليه اسمثنائي أوالمبارزة الثانية لـ $X.$ لكل فضاء معياري $X,$ توجد خريطة طبيعية، ${\begin{cases}F_{X}\colon X\to X''\\F_{X}(x)(f)=f(x)&{\text{ for all }}x\in X,{\text{ and for all }}f\in X'\end{cases}}$

هذا يحدد $F_{X}(x)$ كدالة خطية متصلة على $X',$ أي عنصر من $X''.$ الخريطة $F_{X}\colon x\to F_{X}(x)$ هي خريطة خطية من $X$ ل $X''.$ نتيجة لوجود دالة معيارية $f$ لكل $x\in X,$ هذه الخريطة $F_{X}$ متساوي القياس، وبالتالي حقني .

على سبيل المثال، ثنائي لـ $X=c_{0}$ يُعرف بـ $\ell ^{1},$ وثنائية $\ell ^{1}$ يُعرف بـ $\ell ^{\infty },$ فضاء المتتاليات العددية المحدودة. في ظل هذه التعريفات، $F_{X}$ خريطة التضمين من $c_{0}$ ل $\ell ^{\infty }.$ إنها بالفعل متساوية القياس، ولكنها ليست شاملة.

لو $F_{X}$ إذا كانت شاملة ، فإن الفضاء المعياري $X$ يُطلق عليه اسم انعكاسي (انظر أدناه ). كونه ثنائي الفضاء المعياري، ثنائي الفضاء $X''$ وبالتالي، فإن كل فضاء معياري انعكاسي هو فضاء باناخ.

باستخدام التضمين متساوي القياس $F_{X},$ من المعتاد اعتبار الفضاء المعياري $X$ كمجموعة فرعية من ثنائيتها. عندما $X$ إذا كان فضاء باناخ، فإنه يُنظر إليه على أنه فضاء فرعي خطي مغلق من $X''.$ لو $X$ ليست انعكاسية، كرة الوحدة من $X$ هي مجموعة جزئية فعلية من كرة الوحدة لـ $X''.$ تنص نظرية غولدستين على أن كرة الوحدة في فضاء معياري تكون كثيفة بشكل ضعيف* في كرة الوحدة للفضاء الثنائي. بعبارة أخرى، لكل $x''$ في الثنائي، توجد شبكة $(x_{i})_{i\in I}$ في $X$ لهذا السبب. $\sup _{i\in I}\|x_{i}\|\leq \|x''\|,\ \ x''(f)=\lim _{i}f(x_{i}),\quad f\in X'.$

يمكن استبدال الشبكة بمتتالية متقاربة بشكل ضعيف* عندما يكون الثنائي $X'$ قابل للفصل. من ناحية أخرى، عناصر الثنائية لـ $\ell ^{1}$ التي ليست في $\ell ^{1}$ لا يمكن أن يكون الحد الضعيف* للتسلسلات في $\ell ^{1},$ منذ $\ell ^{1}$ هي مكتملة تسلسلياً بشكل ضعيف .

نظريات باناش

فيما يلي أهم النتائج العامة المتعلقة بفضاءات باناخ، والتي تعود إلى زمن كتاب باناخ ( باناخ، 1932) ، وترتبط بنظرية باير للفئات . وفقًا لهذه النظرية، لا يمكن أن يكون الفضاء المتري الكامل (مثل فضاء باناخ، أو فضاء فريشيه ، أو فضاء-F ) مساويًا لاتحاد عدد قابل للعد من المجموعات الجزئية المغلقة ذات الأجزاء الداخلية الفارغة . لذلك، لا يمكن أن يكون فضاء باناخ اتحادًا لعدد قابل للعد من الفضاءات الجزئية المغلقة، إلا إذا كان مساويًا لأحدها بالفعل؛ أي أن فضاء باناخ ذو أساس هامل قابل للعد يكون محدود الأبعاد.

نظرية باناخ-شتاينهاوس - ل $X$ كن مساحة باناش و $Y$ ليكن فضاءً متجهيًا معياريًا . لنفترض أن $F$ هي مجموعة من المؤثرات الخطية المتصلة من $X$ ل $Y.$ ينص مبدأ التقييد المنتظم على أنه إذا كان لكل $x$ في $X$ لدينا $\sup _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty ,$ ثم $\sup _{T\in F}\|T\|_{Y}<\infty .$

لا تقتصر نظرية باناخ-شتاينهاوس على فضاءات باناخ. يمكن توسيعها، على سبيل المثال، لتشمل الحالة التي $X$ هو فضاء فريشيه ، بشرط تعديل النتيجة على النحو التالي: في ظل الفرضية نفسها، توجد جوار $U$ ل $\mathbf {0}$ في $X$ بحيث يكون كل $T$ في $F$ محدودة بشكل منتظم على $U,$ $\sup _{T\in F}\sup _{x\in U}\;\|T(x)\|_{Y}<\infty .$

نظرية التطبيق المفتوح — ليكن $X$ و $Y$ كن مساحات باناش و $T:X\to Y$ ليكن مؤثرًا خطيًا متصلًا شاملًا، إذن $T$ هي خريطة مفتوحة.

النتيجة — كل مؤثر خطي محدود من فضاء باناخ إلى فضاء باناخ هو تماثل.

نظرية التشاكل الأولى لفضاءات باناخ — لنفترض أن $X$ و $Y$ هي فضاءات باناش وهذا $T\in B(X,Y).$ لنفترض كذلك أن نطاق $T$ مغلق في $Y.$ ثم $X/\ker T$ متماثل مع $T(X).$

هذه النتيجة هي نتيجة مباشرة لنظرية باناش للتماثل السابقة وللتحليل الكنسي للخرائط الخطية المحدودة.

نتيجة - إذا كان فضاء باناخ $X$ هو المجموع المباشر الداخلي للفضاءات الفرعية المغلقة $M_{1},\ldots ,M_{n},$ ثم $X$ متماثل مع $M_{1}\oplus \cdots \oplus M_{n}.$

هذه نتيجة أخرى لنظرية باناش للتشاكل، المطبقة على التقابل المستمر من $M_{1}\oplus \cdots \oplus M_{n}$ على $X$ إرسال $m_{1},\cdots ,m_{n}$ إلى المجموع $m_{1}+\cdots +m_{n}.$

نظرية الرسم البياني المغلق — ليكن $T:X\to Y$ ليكن تطبيقًا خطيًا بين فضاءات باناخ. رسم بياني لـ $T$ مغلق في $X\times Y$ إذا وفقط إذا $T$ متصل.

الانعكاسية

المساحة المعيارية $X$ يُطلق عليه اسم انعكاسي عندما تكون الخريطة الطبيعية ${\begin{cases}F_{X}:X\to X''\\F_{X}(x)(f)=f(x)&{\text{ for all }}x\in X,{\text{ and for all }}f\in X'\end{cases}}$ هي شاملة. الفضاءات المعيارية الانعكاسية هي فضاءات باناخ.

نظرية — إذا $X$ هو فضاء باناخ انعكاسي، كل فضاء فرعي مغلق من $X$ وكل فضاء خارج القسمة من $X$ هي انعكاسية.

هذا نتيجة لنظرية هان-باناخ. علاوة على ذلك، وبحسب نظرية التطبيق المفتوح، إذا كان هناك مؤثر خطي محدود من فضاء باناخ $X$ إلى فضاء باناش $Y,$ ثم $Y$ هو انعكاسي.

نظرية — إذا $X$ إذا كان فضاء باناخ، $X$ تكون انعكاسية إذا وفقط إذا $X'$ هو انعكاسي.

النتيجة — ليكن $X$ ليكن فضاء باناخ انعكاسي. ثم $X$ تكون قابلة للفصل إذا وفقط إذا $X'$ قابل للفصل.

في الواقع، إذا كان الثنائي $Y'$ من فضاء باناخ $Y$ إذا كان قابلاً للفصل، فـ $Y$ قابل للفصل. إذا $X$ إذا كان انعكاسيًا وقابلًا للفصل، فإن ثنائي $X'$ قابل للفصل، لذا $X'$ قابل للفصل.

نظرية — لنفترض أن $X_{1},\ldots ,X_{n}$ هي مساحات معيارية وأن $X=X_{1}\oplus \cdots \oplus X_{n}.$ ثم $X$ تكون انعكاسية إذا وفقط إذا كان كل $X_{j}$ هو انعكاسي.

فضاءات هيلبرت انعكاسية. $L^{p}$ تكون المساحات انعكاسية عندما $1<p<\infty .$ وبشكل أعم، فإن الفضاءات المحدبة بانتظام هي فضاءات انعكاسية، وفقًا لنظرية ميلمان-بيتيس . $c_{0},\ell ^{1},L^{1}([0,1]),C([0,1])$ ليست انعكاسية. في هذه الأمثلة على المساحات غير الانعكاسية $X,$ ثنائي $X''$ أكبر بكثير من $X.$ أي تحت التضمين المتساوي القياس الطبيعي لـ $X$ داخل $X''$ وفقًا لنظرية هان-باناخ، فإن الناتج هو $X''/X$ هو فضاء لانهائي الأبعاد، بل وغير قابل للفصل. ومع ذلك، فقد بنى روبرت سي. جيمس مثالًا ^{[ 44 ]} لفضاء غير انعكاسي، يُطلق عليه عادةً اسم " فضاء جيمس " ويُرمز له بـ $J,$ ^{[ 45 ]} بحيث يكون ناتج القسمة $J''/J$ هو أحادي البعد. علاوة على ذلك، هذا الفضاء $J$ متماثل قياسيًا مع نظيره الثنائي.

نظرية — فضاء باناخ $X$ تكون انعكاسية إذا وفقط إذا كانت كرة الوحدة الخاصة بها مضغوطة في الطوبولوجيا الضعيفة .

متى $X$ بما أن الخاصية انعكاسية، فإن جميع المجموعات الفرعية المحدبة المغلقة والمحدودة من $X$ تكون متراصة بشكل ضعيف. في فضاء هيلبرت $H,$ يُستخدم مفهوم التراص الضعيف للكرة الوحدوية غالبًا بالطريقة التالية: كل متتالية محدودة في $H$ يحتوي على متواليات فرعية متقاربة بشكل ضعيف.

تُوفّر خاصية التراص الضعيف للكرة الوحدة أداةً لإيجاد حلول في الفضاءات الانعكاسية لبعض مسائل التحسين . على سبيل المثال، كل دالة محدبة متصلة على الكرة الوحدة $B$ تصل قيمة الفضاء الانعكاسي إلى أدنى قيمة لها عند نقطة ما في $B.$

كحالة خاصة من النتيجة السابقة، عندما $X$ هو فضاء انعكاسي فوق $\mathbb {R} ,$ كل دالة خطية متصلة $f$ في $X'$ يبلغ أقصى حد له $\|f\|$ على كرة الوحدة من $X.$ تقدم النظرية التالية لروبرت سي. جيمس عبارة معاكسة.

نظرية جيمس - بالنسبة لفضاء باناخ، فإن الخاصيتين التاليتين متكافئتان:

$X$ هو انعكاسي.
للجميع $f$ في $X'$ يوجد $x\in X$ مع $\|x\|\leq 1,$ لهذا السبب. $f(x)=\|f\|.$

يمكن توسيع النظرية لإعطاء توصيف للمجموعات المحدبة المدمجة بشكل ضعيف.

في كل فضاء باناخ غير انعكاسي $X,$ توجد دوال خطية متصلة لا تحقق معيارًا . ومع ذلك، تنص نظرية بيشوب - فيلبس ^{[ 46 ]} على أن الدوال التي تحقق معيارًا تكون كثيفة المعيار في الفضاء الثنائي. $X'$ ل $X.$

التقارب الضعيف للمتتاليات

تسلسل $\{x_{n}\}$ في فضاء باناش $X$ يتقارب بشكل ضعيف إلى متجه $x\in X$ لو $\{f(x_{n})\}$ يتقارب إلى $f(x)$ لكل دالة خطية متصلة $f$ في الثنائية $X'.$ التسلسل $\{x_{n}\}$ تكون متتالية كوشي ضعيفة إذا $\{f(x_{n})\}$ يتقارب إلى حد قياسي $L(f)$ لكل $f$ في $X'.$ تسلسل $\{f_{n}\}$ في الثنائية $X'$ يتقارب بشكل ضعيف* إلى دالة $f\in X'$ لو $f_{n}(x)$ يتقارب إلى $f(x)$ لكل $x$ في $X.$ تكون المتتابعات الضعيفة كوشي، والمتتابعات الضعيفة التقارب، والمتتابعات الضعيفة* التقارب محدودة المعيار، كنتيجة لنظرية باناش-شتاينهاوس .

عندما يكون التسلسل $\{x_{n}\}$ في $X$ هي متتالية كوشي ضعيفة، النهاية $L$ ما سبق يُعرّف دالة خطية محدودة على الفضاء الثنائي $X',$ أي عنصر $L$ من ثنائي $X,$ و $L$ هو الحد الأقصى لـ $\{x_{n}\}$ في الطوبولوجيا الضعيفة* للفضاء الثنائي. فضاء باناخ $X$ تكون المجموعة كاملة تسلسليًا بشكل ضعيف إذا كانت كل متتالية كوشي ضعيفة متقاربة بشكل ضعيف في $X.$ ويترتب على المناقشة السابقة أن الفضاءات الانعكاسية تكون مكتملة تسلسلياً بشكل ضعيف.

النظرية ^{[ 47 ]} — لكل مقياس $\mu ,$ المساحة $L^{1}(\mu )$ هي مكتملة تسلسلياً بشكل ضعيف.

تُعدّ المتتالية المتعامدة في فضاء هيلبرت مثالاً بسيطاً على المتتالية المتقاربة تقارباً ضعيفاً، ونهايتها تساوي $\mathbf {0}$ المتجه. أساس متجه الوحدة لـ $\ell ^{p}$ ل $1<p<\infty ,$ أو من $c_{0},$ يُعد مثالًا آخر على متتالية ضعيفة التساوي ، أي متتالية تتقارب تقاربًا ضعيفًا إلى $\mathbf {0} .$ لكل متتالية ضعيفة الصفر في فضاء باناخ، توجد متتالية من التراكيب المحدبة للمتجهات من المتتالية المعطاة تتقارب معيارياً إلى $\mathbf {0} .$ ^{[ 48 ]}

أساس متجه الوحدة لـ $\ell ^{1}$ ليست متتابعة كوشي ضعيفة. متتابعات كوشي ضعيفة في $\ell ^{1}$ هي متقاربة بشكل ضعيف، لأن $L^{1}$ تُعتبر فضاءات - مكتملة تسلسليًا بشكل ضعيف. في الواقع، المتتابعات المتقاربة بشكل ضعيف في $\ell ^{1}$ هي متقاربة معيارياً. ^{[ 49 ]} وهذا يعني أن $\ell ^{1}$ يفي بشرط شور .

النتائج التي تتضمن أساس $𝓁 1$

متواليات كوشي الضعيفة و $\ell ^{1}$ الأساس هو الحالات المعاكسة للثنائية التي تم تحديدها في النتيجة العميقة التالية لهاسكل ب. روزنتال . ^{[ 50 ]}

النظرية ^{[ 51 ]} — ليكن $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ لتكن متتالية محدودة في فضاء باناخ. إما $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ تحتوي على متتالية جزئية ضعيفة من نوع كوشي، أو تقبل متتالية جزئية مكافئة لأساس متجه الوحدة القياسي لـ $\ell ^{1}.$

ويعود الفضل في استكمال هذه النتيجة إلى أوديل وروزنتال (1975).

النظرية ^{[ 52 ]} — ليكن $X$ ليكن فضاء باناخ قابلاً للفصل. ما يلي متكافئ:

المساحة $X$ لا يحتوي على فضاء جزئي مغلق متماثل مع $\ell ^{1}.$
كل عنصر من عناصر الثنائية $X''$ هي النهاية الضعيفة* لمتتالية $\{x_{n}\}$ في $X.$

بحسب نظرية غولدستاين، كل عنصر من عناصر كرة الوحدة $B''$ ل $X''$ هي حد ضعيف* لشبكة في كرة الوحدة لـ $X.$ متى $X$ لا يحتوي $\ell ^{1},$ كل عنصر من $B''$ هي النهاية الضعيفة* لمتتالية في كرة الوحدة لـ $X.$ ^{[ 53 ]}

عندما فضاء باناش $X$ قابلة للفصل، كرة الوحدة للثنائي $X',$ مجهزة بطوبولوجيا ضعيفة، وهي مساحة مدمجة قابلة للقياس $K,$ ^{[ 36 ]} وكل عنصر $x''$ في الثنائي $X''$ تُعرّف دالة محدودة على $K$ : $x'\in K\mapsto x''(x'),\quad |x''(x')|\leq \|x''\|.$

تكون هذه الدالة متصلة بالنسبة للطوبولوجيا المدمجة لـ $K$ إذا وفقط إذا $x''$ هو في الواقع في $X,$ تُعتبر مجموعة فرعية من $X''.$ افترض بالإضافة إلى ذلك لبقية الفقرة أن $X$ لا يحتوي $\ell ^{1}.$ وبناءً على النتيجة السابقة لأوديل وروزنتال، فإن الدالة $x''$ هي النهاية النقطية على $K$ من تسلسل $\{x_{n}\}\subseteq X$ من الدوال المتصلة على $K,$ وبالتالي فهي دالة من فئة باير الأولى على $K.$ الكرة الوحدوية للثنائية هي مجموعة جزئية مضغوطة نقطيًا من فئة باير الأولى على $K.$ ^{[ 54 ]}

المتتاليات، والتراص الضعيف والتراص الضعيف*

متى $X$ بما أن الفضاء الثنائي قابل للفصل، فإن كرة الوحدة فيه تكون متراصة ضعيفة* وفقًا لنظرية باناش-ألاوغلو ، وقابلة للقياس بالنسبة للطوبولوجيا الضعيفة*، ^{[ 36 ]} وبالتالي، فإن كل متتالية محدودة في الفضاء الثنائي لها متتاليات فرعية متقاربة ضعيفًا*. ينطبق هذا على الفضاءات الانعكاسية القابلة للفصل، ولكن الأمر أكثر دقة في هذه الحالة، كما هو موضح أدناه.

الطوبولوجيا الضعيفة لفضاء باناخ $X$ تكون قابلة للقياس إذا وفقط إذا $X$ هو ذو أبعاد محدودة. ^{[ 55 ]} إذا كان الثنائي $X'$ قابلة للفصل، الطوبولوجيا الضعيفة للكرة الوحدوية لـ $X$ قابلة للقياس. ينطبق هذا بشكل خاص على فضاءات باناخ الانعكاسية القابلة للفصل. على الرغم من أن الطوبولوجيا الضعيفة للكرة الوحدوية غير قابلة للقياس بشكل عام، إلا أنه يمكن وصف التراص الضعيف باستخدام المتتاليات.

نظرية إبرلين-شموليان ^{[ 56 ]} — مجموعة $A$ تكون المتتالية في فضاء باناخ متراصة بشكل ضعيف نسبياً إذا وفقط إذا كانت كل متتالية $\{a_{n}\}$ في $A$ يحتوي على متتالية فرعية متقاربة بشكل ضعيف.

مساحة باناش $X$ تكون انعكاسية إذا وفقط إذا كانت كل متتالية محدودة في $X$ يحتوي على متتالية فرعية متقاربة بشكل ضعيف. ^{[ 57 ]}

مجموعة جزئية مضغوطة بشكل ضعيف $A$ في $\ell ^{1}$ هي متراصة معيارياً. في الواقع، كل تسلسل في $A$ تحتوي على متتابعات جزئية متقاربة بشكل ضعيف وفقًا لخاصية إيبرلين-شموليان، وهي متقاربة معياريًا وفقًا لخاصية شور لـ $\ell ^{1}.$

النوع والنمط المساعد

إحدى طرق تصنيف فضاءات باناخ هي من خلال المفهوم الاحتمالي للنوع والنوع المشترك ، وهذان يقيسان مدى بعد فضاء باناخ عن فضاء هيلبرت.

قواعد شاودر

أساس شودر في فضاء باناخ $X$ هو تسلسل $\{e_{n}\}_{n\geq 0}$ من المتجهات في $X$ مع الخاصية التي لكل متجه $x\in X,$ توجد كميات قياسية محددة بشكل فريد $\{x_{n}\}_{n\geq 0}$ .اعتمادا علي $x,$ بحيث $x=\sum _{n=0}^{\infty }x_{n}e_{n},\quad {\textit {i.e.,}}\quad x=\lim _{n}P_{n}(x),\ P_{n}(x):=\sum _{k=0}^{n}x_{k}e_{k}.$

تكون فضاءات باناخ ذات أساس شاودر قابلة للفصل بالضرورة ، لأن المجموعة القابلة للعد من التركيبات الخطية المحدودة ذات المعاملات النسبية (على سبيل المثال) كثيفة.

ويترتب على نظرية باناخ-شتاينهاوس أن التطبيقات الخطية $\{P_{n}\}$ محدودة بشكل منتظم بواسطة ثابت ما $C.$ يترك $\{e_{n}^{*}\}$ تشير إلى الدوال الإحداثية التي تُخصص لكل $x$ في $X$ الإحداثيات $x_{n}$ ل $x$ في التوسع أعلاه. تُسمى هذه الدوال بالدوال المتعامدة الثنائية . عندما يكون لمتجهات الأساس معيار $1,$ الدوال الإحداثية $\{e_{n}^{*}\}$ يوجد معيار ${}\leq 2C$ في ثنائية $X.$

معظم الفضاءات الكلاسيكية القابلة للفصل لها قواعد صريحة. نظام هار $\{h_{n}\}$ يشكل أساسًا لـ $L^{p}([0,1])$ متى $1\leq p<\infty .$ يُعد النظام المثلثي أساسًا في $L^{p}(\mathbf {T} )$ متى $1<p<\infty .$ يُعد نظام شاودر أساسًا في الفضاء $C([0,1]).$ ^{[ 58 ]} مسألة ما إذا كان جبر القرص $A(\mathbf {D} )$ ظل الأساس ^{[ 59 ]} مفتوحًا لأكثر من أربعين عامًا، حتى أظهر بوتشاريف في عام 1974 أن $A(\mathbf {D} )$ ^[⁶⁰^] يقبل أساسًا مبنيًا من نظام فرانكلين .

بما أن كل متجه $x$ في فضاء باناش $X$ مع وجود أساس هو حد $P_{n}(x),$ مع $P_{n}$ الفضاء ذو الرتبة المحدودة والمحدود بشكل منتظم $X$ يحقق خاصية التقريب المحدود . وكان أول مثال قدمه إنفلو لفضاء لا يحقق خاصية التقريب هو في الوقت نفسه أول مثال لفضاء باناخ قابل للفصل بدون أساس شاودر. ^{[ 61 ]}

وصف روبرت سي. جيمس خاصية الانعكاسية في فضاءات باناخ بأساس: الفضاء $X$ تكون الدالة ذات أساس شاودر انعكاسية إذا وفقط إذا كان الأساس متقلصًا ومحدودًا وكاملًا . ^{[ 62 ]} في هذه الحالة، تشكل الدوال المتعامدة الثنائية أساسًا للثنائية لـ $X.$

حاصل الضرب الموتري

يترك $X$ و $Y$ كن اثنين $\mathbb {K}$ الفضاءات المتجهة. حاصل الضرب الموتري $X\otimes Y$ ل $X$ و $Y$ هو $\mathbb {K}$ فضاء المتجهات $Z$ باستخدام رسم خرائط ثنائي الخطية $T:X\times Y\to Z$ والتي تتمتع بالخاصية العامة التالية :

لو

T_{1}:X\times Y\to Z_{1}

هل أي تحويل ثنائي الخطية إلى

\mathbb {K}

فضاء المتجهات

Z_{1},

إذن يوجد تحويل خطي فريد

f:Z\to Z_{1}

بحيث

T_{1}=f\circ T.

الصورة أدناه $T$ من زوجين $(x,y)$ في $X\times Y$ يُرمز إليه بـ $x\otimes y,$ ويُطلق عليه اسم موتر بسيط . كل عنصر $z$ في $X\otimes Y$ هو مجموع محدود من هذه الموترات البسيطة.

هناك معايير مختلفة يمكن وضعها على حاصل الضرب الموتري للفضاءات المتجهة الأساسية، من بينها المعيار المتقاطع الإسقاطي والمعيار المتقاطع الحقني الذي قدمه أ. غروتينديك في عام 1955. ^{[ 63 ]}

بشكل عام، لا يكون حاصل الضرب الموتري للفضاءات الكاملة كاملاً مرة أخرى. عند التعامل مع فضاءات باناخ، من المعتاد القول إن حاصل الضرب الموتري الإسقاطي ^{[ 64 ]} لفضاءين من فضاءات باناخ $X$ و $Y$ هو الإتمام $X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y$ من حاصل الضرب الموتر الجبري $X\otimes Y$ مزود بمعيار الموتر الإسقاطي، وبالمثل بالنسبة لضرب الموتر الحقني ^{[ 65 ]} $X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y.$ أثبت غروتينديك على وجه الخصوص أن ^{[ 66 ]}

${\begin{aligned}C(K){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y&\simeq C(K,Y),\\L^{1}([0,1]){\widehat {\otimes }}_{\pi }Y&\simeq L^{1}([0,1],Y),\end{aligned}}$ أين $K$ مساحة هاوسدورف صغيرة الحجم، $C(K,Y)$ فضاء باناخ للدوال المتصلة من $K$ ل $Y$ و $L^{1}([0,1],Y)$ فضاء الدوال القابلة للقياس والتكامل وفقًا لبوخنر من $[0,1]$ ل $Y,$ وحيث تكون التشاكلات متساوية القياس. التشاكلان المذكوران أعلاه هما الامتدادان المقابلان للخريطة التي ترسل الموتر $f\otimes y$ إلى الدالة ذات القيم المتجهة $s\in K\to f(s)y\in Y.$

جداءات الموترات وخاصية التقريب

يترك $X$ ليكن فضاء باناخ. حاصل الضرب الموتري $X'{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X$ يتم تحديدها بشكل متساوي القياس مع الإغلاق في $B(X)$ من مجموعة المؤثرات ذات الرتبة المحدودة. عندما $X$ يتمتع هذا الإغلاق بخاصية التقريب ، ويتطابق مع فضاء المؤثرات المدمجة على $X.$

لكل مساحة باناش $Y,$ هناك معيار طبيعي $1$ خريطة خطية $Y{\widehat {\otimes }}_{\pi }X\to Y{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X$ تم الحصول عليها بتمديد دالة التطابق للجداء الموتر الجبري. ربط غروتينديك مشكلة التقريب بمسألة ما إذا كانت هذه الدالة أحادية عندما $Y$ هو ثنائي $X.$ على وجه التحديد، لكل مساحة باناش $X,$ الخريطة $X'{\widehat {\otimes }}_{\pi }X\ \longrightarrow X'{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X$ تكون العلاقة أحادية إذا وفقط إذا $X$ له خاصية التقريب. ^{[ 67 ]}

افترض غروتينديك أن $X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y$ و $X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y$ يجب أن يكون مختلفًا في كل مرة $X$ و $Y$ هي فضاءات باناخ لا نهائية الأبعاد. وقد دحض جيل بيزييه هذا الادعاء عام 1983. ^{[ 68 ]} أنشأ بيزييه فضاء باناخ لا نهائي الأبعاد. $X$ بحيث $X{\widehat {\otimes }}_{\pi }X$ و $X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X$ متساويان. علاوة على ذلك، وكما في مثال إنفلو ، فإن هذه المساحة $X$ هو فضاء "مصنوع يدويًا" يفتقر إلى خاصية التقريب. من ناحية أخرى، أثبت شانكوفسكي أن الفضاء الكلاسيكي $B(\ell ^{2})$ لا يمتلك خاصية التقريب. ^{[ 69 ]}

بعض نتائج التصنيف

خصائص فضاء هيلبرت بين فضاءات باناخ

شرط ضروري وكافٍ لمعيار فضاء باناخ $X$ إن ارتباطها بالضرب الداخلي هو عنصر متطابق في متوازي الأضلاع :

متطابقة متوازي الأضلاع - للجميع $x,y\in X:\qquad \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}).$

ويترتب على ذلك، على سبيل المثال، أن فضاء ليبيغ $L^{p}([0,1])$ تكون مساحة هيلبرت فقط عندما $p=2.$ إذا تحققت هذه المتطابقة، فإن الضرب الداخلي المرتبط بها يُعطى بواسطة متطابقة الاستقطاب . في حالة الكميات العددية الحقيقية، ينتج عن ذلك ما يلي: $\langle x,y\rangle ={\tfrac {1}{4}}(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}).$

بالنسبة للكميات العددية المركبة، يتم تعريف الضرب الداخلي بحيث يكون $\mathbb {C}$ -خطي في $x,$ مضاد الخطية في $y,$ تعطي معادلة الاستقطاب ما يلي: $\langle x,y\rangle ={\tfrac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i(\|x+iy\|^{2}-\|x-iy\|^{2})\right).$

لإثبات كفاية قانون متوازي الأضلاع، نلاحظ في الحالة الحقيقية ما يلي: $\langle x,y\rangle$ متناظر، وفي الحالة المركبة، يحقق خاصية التناظر الهرميتي و $\langle ix,y\rangle =i\langle x,y\rangle .$ ينص قانون متوازي الأضلاع على أن $\langle x,y\rangle$ مادة مضافة في $x.$ ويترتب على ذلك أنها خطية على الأعداد النسبية، وبالتالي فهي خطية بسبب الاستمرارية.

تتوفر عدة توصيفات للفضاءات المتماثلة (وليست متساوية القياس) مع فضاءات هيلبرت. يمكن تعميم قانون متوازي الأضلاع ليشمل أكثر من متجهين، ويمكن إضعافه بإدخال متباينة ثنائية الجانب ذات ثابت. $c\geq 1$ أثبت كوابين أنه إذا $c^{-2}\sum _{k=1}^{n}\|x_{k}\|^{2}\leq \operatorname {Ave} _{\pm }\left\|\sum _{k=1}^{n}\pm x_{k}\right\|^{2}\leq c^{2}\sum _{k=1}^{n}\|x_{k}\|^{2}$ لكل عدد صحيح $n$ وجميع عائلات المتجهات $\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}\subseteq X,$ ثم فضاء باناش $X$ متماثل مع فضاء هيلبرت. ^{[ 70 ]} هنا، $\operatorname {Ave} _{\pm }$ يشير إلى المتوسط على مدى $2^{n}$ خيارات محتملة للعلامات $\pm 1.$ في نفس المقالة، أثبت كوابين أن صحة نظرية بارسيفال ذات القيم الباناخية لتحويل فورييه تميز فضاءات باناخ المتماثلة مع فضاءات هيلبرت.

أثبت ليندنشتراوس وتزافريري أن فضاء باناخ الذي يكون فيه كل فضاء خطي مغلق مكملاً (أي أنه مدى إسقاط خطي محدود) متماثل مع فضاء هيلبرت. ^{[ 71 ]} ويستند البرهان إلى نظرية دفورتسكي حول المقاطع الإقليدية للأجسام المحدبة المتناظرة مركزياً ذات الأبعاد العالية. بعبارة أخرى، تنص نظرية دفورتسكي على أنه لكل عدد صحيح $n,$ أي فضاء معياري محدود الأبعاد، ذو بُعد كبير بما يكفي مقارنةً بـ $n,$ يحتوي على فضاءات فرعية متساوية القياس تقريبًا بالنسبة إلى $n$ الفضاء الإقليدي ذو الأبعاد n .

تُقدّم النتيجة التالية حلاً لما يُسمى بمسألة الفضاء المتجانس . فضاء باناخ ذو أبعاد لا نهائية $X$ يُقال إن الفضاء متجانس إذا كان متماثلاً مع جميع فضاءاته الفرعية المغلقة ذات الأبعاد اللانهائية. فضاء باناخ متماثل مع $\ell ^{2}$ متجانس، وطلب باناش العكس. ^{[ 72 ]}

النظرية ^{[ 73 ]} - فضاء باناخ المتماثل مع جميع فضاءاته الفرعية المغلقة ذات الأبعاد اللانهائية متماثل مع فضاء هيلبرت القابل للفصل.

يكون فضاء باناخ ذو الأبعاد اللانهائية غير قابل للتحليل وراثيًا عندما لا يكون أي فضاء جزئي منه متماثلًا مع المجموع المباشر لفضاءي باناخ ذوي أبعاد لانهائية. وتنص نظرية غاورز للتقسيم الثنائي ^{[ 73 ]} على أن كل فضاء باناخ ذي أبعاد لانهائية $X$ يحتوي على، إما فضاء فرعي $Y$ بأساس غير مشروط ، أو فضاء فرعي غير قابل للتحليل وراثيًا $Z,$ وعلى وجه الخصوص، $Z$ لا يكون متماثلاً مع مستوياته الفائقة المغلقة. ^{[ 74 ]} إذا $X$ بما أن الفضاء متجانس، فلا بد أن يكون له أساس غير مشروط. ويترتب على ذلك من الحل الجزئي الذي توصل إليه كوموروفسكي وتومتشاك -ياجرمان ، للفضاءات ذات الأساس غير المشروط، ^{[ 75 ]} أن $X$ متماثل مع $\ell ^{2}.$

التصنيف المتري

لو $T:X\to Y$ هو تماثل من فضاء باناخ $X$ إلى فضاء باناش $Y$ (حيث كلاهما) $X$ و $Y$ فضاءات المتجهات فوق $\mathbb {R}$ ثم تنص نظرية مازور-أولام على أن $T$ يجب أن يكون تحويلاً تآلفياً. على وجه الخصوص، إذا $T(0_{X})=0_{Y},$ هذا هو $T$ يرسم الصفر لـ $X$ إلى الصفر من $Y,$ ثم $T$ يجب أن يكون خطيًا. تشير هذه النتيجة إلى أن المقياس في فضاءات باناخ، وبشكل أعم في الفضاءات المعيارية، يجسد بنيتها الخطية بشكل كامل.

التصنيف الطوبولوجي

تكون فضاءات باناخ ذات الأبعاد المحدودة متماثلة طوبولوجيًا كفضاءات طوبولوجية، إذا وفقط إذا كان لها نفس البعد مثل فضاءات المتجهات الحقيقية.

تُثبت نظرية أندرسون-كاديك (1965-1966) ^{[ 76 ]} أن أي فضاءين من فضاءات باناخ قابلين للفصل لا نهائيي الأبعاد متماثلان طوبولوجيًا. وقد وسّع تورونتشيك نظرية كاديك، حيث أثبت ^{[ 77 ]} أن أي فضاءين من فضاءات باناخ متماثلان إذا وفقط إذا كان لهما نفس خاصية الكثافة ، وهي الحد الأدنى لعدد عناصر مجموعة جزئية كثيفة.

فضاءات الدوال المتصلة

عندما يكون هناك فضاءان هاوسدورف متراصان $K_{1}$ و $K_{2}$ هي متماثلة الشكل ، فضاءات باناخ $C(K_{1})$ و $C(K_{2})$ تكون متساوية القياس. على العكس من ذلك، عندما $K_{1}$ ليس متماثلًا مع $K_{2},$ المسافة (الضربية) بين باناش-مازور $C(K_{1})$ و $C(K_{2})$ يجب أن يكون أكبر من أو يساوي $2,$ انظر أعلاه نتائج أمير وكامبرن . على الرغم من أن الفضاءات المترية المدمجة غير القابلة للعد يمكن أن يكون لها أنواع مختلفة من التماثل، إلا أن أحدها له النتيجة التالية من ميلوتين: ^{[ 78 ]}

النظرية ^{[ 79 ]} — ليكن $K$ ليكن فضاءً متريًا مضغوطًا غير قابل للعد. $C(K)$ متماثل مع $C([0,1]).$

يختلف الوضع بالنسبة للفضاءات المدمجة ذات العدد اللانهائي من النيوكليات من نوع هاوسدورف. كل فضاء مدمج ذو عدد لانهائي من النيوكليات من نوع هاوسدورف. $K$ متماثلة شكليًا مع فترة مغلقة من الأعداد الترتيبية $\langle 1,\alpha \rangle =\{\gamma \mid 1\leq \gamma \leq \alpha \}$ مجهزة بطوبولوجيا الترتيب ، حيث $\alpha$ هو عدد ترتيبي لانهائي قابل للعد. ^{[ 80 ]} فضاء باناخ $C(K)$ ثم يكون متساوي القياس مع $C (⟨1, α ⟩)$ . عندما $\alpha ,\beta$ هما عددان ترتيبيان لا نهائيان قابلان للعد، وبافتراض $\alpha \leq \beta ,$ تكون الفضاءات $C (⟨1, α ⟩)$ و $C (⟨1, β ⟩)$ متماثلة إذا وفقط إذا كان $β < α ω$ . ^{[ 81 ]} على سبيل المثال، فضاءات باناخ $C(\langle 1,\omega \rangle ),\ C(\langle 1,\omega ^{\omega }\rangle ),\ C(\langle 1,\omega ^{\omega ^{2}}\rangle ),\ C(\langle 1,\omega ^{\omega ^{3}}\rangle ),\cdots ,C(\langle 1,\omega ^{\omega ^{\omega }}\rangle ),\cdots$ غير متماثلين فيما بينهم.

أمثلة

مسرد الرموز المستخدمة في الجدول أدناه:

$\mathbb {F}$ يشير إلى حقل الأعداد الحقيقية $\mathbb {R}$ أو الأعداد المركبة $\mathbb {C} .$
$K$ مساحة هاوسدورف صغيرة الحجم .
$p,q\in \mathbb {R}$ هي أعداد حقيقية $1<p,q<\infty$ التي هي مترافقة هولدر ، مما يعني أنها تحقق ${\frac {1}{q}}+{\frac {1}{p}}=1$ وبالتالي أيضاً $q={\frac {p}{p-1}}.$
$\Sigma$ هو $\sigma$ - جبر المجموعات.
$\Xi$ هو جبر للمجموعات (للفضاءات التي تتطلب فقط خاصية الجمع المحدود، مثل فضاء ba ).
$\mu$ هو مقياس ذو تباين $|\mu |.$ المقياس الموجب هو دالة مجموعة موجبة ذات قيم حقيقية معرفة على $\sigma$ الجبر الذي يكون قابلاً للعد والإضافة.

	مساحة مزدوجة	انعكاسي	مكتملة بشكل ضعيف متسلسل	نورم		ملحوظات
مساحات باناش الكلاسيكية
$\mathbb {F} ^{n}$	$\mathbb {F} ^{n}$	نعم	نعم	$\\|x\\|_{2}$	$=\left(\sum _{i=1}^{n}\|x_{i}\|^{2}\right)^{1/2}$	الفضاء الإقليدي
$\ell _{p}^{n}$	$\ell _{q}^{n}$	نعم	نعم	$\\|x\\|_{p}$	$=\left(\sum _{i=1}^{n}\|x_{i}\|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}$
$\ell _{\infty }^{n}$	$\ell _{1}^{n}$	نعم	نعم	$\\|x\\|_{\infty }$	$=\max \nolimits _{1\leq i\leq n}\|x_{i}\|$
$\ell ^{p}$	$\ell ^{q}$	نعم	نعم	$\\|x\\|_{p}$	$=\left(\sum _{i=1}^{\infty }\|x_{i}\|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}$
$\ell ^{1}$	$\ell ^{\infty }$	لا	نعم	$\\|x\\|_{1}$	$=\sum _{i=1}^{\infty }\left\|x_{i}\right\|$
$\ell ^{\infty }$	$\operatorname {ba}$	لا	لا	$\\|x\\|_{\infty }$	$=\sup \nolimits _{i}\left\|x_{i}\right\|$
$\operatorname {c}$	$\ell ^{1}$	لا	لا	$\\|x\\|_{\infty }$	$=\sup \nolimits _{i}\left\|x_{i}\right\|$
$c_{0}$	$\ell ^{1}$	لا	لا	$\\|x\\|_{\infty }$	$=\sup \nolimits _{i}\left\|x_{i}\right\|$	متماثل الشكل ولكنه ليس متساوي القياس مع $c.$
$\operatorname {bv}$	$\ell ^{\infty }$	لا	نعم	$\\|x\\|_{bv}$	$=\left\|x_{1}\right\|+\sum _{i=1}^{\infty }\left\|x_{i+1}-x_{i}\right\|$	متماثل القياس لـ $\ell ^{1}.$
$\operatorname {bv} _{0}$	$\ell ^{\infty }$	لا	نعم	$\\|x\\|_{bv_{0}}$	$=\sum _{i=1}^{\infty }\left\|x_{i+1}-x_{i}\right\|$	متماثل القياس لـ $\ell ^{1}.$
$\operatorname {bs}$	$\operatorname {ba}$	لا	لا	$\\|x\\|_{bs}$	$=\sup \nolimits _{n}\left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right\|$	متماثل القياس لـ $\ell ^{\infty }.$
$\operatorname {cs}$	$\ell ^{1}$	لا	لا	$\\|x\\|_{bs}$	$=\sup \nolimits _{n}\left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right\|$	متماثل القياس لـ $c.$
$B(K,\Xi )$	$\operatorname {ba} (\Xi )$	لا	لا	$\\|f\\|_{B}$	$=\sup \nolimits _{k\in K}\|f(k)\|$
$C(K)$	$\operatorname {rca} (K)$	لا	لا	$\\|x\\|_{C(K)}$	$=\max \nolimits _{k\in K}\|f(k)\|$
$\operatorname {ba} (\Xi )$	؟	لا	نعم	$\\|\mu \\|_{ba}$	$=\sup \nolimits _{S\in \Xi }\|\mu \|(S)$
$\operatorname {ca} (\Sigma )$	؟	لا	نعم	$\\|\mu \\|_{ba}$	$=\sup \nolimits _{S\in \Sigma }\|\mu \|(S)$	فضاء فرعي مغلق من $\operatorname {ba} (\Sigma ).$
$\operatorname {rca} (\Sigma )$	؟	لا	نعم	$\\|\mu \\|_{ba}$	$=\sup \nolimits _{S\in \Sigma }\|\mu \|(S)$	فضاء فرعي مغلق من $\operatorname {ca} (\Sigma ).$
$L^{p}(\mu )$	$L^{q}(\mu )$	نعم	نعم	$\\|f\\|_{p}$	$=\left(\int \|f\|^{p}\,d\mu \right)^{\frac {1}{p}}$
$L^{1}(\mu )$	$L^{\infty }(\mu )$	لا	نعم	$\\|f\\|_{1}$	$=\int \|f\|\,d\mu$	الازدواجية هي $L^{\infty }(\mu )$ لو $\mu$ يكون $\sigma$ -محدود .
$\operatorname {BV} ([a,b])$	؟	لا	نعم	$\\|f\\|_{BV}$	$=V_{f}([a,b])+\lim \nolimits _{x\to a^{+}}f(x)$	$V_{f}([a,b])$ هو التباين الكلي لـ $f$
$\operatorname {NBV} ([a,b])$	؟	لا	نعم	$\\|f\\|_{BV}$	$=V_{f}([a,b])$	$\operatorname {NBV} ([a,b])$ يتكون من $\operatorname {BV} ([a,b])$ وظائف بحيث $\lim \nolimits _{x\to a^{+}}f(x)=0$
$\operatorname {AC} ([a,b])$	$\mathbb {F} +L^{\infty }([a,b])$	لا	نعم	$\\|f\\|_{BV}$	$=V_{f}([a,b])+\lim \nolimits _{x\to a^{+}}f(x)$	متماثل مع فضاء سوبوليف $W^{1,1}([a,b]).$
$C^{n}([a,b])$	$\operatorname {rca} ([a,b])$	لا	لا	$\\|f\\|$	$=\sum _{i=0}^{n}\sup \nolimits _{x\in [a,b]}\left\|f^{(i)}(x)\right\|$	متماثل الشكل مع $\mathbb {R} ^{n}\oplus C([a,b]),$ بشكل أساسي عن طريق نظرية تايلور .

المشتقات

يمكن تعريف عدة مفاهيم للمشتقة على فضاء باناخ. راجع المقالات المتعلقة بمشتقة فريشيه ومشتقة جاتو لمزيد من التفاصيل. تسمح مشتقة فريشيه بتوسيع مفهوم المشتقة الكلية ليشمل فضاءات باناخ. بينما تسمح مشتقة جاتو بتوسيع مفهوم المشتقة الاتجاهية ليشمل فضاءات المتجهات الطوبولوجية المحدبة محليًا . يُعد شرط قابلية التفاضل في فريشيه أقوى من شرط قابلية التفاضل في جاتو. أما شبه المشتقة فهي تعميم آخر للمشتقة الاتجاهية، وتتطلب شرطًا أقوى من شرط قابلية التفاضل في جاتو، ولكنها أضعف من شرط قابلية التفاضل في فريشيه.

التعميمات

توجد العديد من الفضاءات المهمة في التحليل الوظيفي، على سبيل المثال فضاء جميع الدوال القابلة للتفاضل مرات لا نهائية $\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,$ أو فضاء جميع التوزيعات على $\mathbb {R} ,$ هي فضاءات متجهة كاملة، لكنها ليست فضاءات متجهة معيارية، وبالتالي ليست فضاءات باناخ. في فضاءات فريشيه، لا يزال لدينا مقياس كامل ، بينما فضاءات LF هي فضاءات متجهة منتظمة كاملة تنشأ كحدود لفضاءات فريشيه.

انظر أيضاً

الفضاء (الرياضيات) - مجموعة رياضية ذات بنية إضافية
- فضاء فريشيه – فضاء متجهي طوبولوجي محدب محليًا وهو أيضًا فضاء متري كامل
- فضاء هاردي - مفهوم ضمن التحليل المعقد
- فضاء هيلبرت – نوع من الفضاءات المتجهة في الرياضيات
- الضرب الداخلي شبه-L – تعميم للضرب الداخلي ينطبق على جميع الفضاءات المعيارية
- $L^{p}$ الفضاء – فضاءات الدوال التي تعمم فضاءات المعيار p ذات الأبعاد المحدودة
- فضاء سوبوليف – فضاء متجهي للدوال في الرياضيات
- شبكة باناخ – فضاء باناخ ذو بنية شبكية متوافقة
قرص باناش
مشعب باناخ – مشعب مصمم على غرار فضاءات باناخ
- حزمة باناخ - مفهوم في الرياضيات
مشكلة التشوه
فضاء الاستيفاء – الفضاء المتجهي في الرياضيات
الفضاء المتجهي الطوبولوجي المحدب محليًا – فضاء ذو طوبولوجيا مولدة بواسطة مجموعات محدبة
معامل وخصائص التحدب
مساحة سميث
الفضاء المتجهي الطوبولوجي – الفضاء المتجهي مع مفهوم التقارب
مساحة تسيرلسون
عقارات باناش ساكس

ملحوظات

↑ من الشائع قراءة " $X$ "هي مساحة معيارية" بدلاً من العبارة الأكثر دقة من الناحية التقنية ولكنها (عادةً) متكلفة . $(X,\|{\cdot }\|)$ "هو فضاء معياري"، خاصة إذا كان المعيار معروفًا جيدًا (على سبيل المثال، كما هو الحال مع ${\mathcal {L}}^{p}$ في الفضاءات ) أو عندما لا تكون هناك حاجة خاصة لاختيار أي معيار (مكافئ) على أي معيار آخر (خاصة في النظرية الأكثر تجريدًا للفضاءات المتجهة الطوبولوجية )، وفي هذه الحالة يُفترض غالبًا أن هذا المعيار (إذا لزم الأمر) يُرمز إليه تلقائيًا بـ $\|{\cdot }\|.$ ومع ذلك، في الحالات التي يتم فيها التركيز على القاعدة، من الشائع أن نرى $(X,\|{\cdot }\|)$ مكتوب بدلاً من $X.$ التعريف الصحيح تقنياً للفضاءات المعيارية على أنها أزواج $(X,\|{\cdot }\|)$ قد يصبح الأمر مهمًا أيضًا في سياق نظرية الفئات حيث يكون التمييز بين فئات الفضاءات المعيارية، والفضاءات القابلة للتطبيع ، والفضاءات المترية ، والفضاءات الطوبولوجية ، وما إلى ذلك، أمرًا مهمًا عادةً.
↑ هذا يعني أنه إذا كان المعيار $\|{\cdot }\|$ يتم استبدالها بمعيار مختلف $\|{\cdot }\|'$ على $X,$ ثم $(X,\|{\cdot }\|)$ لا يمثل نفس الفضاء المعياري مثل $(X,\|{\cdot }\|'),$ حتى لو كانت المعايير متكافئة. ومع ذلك، فإن تكافؤ المعايير على فضاء متجهي معين يشكل علاقة تكافؤ .
1 2 3 مقياس $D$ في فضاء متجهي $X$ يُقال إنها ثابتة تحت الترجمة إذا $D(x,y)=D(x+z,y+z)$ لجميع المتجهات $x,y,z\in X.$ يحدث هذا إذا وفقط إذا $D(x,y)=D(x-y,0)$ لجميع المتجهات $x,y\in X.$ المقياس الذي يتم استنتاجه بواسطة معيار يكون دائمًا ثابتًا تحت الإزاحة.
↑ لأن $\|{-z}\|=\|z\|$ للجميع $z\in X,$ صحيح دائماً أن $d(x,y):=\|y-x\|=\|x-y\|$ للجميع $x,y\in X.$ لذا فإن ترتيب $x$ و $y$ لا يهم في هذا التعريف.
1 2 ليكن $H$ كن فضاء هيلبرت القابل للفصل $\ell ^{2}(\mathbb {N} )$ من المتتابعات القابلة للجمع التربيعي ذات المعيار المعتاد $\|{\cdot }\|_{2},$ ودع $e_{n}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)$ ليكن الأساس المتعامد القياسي (أي كل $e_{n}$ يحتوي على أصفار في كل موضع باستثناء أ $1$ في $n$ ^{الموضع th} ). المجموعة المغلقة $S=\{0\}\cup \{{\tfrac {1}{n}}e_{n}\mid n=1,2,\ldots \}$ مضغوط (لأنه مضغوط تسلسليًا ) لكن غلافه المحدب $\operatorname {co} S$ ليست مجموعة مغلقة لأن النقطة ${\textstyle h:=\sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {1}{2^{n}}}{\tfrac {1}{n}}e_{n}}$ ينتمي إلى إغلاق $\operatorname {co} S$ في $H$ لكن $h\not \in \operatorname {co} S$ (منذ كل نقطة) $z=(z_{1},z_{2},\ldots )\in \operatorname {co} S$ هي مجموعة محدبة محدودة من عناصر $S$ وهكذا $z_{n}=0$ بالنسبة لجميع الإحداثيات باستثناء عدد محدود منها، وهو ما لا ينطبق على $h$ ومع ذلك، كما هو الحال في جميع فضاءات هاوسدورف المحدبة محليًا الكاملة ، فإن الغلاف المحدب المغلق $K:={\overline {\operatorname {co} }}S$ هذه المجموعة الجزئية المدمجة مدمجة. الفضاء المتجهي $X:=\operatorname {span} S=\operatorname {span} \{e_{1},e_{2},\ldots \}$ يُعتبر فضاءً ما قبل هيلبرت عند تزويده بالبنية الفرعية التي يكون عليها فضاء هيلبرت $H$ يحفز عليه، لكن $X$ غير مكتملة و $h\not \in C:=K\cap X$ (منذ $h\not \in X$ ). الغلاف المحدب المغلق لـ $S$ في $X$ (هنا، تعني كلمة "مغلق" فيما يتعلق بـ $X,$ وليس لـ $H$ كما في السابق) يساوي $K\cap X,$ وهي ليست مجموعة مضغوطة (لأنها ليست مجموعة جزئية كاملة). وهذا يدل على أنه في فضاء هاوسدورف المحدب محليًا وغير الكامل، قد لا يكون الغلاف المحدب المغلق لمجموعة جزئية مضغوطة مضغوطًا (على الرغم من أنه سيكون شبه مضغوط/محدودًا كليًا ).
↑ دع $(C([0,1]),|{\cdot }\|_{\infty })$ لنرمز إلى فضاء باناخ للدوال المتصلة بمعيار السوبريموم، ولنفرض $\tau _{\infty }$ يشير إلى الطوبولوجيا على $C([0,1])$ ناتج عن $\|{\cdot }\|_{\infty }.$ الفضاء المتجهي $C([0,1])$ يمكن تحديدها (عبر خريطة التضمين ) على أنها فضاء متجهي كثيف مناسب $X$ التابع $L^{1}$ فضاء $(L^{1}([0,1]),\|{\cdot }\|_{1}),$ وهو ما يرضي $\|f\|_{1}\leq \|f\|_{\infty }$ للجميع $f\in X.$ يترك $p$ يشير إلى تقييد $\|{\cdot }\|_{1}$ ل $X,$ مما يجعل هذه الخريطة $p:X\to \mathbb {R}$ معيار بشأن $X$ (بشكل عام، فإن تقييد أي معيار على أي فضاء جزئي متجهي سيكون بالضرورة معيارًا أيضًا). الفضاء المعياري $(X,p)$ ليس فضاء باناخ لأن اكتماله هو المجموعة الفائقة المناسبة $(L^{1}([0,1]),\|{\cdot }\|_{1}).$ لأن $p\leq \|{\cdot }\|_{\infty }$ يستمر $X,$ الخريطة $p:(X,\tau _{\infty })\to \mathbb {R}$ هو مستمر. على الرغم من ذلك، فإن القاعدة $p$ لا يعادل القاعدة $\|{\cdot }\|_{\infty }$ (لأن $(X,\|{\cdot }\|_{\infty })$ مكتملة ولكن $(X,p)$ (ليس كذلك).
↑ الفضاء المعياري $(\mathbb {R} ,|\cdot |)$ هو فضاء باناخ حيث القيمة المطلقة هي معيار على خط الأعداد الحقيقية $\mathbb {R}$ وهذا يؤدي إلى الطوبولوجيا الإقليدية المعتادة على $\mathbb {R} .$ حدد مقياسًا $D:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ على $\mathbb {R}$ بواسطة $D(x,y)=|\arctan(x)-\arctan(y)|$ للجميع $x,y\in \mathbb {R} .$ تمامًا مثل $|\cdot |$ المقياس المستحث ، المقياس $D$ كما أنه يُنتج الطوبولوجيا الإقليدية المعتادة على $\mathbb {R} .$ لكن، $D$ لا يُعد مقياسًا كاملاً لأن التسلسل $x_{\bullet }=(x_{i})_{i=1}^{\infty }$ محدد بواسطة $x_{i}:=i$ هو $D$ متتالية كوشي، لكنها لا تتقارب إلى أي نقطة من $\mathbb {R} .$ ونتيجة لعدم التقارب، هذا $D$ لا يمكن أن تكون متتالية كوشي متتالية كوشي في $(\mathbb {R} ,|\cdot |)$ (أي أنها ليست متتالية كوشي بالنسبة للمعيار) $|\cdot |$ لأنه لو كان $|\cdot |$ -كوشي، ثم حقيقة أن $(\mathbb {R} ,|\cdot |)$ إن كون الفضاء فضاءً باناخياً يعني بالضرورة أنه متقارب (وهذا تناقض). ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 47-51
↑ نص النظرية هو: ليكن $d$ ليكن أي مقياس على فضاء متجهي $X$ بحيث تكون الطوبولوجيا $\tau$ ناتج عن $d$ على $X$ اصنع $(X,\tau )$ في فضاء متجهي طوبولوجي. إذا $(X,d)$ إذا كان فضاءً متريًا كاملاً $(X,\tau )$ هو فضاء متجهي طوبولوجي كامل .
↑ هذا المقياس $D$ لا يُفترض أن يكون هذا المقياس ثابتًا تحت الإزاحة. لذا، على وجه الخصوص، هذا المقياس $D$ ولا يشترط حتى أن يكون ذلك ناتجاً عن معيار.
↑ معيار (أو شبه معيار ) $p$ على فضاء متجهي طوبولوجي $(X,\tau )$ تكون متصلة إذا وفقط إذا كانت الطوبولوجيا $\tau _{p}$ الذي - التي $p$ يحفز على $X$ أكثر خشونة من $\tau$ (معنى، $\tau _{p}\subseteq \tau$ ، وهو ما يحدث إذا وفقط إذا كانت هناك كرة مفتوحة $B$ في $(X,p)$ (مثل ربما) $\{x\in X\mid p(x)<1\}$ على سبيل المثال) مفتوح في $(X,\tau ).$
↑ $X'$ يرمز إلى الفضاء الثنائي المتصل لـ $X.$ متى $X'$ تتمتع بطوبولوجيا الفضاء الثنائي القوي ، والتي تسمى أيضًا طوبولوجيا التقارب المنتظم على المجموعات الفرعية المحدودة من $X,$ ثم يتم الإشارة إلى ذلك بكتابة $X'_{b}$ (أحيانًا، يكون النص السفلي $\beta$ يتم استخدامها بدلاً من $b$ ). متى $X$ هو فضاء معياري ذو معيار $\|{\cdot }\|$ إذن، هذه الطوبولوجيا تساوي الطوبولوجيا على $X'$ مستحثة بواسطة المعيار المزدوج . وبهذه الطريقة، تُعدّ الطوبولوجيا القوية تعميمًا للطوبولوجيا المعتادة المستحثة بواسطة المعيار المزدوج على $X'.$
↑ حقيقة أن $\{x\in X\mid |f(x)|<1\}$ الانفتاح يعني أن $f:X\to \mathbb {R}$ إن كون الدالة متصلة يبسط عملية إثبات الاتصال، لأنه يعني أنه يكفي إثبات أن $\{x\in X\mid |f(x)-f(x_{0})|<r\}$ مفتوح لـ $r:=1$ وفي $x_{0}:=0$ (أين $f(0)=0$ ) بدلاً من إظهار هذا للجميع الحقيقيين $r>0$ وكل شيء $x_{0}\in X.$

مراجع

↑ بورباكي 1987 ، المجلد 87
↑ ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 93.
1 2 لومر، ج. (1961). "فضاءات شبه الضرب الداخلي" . معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 100 (1): 29-43 . doi : 10.1090/S0002-9947-1961-0133024-2 .
↑ انظر النظرية 1.3.9، ص. 20 في ميغينسون (1998) .
↑ ويلانسكي 2013 ، ص 29.
^ بيساغا و Pełczyński 1975 ، ص. 189
1 2 أندرسون وشوري 1969 ، ص. 315.
↑ هندرسون 1969 .
^ أليبرانتيس والحدود 2006 ، ص. 185.
↑ تريفز 2006 ، ص 145.
^ تريف 2006 ، ص 166-173.
1 2 كونراد، كيث. "تكافؤ المعايير" (ملف PDF) . kconrad.math.uconn.edu . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 9 أكتوبر 2022. تم الاطلاع عليه بتاريخ 7 سبتمبر 2020 .
↑ انظر النتيجة 1.4.18، ص 32 في ميغينسون (1998) .
↑ ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 47-66.
↑ ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 47-51.
↑ Schaefer & Wolff 1999 ، ص 35.
↑ كلي، ف. ل. (1952). "المقاييس الثابتة في الزمر (حل لمسألة باناخ)" (ملف PDF) . وقائع الجمعية الأمريكية للرياضيات. 3 ( 3): 484-487 . doi : 10.1090/s0002-9939-1952-0047250-4 . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 2022-10-09.
^ تريف 2006 ، ص 57-69.
↑ تريفز 2006 ، ص 201.
↑ غابرييليان، إس إس "حول الفضاءات الطوبولوجية والمجموعات الطوبولوجية مع شبكات محلية قابلة للعد معينة (2014)"
1 2 تشياوتشو يوان (23 يونيو 2012). "فضاءات باناخ (ومقاييس لوفير، والفئات المغلقة)" . الدقة المزعجة .
1 2 ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 192-193.
↑ باناش (1932 ، ص 182)
1 2 انظر الصفحات 17-19 في كاروثرز (2005) .
↑ انظر باناش (1932) ، الصفحات 11-12.
↑ انظر باناش (1932) ، Th. 9 ص. 185.
↑ انظر النظرية 6.1، صفحة 55 في كاروثرز (2005)
↑ تستخدم العديد من الكتب حول التحليل الوظيفي الترميز $X^{*}$ بالنسبة للثنائي المستمر، على سبيل المثال كاروثرز (2005) ، ليندنشتراوس وتزافريري (1977) ، ميغينسون (1998) ، رايان (2002) ، ووجتاسزيك (1991) .
↑ النظرية 1.9.6، ص 75 في ميغينسون (1998)
↑ انظر أيضًا النظرية 2.2.26، صفحة 179 في ميغينسون (1998)
↑ انظر الصفحة 19 في كاروثرز (2005) .
↑ النظريات 1.10.16، 1.10.17، الصفحات 94-95 في ميغينسون (1998)
↑ النظرية 1.12.11، ص 112 في ميغينسون (1998)
↑ النظرية 2.5.16، ص 216 في ميغينسون (1998) .
^ انظر II.A.8، ص. 29 في فويتاسزكزيك (1991)
1 2 3 انظر النظرية 2.6.23، ص. 231 في ميغينسون (1998) .
^ انظر ن. بورباكي، (2004)، “Integration I”، Springer Verlag، ISBN 3-540-41129-1.
1 2 إيلنبرغ، صموئيل (1942). "طرق فضاء باناخ في الطوبولوجيا". حوليات الرياضيات . 43 (3): 568-579 . doi : 10.2307/1968812 . JSTOR 1968812 .
↑ انظر أيضًا باناش (1932) ، ص 170، للاطلاع على كلمة "قابل للقياس". $K$ و $L.$
↑ أمير، دان (1965). "حول تماثلات فضاءات الدوال المتصلة" . مجلة إسرائيل للرياضيات . 3 (4): 205-210 . doi : 10.1007/bf03008398 . S2CID 122294213 .
↑ كامبرن، م. (1966). "نظرية باناش-ستون المعممة" . وقائع الجمعية الأمريكية للرياضيات . 17 (2): 396-400 . doi : 10.1090/s0002-9939-1966-0196471-9 .وكامبرن ، م. (1967). "حول التشاكلات ذات الحدود الصغيرة" . وقائع الجمعية الأمريكية للرياضيات . 18 (6): 1062-1066 . doi : 10.1090/s0002-9939-1967-0217580-2 .
↑ كوهين، إتش بي (1975). "تشاكل من الدرجة الثانية بين $C(X)$ فضاءات باناخ . وقائع الجمعية الأمريكية للرياضيات 50 : 215-217 . doi : 10.1090 /s0002-9939-1975-0380379-5 .
↑ انظر على سبيل المثال: أرفيسون، و. (1976). مدخل إلى جبر C* . سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 0-387-90176-0.
↑ آر سي جيمس (1951). "فضاء باناخ غير انعكاسي متساوي القياس مع فضاءه المرافق الثاني" . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم في الولايات المتحدة الأمريكية . 37 (3): 174-177 . Bibcode : 1951PNAS...37..174J . doi : 10.1073 / pnas.37.3.174 . PMC 1063327. PMID 16588998 .
↑ انظر Lindenstrauss & Tzafriri (1977) ، ص 25.
↑ بيشوب، انظر إي.؛ فيلبس، ر. (1961). "برهان على أن كل فضاء باناخ شبه انعكاسي" . نشرة الجمعية الأمريكية للرياضيات 67 : 97-98 . doi : 10.1090 /s0002-9904-1961-10514-4 .
^ انظر III.C.14، ص. 140 في Wojtaszczyk (1991) .
↑ انظر النتيجة 2، ص 11 في ديستل (1984) .
↑ انظر الصفحة 85 في ديستل (1984) .
↑ روزنتال، هاسكل ب. (1974). "توصيف فضاءات باناخ التي تحتوي على ℓ ¹ " . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم في الولايات المتحدة الأمريكية . 71 ( 6): 2411-2413 . arXiv : math.FA/9210205 . Bibcode : 1974PNAS...71.2411R . doi : 10.1073/pnas.71.6.2411 . PMC 388466. PMID 16592162 . برهان روزنتال خاص بالأعداد الحقيقية. أما النسخة المركبة من النتيجة فتعود إلى ل. دور، في دور، ليونارد إي (1975). "حول المتتاليات التي تمتد على فضاء مركب ℓ ¹ " . وقائع الجمعية الأمريكية للرياضيات 47 : 515-516 . doi : 10.1090/s0002-9939-1975-0358308-x .
↑ انظر الصفحة 201 في ديستل (1984) .
↑ أوديل، إدوارد و.؛ روزنتال، هاسكل ب. (1975)، "توصيف ثنائي-ثنائي لفضاءات باناخ القابلة للفصل التي تحتوي على ℓ ¹ " (ملف PDF) ، مجلة إسرائيل للرياضيات ، 20 ( 3-4 ): 375-384 ، doi : 10.1007/bf02760341 ، S2CID 122391702 ، مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 2022-10-09 .
↑ أوديل وروزنتال، Sublemma ص 378 و Remark ص 379.
↑ لمزيد من المعلومات حول المجموعات الفرعية المدمجة نقطيًا من فئة باير، انظر: Bourgain, Jean ; Fremlin, DH; Talagrand, Michel (1978), "Pointwise Compact Sets of Baire-Measurable Functions", Am. J. Math. , 100 (4): 845– 886, doi : 10.2307/2373913 , JSTOR 2373913 .
↑ انظر الاقتراح 2.5.14، ص 215 في ميغينسون (1998) .
↑ انظر على سبيل المثال ص. 49، II.C.3 في Wojtaszczyk (1991) .
↑ انظر النتيجة 2.8.9، ص 251 في ميغينسون (1998) .
↑ انظر Lindenstrauss & Tzafriri (1977) ص. 3.
↑ يظهر السؤال في الصفحة 238، الفقرة 3 في كتاب باناش، باناش (1932) .
↑ انظر SV Bočkarev، "وجود أساس في فضاء الدوال التحليلية في القرص، وبعض خصائص نظام فرانكلين". (بالروسية) Mat. Sb. (NS) 95(137) (1974)، 3–18، 159.
↑ انظر: Enflo, P. (1973). "مثال مضاد لخاصية التقريب في فضاءات باناخ" . Acta Math . 130 : 309–317 . doi : 10.1007/bf02392270 . S2CID 120530273 .
↑ انظر RC James، "القواعد وانعكاسية فضاءات باناخ". حوليات الرياضيات (2) 52، (1950). 518-527. انظر أيضًا Lindenstrauss & Tzafriri (1977) ص 9.
^ انظر A. Grothendieck، “Produits Tensoriels topologiques et espaces nucléaires”. م. عامر. الرياضيات. شركة نفط الجنوب. 1955 (1955)، لا. 16، 140 ص، وأ. بول. شركة نفط الجنوب. حصيرة. ساو باولو 8 1953 1–79.
↑ انظر الفصل 2، صفحة 15 في كتاب رايان (2002) .
↑ انظر الفصل 3، صفحة 45 في كتاب رايان (2002) .
↑ انظر المثال 2.19، ص 29، والصفحات 49-50 في ريان (2002) .
↑ انظر الاقتراح 4.6، ص 74 في ريان (2002) .
↑ انظر Pisier، Gilles (1983)، "أمثلة مضادة لتخمين Grothendieck"، Acta Math. 151 :181–208.
^ انظر زانكوفسكي، أندريه (1981)، “ $B(H)$ "لا يمتلك خاصية التقريب"، Acta Math. 147 : 89–108. ويدعي رايان أن هذه النتيجة تعود إلى بير إنفلو ، ص 74 في رايان (2002) .
↑ انظر Kwapień، S. (1970)، "توصيف طوبولوجي خطي للفضاءات ذات الضرب الداخلي"، Studia Math. 38 :277–278.
↑ ليندنشتراوس، يورام؛ تزافريري، ليور (1971). "حول مسألة الفضاءات الجزئية المكملة" . مجلة إسرائيل للرياضيات . 9 (2): 263-269 . doi : 10.1007/BF02771592 .
↑ انظر ص. 245 في باناخ (1932) . خاصية التجانس تسمى "ملكية (15)" هناك. يكتب باناخ: "لا نعرف أي مثال على الفضاء في لا نهاية للأبعاد، بدون أن يكون متماثلًا مع $(L^{2}).$ تمتلك الملكية (15)".
1 2 Gowers, WT (1996), "A new dichometry for Banach spaces", Geom. Funct. Anal. 6 :1083–1093.
↑ انظر: Gowers, WT (1994). "حل لمسألة باناش للمستوى الفائق". نشرة جمعية لندن الرياضية 26 (6): 523-530 . doi : 10.1112/blms/26.6.523 .
↑ انظر: كوموروفسكي، ريشارد أ.؛ تومتشاك-ياغرمان، نيكول (1995). "فضاءات باناخ بدون بنية محلية غير مشروطة" . مجلة إسرائيل للرياضيات . 89 ( 1-3 ): 205-226 . arXiv : math/9306211 . doi : 10.1007/bf02808201 . S2CID 5220304 . وكذلك كوموروفسكي، ريشارد أ.؛ تومتشاك-ياغرمان، نيكول (1998). "تصحيح لـ: فضاءات باناخ بدون بنية محلية غير مشروطة" . مجلة إسرائيل للرياضيات . 105 : 85-92 . arXiv : math/9607205 . doi : 10.1007/bf02780323 . S2CID 18565676 .
^ سي. بيساغا، أ. Pełczyński (1975). موضوعات مختارة في الطوبولوجيا اللانهائية الأبعاد . بانستووي ويد. naukowe. ص 177 – 230.
↑ هـ. تورونتشيك (1981). توصيف طوبولوجيا فضاء هيلبرت . فوندامينتا ماتيماتيكا. ص 247-262 .
↑ ميليوتين، أليكسي أ. (1966)، "تشاكل فضاءات الدوال المتصلة على مجموعات متراصة ذات عدد عناصر متصل". (بالروسية) Teor. Funkciĭ Funkcional. Anal. i Priložen. Vyp. 2 :150–156.
↑ ميلوتين. انظر أيضًا روزنتال، هاسكل ب. ، "فضاءات باناخ C(K)" في كتيب هندسة فضاءات باناخ، المجلد 2، 1547-1602، نورث هولاند، أمستردام، 2003.
↑ يمكن للمرء أن يأخذ $α = ω βn$ ، حيث $\beta +1$ رتبة كانتور -بنديكسون لـ $K,$ و $n>0$ يمثل العدد المحدود من النقاط في $\beta$ المجموعة المشتقة رقم -th $K(\beta )$ ل $K.$ انظر مازوركيفيتش، ستيفان ؛ Sierpiński، Wacław (1920)، “Contribution à la topologie des ensembles dénombrables”، Fundamenta Mathematicae 1: 17–27.
↑ بيساغا، تشيسواف؛ بيلتشينسكي، ألكسندر (1960)، "فضاءات الدوال المتصلة. الرابع. حول التصنيف المتماثل لفضاءات الدوال المتصلة"، ستوديا ماث. 19 : 53-62.

فهرس

أليبرانتيس، شارالامبوس د .؛ بوردر، كيم س. (2006). التحليل اللانهائي الأبعاد: دليل للمسافر ( الطبعة الثالثة). برلين: سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ISBN 978-3-540-29587-7. OCLC 262692874 .
أندرسون، آر دي؛ وشوري، آر. (1969). "عوامل المشعبات اللانهائية الأبعاد" (ملف PDF) . معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 142. الجمعية الرياضية الأمريكية (AMS): 315-330 . doi : 10.1090/s0002-9947-1969-0246327-5 . ISSN 0002-9947 .
باخمان، جورج؛ ناريسي، لورانس (2000). التحليل الوظيفي ( الطبعة الثانية). مينولا، نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 978-0486402512. OCLC 829157984 .
باناخ ، ستيفان (1932). Théorie des Opérations Linéaires [ نظرية العمليات الخطية ] (PDF) . Monografie Matematyczne (بالفرنسية). المجلد. 1. وارسو: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. زبل 0005.20901 . مؤرشفة من الأصلي (PDF) بتاريخ 2014-01-11 . تم الاسترجاع 2020-07-11 .
بوزامي، برنارد (1985) [1982]، مقدمة في فضاءات باناخ وهندستها (الطبعة الثانية المنقحة )، نورث هولاند.* بورباكي، نيكولا (1987) [1981]. مساحات المتجهات الطوبولوجية: الفصول 1-5 . عناصر الرياضيات . تمت الترجمة بواسطة Eggleston، HG. مادان، س. برلين نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. رقم ISBN 3-540-13627-4. OCLC 17499190 .
بيساغا، سي. Pełczyński، A. (1975)، موضوعات مختارة في الطوبولوجيا اللانهائية الأبعاد ، Monografie Matematyczne، Warszawa: Panstwowe wyd. naukowe.
كاروثرز، نيل ل. (2005)، دورة مختصرة في نظرية فضاء باناخ ، نصوص طلابية لجمعية لندن الرياضية، المجلد 64، كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج، الصفحات xii+184، ISBN 0-521-84283-2.
كونواي، جون ب. (1990). دورة في التحليل الوظيفي . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد 96 ( الطبعة الثانية). نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908 .
ديستل، جوزيف (1984)، المتتابعات والمتسلسلات في فضاءات باناخ ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد 92، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، الصفحات xii+261 ، ISBN 0-387-90859-5.
دانفورد، نيلسون؛ شوارتز، جاكوب ت. بمساعدة دبليو جي باد وآر جي بارتل (1958)، المؤثرات الخطية. الجزء الأول: النظرية العامة ، الرياضيات البحتة والتطبيقية، المجلد 7، نيويورك: دار إنترساينس للنشر، MR 0117523
إدواردز، روبرت إي. (1995). التحليل الوظيفي: النظرية والتطبيقات . نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138 .
غروتينديك، ألكسندر (1973). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . ترجمة أورلاندو شَلْجوب. نيويورك: دار نشر غوردون وبريتش للعلوم. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098 .
هندرسون، ديفيد و. (1969). "المشعبات اللانهائية الأبعاد هي مجموعات جزئية مفتوحة من فضاء هيلبرت" . نشرة الجمعية الأمريكية للرياضيات 75 ( 4): 759-762 . doi : 10.1090/S0002-9904-1969-12276-7 . MR 0247634 .
خليل الله، إس إم (1982). أمثلة مضادة في فضاءات المتجهات الطوبولوجية . سلسلة محاضرات في الرياضيات . المجلد 936. برلين، هايدلبرغ، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370 .
الأماكن القريبة : Tzafriri، Lior (1977)، مساحات باناخ الكلاسيكية I، مساحات التسلسل ، Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete، المجلد. 92، برلين: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 3-540-08072-4.
ميغينسون، روبرت إي. (1998)، مقدمة في نظرية فضاء باناخ ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد 183، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، الصفحات xx+596، ISBN 0-387-98431-3.
ناريسي، لورانس؛ بيكنشتاين، إدوارد (2011). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . الرياضيات البحتة والتطبيقية ( الطبعة الثانية). بوكا راتون، فلوريدا: مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
ريز، فريدريك ؛ سز-ناغي، بيلا (1990) [1955]. التحليل الوظيفي . ترجمة: بورون، ليو ف. نيويورك: منشورات دوفر . ISBN 0-486-66289-6. OCLC 21228994 .
رودين، والتر (1991). التحليل الوظيفي . السلسلة الدولية في الرياضيات البحتة والتطبيقية. المجلد 8 ( الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: ماكجرو هيل للعلوم/الهندسة/الرياضيات . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .
ريان، ريموند أ. (2002)، مقدمة في جداءات الموترات لفضاءات باناخ ، سلسلة دراسات سبرينغر في الرياضيات، لندن: سبرينغر-فيرلاغ، ص. xiv+225، ISBN 1-85233-437-1.
شيفر، هيلموت هـ .؛ وولف، مانفريد ب. (1999). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . سلسلة GTM . المجلد 8 ( الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: سبرينغر نيويورك. رقم ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
شوارتز، تشارلز (1992). مقدمة في التحليل الوظيفي . نيويورك: إم. ديكر. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067 .
تريف، فرانسوا (2006) [1967]. فضاءات المتجهات الطوبولوجية والتوزيعات والنوى . مينيولا، نيويورك: منشورات دوفر. رقم ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
ويلانسكي، ألبرت (2013). الأساليب الحديثة في فضاءات المتجهات الطوبولوجية . مينولا، نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .
فويتاشيك، برزيميسواف (1991)، فضاءات باناخ للمحللين ، دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة، المجلد 25، كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج، الصفحات 382+14، ISBN 0-521-35618-0.

روابط خارجية

"فضاء باناخ" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
فايستين، إريك دبليو. “مساحة باناخ” . عالم الرياضيات .

[3] من الشائع قراءة " $X$ "هي مساحة معيارية" بدلاً من العبارة الأكثر دقة من الناحية التقنية ولكنها (عادةً) متكلفة . $(X,\|{\cdot }\|)$ "هو فضاء معياري"، خاصة إذا كان المعيار معروفًا جيدًا (على سبيل المثال، كما هو الحال مع ${\mathcal {L}}^{p}$ في الفضاءات ) أو عندما لا تكون هناك حاجة خاصة لاختيار أي معيار (مكافئ) على أي معيار آخر (خاصة في النظرية الأكثر تجريدًا للفضاءات المتجهة الطوبولوجية )، وفي هذه الحالة يُفترض غالبًا أن هذا المعيار (إذا لزم الأمر) يُرمز إليه تلقائيًا بـ $\|{\cdot }\|.$ ومع ذلك، في الحالات التي يتم فيها التركيز على القاعدة، من الشائع أن نرى $(X,\|{\cdot }\|)$ مكتوب بدلاً من $X.$ التعريف الصحيح تقنياً للفضاءات المعيارية على أنها أزواج $(X,\|{\cdot }\|)$ قد يصبح الأمر مهمًا أيضًا في سياق نظرية الفئات حيث يكون التمييز بين فئات الفضاءات المعيارية، والفضاءات القابلة للتطبيع ، والفضاءات المترية ، والفضاءات الطوبولوجية ، وما إلى ذلك، أمرًا مهمًا عادةً.

[4] هذا يعني أنه إذا كان المعيار $\|{\cdot }\|$ يتم استبدالها بمعيار مختلف $\|{\cdot }\|'$ على $X,$ ثم $(X,\|{\cdot }\|)$ لا يمثل نفس الفضاء المعياري مثل $(X,\|{\cdot }\|'),$ حتى لو كانت المعايير متكافئة. ومع ذلك، فإن تكافؤ المعايير على فضاء متجهي معين يشكل علاقة تكافؤ .

[translation_invariant_metric-5] 1 2 3 مقياس $D$ في فضاء متجهي $X$ يُقال إنها ثابتة تحت الترجمة إذا $D(x,y)=D(x+z,y+z)$ لجميع المتجهات $x,y,z\in X.$ يحدث هذا إذا وفقط إذا $D(x,y)=D(x-y,0)$ لجميع المتجهات $x,y\in X.$ المقياس الذي يتم استنتاجه بواسطة معيار يكون دائمًا ثابتًا تحت الإزاحة.

[6] لأن $\|{-z}\|=\|z\|$ للجميع $z\in X,$ صحيح دائماً أن $d(x,y):=\|y-x\|=\|x-y\|$ للجميع $x,y\in X.$ لذا فإن ترتيب $x$ و $y$ لا يهم في هذا التعريف.

[ExampleCompactButHullIsNotCompact-13] 1 2 ليكن $H$ كن فضاء هيلبرت القابل للفصل $\ell ^{2}(\mathbb {N} )$ من المتتابعات القابلة للجمع التربيعي ذات المعيار المعتاد $\|{\cdot }\|_{2},$ ودع $e_{n}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)$ ليكن الأساس المتعامد القياسي (أي كل $e_{n}$ يحتوي على أصفار في كل موضع باستثناء أ $1$ في $n$ ^{الموضع th} ). المجموعة المغلقة $S=\{0\}\cup \{{\tfrac {1}{n}}e_{n}\mid n=1,2,\ldots \}$ مضغوط (لأنه مضغوط تسلسليًا ) لكن غلافه المحدب $\operatorname {co} S$ ليست مجموعة مغلقة لأن النقطة ${\textstyle h:=\sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {1}{2^{n}}}{\tfrac {1}{n}}e_{n}}$ ينتمي إلى إغلاق $\operatorname {co} S$ في $H$ لكن $h\not \in \operatorname {co} S$ (منذ كل نقطة) $z=(z_{1},z_{2},\ldots )\in \operatorname {co} S$ هي مجموعة محدبة محدودة من عناصر $S$ وهكذا $z_{n}=0$ بالنسبة لجميع الإحداثيات باستثناء عدد محدود منها، وهو ما لا ينطبق على $h$ ومع ذلك، كما هو الحال في جميع فضاءات هاوسدورف المحدبة محليًا الكاملة ، فإن الغلاف المحدب المغلق $K:={\overline {\operatorname {co} }}S$ هذه المجموعة الجزئية المدمجة مدمجة. الفضاء المتجهي $X:=\operatorname {span} S=\operatorname {span} \{e_{1},e_{2},\ldots \}$ يُعتبر فضاءً ما قبل هيلبرت عند تزويده بالبنية الفرعية التي يكون عليها فضاء هيلبرت $H$ يحفز عليه، لكن $X$ غير مكتملة و $h\not \in C:=K\cap X$ (منذ $h\not \in X$ ). الغلاف المحدب المغلق لـ $S$ في $X$ (هنا، تعني كلمة "مغلق" فيما يتعلق بـ $X,$ وليس لـ $H$ كما في السابق) يساوي $K\cap X,$ وهي ليست مجموعة مضغوطة (لأنها ليست مجموعة جزئية كاملة). وهذا يدل على أنه في فضاء هاوسدورف المحدب محليًا وغير الكامل، قد لا يكون الغلاف المحدب المغلق لمجموعة جزئية مضغوطة مضغوطًا (على الرغم من أنه سيكون شبه مضغوط/محدودًا كليًا ).

[18] دع $(C([0,1]),|{\cdot }\|_{\infty })$ لنرمز إلى فضاء باناخ للدوال المتصلة بمعيار السوبريموم، ولنفرض $\tau _{\infty }$ يشير إلى الطوبولوجيا على $C([0,1])$ ناتج عن $\|{\cdot }\|_{\infty }.$ الفضاء المتجهي $C([0,1])$ يمكن تحديدها (عبر خريطة التضمين ) على أنها فضاء متجهي كثيف مناسب $X$ التابع $L^{1}$ فضاء $(L^{1}([0,1]),\|{\cdot }\|_{1}),$ وهو ما يرضي $\|f\|_{1}\leq \|f\|_{\infty }$ للجميع $f\in X.$ يترك $p$ يشير إلى تقييد $\|{\cdot }\|_{1}$ ل $X,$ مما يجعل هذه الخريطة $p:X\to \mathbb {R}$ معيار بشأن $X$ (بشكل عام، فإن تقييد أي معيار على أي فضاء جزئي متجهي سيكون بالضرورة معيارًا أيضًا). الفضاء المعياري $(X,p)$ ليس فضاء باناخ لأن اكتماله هو المجموعة الفائقة المناسبة $(L^{1}([0,1]),\|{\cdot }\|_{1}).$ لأن $p\leq \|{\cdot }\|_{\infty }$ يستمر $X,$ الخريطة $p:(X,\tau _{\infty })\to \mathbb {R}$ هو مستمر. على الرغم من ذلك، فإن القاعدة $p$ لا يعادل القاعدة $\|{\cdot }\|_{\infty }$ (لأن $(X,\|{\cdot }\|_{\infty })$ مكتملة ولكن $(X,p)$ (ليس كذلك).

[22] الفضاء المعياري $(\mathbb {R} ,|\cdot |)$ هو فضاء باناخ حيث القيمة المطلقة هي معيار على خط الأعداد الحقيقية $\mathbb {R}$ وهذا يؤدي إلى الطوبولوجيا الإقليدية المعتادة على $\mathbb {R} .$ حدد مقياسًا $D:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ على $\mathbb {R}$ بواسطة $D(x,y)=|\arctan(x)-\arctan(y)|$ للجميع $x,y\in \mathbb {R} .$ تمامًا مثل $|\cdot |$ المقياس المستحث ، المقياس $D$ كما أنه يُنتج الطوبولوجيا الإقليدية المعتادة على $\mathbb {R} .$ لكن، $D$ لا يُعد مقياسًا كاملاً لأن التسلسل $x_{\bullet }=(x_{i})_{i=1}^{\infty }$ محدد بواسطة $x_{i}:=i$ هو $D$ متتالية كوشي، لكنها لا تتقارب إلى أي نقطة من $\mathbb {R} .$ ونتيجة لعدم التقارب، هذا $D$ لا يمكن أن تكون متتالية كوشي متتالية كوشي في $(\mathbb {R} ,|\cdot |)$ (أي أنها ليست متتالية كوشي بالنسبة للمعيار) $|\cdot |$ لأنه لو كان $|\cdot |$ -كوشي، ثم حقيقة أن $(\mathbb {R} ,|\cdot |)$ إن كون الفضاء فضاءً باناخياً يعني بالضرورة أنه متقارب (وهذا تناقض). ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 47-51

[25] نص النظرية هو: ليكن $d$ ليكن أي مقياس على فضاء متجهي $X$ بحيث تكون الطوبولوجيا $\tau$ ناتج عن $d$ على $X$ اصنع $(X,\tau )$ في فضاء متجهي طوبولوجي. إذا $(X,d)$ إذا كان فضاءً متريًا كاملاً $(X,\tau )$ هو فضاء متجهي طوبولوجي كامل .

[26] هذا المقياس $D$ لا يُفترض أن يكون هذا المقياس ثابتًا تحت الإزاحة. لذا، على وجه الخصوص، هذا المقياس $D$ ولا يشترط حتى أن يكون ذلك ناتجاً عن معيار.

[CharacterizationOfContinuityOfANorm-27] معيار (أو شبه معيار ) $p$ على فضاء متجهي طوبولوجي $(X,\tau )$ تكون متصلة إذا وفقط إذا كانت الطوبولوجيا $\tau _{p}$ الذي - التي $p$ يحفز على $X$ أكثر خشونة من $\tau$ (معنى، $\tau _{p}\subseteq \tau$ ، وهو ما يحدث إذا وفقط إذا كانت هناك كرة مفتوحة $B$ في $(X,p)$ (مثل ربما) $\{x\in X\mid p(x)<1\}$ على سبيل المثال) مفتوح في $(X,\tau ).$

[30] $X'$ يرمز إلى الفضاء الثنائي المتصل لـ $X.$ متى $X'$ تتمتع بطوبولوجيا الفضاء الثنائي القوي ، والتي تسمى أيضًا طوبولوجيا التقارب المنتظم على المجموعات الفرعية المحدودة من $X,$ ثم يتم الإشارة إلى ذلك بكتابة $X'_{b}$ (أحيانًا، يكون النص السفلي $\beta$ يتم استخدامها بدلاً من $b$ ). متى $X$ هو فضاء معياري ذو معيار $\|{\cdot }\|$ إذن، هذه الطوبولوجيا تساوي الطوبولوجيا على $X'$ مستحثة بواسطة المعيار المزدوج . وبهذه الطريقة، تُعدّ الطوبولوجيا القوية تعميمًا للطوبولوجيا المعتادة المستحثة بواسطة المعيار المزدوج على $X'.$

[34] حقيقة أن $\{x\in X\mid |f(x)|<1\}$ الانفتاح يعني أن $f:X\to \mathbb {R}$ إن كون الدالة متصلة يبسط عملية إثبات الاتصال، لأنه يعني أنه يكفي إثبات أن $\{x\in X\mid |f(x)-f(x_{0})|<r\}$ مفتوح لـ $r:=1$ وفي $x_{0}:=0$ (أين $f(0)=0$ ) بدلاً من إظهار هذا للجميع الحقيقيين $r>0$ وكل شيء $x_{0}\in X.$

[1] بورباكي 1987 ، المجلد 87

[FOOTNOTENariciBeckenstein201193-2] ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 93.

[Lumer_1961-7] 1 2 لومر، ج. (1961). "فضاءات شبه الضرب الداخلي" . معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 100 (1): 29-43 . doi : 10.1090/S0002-9947-1961-0133024-2 .

[8] انظر النظرية 1.3.9، ص. 20 في ميغينسون (1998) .

[FOOTNOTEWilansky201329-9] ويلانسكي 2013 ، ص 29.

[10] بيساغا و Pełczyński 1975 ، ص. 189

[FOOTNOTEAndersonSchori1969315-11] 1 2 أندرسون وشوري 1969 ، ص. 315.

[FOOTNOTEHenderson1969-12] هندرسون 1969 .

[FOOTNOTEAliprantisBorder2006185-14] أليبرانتيس والحدود 2006 ، ص. 185.

[FOOTNOTETrèves2006145-15] تريفز 2006 ، ص 145.

[FOOTNOTETrèves2006166–173-16] تريف 2006 ، ص 166-173.

[Conrad_Equiv_norms-17] 1 2 كونراد، كيث. "تكافؤ المعايير" (ملف PDF) . kconrad.math.uconn.edu . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 9 أكتوبر 2022. تم الاطلاع عليه بتاريخ 7 سبتمبر 2020 .

[19] انظر النتيجة 1.4.18، ص 32 في ميغينسون (1998) .

[FOOTNOTENariciBeckenstein201147–66-20] ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 47-66.

[FOOTNOTENariciBeckenstein201147–51-21] ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 47-51.

[FOOTNOTESchaeferWolff199935-23] Schaefer & Wolff 1999 ، ص 35.

[Klee_Inv_metrics-24] كلي، ف. ل. (1952). "المقاييس الثابتة في الزمر (حل لمسألة باناخ)" (ملف PDF) . وقائع الجمعية الأمريكية للرياضيات. 3 ( 3): 484-487 . doi : 10.1090/s0002-9939-1952-0047250-4 . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 2022-10-09.

[FOOTNOTETrèves200657–69-28] تريف 2006 ، ص 57-69.

[FOOTNOTETrèves2006201-29] تريفز 2006 ، ص 201.

[Gabriyelyan_2014-31] غابرييليان، إس إس "حول الفضاءات الطوبولوجية والمجموعات الطوبولوجية مع شبكات محلية قابلة للعد معينة (2014)"

[Ban1Cat-32] 1 2 تشياوتشو يوان (23 يونيو 2012). "فضاءات باناخ (ومقاييس لوفير، والفئات المغلقة)" . الدقة المزعجة .

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011192–193-33] 1 2 ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 192-193.

[35] باناش (1932 ، ص 182)

[Caro17-36] 1 2 انظر الصفحات 17-19 في كاروثرز (2005) .

[37] انظر باناش (1932) ، الصفحات 11-12.

[38] انظر باناش (1932) ، Th. 9 ص. 185.

[39] انظر النظرية 6.1، صفحة 55 في كاروثرز (2005)

[40] تستخدم العديد من الكتب حول التحليل الوظيفي الترميز $X^{*}$ بالنسبة للثنائي المستمر، على سبيل المثال كاروثرز (2005) ، ليندنشتراوس وتزافريري (1977) ، ميغينسون (1998) ، رايان (2002) ، ووجتاسزيك (1991) .

[41] النظرية 1.9.6، ص 75 في ميغينسون (1998)

[42] انظر أيضًا النظرية 2.2.26، صفحة 179 في ميغينسون (1998)

[Caro19-43] انظر الصفحة 19 في كاروثرز (2005) .

[44] النظريات 1.10.16، 1.10.17، الصفحات 94-95 في ميغينسون (1998)

[45] النظرية 1.12.11، ص 112 في ميغينسون (1998)

[46] النظرية 2.5.16، ص 216 في ميغينسون (1998) .

[47] انظر II.A.8، ص. 29 في فويتاسزكزيك (1991)

[DualBall-48] 1 2 3 انظر النظرية 2.6.23، ص. 231 في ميغينسون (1998) .

[49] انظر ن. بورباكي، (2004)، “Integration I”، Springer Verlag، ISBN 3-540-41129-1.

[Eilenberg-50] 1 2 إيلنبرغ، صموئيل (1942). "طرق فضاء باناخ في الطوبولوجيا". حوليات الرياضيات . 43 (3): 568-579 . doi : 10.2307/1968812 . JSTOR 1968812 .

[51] انظر أيضًا باناش (1932) ، ص 170، للاطلاع على كلمة "قابل للقياس". $K$ و $L.$

[52] أمير، دان (1965). "حول تماثلات فضاءات الدوال المتصلة" . مجلة إسرائيل للرياضيات . 3 (4): 205-210 . doi : 10.1007/bf03008398 . S2CID 122294213 .

[53] كامبرن، م. (1966). "نظرية باناش-ستون المعممة" . وقائع الجمعية الأمريكية للرياضيات . 17 (2): 396-400 . doi : 10.1090/s0002-9939-1966-0196471-9 .وكامبرن ، م. (1967). "حول التشاكلات ذات الحدود الصغيرة" . وقائع الجمعية الأمريكية للرياضيات . 18 (6): 1062-1066 . doi : 10.1090/s0002-9939-1967-0217580-2 .

[54] كوهين، إتش بي (1975). "تشاكل من الدرجة الثانية بين $C(X)$ فضاءات باناخ . وقائع الجمعية الأمريكية للرياضيات 50 : 215-217 . doi : 10.1090 /s0002-9939-1975-0380379-5 .

[55] انظر على سبيل المثال: أرفيسون، و. (1976). مدخل إلى جبر C* . سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 0-387-90176-0.

[56] آر سي جيمس (1951). "فضاء باناخ غير انعكاسي متساوي القياس مع فضاءه المرافق الثاني" . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم في الولايات المتحدة الأمريكية . 37 (3): 174-177 . Bibcode : 1951PNAS...37..174J . doi : 10.1073 / pnas.37.3.174 . PMC 1063327. PMID 16588998 .

[57] انظر Lindenstrauss & Tzafriri (1977) ، ص 25.

[58] بيشوب، انظر إي.؛ فيلبس، ر. (1961). "برهان على أن كل فضاء باناخ شبه انعكاسي" . نشرة الجمعية الأمريكية للرياضيات 67 : 97-98 . doi : 10.1090 /s0002-9904-1961-10514-4 .

[59] انظر III.C.14، ص. 140 في Wojtaszczyk (1991) .

[60] انظر النتيجة 2، ص 11 في ديستل (1984) .

[61] انظر الصفحة 85 في ديستل (1984) .

[62] روزنتال، هاسكل ب. (1974). "توصيف فضاءات باناخ التي تحتوي على ℓ ¹ " . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم في الولايات المتحدة الأمريكية . 71 ( 6): 2411-2413 . arXiv : math.FA/9210205 . Bibcode : 1974PNAS...71.2411R . doi : 10.1073/pnas.71.6.2411 . PMC 388466. PMID 16592162 . برهان روزنتال خاص بالأعداد الحقيقية. أما النسخة المركبة من النتيجة فتعود إلى ل. دور، في دور، ليونارد إي (1975). "حول المتتاليات التي تمتد على فضاء مركب ℓ ¹ " . وقائع الجمعية الأمريكية للرياضيات 47 : 515-516 . doi : 10.1090/s0002-9939-1975-0358308-x .

[63] انظر الصفحة 201 في ديستل (1984) .

[64] أوديل، إدوارد و.؛ روزنتال، هاسكل ب. (1975)، "توصيف ثنائي-ثنائي لفضاءات باناخ القابلة للفصل التي تحتوي على ℓ ¹ " (ملف PDF) ، مجلة إسرائيل للرياضيات ، 20 ( 3-4 ): 375-384 ، doi : 10.1007/bf02760341 ، S2CID 122391702 ، مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 2022-10-09 .

[65] أوديل وروزنتال، Sublemma ص 378 و Remark ص 379.

[66] لمزيد من المعلومات حول المجموعات الفرعية المدمجة نقطيًا من فئة باير، انظر: Bourgain, Jean ; Fremlin, DH; Talagrand, Michel (1978), "Pointwise Compact Sets of Baire-Measurable Functions", Am. J. Math. , 100 (4): 845– 886, doi : 10.2307/2373913 , JSTOR 2373913 .

[67] انظر الاقتراح 2.5.14، ص 215 في ميغينسون (1998) .

[68] انظر على سبيل المثال ص. 49، II.C.3 في Wojtaszczyk (1991) .

[69] انظر النتيجة 2.8.9، ص 251 في ميغينسون (1998) .

[70] انظر Lindenstrauss & Tzafriri (1977) ص. 3.

[71] يظهر السؤال في الصفحة 238، الفقرة 3 في كتاب باناش، باناش (1932) .

[72] انظر SV Bočkarev، "وجود أساس في فضاء الدوال التحليلية في القرص، وبعض خصائص نظام فرانكلين". (بالروسية) Mat. Sb. (NS) 95(137) (1974)، 3–18، 159.

[73] انظر: Enflo, P. (1973). "مثال مضاد لخاصية التقريب في فضاءات باناخ" . Acta Math . 130 : 309–317 . doi : 10.1007/bf02392270 . S2CID 120530273 .

[74] انظر RC James، "القواعد وانعكاسية فضاءات باناخ". حوليات الرياضيات (2) 52، (1950). 518-527. انظر أيضًا Lindenstrauss & Tzafriri (1977) ص 9.

[75] انظر A. Grothendieck، “Produits Tensoriels topologiques et espaces nucléaires”. م. عامر. الرياضيات. شركة نفط الجنوب. 1955 (1955)، لا. 16، 140 ص، وأ. بول. شركة نفط الجنوب. حصيرة. ساو باولو 8 1953 1–79.

[76] انظر الفصل 2، صفحة 15 في كتاب رايان (2002) .

[77] انظر الفصل 3، صفحة 45 في كتاب رايان (2002) .

[78] انظر المثال 2.19، ص 29، والصفحات 49-50 في ريان (2002) .

[79] انظر الاقتراح 4.6، ص 74 في ريان (2002) .

[80] انظر Pisier، Gilles (1983)، "أمثلة مضادة لتخمين Grothendieck"، Acta Math. 151 :181–208.

[81] انظر زانكوفسكي، أندريه (1981)، “ $B(H)$ "لا يمتلك خاصية التقريب"، Acta Math. 147 : 89–108. ويدعي رايان أن هذه النتيجة تعود إلى بير إنفلو ، ص 74 في رايان (2002) .

[82] انظر Kwapień، S. (1970)، "توصيف طوبولوجي خطي للفضاءات ذات الضرب الداخلي"، Studia Math. 38 :277–278.

[83] ليندنشتراوس، يورام؛ تزافريري، ليور (1971). "حول مسألة الفضاءات الجزئية المكملة" . مجلة إسرائيل للرياضيات . 9 (2): 263-269 . doi : 10.1007/BF02771592 .

[84] انظر ص. 245 في باناخ (1932) . خاصية التجانس تسمى "ملكية (15)" هناك. يكتب باناخ: "لا نعرف أي مثال على الفضاء في لا نهاية للأبعاد، بدون أن يكون متماثلًا مع $(L^{2}).$ تمتلك الملكية (15)".

[Gowers-85] 1 2 Gowers, WT (1996), "A new dichometry for Banach spaces", Geom. Funct. Anal. 6 :1083–1093.

[86] انظر: Gowers, WT (1994). "حل لمسألة باناش للمستوى الفائق". نشرة جمعية لندن الرياضية 26 (6): 523-530 . doi : 10.1112/blms/26.6.523 .

[87] انظر: كوموروفسكي، ريشارد أ.؛ تومتشاك-ياغرمان، نيكول (1995). "فضاءات باناخ بدون بنية محلية غير مشروطة" . مجلة إسرائيل للرياضيات . 89 ( 1-3 ): 205-226 . arXiv : math/9306211 . doi : 10.1007/bf02808201 . S2CID 5220304 . وكذلك كوموروفسكي، ريشارد أ.؛ تومتشاك-ياغرمان، نيكول (1998). "تصحيح لـ: فضاءات باناخ بدون بنية محلية غير مشروطة" . مجلة إسرائيل للرياضيات . 105 : 85-92 . arXiv : math/9607205 . doi : 10.1007/bf02780323 . S2CID 18565676 .

[88] سي. بيساغا، أ. Pełczyński (1975). موضوعات مختارة في الطوبولوجيا اللانهائية الأبعاد . بانستووي ويد. naukowe. ص 177 – 230.

[89] هـ. تورونتشيك (1981). توصيف طوبولوجيا فضاء هيلبرت . فوندامينتا ماتيماتيكا. ص 247-262 .

[90] ميليوتين، أليكسي أ. (1966)، "تشاكل فضاءات الدوال المتصلة على مجموعات متراصة ذات عدد عناصر متصل". (بالروسية) Teor. Funkciĭ Funkcional. Anal. i Priložen. Vyp. 2 :150–156.

[91] ميلوتين. انظر أيضًا روزنتال، هاسكل ب. ، "فضاءات باناخ C(K)" في كتيب هندسة فضاءات باناخ، المجلد 2، 1547-1602، نورث هولاند، أمستردام، 2003.

[92] يمكن للمرء أن يأخذ $α = ω βn$ ، حيث $\beta +1$ رتبة كانتور -بنديكسون لـ $K,$ و $n>0$ يمثل العدد المحدود من النقاط في $\beta$ المجموعة المشتقة رقم -th $K(\beta )$ ل $K.$ انظر مازوركيفيتش، ستيفان ؛ Sierpiński، Wacław (1920)، “Contribution à la topologie des ensembles dénombrables”، Fundamenta Mathematicae 1: 17–27.

[93] بيساغا، تشيسواف؛ بيلتشينسكي، ألكسندر (1960)، "فضاءات الدوال المتصلة. الرابع. حول التصنيف المتماثل لفضاءات الدوال المتصلة"، ستوديا ماث. 19 : 53-62.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ ملاحظة 1 ]

[ ملاحظة 2 ]

[ ملاحظة 3 ]

[ ملاحظة 4 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[

[ ملاحظة 5 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

11 ] على

[ 12 ]

[ ملاحظة 6 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ ملاحظة 7 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ ملاحظة 8 ]

[ ملاحظة 9 ]

[ ملاحظة 10 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ ملاحظة 11 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ ملاحظة 12 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]

[ 35 ]

[

[ 37 ]

[ 38 ]

[ 39 ]

[ 40 ]

[ 41 ]

[ 42 ]

[ 43 ]

[ 44 ]

[ 45 ]

[ 46 ]

[ 47 ]

[ 48 ]

[ 49 ]

[ 50 ]

[ 51 ]

[ 52 ]

[ 53 ]

[ 54 ]

[ 55 ]

[ 56 ]

[ 57 ]

[ 58 ]

[ 59 ]

[

[ 61 ]

[ 62 ]

[ 63 ]

[ 64 ]

[ 65 ]

[ 66 ]

[ 67 ]

[ 68 ]

[ 69 ]

[ 70 ]

[ 71 ]

[ 72 ]

[ 73 ]

[ 74 ]

[ 75 ]

[ 76 ]

[ 77 ]

[ 78 ]

[ 79 ]

[ 80 ]

[ 81 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗

تعريف

المنتج شبه الداخلي L

التوصيف من حيث المتسلسلات

الطوبولوجيا

فئات التشاكل المتماثل للفضاءات البناخية القابلة للفصل

المجموعات الفرعية المدمجة والمحدبة

باعتباره فضاء متجهي طوبولوجي

مقارنة بين طوبولوجيات المتجهات القابلة للقياس الكاملة

اكتمال

المعايير الكاملة والمعايير المكافئة

المعايير الكاملة مقابل المقاييس الكاملة

المعايير الكاملة مقابل فضاءات المتجهات الطوبولوجية الكاملة

إنجازات

النظرية العامة

المؤثرات الخطية، التشاكلات

الدوال الخطية المتصلة والمحدودة وشبه المعايير

المفاهيم الأساسية

المساحات الكلاسيكية

جبر باناخ

أمثلة

مساحة مزدوجة

الطوبولوجيات الضعيفة

أمثلة على الفضاءات المزدوجة

ثنائي

نظريات باناش

الانعكاسية

التقارب الضعيف للمتتاليات

النتائج التي تتضمن أساس 𝓁 1

المتتاليات، والتراص الضعيف والتراص الضعيف*

النوع والنمط المساعد

قواعد شاودر

حاصل الضرب الموتري

جداءات الموترات وخاصية التقريب

بعض نتائج التصنيف

خصائص فضاء هيلبرت بين فضاءات باناخ

التصنيف المتري

التصنيف الطوبولوجي

فضاءات الدوال المتصلة

أمثلة

المشتقات

التعميمات

انظر أيضاً

ملحوظات

مراجع

فهرس

روابط خارجية

النتائج التي تتضمن أساس $𝓁 1$