حتى

الموسوعة الحرة
أعلى: في مجموعة رؤوس سداسية، توجد 20 مجموعة فرعية ، تحتوي كل منها على مجموعة فرعية واحدة من ثلاثة عناصر (باللون الأخضر) وثلاث مجموعات فرعية من عنصر واحد (بدون لون). أسفل: من بين هذه المجموعات، توجد 4 مجموعات فرعية قابلة للدوران، و3 مجموعات فرعية قابلة للدوران والانعكاس.

يُقال عن كائنين رياضيين a و b أنهما "متساويان حتى علاقة تكافؤ R " إذا كانا مرتبطين بالعلاقة R ، أو بتعبير أدق ، إذا تحققت العلاقة aRb . وبما أن a مرتبط بـ b إذا وفقط إذا كان لهما نفس فئة التكافؤ ، فإن a و b يكونان متساويين حتى R إذا وفقط إذا كانت فئات التكافؤ لـ a و b بالنسبة إلى R متساوية.

يُستخدم هذا الأسلوب البلاغي غالبًا مع التعبيرات المشتقة من المساواة، مثل التفرد أو العدد. على سبيل المثال، تعني عبارة " x فريد حتى R " أن جميع العناصر x قيد الدراسة تقع في نفس فئة التكافؤ بالنسبة للعلاقة R.

علاوة على ذلك، غالبًا ما يتم تحديد علاقة التكافؤ R بشكل ضمني إلى حد ما من خلال شرط توليد أو تحويل.

  • على سبيل المثال، فإن عبارة "التحليل إلى العوامل الأولية لعدد صحيح فريد حتى الترتيب" هي طريقة مختصرة للقول بأن أي قائمتين من العوامل الأولية لعدد صحيح معين متكافئتان فيما يتعلق بالعلاقة R التي تربط قائمتين إذا كان من الممكن الحصول على إحداهما عن طريق إعادة ترتيب ( تبديل ) الأخرى. [ 1 ]
  • كمثال آخر، فإن العبارة "حل التكامل غير المحدد هو sin( x ) ، حتى إضافة ثابت" تستخدم ضمنيًا علاقة التكافؤ R بين الدوال، المعرفة بواسطة fRg إذا كان الفرق النقطي f − g دالة ثابتة ، وتعني أن الحل والدالة sin( x ) متساويان حتى R هذا .
  • في الصورة، تعني عبارة "هناك 4 تقسيمات حتى الدوران" أن المجموعة P لها 4 فئات تكافؤ بالنسبة إلى R المعرفة بواسطة aRb إذا كان من الممكن الحصول على b من a عن طريق الدوران؛ يتم عرض ممثل واحد من كل فئة في الجزء السفلي الأيسر من الصورة.

تُستخدم علاقات التكافؤ غالبًا لتجاهل الاختلافات المحتملة بين العناصر، لذا يمكن فهم عبارة "حتى R " بشكل غير رسمي على أنها "تجاهل نفس التفاصيل الدقيقة التي تتجاهلها R ". في مثال التحليل إلى عوامل، تعني عبارة "حتى الترتيب" "تجاهل الترتيب المحدد".

وتشمل الأمثلة الأخرى "حتى التشاكل"، و"حتى التبديلات"، و"حتى الدورانات"، والتي تم وصفها في قسم الأمثلة .

في السياقات غير الرسمية، غالبًا ما يستخدم علماء الرياضيات كلمة modulo (أو ببساطة mod ) لأغراض مماثلة، كما هو الحال في "التشاكل modulo".

يمكن عد الأشياء المتميزة حتى علاقة التكافؤ المحددة بواسطة فعل المجموعة، مثل الدوران أو الانعكاس أو التبديل، باستخدام ليمّة بيرنسايد أو تعميمها، نظرية تعداد بوليا .

أمثلة

لعبة تتريس

قطع لعبة تتريس: I، J، L، O، S، T، Z

لنفترض وجود سبع قطع من لعبة تتريس (I، J، L، O، S، T، Z)، والمعروفة رياضياً باسم التترومينو . إذا أخذنا في الاعتبار جميع الدورانات الممكنة لهذه القطع - على سبيل المثال، إذا اعتبرنا أن القطعة "I" الموجهة عمودياً تختلف عن القطعة "I" الموجهة أفقياً - فسنجد أن هناك 19 شكلاً مختلفاً يمكن عرضها على الشاشة. (هذه الأشكال الـ 19 هي ما يُسمى بالتترومينو "الثابتة". [ 2 ] ) ولكن إذا لم نعتبر الدورانات مختلفة - بحيث نتعامل مع كل من "I" الموجهة عمودياً و"I" الموجهة أفقياً على أنها "I" - فلن يكون هناك سوى سبعة أشكال. نقول: "هناك سبعة أشكال تترومينو ، باستثناء الدوران". يمكن أيضاً القول: "هناك خمسة أشكال تترومينو، باستثناء الدوران والانعكاس"، وهو ما يفسر حقيقة أن انعكاس L يعطي J، وانعكاس S يعطي Z.

ثماني ملكات

حل لمسألة الملكات الثماني

في لغز الملكات الثماني ، إذا اعتُبرت الملكات متميزة (مثلاً إذا لُوّنت بثمانية ألوان مختلفة)، فإن عدد الحلول المتميزة هو 3709440. ولكن في العادة، تُعتبر الملكات قابلة للتبديل، ويُقال عادةً "هناك 3709440 / 8! = 92 حلاً فريداً حتى تبديل الملكات"، أو "هناك 92 حلاً بتردد أسماء الملكات"، مما يعني أن ترتيبين مختلفين للملكات يُعتبران متكافئين إذا تم تبديل الملكات، طالما بقيت مجموعة المربعات المشغولة كما هي.

إذا سُمح، بالإضافة إلى اعتبار الملكات متطابقات، بتدوير وانعكاس رقعة الشطرنج، فلن يكون لدينا سوى 12 حلاً مختلفاً "حتى التناظر وتسمية الملكات". للمزيد، انظر لغز الملكات الثماني §  الحلول .

المضلعات

المضلع المنتظم ذو n ضلعًا ، عند قيمة n ثابتة ، يكون فريدًا حتى التشابه . بعبارة أخرى، علاقة التكافؤ "التشابهية" بين المضلعات المنتظمة ذات n ضلعًا (عند قيمة n ثابتة ) لها فئة تكافؤ واحدة فقط؛ إذ يستحيل إنتاج مضلعين منتظمين ذوي n ضلعًا غير متشابهين.

نظرية الزمر

في نظرية الزمر ، قد يكون لدى المرء زمرة G تعمل على مجموعة X ، وفي هذه الحالة، يمكن للمرء أن يقول إن عنصرين من X متكافئان "حتى تأثير الزمرة" - إذا كانا يقعان في نفس المدار .

ومن الأمثلة النموذجية الأخرى القول بأن "هناك مجموعتين مختلفتين من الرتبة 4 حتى التشاكل "، أو "بمقدار التشاكل، هناك مجموعتان من الرتبة 4". وهذا يعني أنه إذا اعتبرنا المجموعات المتشاكلة "متكافئة"، فلا يوجد سوى فئتين من فئات التكافؤ للمجموعات من الرتبة 4، وهما على وجه الخصوص المجموعة الدورية من الرتبة 4 ومجموعة كلاين الرباعية .

تحليل غير قياسي

العدد الفائق الحقيقي x وجزئه القياسي st( x ) متساويان حتى فرق متناهي الصغر .

انظر أيضاً

مراجع

  1. ^ نيكوفا، يناير (2011). "اللغة الإنجليزية الرياضية (ملخص موجز)" (PDF) . معهد الرياضيات في جوسيو – باريس ريف غوش . تم الاسترجاع بتاريخ 2024-02-08 .
  2. ↑ وايسشتاين، إريك دبليو. "تترومينو" . ماث وورلد . تم الاسترجاع في 26-09-2023 .