علاقات الجبر المتجهي

فيما يلي متطابقات مهمة في الجبر المتجهي . متطابقات لا تتضمن سوى مقدار المتجه${\displaystyle \|\mathbf {A} \|}$ينطبق الضرب القياسي ( الضرب الداخلي) لمتجهين A × B على المتجهات في أي بُعد، بينما تنطبق المتطابقات التي تستخدم الضرب الاتجاهي (الضرب المتجهي) A × B فقط في ثلاثة أبعاد، لأن الضرب الاتجاهي مُعرَّف في هذه الأبعاد فقط. ^{[ ملاحظة 1 ] [ 1 ]} يمكن إرجاع معظم هذه العلاقات إلى مؤسس حساب المتجهات جوزيا ويلارد جيبس ، إن لم يكن قبل ذلك. ^{[ 2 ]}

يمكن التعبير عن مقدار المتجه A باستخدام الضرب النقطي:

${\displaystyle \|\mathbf {A} \|^{2}=\mathbf {A\cdot A} }$

في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد ، يتم تحديد مقدار المتجه من مكوناته الثلاثة باستخدام نظرية فيثاغورس :

${\displaystyle \|\mathbf {A} \|^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{3}^{2}}$

• متباينة كوشي -شفارتز :${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \leq \left\|\mathbf {A} \right\|\left\|\mathbf {B} \right\|}$
• متباينة المثلث :${\displaystyle \|\mathbf {A+B} \|\leq \|\mathbf {A} \|+\|\mathbf {B} \|}$
• متباينة المثلث المعكوسة :$\displaystyle \|\mathbf {AB} \|\geq {\Bigl |}\|\mathbf {A} \|-\|\mathbf {B} \|{\Bigr |}}$

يحدد الضرب الاتجاهي والضرب القياسي لمتجهين الزاوية بينهما، ولتكن θ : ^{[ 1 ] [ 3 ]}

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {\|\mathbf {A} \times \mathbf {B} \|}{\left\|\mathbf {A} \right\|\left\|\mathbf {B} \right\|}}\quad (-\pi <\theta \leq \pi )}$

لتحقيق قاعدة اليد اليمنى ، بالنسبة لـ θ الموجبة ، يكون المتجه B عكس اتجاه عقارب الساعة من A ، وبالنسبة لـ θ السالبة يكون في اتجاه عقارب الساعة.

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} }{\left\|\mathbf {A} \right\|\left\|\mathbf {B} \right\|}}\quad (-\pi <\theta \leq \pi )}$

ومن ثمّ تُقدّم متطابقة فيثاغورس المثلثية ما يلي:

${\displaystyle \left\|\mathbf {A\times B} \right\|^{2}+(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )^{2}=\left\|\mathbf {A} \right\|^{2}\left\|\mathbf {B} \right\|^{2}}$

إذا كان المتجه A = ( A _x , A _y , A _z ) يصنع الزوايا α , β , γ مع مجموعة متعامدة من المحاور x و y و z ، فإن:

${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {A_{x}}{\sqrt {A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2}}}}={\frac {A_{x}}{\|\mathbf {A} \|}}\ ,}$

وبالمثل بالنسبة للزاويتين β و γ. وبالتالي:

${\displaystyle \mathbf {A} =\left\|\mathbf {A} \right\|\left(\cos \alpha \ {\hat {\mathbf {i} }}+\cos \beta \ {\hat {\mathbf {j} }}+\cos \gamma \ {\hat {\mathbf {k} }}\right)،}$

مع${\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }},\ {\hat {\mathbf {j} }},\ {\hat {\mathbf {k} }}}$متجهات الوحدة على طول اتجاهات المحاور.

مساحة متوازي الأضلاع Σ الذي يحتوي ضلعاه A و B على الزاوية θ هي:

${\displaystyle \Sigma =AB\sin \theta ,}$

والذي سيُعرف بأنه مقدار حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين A و B الواقعين على طول أضلاع متوازي الأضلاع. أي:

${\displaystyle \Sigma =\left\|\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right\|={\sqrt {\left\|\mathbf {A} \right\|^{2}\left\|\mathbf {B} \right\|^{2}-\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \يمين)^{2}}}\ .}$

(إذا كان A و B متجهين ثنائيي الأبعاد، فإن هذا يساوي محدد المصفوفة 2 × 2 ذات الصفوف A و B. ) مربع هذا التعبير هو: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \Sigma ^{2}=(\mathbf {A\cdot A} )(\mathbf {B\cdot B} )-(\mathbf {A\cdot B} )(\mathbf {B\cdot A} )=\Gamma (\mathbf {A} ,\ \mathbf {B} )\ ,}$

حيث أن Γ( A , B ) هو محدد غرام لـ A و B المعرف بواسطة:

${\displaystyle \Gamma (\mathbf {A} ,\ \mathbf {B} )={\begin{vmatrix}\mathbf {A\cdot A} &\mathbf {A\cdot B} \\\mathbf {B\cdot A} &\mathbf {B\cdot B} \end{vmatrix}}\ .}$

وبالمثل، فإن الحجم التربيعي V لمتوازي المستطيلات الذي تشكله المتجهات الثلاثة A و B و C يُعطى بواسطة محدد غرام للمتجهات الثلاثة: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle V^{2}=\Gamma (\mathbf {A} ,\ \mathbf {B} ,\ \mathbf {C} )={\begin{vmatrix}\mathbf {A\cdot A} &\mathbf {A\cdot B} &\mathbf {A\cdot C} \\\mathbf {B\cdot A} &\mathbf {B\cdot B} &\mathbf {B\cdot C} \\\mathbf {C\cdot A} &\mathbf {C\cdot B} &\mathbf {C\cdot C} \end{vmatrix}}\ ,}$

بما أن A و B و C متجهات ثلاثية الأبعاد، فإن هذا يساوي مربع الضرب الثلاثي القياسي${\displaystyle \det[\mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {C} ]=|\mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {C} |}$أقل.

يمكن توسيع هذه العملية لتشمل الأبعاد n .

• خاصية التبديل في الجمع:${\displaystyle \mathbf {A} +\mathbf {B} =\mathbf {B} +\mathbf {A} }$.
• خاصية التبادلية للضرب القياسي:${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} }$.
• خاصية عدم التبادلية في الضرب التقاطعي:${\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} =\mathbf {-} (\mathbf {B} \times \mathbf {A} )}$.
• خاصية التوزيع لعملية الضرب بعدد قياسي على عملية الجمع:${\displaystyle c(\mathbf {A} +\mathbf {B} )=c\mathbf {A} +c\mathbf {B} }$.
• خاصية توزيع الضرب القياسي على الجمع:${\displaystyle \left(\mathbf {A} +\mathbf {B} \right)\cdot \mathbf {C} =\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {C} }$.
• خاصية توزيع حاصل الضرب الاتجاهي على الجمع:${\displaystyle (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\times \mathbf {C} =\mathbf {A} \times \mathbf {C} +\mathbf {B} \times \mathbf {C} }$.
• حاصل الضرب الثلاثي القياسي :$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=\mathbf {B} \cdot (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )=\mathbf {C} \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |={\begin{vmatrix}A_{x}&B_{x}&C_{x}\\A_{y}&B_{y}&C_{y}\\A_{z}&B_{z}&C_{z}\end{vmatrix}}.}$$
• حاصل الضرب الثلاثي للمتجهات :${\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )\mathbf {B} -(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )\mathbf {C} }$.
• هوية جاكوبي :$${\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )+\mathbf {C} \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )+\mathbf {B} \times (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )=\mathbf {0} .}$$
• هوية لاغرانج :${\displaystyle |\mathbf {A} \times \mathbf {B} |^{2}=(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} )(\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} )-(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )^{2}}$.

تُعدّ هذه العلاقات مفيدةً لاستنتاج صيغٍ مختلفةٍ في الهندسة الكروية والإقليدية. على سبيل المثال، إذا تم اختيار أربع نقاط على كرة الوحدة، A وB وC وD ، ورُسمت متجهات وحدة من مركز الكرة إلى هذه النقاط الأربع، a وb وc وd على التوالي، فإنّ المتطابقة هي:

${\displaystyle (\mathbf {a\times b} )\mathbf {\cdot } (\mathbf {c\times d} )=(\mathbf {a\cdot c} )(\mathbf {b\cdot d} )-(\mathbf {a\cdot d} )(\mathbf {b\cdot c} )\ ,}$

بالإضافة إلى العلاقة الخاصة بمقدار الضرب الاتجاهي:

${\displaystyle \|\mathbf {a\times b} \|=ab\sin \theta _{ab}\ ,}$

والضرب النقطي:

${\displaystyle \mathbf {a\cdot b} =ab\cos \theta _{ab}\ ,}$

حيث a = b = 1 بالنسبة للكرة الوحدة، ينتج عن ذلك تطابق بين الزوايا المنسوبة إلى جاوس:

${\displaystyle \sin \theta _{ab}\sin \theta _{cd}\cos x=\cos \theta _{ac}\cos \theta _{bd}-\cos \theta _{ad}\cos \theta _{bc}\ ,}$

حيث x هي الزاوية بين a × b و c × d ، أو بشكل مكافئ، بين المستويين المحددين بواسطة هذه المتجهات. ^{[ 2 ]}

• متطابقات حساب المتجهات
• فضاء المتجهات
• الجبر الهندسي

• جيبس، جوزيا ويلارد؛ ويلسون، إدوين بيدويل (1901). تحليل المتجهات: كتاب مدرسي لاستخدام طلاب الرياضيات . سكريبنر.