الضرب التقاطعي سباعي الأبعاد

في الرياضيات ، الضرب الاتجاهي في الفضاء ذي الأبعاد السبعة هو عملية ثنائية الخطية على المتجهات في الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد السبعة . وهو يُسند قيمةً إلى أي متجهين a و b في $\mathbb {R} ^{7}$ المتجه a × b موجودأيضًا في $\mathbb {R} ^{7}$ [ ¹^] كما هو الحال في الضرب الاتجاهي في ثلاثة أبعاد، فإن الضرب الاتجاهي في سبعة أبعاد مضاد للتبديل ، ويكون a × b متعامدًا مع كل من a و b . على عكس ^الضرب الاتجاهي في ثلاثة أبعاد، لا يحققفي سبعة أبعاد متطابقة جاكوبي ، وبينما يكون الضرب الاتجاهي في ثلاثة أبعاد فريدًا حتى الإشارة، توجد العديد من الضربات الاتجاهية في سبعة أبعاد. يرتبط الضرب الاتجاهي في سبعة أبعاد بالأوكتونيونات بنفس علاقة الضرب الاتجاهي في ثلاثة أبعاد بالكواترنيونات .

يُعدّ الضرب الاتجاهي في سبعة أبعاد إحدى طرق تعميم الضرب الاتجاهي إلى أبعاد أخرى غير ثلاثة أبعاد، وهو الضرب الثنائي الخطي الوحيد الآخر لمتجهين الذي يكون متجهي القيم، ومتعامدًا، وله نفس المقدار كما في الحالة ثلاثية الأبعاد. ^{[ 2 ]} في الأبعاد الأخرى، توجد نواتج متجهية القيم لثلاثة متجهات أو أكثر تُحقق هذه الشروط، ونواتج ثنائية ذات نتائج ثنائية المتجهات .

جدول الضرب

×	$هـ 1$	$هـ 2$	$هـ 3$	$هـ 4$	$هـ 5$	$هـ 6$	$هـ 7$
$هـ 1$	$0$	$هـ 3$	$- e 2$	$هـ 5$	$- هـ 4$	$- هـ 7$	$هـ 6$
$هـ 2$	$- e 3$	$0$	$هـ 1$	$هـ 6$	$هـ 7$	$- هـ 4$	$- هـ 5$
$هـ 3$	$هـ 2$	$- هـ 1$	$0$	$هـ 7$	$- هـ 6$	$هـ 5$	$- هـ 4$
$هـ 4$	$- هـ 5$	$- هـ 6$	$- هـ 7$	$0$	$هـ 1$	$هـ 2$	$هـ 3$
$هـ 5$	$هـ 4$	$- هـ 7$	$هـ 6$	$- هـ 1$	$0$	$- e 3$	$هـ 2$
$هـ 6$	$هـ 7$	$هـ 4$	$- هـ 5$	$- e 2$	$هـ 3$	$0$	$- هـ 1$
$هـ 7$	$- هـ 6$	$هـ 5$	$هـ 4$	$- e 3$	$- e 2$	$هـ 1$	$0$

يمكن الحصول على الناتج من خلال جدول الضرب، مثل الجدول المرفق. هذا الجدول، الذي وضعه كايلي ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]،} يعطي ناتج ضرب متجهي الأساس المتعامدين e<sub> _i</sub> و e<sub> _j</sub> لكل i و j من 1 إلى 7. على سبيل المثال، من الجدول

\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{3}=-\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{1}

يمكن استخدام الجدول لحساب حاصل ضرب أي متجهين. على سبيل المثال، لحساب المركبة e1 للمتجه x × y، _يمكن اختيار متجهات الأساس التي ينتج عن ضربها e1 _.

\left(\mathbf {x\times y} \right)_{1}=x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}+x_{4}y_{5}-x_{5}y_{4}+x_{7}y_{6}-x_{6}y_{7}.

يمكن تكرار ذلك بالنسبة للمكونات الستة الأخرى.

يوجد 480 جدولًا من هذا النوع لأي مجموعة معطاة من متجهات الأساس المتعامدة، جدول واحد لكل منتج يحقق التعريف بحيث يمكن التعبير عن كل مدخل في الجدول بدلالة عنصر واحد من الأساس. ^{[ 5 ]} يمكن تلخيص هذا الجدول بالعلاقة ^{[ 4 ].}

\mathbf {e} _{i}\mathbf {\times} \mathbf {e} _{j}=\varepsilon _{ijk}\mathbf {e} _{k},

أين $\varepsilon _{ijk}$ هو رمز ليفي-سيفيتا ، وهو موتر مضاد للتناظر تمامًا بقيمة موجبة +1 عندما تكون ijk = 123، 145، 176، 246، 257، 347، 365.

الزاوية العلوية اليسرى 3 × 3 من هذا الجدول تعطي حاصل الضرب الاتجاهي في ثلاثة أبعاد.

تعريف

الضرب الاتجاهي على الفضاء الإقليدي V هو تطبيق ثنائي الخطية من V × V إلى V ، حيث يقوم برسم المتجهات x و y في V إلى متجه آخر x × y أيضًا في V ، حيث x × y له الخصائص ^{[ 1 ]}^{[ 6 ]}

التعامد :
$\mathbf {x} \cdot (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )=(\mathbf {x} \times \mathbf {y} )\cdot \mathbf {y} =0,$
ضخامة :
$|\mathbf {x} \times \mathbf {y} |^{2}=|\mathbf {x} |^{2}|\mathbf {y} |^{2}-(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )^{2}$

حيث ( x · y ) هو حاصل الضرب القياسي الإقليدي ، و| x | هو المعيار الإقليدي . تنص الخاصية الأولى على أن حاصل الضرب عمودي على وسيطيه، بينما تحدد الخاصية الثانية مقدار حاصل الضرب. ويمكن التعبير عن ذلك بدلالة الزاوية θ بين المتجهين ^{[ 7 ]} كما يلي ^{[ 8 ].}

|\mathbf {x} \times \mathbf {y} |=|\mathbf {x} ||\mathbf {y} |\sin \theta ,

وهي مساحة متوازي الأضلاع في مستوى x و y حيث يمثل المتجهان ضلعيه. ^{[ 9 ]} صيغة ثالثة لشرط المقدار هي

|\mathbf {x} \times \mathbf {y} |=|\mathbf {x} ||\mathbf {y} |~{\mbox{if}}\ \left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} \right)=0,

إذا افترضنا أن x × x = 0 هو بديهية منفصلة. ^{[ 10 ]}

نتائج الخصائص المحددة

بالنظر إلى خصائص الخطية الثنائية والتعامد والمقدار، فإن الضرب الاتجاهي غير الصفري لا يوجد إلا في ثلاثة أبعاد وسبعة أبعاد. ^{[ 2 ]}^{[ 11 ]}^{[ 10 ]} ويمكن إثبات ذلك بافتراض الخصائص المطلوبة للضرب الاتجاهي، ثم استنتاج معادلة لا تتحقق إلا عندما يكون البعد 0 أو 1 أو 3 أو 7. في البعد الصفري، يوجد متجه الصفر فقط، بينما في البعد الواحد تكون جميع المتجهات متوازية، لذا في كلتا الحالتين يجب أن يكون حاصل الضرب صفرًا.

يرتبط التقييد بالأبعاد 0 و1 و3 و7 بنظرية هورويتز ، التي تنص على أن جبر القسمة المعياري ممكن فقط في الأبعاد 1 و2 و4 و8. ويُشتق الضرب الاتجاهي من حاصل ضرب جبر القسمة المعياري بتقييده بالأبعاد التخيلية 0 أو 1 أو 3 أو 7 للجبر، مما ينتج عنه حاصل ضرب غير صفري في الأبعاد الثلاثة والسبعة فقط. ^{[ 12 ]}

على عكس الضرب الاتجاهي ثلاثي الأبعاد، الذي يكون فريدًا (باستثناء الإشارة)، توجد العديد من الضربات الاتجاهية الثنائية الممكنة في سبعة أبعاد. إحدى طرق فهم ذلك هي ملاحظة أنه عند إعطاء أي زوج من المتجهات x و y $\in \mathbb {R} ^{7}$ وأي متجه v مقداره | v | = | x || y | sin θ في الفضاء خماسي الأبعاد العمودي على المستوى الممتد بواسطة x و y ، فمن الممكن إيجاد حاصل ضرب اتجاهي باستخدام جدول الضرب (ومجموعة متجهات أساسية مرتبطة به) بحيث يكون x × y = v . على عكس الفضاء ثلاثي الأبعاد، فإن x × y = a × b لا يعني بالضرورة أن a و b يقعان في نفس مستوى x و y . ^{[ 11 ]}

وتترتب على التعريف خصائص أخرى، بما في ذلك الهويات التالية:

خاصية عدم التبديل :
$\mathbf {x} \times \mathbf {y} =-\mathbf {y} \times \mathbf {x}$
حاصل الضرب الثلاثي القياسي :
$\mathbf {x} \cdot (\mathbf {y} \times \mathbf {z} )=\mathbf {y} \cdot (\mathbf {z} \times \mathbf {x} )=\mathbf {z} \cdot (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )$
هوية مالسيف : ^{[ 11 ]}
$(\mathbf {x} \times \mathbf {y} )\times (\mathbf {x} \times \mathbf {z} )=((\mathbf {x} \times \mathbf {y} )\times \mathbf {z} )\times \mathbf {x} +((\mathbf {y} \times \mathbf {z} )\times \mathbf {x} )\times \mathbf {x} +((\mathbf {z} \times \mathbf {x} )\times \mathbf {x} )\times \mathbf {y}$
$\mathbf {x} \times (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )=-|\mathbf {x} |^{2}\mathbf {y} +(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )\mathbf {x} .$

تتحقق خصائص أخرى فقط في الحالة ثلاثية الأبعاد، ولا تتحقق في حالة الضرب الاتجاهي سباعي الأبعاد، ولا سيما ما يلي:

حاصل الضرب الثلاثي للمتجهات :
$\mathbf {x} \times (\mathbf {y} \times \mathbf {z} )=(\mathbf {x} \cdot \mathbf {z} )\mathbf {y} -(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )\mathbf {z}$
هوية جاكوبي : ^{[ 11 ]}
$\mathbf {x} \times (\mathbf {y} \times \mathbf {z} )+\mathbf {y} \times (\mathbf {z} \times \mathbf {x} )+\mathbf {z} \times (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )=0$

بفضل متطابقة جاكوبي، يعطي الضرب الاتجاهي ثلاثي الأبعاد $\mathbb {R} ^{3}$ بنية جبر لي ، وهو متماثل مع ${\mathfrak {so}}(3)$ ، جبر لي لمجموعة الدوران ثلاثية الأبعاد . ولأن متطابقة جاكوبي تفشل في سبعة أبعاد، فإن الضرب الاتجاهي في سبعة أبعاد لا يعطي $\mathbb {R} ^{7}$ بنية جبر لي.

التعبيرات الإحداثية

لتعريف ضرب اتجاهي معين، يمكن اختيار أساس متعامد { e _j } وتوفير جدول ضرب يحدد جميع نواتج الضرب { e _i × e _j } . يُشرح أحد جداول الضرب الممكنة في قسم جداول الضرب ، ولكنه ليس الجدول الوحيد. ^{[ 5 ]} على عكس الأبعاد الثلاثة، توجد جداول عديدة لأن كل زوج من متجهات الوحدة متعامد على خمسة متجهات وحدة أخرى، مما يتيح خيارات متعددة لكل ضرب اتجاهي.

بمجرد أن ننشئ جدول الضرب، يتم تطبيقه بعد ذلك على المتجهات العامة x و y عن طريق التعبير عن x و y بدلالة الأساس وتوسيع x × y من خلال الخطية الثنائية.

×	$هـ 1$	$هـ 2$	$هـ 3$	$هـ 4$	$هـ 5$	$هـ 6$	$هـ 7$
$هـ 1$	$0$	$هـ 4$	$هـ 7$	$- e 2$	$هـ 6$	$- هـ 5$	$- e 3$
$هـ 2$	$- هـ 4$	$0$	$هـ 5$	$هـ 1$	$- e 3$	$هـ 7$	$- هـ 6$
$هـ 3$	$- هـ 7$	$- هـ 5$	$0$	$هـ 6$	$هـ 2$	$- هـ 4$	$هـ 1$
$هـ 4$	$هـ 2$	$- هـ 1$	$- هـ 6$	$0$	$هـ 7$	$هـ 3$	$- هـ 5$
$هـ 5$	$- هـ 6$	$هـ 3$	$- e 2$	$- هـ 7$	$0$	$هـ 1$	$هـ 4$
$هـ 6$	$هـ 5$	$- هـ 7$	$هـ 4$	$- e 3$	$- هـ 1$	$0$	$هـ 2$
$هـ 7$	$هـ 3$	$هـ 6$	$- هـ 1$	$هـ 5$	$- هـ 4$	$- e 2$	$0$

باستخدام e ₁ إلى e ₇ كمتجهات أساسية، يتم إعطاء جدول ضرب مختلف عن الجدول الموجود في المقدمة، مما يؤدي إلى ضرب اتجاهي مختلف، مع خاصية التبادل المضاد بواسطة ^{[ 11 ].}

\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{4},\quad \mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{4}=\mathbf {e} _{1},\quad \mathbf {e} _{4}\times \mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{2},

\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}=\mathbf {e} _{5},\quad \mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{5}=\mathbf {e} _{2},\quad \mathbf {e} _{5}\times \mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{3},

\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{4}=\mathbf {e} _{6},\quad \mathbf {e} _{4}\times \mathbf {e} _{6}=\mathbf {e} _{3},\quad \mathbf {e} _{6}\times \mathbf {e} _{3}=\mathbf {e} _{4},

\mathbf {e} _{4}\times \mathbf {e} _{5}=\mathbf {e} _{7},\quad \mathbf {e} _{5}\times \mathbf {e} _{7}=\mathbf {e} _{4},\quad \mathbf {e} _{7}\times \mathbf {e} _{4}=\mathbf {e} _{5},

\mathbf {e} _{5}\times \mathbf {e} _{6}=\mathbf {e} _{1},\quad \mathbf {e} _{6}\times \mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{5},\quad \mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{5}=\mathbf {e} _{6},

\mathbf {e} _{6}\times \mathbf {e} _{7}=\mathbf {e} _{2},\quad \mathbf {e} _{7}\times \mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{6},\quad \mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{6}=\mathbf {e} _{7},

\mathbf {e} _{7}\times \mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{3},\quad \mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{3}=\mathbf {e} _{7},\quad \mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{7}=\mathbf {e} _{1}.

ويمكن كتابة هذه القاعدة بشكل أكثر إيجازًا على النحو التالي:

\mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{i+1}=\mathbf {e} _{i+3}

مع i = 1، ...، 7 بتردد 7، والمؤشرات i ، i + 1 ، و i + 3 قابلة للتبديل بالتساوي. هذا، بالإضافة إلى خاصية عدم التبديل، يُنتج حاصل الضرب. تُنتج هذه القاعدة مباشرةً القطرين المجاورين لقطر الأصفار في الجدول. كذلك، من متطابقة في القسم الفرعي الخاص بالنتائج ،

\mathbf {e} _{i}\times \left(\mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{i+1}\right)=-\mathbf {e} _{i+1}=\mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{i+3}\ ,

مما ينتج عنه خطوط قطرية أبعد، وهكذا دواليك.

يُحسب العنصر e _j من حاصل الضرب الاتجاهي x × y باختيار جميع حالات e _j في الجدول، ثم جمع العناصر المقابلة لـ x من العمود الأيسر ولـ y من الصف العلوي. والنتيجة هي:

{\begin{aligned}\mathbf {x} \times \mathbf {y} =(x_{2}y_{4}-x_{4}y_{2}+x_{3}y_{7}-x_{7}y_{3}+x_{5}y_{6}-x_{6}y_{5})\,&\mathbf {e} _{1}\\{}+(x_{3}y_{5}-x_{5}y_{3}+x_{4}y_{1}-x_{1}y_{4}+x_{6}y_{7}-x_{7}y_{6})\,&\mathbf {e} _{2}\\{}+(x_{4}y_{6}-x_{6}y_{4}+x_{5}y_{2}-x_{2}y_{5}+x_{7}y_{1}-x_{1}y_{7})\,&\mathbf {e} _{3}\\{}+(x_{5}y_{7}-x_{7}y_{5}+x_{6}y_{3}-x_{3}y_{6}+x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})\,&\mathbf {e} _{4}\\{}+(x_{6}y_{1}-x_{1}y_{6}+x_{7}y_{4}-x_{4}y_{7}+x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})\,&\mathbf {e} _{5}\\{}+(x_{7}y_{2}-x_{2}y_{7}+x_{1}y_{5}-x_{5}y_{1}+x_{3}y_{4}-x_{4}y_{3})\,&\mathbf {e} _{6}\\{}+(x_{1}y_{3}-x_{3}y_{1}+x_{2}y_{6}-x_{6}y_{2}+x_{4}y_{5}-x_{5}y_{4})\,&\mathbf {e} _{7}.\end{aligned}}

بما أن الضرب الاتجاهي ثنائي الخطية، يمكن كتابة المؤثر x × – على شكل مصفوفة، تأخذ الشكل التالي:

T_{\mathbf {x} }={\begin{bmatrix}0&-x_{4}&-x_{7}&x_{2}&-x_{6}&x_{5}&x_{3}\\x_{4}&0&-x_{5}&-x_{1}&x_{3}&-x_{7}&x_{6}\\x_{7}&x_{5}&0&-x_{6}&-x_{2}&x_{4}&-x_{1}\\-x_{2}&x_{1}&x_{6}&0&-x_{7}&-x_{3}&x_{5}\\x_{6}&-x_{3}&x_{2}&x_{7}&0&-x_{1}&-x_{4}\\-x_{5}&x_{7}&-x_{4}&x_{3}&x_{1}&0&-x_{2}\\-x_{3}&-x_{6}&x_{1}&-x_{5}&x_{4}&x_{2}&0\end{bmatrix}}.

ثم يُعطى حاصل الضرب الاتجاهي بالصيغة التالية

\mathbf {x} \times \mathbf {y} =T_{\mathbf {x} }\mathbf {y} .

جداول الضرب المختلفة

استُخدم جدولان مختلفان للضرب في هذه المقالة، وهناك جداول أخرى. ^{[ 5 ]}^{[ 13 ]} تتميز هذه الجداول بمستوى فانو ، ^{[ 14 ]}^{[ 15 ]} ويظهر هذا المستوى في الشكل للجدولين المستخدمين هنا: في الأعلى، الجدول الذي وصفه سابينين، وسبيتنيفا، وشيستاكوف، وفي الأسفل الجدول الذي وصفه لونيستو. تشير الأرقام أسفل مخططات فانو (مجموعة الخطوط في المخطط) إلى مجموعة من المؤشرات لسبعة نواتج ضرب مستقلة في كل حالة، تُفسَّر على النحو التالي: ijk → e _i × e _j = e _k . يُستخرج جدول الضرب من مخطط فانو باتباع الخط المستقيم الذي يربط أي ثلاث نقاط، أو الدائرة في المركز، مع الإشارة إلى الإشارة كما هو موضح بالأسهم. على سبيل المثال، يتم الحصول على الصف الأول من عمليات الضرب التي ينتج عنها e ₁ في القائمة أعلاه من خلال اتباع المسارات الثلاثة المتصلة بـ e ₁ في مخطط فانو السفلي: المسار الدائري e ₂ × e ₄ ، والمسار القطري e ₃ × e ₇ ، ومسار الحافة e ₆ × e ₁ = e ₅ المعاد ترتيبها باستخدام إحدى المتطابقات المذكورة أعلاه كما يلي:

\mathbf {e} _{6}\times \left(\mathbf {e} _{6}\times \mathbf {e} _{1}\right)=-\mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{6}\times \mathbf {e} _{5},

أو

\mathbf {e} _{5}\times \mathbf {e} _{6}=\mathbf {e} _{1},

كما تم الحصول عليها مباشرة من الرسم التخطيطي مع القاعدة التي تنص على أن أي متجهين وحدة على خط مستقيم متصلان بالضرب مع متجه الوحدة الثالث على ذلك الخط المستقيم مع إشارات وفقًا للأسهم (إشارة التبديل الذي يرتب متجهات الوحدة).

يتضح أن قاعدتي الضرب تنبثقان من مخطط فانو نفسه بمجرد إعادة تسمية متجهات الوحدة وتغيير اتجاه متجه الوحدة المركزي. وبأخذ جميع التباديل الممكنة للأساس في الاعتبار، يوجد 480 جدول ضرب، وبالتالي 480 ناتج ضرب اتجاهي على هذا النحو. ^{[ 15 ]}

باستخدام الجبر الهندسي

يمكن أيضًا حساب الناتج باستخدام الجبر الهندسي لفضاء متجهي سباعي الأبعاد ذي شكل تربيعي موجب التحديد . يبدأ الناتج بالناتج الخارجي ، وهو ناتج ثنائي القيم لمتجهين.

\mathbf {B} =\mathbf {x} \wedge \mathbf {y} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {xy} -\mathbf {yx} ).

هذا المتجه ثنائي الخطية، متناوب، وله المقدار المطلوب، ولكنه ليس متجهًا. المتجه، وبالتالي الضرب الاتجاهي، ينتج عن انكماش هذا المتجه الثنائي مع متجه ثلاثي . في ثلاثة أبعاد، وحتى عامل قياس، يوجد متجه ثلاثي واحد فقط، وهو الكمية شبه القياسية للفضاء، وحاصل ضرب المتجه الثنائي المذكور أعلاه مع أحد المتجهين الثلاثيين الوحدويين يعطي النتيجة المتجهة، وهي ثنائية المتجه الثنائي.

تُجرى عملية حسابية مماثلة في سبعة أبعاد، إلا أنه نظرًا لأن المتجهات الثلاثية تُشكل فضاءً ذا 35 بُعدًا، فهناك العديد من المتجهات الثلاثية التي يُمكن استخدامها، مع العلم أنه ليس أي متجه ثلاثي يُناسب الغرض. المتجه الثلاثي الذي يُعطي نفس ناتج تحويل الإحداثيات المذكور أعلاه هو

\mathbf {v} =\mathbf {e} _{124}+\mathbf {e} _{235}+\mathbf {e} _{346}+\mathbf {e} _{457}+\mathbf {e} _{561}+\mathbf {e} _{672}+\mathbf {e} _{713}.

يتم دمج هذا مع المنتج الخارجي لإعطاء المنتج المتقاطع

\mathbf {x} \times \mathbf {y} =-(\mathbf {x} \wedge \mathbf {y} )~\lrcorner ~\mathbf {v}

أين $\lrcorner$ هو عامل الانكماش الأيسر من الجبر الهندسي. ^{[ 11 ]}^{[ 16 ]}

العلاقة بالأوكتونيونات

كما يمكن التعبير عن الضرب الاتجاهي ثلاثي الأبعاد بدلالة الكواترنيونات ، يمكن التعبير عن الضرب الاتجاهي سباعي الأبعاد بدلالة الأوكتونيونات . بعد تحديد $\mathbb {R}$ ⁷ مع الأوكتونيونات التخيلية ( المكمل المتعامد للجزء الحقيقي من $\mathbb {O}$ يُعطى الضرب الاتجاهي بدلالة ضرب الأوكتونيونات بواسطة

\mathbf {x} \times \mathbf {y} =\mathrm {Im} (\mathbf {xy} )={\frac {1}{2}}(\mathbf {xy} -\mathbf {yx} ).

على العكس من ذلك، لنفترض $V$ هو فضاء إقليدي سباعي الأبعاد مع جداء اتجاهي معطى. عندئذٍ يمكن تعريف ضرب ثنائي خطي على $\mathbb {R} \oplus V$ على النحو التالي:

(a,\mathbf {x} )(b,\mathbf {y} )=(ab-\mathbf {x} \ast \mathbf {y} ,a\mathbf {y} +b\mathbf {x} +\mathbf {x} \times \mathbf {y} ).

المساحة $\mathbb {R} \oplus V$ وبذلك يكون الضرب متماثلاً مع الأوكتونيونات. ^{[ 17 ]}

يوجد الضرب الاتجاهي فقط في ثلاثة أبعاد وسبعة أبعاد، إذ يمكن دائمًا تعريف عملية الضرب على فضاء ذي بُعد أعلى كما ذُكر سابقًا، ويمكن إثبات أن هذا الفضاء جبر قسمة معياري . وبحسب نظرية هورويتز ، لا توجد هذه الجبر إلا في بُعد واحد، أو بُعدين، أو أربعة أبعاد، أو ثمانية أبعاد، لذا يجب أن يكون الضرب الاتجاهي في صفر، أو بُعد واحد، أو ثلاثة أبعاد، أو سبعة أبعاد. الضرب في بُعد صفر وبُعد واحد تافه، لذا فإن الضرب الاتجاهي غير التافه لا يوجد إلا في ثلاثة أبعاد وسبعة أبعاد. ^{[ 18 ]}^{[ 19 ]}

يرتبط عدم قدرة الضرب الاتجاهي ذي الأبعاد السبعة على تحقيق متطابقة جاكوبي بعدم تجميعية الأوكتونيونات. في الواقع،

\mathbf {x} \times (\mathbf {y} \times \mathbf {z} )+\mathbf {y} \times (\mathbf {z} \times \mathbf {x} )+\mathbf {z} \times (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )=-{\frac {3}{2}}[\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} ]

حيث [ x , y , z ] هو الرابط .

التناوب

في ثلاثة أبعاد، يكون الضرب الاتجاهي ثابتًا تحت تأثير زمرة الدوران SO(3) ، لذا فإن الضرب الاتجاهي لـ x و y بعد دورانهما هو صورة x × y تحت تأثير الدوران. لكن هذا الثبات لا ينطبق في سبعة أبعاد؛ أي أن الضرب الاتجاهي ليس ثابتًا تحت تأثير زمرة الدوران في سبعة أبعاد، SO(7) . بل هو ثابت تحت تأثير زمرة لي الاستثنائية G₂ _، وهي زمرة جزئية من SO(7). ^{[ 11 ]}^{[ 17 ]}

التعميمات

توجد نواتج الضرب التقاطعية الثنائية غير الصفرية فقط في ثلاثة وسبعة أبعاد. ويمكن إيجاد نواتج أخرى عند إزالة شرط كونها ثنائية. ^''n''-20" id="mwAu4">[ 20 ] ^{[ 21 ]} نشترط أن يكون الناتج متعدد الخطية ، ومتناوبًا ، ومتجهًا، ومتعامدًا مع كل متجه من متجهات الإدخال aᵢ _. ويعني شرط التعامد أنه في n بُعدًا، لا يمكن استخدام أكثر من n - 1 متجهًا. يجب أن يساوي مقدار الناتج حجم متوازي السطوح الذي تمثل المتجهات أضلاعه، والذي يمكن حسابه باستخدام محدد غرام . الشروط هي

التعامد: $\left(\mathbf {a} _{1}\times \ \cdots \ \times \mathbf {a} _{k}\right)\cdot \mathbf {a} _{i}=0$ for i = 1, ..., k .
محدد غرام: $|\mathbf {a} _{1}\times \cdots \times \mathbf {a} _{k}|^{2}=\det(\mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {a} _{j})={\begin{vmatrix}\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{2}&\cdots &\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{k}\\\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {a} _{2}&\cdots &\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {a} _{k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {a} _{k}\cdot \mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{k}\cdot \mathbf {a} _{2}&\cdots &\mathbf {a} _{k}\cdot \mathbf {a} _{k}\\\end{vmatrix}}$

محدد غرام هو الحجم التربيعي لمتوازي السطوح الذي يحتوي على _أضلاع من ₁ إلى k .

في ظل هذه الشروط، لا يوجد سوى حاصل ضرب اتجاهي غير تافه:

كمنتج ثنائي في ثلاثة وسبعة أبعاد
باعتباره ناتج ضرب n − 1 متجهًا في n ≥ 3 أبعاد، وهو ثنائي هودج للضرب الخارجي للمتجهات
كحاصل ضرب ثلاثة متجهات في ثمانية أبعاد

إحدى صيغ حاصل ضرب ثلاثة متجهات في ثمانية أبعاد تُعطى بالصيغة التالية: $\mathbf {a} \times \mathbf {b} \times \mathbf {c} =(\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c} )~\lrcorner ~(\mathbf {w} -\mathbf {ve} _{8})$ حيث أن v هو نفس المتجه الثلاثي المستخدم في سبعة أبعاد، $\lrcorner$ مرة أخرى هو الانقباض الأيسر، و w = − ve _12...7 هو متجه رباعي الأبعاد.

توجد أيضًا نواتج ضرب تافهة. وكما ذُكر سابقًا ، لا يوجد ناتج ضرب ثنائي إلا في الأبعاد 7 و3 و1 و0، حيث يكون الناتجان الأخيران صفرًا. وينشأ ناتج ضرب تافه آخر في الأبعاد الزوجية، وهو يأخذ متجهًا واحدًا وينتج متجهًا له نفس المقدار وعموديًا عليه من خلال عملية انكماش يساري باستخدام متجه ثنائي مناسب. في بُعدين، يكون هذا دورانًا بزاوية قائمة.

كتعميم إضافي، يمكننا تخفيف متطلبات التعدد الخطي والحجم، والنظر في دالة عامة مستمرة V ^d → V (حيث V هي R ⁿ مزودة بالجداء الداخلي الإقليدي و d ≥ 2 )، والتي لا يشترط عليها سوى استيفاء الخاصيتين التاليتين:

يكون الضرب الاتجاهي دائمًا متعامدًا مع جميع متجهات الإدخال.
إذا كانت متجهات الإدخال مستقلة خطيًا، فإن حاصل الضرب الاتجاهي يكون غير صفري.

في ظل هذه الشروط، لا يوجد الضرب الاتجاهي إلا في الحالات التالية: (أ) عندما يكون n = 3 و d = 2 ، (ب) عندما يكون n = 7 و d = 2 ، (ج) عندما يكون n = 8 و d = 3 ، و (د) لأي قيمة لـ d تساوي n − 1. ^{[ 1 ]}^''n''-20" id="mwAy0">[ 20 ]

في اتجاه آخر، تم تعريف جبر الضرب الاتجاهي على حقل اختياري ، وبالنسبة لأي حقل ليس له خاصية 2، يجب أن يكون له بُعد 0 أو 1 أو 3 أو 7. في الواقع، تم تعميم هذه النتيجة بشكل أكبر، على سبيل المثال من خلال العمل على أي حلقة تبديلية يكون فيها 2 قابلاً للحذف ، مما يعني أن 2x = 2y يستلزم x = y. ^{[ 22 ]}

انظر أيضاً

الجبر التركيبي

ملحوظات

1 2 3 ماسي، دبليو إس (1983). "الضرب الاتجاهي للمتجهات في الفضاءات الإقليدية ذات الأبعاد الأعلى". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 90 (10). الجمعية الرياضية الأمريكية: 697-701 . doi : 10.2307/2323537 . JSTOR 2323537 .
1 2 ماسي (1983) : "إذا تطلب المرء ثلاث خصائص أساسية فقط للضرب الاتجاهي ... يتضح أن الضرب الاتجاهي للمتجهات موجود فقط في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد وسبعة الأبعاد."
↑ جي جنتيلي، سي ستوباتو، دي سي ستروبا، وإف فلاتشي (2009). "التطورات الحديثة للدوال المنتظمة لمتغير فائق التعقيد" . في: إيرين ساباديني ؛ إم شابيرو؛ إف سومن (محررون). تحليل فائق التعقيد (مؤتمر حول التحليل الرباعي وتحليل كليفورد؛ وقائع المؤتمر). بيركهاوزر. ص 168. ISBN 978-3-7643-9892-7.{{cite book}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )
1 2 ليف فاسيليفيتش سابينين؛ لاريسا سبيتنيفا؛ آي بي شيستاكوف (2006). "§17.2 جبر الأوكتونيون وتمثيله الثنائي المنتظم" . الجبر غير الترابطي وتطبيقاته . مطبعة سي آر سي. ص 235. ISBN 0-8247-2669-3.
1 2 3 رافال أبلاموفيتش؛ بيرتي لونستو؛ جوزيب م. بارا (1996). "§ أربعة ترقيمات أساسية ثمانية الأيونات" . جبر كليفورد مع حسابات عددية ورمزية . بيركهاوزر. ص 202. ISBN 0-8176-3907-1.
↑ يقتصر تطبيق الدوال على أن يكون ثنائي الخطية وفقًا لماسي (1983) وروبرت ب. براون وألفريد غراي (1967). "الضرب الاتجاهي للمتجهات". التعليقات الرياضية الهيلفيتية . 42 (1/ديسمبر). بيركهاوزر بازل: 222-236 . doi : 10.1007/BF02564418 . S2CID 121135913 . .
↑ فرانسيس بيغنو هيلدبراند (1992). مناهج الرياضيات التطبيقية (إعادة طبع من برنتيس هول 1965، الطبعة الثانية). منشورات كوريير دوفر. ص 24. ISBN 0-486-67002-3.
↑ لونستو، بيرتي (2001). جبر كليفورد والسبينورات . كامبريدج، المملكة المتحدة: مطبعة جامعة كامبريدج. ص 96-97 . ISBN 0-521-00551-5.
↑ كيندال، إم جي (2004). دورة في هندسة الأبعاد المتعددة . منشورات كوريير دوفر. ص 19. ISBN 0-486-43927-5.
1 2 Z.K. Silagadze (2002). "الضرب الاتجاهي متعدد الأبعاد". مجلة الفيزياء أ: الرياضية والعامة . 35 (23) 310: 4949– 4953. arXiv : math.RA/0204357 . Bibcode : 2002JPhA...35.4949S . doi : 10.1088/0305-4470/35/23/310 . S2CID 119165783 .
1 2 3 4 5 6 7 لونيستو 2001 ، ص. 96-97
↑ جاكوبسون، ناثان (2009). الجبر الأساسي 1 (إعادة طبع لكتاب فريمان 1974، الطبعة الثانية). منشورات دوفر. الصفحات 417-427 . ISBN 978-0-486-47189-1.
↑ يمكن الاطلاع على مزيد من النقاش حول الجداول وعلاقة مستوى فانو بهذه الجداول هنا: توني سميث. "منتجات الأوكتونيون والشبكات" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 12-05-2018 .
↑ رافال أبلاموفيتش؛ بيرتفريد فوسر (2000). جبر كليفورد وتطبيقاته في الفيزياء الرياضية: الجبر والفيزياء . سبرينغر. ص 26. ISBN 0-8176-4182-3.
1 2 يورغ شراي؛ كورين أ. مانوغ (1996). "التمثيلات الثمانية لجبر كليفورد والثلاثية". أسس الفيزياء . 26 (1/يناير): 17-70 . arXiv : hep-th/9407179 . Bibcode : 1996FoPh...26...17S . doi : 10.1007/BF02058887 . S2CID 119604596 . الشكل 1 متاح كنسخة أولية على موقع ArXive ويمكن العثور عليه هنا .
↑ بيرتفريد فوسر (2004). "§18.4.2 الانكماشات" . في بيرتي لونستو؛ رافال أبلاموفيتش (محرران). جبر كليفورد: تطبيقات في الرياضيات والفيزياء والهندسة . بيركهاوزر. ص 292 وما بعدها . ISBN 0-8176-3525-4.
١ ٢ جون سي. بايز (٢٠٠٢). "الأوكتونيونات" (ملف PDF) . نشرة الجمعية الأمريكية للرياضيات . ٣٩ (٢): ١٤٥-٢٠٥ . arXiv : math/0105155 . doi : 10.1090/s0273-0979-01-00934-x . S2CID ٥٨٦٥١٢. مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ ٢٠١٠-٠٧-٠٧.
↑ إلدوكي، ألبرتو (2004)، الضرب الاتجاهي للمتجهات (ملف PDF)
↑ داربو، إريك (2009). "جبر الضرب الاتجاهي". نشرة جمعية لندن الرياضية . 41 (5): 898-902 . arXiv : 0810.5464 . doi : 10.1112/blms/bdp066 . S2CID 122615967 . انظر أيضًا: جبر الضرب المتجهي الحقيقي ، CiteSeerX 10.1.1.66.4
''n''_20-0" id="mwBGA">1 ''n''_20-1" id="mwBGI">2 لونستو 2001 ، ص 98، §7.5: الضرب الاتجاهي لـ k متجهات في R ⁿ
↑ جان هـ. غالييه ( 2001). "المسألة 7.10 (2)" . الأساليب الهندسية وتطبيقاتها: لعلوم وهندسة الحاسوب . سبرينغر. ص 244. ISBN 0-387-95044-3.
↑ ستريت، روس (2018). "جبر الضرب المتجهي والتركيب في الفئات الجمعية أحادية المضفرة". arXiv : 1812.04143 [ math.CT ].

[Massey0-1] 1 2 3 ماسي، دبليو إس (1983). "الضرب الاتجاهي للمتجهات في الفضاءات الإقليدية ذات الأبعاد الأعلى". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 90 (10). الجمعية الرياضية الأمريكية: 697-701 . doi : 10.2307/2323537 . JSTOR 2323537 .

[Massey2-2] 1 2 ماسي (1983) : "إذا تطلب المرء ثلاث خصائص أساسية فقط للضرب الاتجاهي ... يتضح أن الضرب الاتجاهي للمتجهات موجود فقط في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد وسبعة الأبعاد."

[Cayley-3] جي جنتيلي، سي ستوباتو، دي سي ستروبا، وإف فلاتشي (2009). "التطورات الحديثة للدوال المنتظمة لمتغير فائق التعقيد" . في: إيرين ساباديني ؛ إم شابيرو؛ إف سومن (محررون). تحليل فائق التعقيد (مؤتمر حول التحليل الرباعي وتحليل كليفورد؛ وقائع المؤتمر). بيركهاوزر. ص 168. ISBN 978-3-7643-9892-7.{{cite book}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )

[Shestakov-4] 1 2 ليف فاسيليفيتش سابينين؛ لاريسا سبيتنيفا؛ آي بي شيستاكوف (2006). "§17.2 جبر الأوكتونيون وتمثيله الثنائي المنتظم" . الجبر غير الترابطي وتطبيقاته . مطبعة سي آر سي. ص 235. ISBN 0-8247-2669-3.

[Parra-5] 1 2 3 رافال أبلاموفيتش؛ بيرتي لونستو؛ جوزيب م. بارا (1996). "§ أربعة ترقيمات أساسية ثمانية الأيونات" . جبر كليفورد مع حسابات عددية ورمزية . بيركهاوزر. ص 202. ISBN 0-8176-3907-1.

[Brown-6] يقتصر تطبيق الدوال على أن يكون ثنائي الخطية وفقًا لماسي (1983) وروبرت ب. براون وألفريد غراي (1967). "الضرب الاتجاهي للمتجهات". التعليقات الرياضية الهيلفيتية . 42 (1/ديسمبر). بيركهاوزر بازل: 222-236 . doi : 10.1007/BF02564418 . S2CID 121135913 . .

[Hildebrand-7] فرانسيس بيغنو هيلدبراند (1992). مناهج الرياضيات التطبيقية (إعادة طبع من برنتيس هول 1965، الطبعة الثانية). منشورات كوريير دوفر. ص 24. ISBN 0-486-67002-3.

[8] لونستو، بيرتي (2001). جبر كليفورد والسبينورات . كامبريدج، المملكة المتحدة: مطبعة جامعة كامبريدج. ص 96-97 . ISBN 0-521-00551-5.

[9] كيندال، إم جي (2004). دورة في هندسة الأبعاد المتعددة . منشورات كوريير دوفر. ص 19. ISBN 0-486-43927-5.

[Silagadze1-10] 1 2 Z.K. Silagadze (2002). "الضرب الاتجاهي متعدد الأبعاد". مجلة الفيزياء أ: الرياضية والعامة . 35 (23) 310: 4949– 4953. arXiv : math.RA/0204357 . Bibcode : 2002JPhA...35.4949S . doi : 10.1088/0305-4470/35/23/310 . S2CID 119165783 .

[FOOTNOTELounesto200196–97-11] 1 2 3 4 5 6 7 لونيستو 2001 ، ص. 96-97

[Jacobson-12] جاكوبسون، ناثان (2009). الجبر الأساسي 1 (إعادة طبع لكتاب فريمان 1974، الطبعة الثانية). منشورات دوفر. الصفحات 417-427 . ISBN 978-0-486-47189-1.

[T_Smith-13] يمكن الاطلاع على مزيد من النقاش حول الجداول وعلاقة مستوى فانو بهذه الجداول هنا: توني سميث. "منتجات الأوكتونيون والشبكات" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 12-05-2018 .

[Fauser-14] رافال أبلاموفيتش؛ بيرتفريد فوسر (2000). جبر كليفورد وتطبيقاته في الفيزياء الرياضية: الجبر والفيزياء . سبرينغر. ص 26. ISBN 0-8176-4182-3.

[Manogue-15] 1 2 يورغ شراي؛ كورين أ. مانوغ (1996). "التمثيلات الثمانية لجبر كليفورد والثلاثية". أسس الفيزياء . 26 (1/يناير): 17-70 . arXiv : hep-th/9407179 . Bibcode : 1996FoPh...26...17S . doi : 10.1007/BF02058887 . S2CID 119604596 . الشكل 1 متاح كنسخة أولية على موقع ArXive ويمكن العثور عليه هنا .

[Abłamowicz0-16] بيرتفريد فوسر (2004). "§18.4.2 الانكماشات" . في بيرتي لونستو؛ رافال أبلاموفيتش (محرران). جبر كليفورد: تطبيقات في الرياضيات والفيزياء والهندسة . بيركهاوزر. ص 292 وما بعدها . ISBN 0-8176-3525-4.

[Baez-17] ١ ٢ جون سي. بايز (٢٠٠٢). "الأوكتونيونات" (ملف PDF) . نشرة الجمعية الأمريكية للرياضيات . ٣٩ (٢): ١٤٥-٢٠٥ . arXiv : math/0105155 . doi : 10.1090/s0273-0979-01-00934-x . S2CID ٥٨٦٥١٢. مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ ٢٠١٠-٠٧-٠٧.

[18] إلدوكي، ألبرتو (2004)، الضرب الاتجاهي للمتجهات (ملف PDF)

[19] داربو، إريك (2009). "جبر الضرب الاتجاهي". نشرة جمعية لندن الرياضية . 41 (5): 898-902 . arXiv : 0810.5464 . doi : 10.1112/blms/bdp066 . S2CID 122615967 . انظر أيضًا: جبر الضرب المتجهي الحقيقي ، CiteSeerX 10.1.1.66.4

[FOOTNOTELounesto200198§7.5:_Cross_products_of_''k''_vectors_in_'''R'''<sup>''n''</sup>-20] ''n''_20-0" id="mwBGA">1 ''n''_20-1" id="mwBGI">2 لونستو 2001 ، ص 98، §7.5: الضرب الاتجاهي لـ k متجهات في R ⁿ

[Gallier-21] جان هـ. غالييه ( 2001). "المسألة 7.10 (2)" . الأساليب الهندسية وتطبيقاتها: لعلوم وهندسة الحاسوب . سبرينغر. ص 244. ISBN 0-387-95044-3.

[22] ستريت، روس (2018). "جبر الضرب المتجهي والتركيب في الفئات الجمعية أحادية المضفرة". arXiv : 1812.04143 [ math.CT ].

1

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]،

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ].

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗