مدار كبلر

بين عامي 1665 و1666، وضع إسحاق نيوتن عدة مفاهيم تتعلق بالحركة والجاذبية والتفاضل. إلا أن هذه المفاهيم لم تُنشر إلا في عام 1687 في كتابه " الأصول الرياضية للفلسفة الطبيعية "، حيث وضع فيه قوانينه الخاصة بالحركة وقانونه للجاذبية الكونية . وينص قانونه الثاني من قوانينه الثلاثة للحركة على ما يلي:

يكون تسارع الجسم موازياً للقوة المحصلة المؤثرة عليه ويتناسب معها تناسباً طردياً، ويكون في اتجاه القوة المحصلة، ويتناسب عكسياً مع كتلة الجسم:

$${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} =m{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}}$$

أين:

• ${\displaystyle \mathbf {F} }$هو متجه القوة
• ${\displaystyle m}$كتلة الجسم الذي تؤثر عليه القوة
• ${\displaystyle \mathbf {a} }$يمثل متجه التسارع، والمشتقة الثانية لمتجه الموضع بالنسبة للزمن${\displaystyle \mathbf {r} }$

وبالمعنى الدقيق للكلمة، فإن هذا الشكل من المعادلة ينطبق فقط على جسم ذي كتلة ثابتة، وهو ما ينطبق بناءً على الافتراضات المبسطة الواردة أدناه.

ينص قانون نيوتن للجاذبية على ما يلي:

تجذب كل كتلة نقطية كل كتلة نقطية أخرى بقوة تتجه على طول الخط الواصل بين النقطتين. تتناسب هذه القوة طرديًا مع حاصل ضرب الكتلتين وعكسيًا مع مربع المسافة بينهما.

$${\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}}$$

أين:

• ${\displaystyle F}$هي مقدار قوة الجاذبية بين الكتلتين النقطيتين.
• ${\displaystyle G}$ثابت الجاذبية
• ${\displaystyle m_{1}}$كتلة النقطة الأولى
• ${\displaystyle m_{2}}$كتلة النقطة الثانية
• ${\displaystyle r}$هي المسافة بين الكتلتين النقطيتين

انطلاقًا من قوانين الحركة وقانون الجاذبية الكونية، استطاع نيوتن استنباط قوانين كبلر، وهي قوانين خاصة بالحركة المدارية في علم الفلك. ولأن قوانين كبلر كانت مدعومة جيدًا ببيانات الرصد، فقد وفر هذا التوافق دعمًا قويًا لصحة نظرية نيوتن العامة، ووحد بين الميكانيكا السماوية والميكانيكا التقليدية. شكلت قوانين الحركة هذه أساس الميكانيكا السماوية الحديثة حتى قدم ألبرت أينشتاين مفاهيم النسبية الخاصة والعامة في أوائل القرن العشرين. في معظم التطبيقات، تُقارب حركة كبلر حركات الكواكب والأقمار الصناعية بدقة عالية نسبيًا، وتُستخدم على نطاق واسع في علم الفلك وديناميكا الفضاء .

لحل مسألة حركة جسم في نظام مكون من جسمين ، يمكن وضع افتراضين مبسطين:

1. الأجسام متناظرة كروياً ويمكن التعامل معها ككتل نقطية.
2. لا توجد قوى خارجية أو داخلية تؤثر على الأجسام بخلاف جاذبيتها المتبادلة.

تتخذ الأجرام السماوية الكبيرة أشكالاً قريبة من الكرات. وبسبب التناظر، فإن محصلة قوة الجاذبية التي تجذب نقطة كتلة نحو كرة متجانسة يجب أن تكون موجهة نحو مركزها. وتنص نظرية الغلاف (التي أثبتها إسحاق نيوتن أيضاً) على أن مقدار هذه القوة هو نفسه كما لو كانت كل الكتلة مركزة في منتصف الكرة، حتى لو تغيرت كثافة الكرة مع العمق (كما هو الحال بالنسبة لمعظم الأجرام السماوية). ومن هذا يترتب مباشرة أن التجاذب بين كرتين متجانستين يكون كما لو كانت كتلة كل منهما مركزة في مركزها.

غالباً ما تتخذ الأجسام الصغيرة، كالكويكبات والمركبات الفضائية ، أشكالاً تختلف اختلافاً كبيراً عن الكرة. إلا أن قوى الجاذبية الناتجة عن هذه الاختلافات تكون ضئيلة عموماً مقارنةً بجاذبية الجسم المركزي. كما يتضاءل الفرق بين الشكل غير المنتظم والكرة المثالية مع ازدياد المسافة، وتكون معظم المسافات المدارية كبيرة جداً مقارنةً بقطر جسم صغير يدور في مداره. لذا، في بعض التطبيقات، يمكن إهمال عدم انتظام الشكل دون تأثير يُذكر على الدقة. ويُلاحظ هذا التأثير بوضوح في الأقمار الصناعية التي تدور حول الأرض، لا سيما تلك التي تدور في مدارات منخفضة.

تدور الكواكب بسرعات متفاوتة، ولذا قد تتخذ شكلاً مفلطحاً قليلاً بفعل قوة الطرد المركزي. ومع هذا الشكل المفلطح، ينحرف التجاذب الثقالي قليلاً عن تجاذب الكرة المتجانسة. وعند المسافات البعيدة، يصبح تأثير هذا التفلطح ضئيلاً. ويمكن حساب حركات الكواكب في النظام الشمسي بدقة كافية إذا ما تم التعامل معها ككتل نقطية.

جسمان نقطيان بكتلتين${\displaystyle m_{1}}$و${\displaystyle m_{2}}$ومتجهات الموضع${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$و${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$بالنسبة إلى إطار مرجعي قصوري معين ، يتعرض لقوى الجاذبية:

$${\displaystyle m_{1}{\ddot {\mathbf {r} }}_{1}={\frac {-Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }$$$${\displaystyle m_{2}{\ddot {\mathbf {r} }}_{2}={\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }$$

أين${\displaystyle \mathbf {r} }$يمثل متجه الموضع النسبي للكتلة 1 بالنسبة للكتلة 2، ويُعبر عنه كما يلي:

$${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}$$

و${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$هو متجه الوحدة في ذلك الاتجاه و${\displaystyle r}$يمثل طول ذلك المتجه.

بقسمة المعادلة على كتلتيهما وطرح المعادلة الثانية من الأولى، نحصل على معادلة الحركة لتسارع الجسم الأول بالنسبة للجسم الثاني:

${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }$

1

أين${\displaystyle \alpha }$هو معامل الجاذبية ويساوي

$${\displaystyle \alpha =G(m_{1}+m_{2})}$$

في العديد من التطبيقات، يمكن وضع افتراض ثالث مبسط:

بالمقارنة مع الجسم المركزي، فإن كتلة الجسم المداري ضئيلة للغاية. رياضياً، _m₁ >> m₂ ، _لذا فإن _α = G ( m₁ + m₂ ) ≈ Gm₁ . _{تُعرف هذه} المعاملات الجاذبية القياسية ، والتي يُشار إليها غالبًا بـ${\displaystyle \mu =G\,M}$تتوفر هذه البيانات على نطاق واسع للشمس والكواكب الرئيسية والقمر، والتي تتمتع بكتل أكبر بكثير.${\displaystyle M}$من أقمارها الصناعية التي تدور في مداراتها.

هذا الافتراض ليس ضروريًا لحل مسألة الجسمين المبسطة، ولكنه يُبسط الحسابات، خاصةً مع الأقمار الصناعية التي تدور حول الأرض والكواكب التي تدور حول الشمس. حتى كتلة كوكب المشتري أقل من كتلة الشمس بمعامل 1047، ^{[ 3 ]} وهو ما يُشكل خطأً بنسبة 0.096% في قيمة α . ومن الاستثناءات البارزة نظام الأرض والقمر (نسبة الكتلة 81.3)، ونظام بلوتو وشارون (نسبة الكتلة 8.9)، وأنظمة النجوم الثنائية. في ظل هذه الافتراضات، يُمكن حل المعادلة التفاضلية لحالة الجسمين رياضيًا بالكامل، ويُطلق على المدار الناتج الذي يتبع قوانين كبلر لحركة الكواكب اسم "مدار كبلر". مدارات جميع الكواكب هي مدارات كبلر حول الشمس بدقة عالية. الانحرافات الطفيفة ناتجة عن ضعف قوى التجاذب بين الكواكب، وفي حالة عطارد ، ناتجة عن النسبية العامة . تُعتبر مدارات الأقمار الصناعية حول الأرض، بتقريب معقول، مدارات كبلر مع اضطرابات طفيفة ناتجة عن جاذبية الشمس والقمر وتفلطح الأرض. في التطبيقات عالية الدقة التي تتطلب تكامل معادلة الحركة عدديًا مع مراعاة جميع القوى الجاذبية وغير الجاذبية (مثل ضغط الإشعاع الشمسي ومقاومة الغلاف الجوي )، تُعد مفاهيم مدارات كبلر بالغة الأهمية وتُستخدم على نطاق واسع.

يمكن تعريف أي مسار كبلري بستة معايير. تتميز حركة جسم يتحرك في الفضاء ثلاثي الأبعاد بمتجه موضع ومتجه سرعة. لكل متجه ثلاثة مركبات، لذا فإن العدد الإجمالي للقيم اللازمة لتعريف مسار عبر الفضاء هو ستة. يُعرَّف المدار عمومًا بستة عناصر (تُعرف بالعناصر الكبلرية ) يمكن حسابها من الموضع والسرعة، وقد سبق ذكر ثلاثة منها. تتميز هذه العناصر بسهولة استخدامها، إذ أن خمسة منها ثابتة في المدار غير المضطرب (على عكس متجهين متغيرين باستمرار). يمكن التنبؤ بالموقع المستقبلي لجسم داخل مداره، ويمكن الحصول بسهولة على موضعه وسرعته الجديدين من العناصر المدارية.

اثنان يحددان حجم وشكل المسار:

• المحور شبه الرئيسي (${\displaystyle a}$)
• الغرابة (${\displaystyle e}$)

ثلاثة تحدد اتجاه مستوى المدار :

• الميل (${\displaystyle i}$) يحدد الزاوية بين مستوى المدار ومستوى المرجع.
• خط طول العقدة الصاعدة ($أوميغا$) يحدد الزاوية بين اتجاه المرجع والتقاطع الصاعد للمدار على مستوى المرجع (العقدة الصاعدة).
• حجة الحضيض (${\displaystyle \omega }$) يحدد الزاوية بين العقدة الصاعدة والحضيض.

وأخيراً:

• شذوذ حقيقي (${\displaystyle \nu }$يُحدد هذا الموضع موقع الجسم المداري على طول المسار، مقاسًا من نقطة الحضيض. ويمكن استخدام عدة قيم بديلة بدلًا من الشذوذ الحقيقي، وأكثرها شيوعًا هو${\displaystyle M}$الشذوذ المتوسط ​​و${\displaystyle T}$، الوقت منذ نقطة الحضيض.

لأن${\displaystyle i}$،$أوميغا$و${\displaystyle \omega }$هي مجرد قياسات زاوية تحدد اتجاه المسار في الإطار المرجعي، وليست ضرورية تمامًا عند مناقشة حركة الجسم داخل المستوى المداري. وقد ذُكرت هنا من باب الإكمال، ولكنها ليست مطلوبة للإثباتات الواردة أدناه.

بالنسبة للحركة تحت تأثير أي قوة مركزية، أي قوة موازية لـ r ، فإن الزخم الزاوي النسبي المحدد${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}}$يبقى ثابتاً: $${\displaystyle {\dot {\mathbf {H} }}={\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}\right)={\dot {\mathbf {r} }}\times {\dot {\mathbf {r} }}+\mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {0} +\mathbf {0} =\mathbf {0} }$$

بما أن حاصل الضرب الاتجاهي لمتجه الموضع وسرعته يظل ثابتًا، فلا بد أن يقعا في نفس المستوى، متعامدين مع${\displaystyle \mathbf {H} }$وهذا يعني أن الدالة المتجهة عبارة عن منحنى مستوٍ .

نظرًا لأن المعادلة متناظرة حول نقطة الأصل، فمن الأسهل حلها باستخدام الإحداثيات القطبية. ومع ذلك، تشير المعادلة ( 1 ) إلى التسارع الخطي.${\displaystyle \left({\ddot {\mathbf {r} }}\right),}$على عكس الزاوية${\displaystyle \left({\ddot {\theta }}\right)}$أو شعاعي${\displaystyle \left({\ddot {r}}\right)}$التسارع. لذلك، يجب توخي الحذر عند تحويل المعادلة. إدخال نظام إحداثيات ديكارتية${\displaystyle ({\hat {\mathbf {x} }},{\hat {\mathbf {y} }})}$ومتجهات الوحدة القطبية${\displaystyle ({\hat {\mathbf {r} }},{\hat {\mathbf {q} }})}$في المستوى العمودي على${\displaystyle \mathbf {H} }$:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {r} }}&=\cos {\theta }{\hat {\mathbf {x} }}+\sin {\theta }{\hat {\mathbf {y} }}\\{\hat {\mathbf {q} }}&=-\sin {\theta }{\hat {\mathbf {x} }}+\cos {\theta }{\hat {\mathbf {y} }}\end{محاذاة}}}$$

دالة المتجهات${\displaystyle \mathbf {r} }$ويمكن الآن إعادة كتابة مشتقاتها على النحو التالي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} &=r\left(\cos \theta {\hat {\mathbf {x} }}+\sin \theta {\hat {\mathbf {y} }}\right)=r{\hat {\mathbf {r} }}\\{\dot {\mathbf {r} }}&={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {q} }}\\{\ddot {\mathbf {r} }}&=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+\left(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}\right){\hat {\mathbf {q} }}\end{aligned}}}$$

(انظر " حساب المتجهات "). بالتعويض بهذه القيم في ( 1 ) نحصل على: $${\displaystyle \left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+\left(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}\right){\hat {\mathbf {q} }}=\left(-{\frac {\alpha }{r^{2}}}\right){\hat {\mathbf {r} }}+(0){\hat {\mathbf {q} }}}$$

وهذا يعطي المعادلة التفاضلية العادية في المتغيرين${\displaystyle r}$و${\displaystyle \theta }$:

${\displaystyle {\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}}$

2

لحل هذه المعادلة، يجب حذف جميع المشتقات الزمنية. وهذا يؤدي إلى: $${\displaystyle H=|\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}|=\left|{\begin{pmatrix}r\cos(\theta )\\r\sin(\theta )\\0\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}{\dot {r}}\cos(\theta )-r\sin(\theta ){\dot {\theta }}\\{\dot {r}}\sin(\theta )+r\cos(\theta ){\dot {\theta }}\\0\end{pmatrix}}\right|=\left|{\begin{pmatrix}0\\0\\r^{2}{\dot {\theta }}\end{pmatrix}}\right|=r^{2}{\dot {\theta }}}$$

${\displaystyle {\dot {\theta }}={\frac {H}{r^{2}}}}$

3

بأخذ المشتقة الزمنية للمعادلة ( 3 ) نحصل على

${\displaystyle {\ddot {\theta }}=-{\frac {2\cdot H\cdot {\dot {r}}}{r^{3}}}}$

4

يمكن استخدام المعادلتين ( 3 ) و( 4 ) للتخلص من المشتقات الزمنية لـ${\displaystyle \theta }$من أجل التخلص من المشتقات الزمنية لـ${\displaystyle r}$تُستخدم قاعدة السلسلة لإيجاد البدائل المناسبة:

${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {dr}{d\theta }}\cdot {\dot {\theta }}}$

5

${\displaystyle {\ddot {r}}={\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}\cdot {\dot {\theta }}^{2}+{\frac {dr}{d\theta }}\cdot {\ddot {\theta }}}$

6

باستخدام هذه التعويضات الأربعة، يمكن حذف جميع المشتقات الزمنية في ( 2 )، مما ينتج عنه معادلة تفاضلية عادية لـ${\displaystyle r}$كدالة لـ${\displaystyle \theta .}$$${\displaystyle {\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}}$$$${\displaystyle {\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}\cdot {\dot {\theta }}^{2}+{\frac {dr}{d\theta }}\cdot {\ddot {\theta }}-r{\dot {\theta }}^{2}=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}}$$$${\displaystyle {\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}\cdot \left({\frac {H}{r^{2}}}\right)^{2}+{\frac {dr}{d\theta }}\cdot \left(-{\frac {2\cdot H\cdot {\dot {r}}}{r^{3}}}\right)-r\left({\frac {H}{r^{2}}}\right)^{2}=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}}$$

${\displaystyle {\frac {H^{2}}{r^{4}}}\cdot \left({\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}-2\cdot {\frac {\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}}{r}}-r\right)=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}}$

7

يمكن حل المعادلة التفاضلية ( 7 ) تحليليًا عن طريق استبدال المتغيرات

${\displaystyle r={\frac {1}{s}}}$

8

باستخدام قاعدة السلسلة للتفاضل نحصل على:

${\displaystyle {\frac {dr}{d\theta }}=-{\frac {1}{s^{2}}}\cdot {\frac {ds}{d\theta }}}$

9

${\displaystyle {\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}={\frac {2}{s^{3}}}\cdot \left({\frac {ds}{d\theta }}\right)^{2}-{\frac {1}{s^{2}}}\cdot {\frac {d^{2}s}{d\theta ^{2}}}}$

10

باستخدام التعبيرين ( 10 ) و( 9 ) لـ${\displaystyle {\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}$و${\displaystyle {\frac {dr}{d\theta }}}$يحصل

${\displaystyle H^{2}\cdot \left({\frac {d^{2}s}{d\theta ^{2}}}+s\right)=\alpha }$

11

مع الحل العام

${\displaystyle s={\frac {\alpha }{H^{2}}}\cdot \left(1+e\cdot \cos(\theta -\theta _{0})\right)}$

12

حيث e و${\displaystyle \theta _{0}}$هي ثوابت التكامل التي تعتمد على القيم الأولية لـ s و${\displaystyle {\tfrac {ds}{d\theta }}.}$

بدلاً من استخدام ثابت التكامل${\displaystyle \theta _{0}}$يُقدّم المرء صراحةً الاصطلاح القائل بأن متجهات الوحدة${\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}}$يتم اختيار تحديد نظام الإحداثيات في المستوى المداري بحيث${\displaystyle \theta _{0}}$تأخذ القيمة صفرًا ويكون e موجبًا. وهذا يعني أن${\displaystyle \theta }$يساوي صفرًا عند النقطة التي${\displaystyle s}$هو الحد الأقصى وبالتالي${\displaystyle r={\tfrac {1}{s}}}$هو الحد الأدنى. تعريف المعامل p على النحو التالي${\displaystyle {\tfrac {H^{2}}{\alpha }}}$يمتلك المرء ذلك

$${\displaystyle r={\frac {1}{s}}={\frac {p}{1+e\cdot \cos \theta }}}$$

اشتقاق بديل

هناك طريقة أخرى لحل هذه المعادلة دون استخدام المعادلات التفاضلية القطبية وهي كالتالي:

عرّف متجه الوحدة${\displaystyle \mathbf {u} }$،${\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {\mathbf {r} }{r}}}$بحيث${\displaystyle \mathbf {r} =r\mathbf {u} }$و${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}=-{\tfrac {\alpha }{r^{2}}}\mathbf {u} }$ويترتب على ذلك أن $${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}=r\mathbf {u} \times {\frac {d}{dt}}(r\mathbf {u} )=r\mathbf {u} \times (r{\dot {\mathbf {u} }}+{\dot {r}}\mathbf {u} )=r^{2}(\mathbf {u} \times {\dot {\mathbf {u} }})+r{\dot {r}}(\mathbf {u} \times \mathbf {u} )=r^{2}\mathbf {u} \times {\dot {\mathbf {u} }}}$$

والآن لننظر إلى الأمر. $${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} =-{\frac {\alpha }{r^{2}}}\mathbf {u} \times (r^{2}\mathbf {u} \times {\dot {\mathbf {u} }})=-\alpha \mathbf {u} \times (\mathbf {u} \times {\dot {\mathbf {u} }})=-\alpha [(\mathbf {u} \cdot {\dot {\mathbf {u} }})\mathbf {u} -(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} ){\dot {\mathbf {u} }}]}$$

(انظر الضرب الثلاثي للمتجهات ). لاحظ أن $${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {u} =|\mathbf {u} |^{2}=1}$$$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot {\dot {\mathbf {u} }}={\frac {1}{2}}(\mathbf {u} \cdot {\dot {\mathbf {u} }}+{\dot {\mathbf {u} }}\cdot \mathbf {u} )={\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} )=0}$$

وبإدخال هذه القيم في المعادلة السابقة نحصل على: $${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} =\alpha {\dot {\mathbf {u} }}}$$

دمج كلا الجانبين: $${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} =\alpha \mathbf {u} +\mathbf {c} }$$

حيث c متجه ثابت. وبضرب هذا المتجه في r ينتج نتيجة مثيرة للاهتمام: $${\displaystyle \mathbf {r} \cdot ({\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} )=\mathbf {r} \cdot (\alpha \mathbf {u} +\mathbf {c} )=\alpha \mathbf {r} \cdot \mathbf {u} +\mathbf {r} \cdot \mathbf {c} =\alpha r(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} )+rc\cos(\theta )=r(\alpha +c\cos(\theta ))}$$ أين${\displaystyle \theta }$هي الزاوية بين${\displaystyle \mathbf {r} }$و${\displaystyle \mathbf {c} }$إيجاد قيمة r : $${\displaystyle r={\frac {\mathbf {r} \cdot ({\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} )}{\alpha +c\cos(\theta )}}={\frac {(\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }})\cdot \mathbf {H} }{\alpha +c\cos(\theta )}}={\frac {|\mathbf {H} |^{2}}{\alpha +c\cos(\theta )}}={\frac {|\mathbf {H} |^{2}/\alpha }{1+(c/\alpha )\cos(\theta )}}.}$$

لاحظ أن${\displaystyle (r,\theta )}$هي في الواقع الإحداثيات القطبية للدالة المتجهة. إجراء الاستبدالات${\displaystyle p={\tfrac {|\mathbf {H} |^{2}}{\alpha }}}$و${\displaystyle e={\tfrac {c}{\alpha }}}$، مما يؤدي مرة أخرى إلى المعادلة

${\displaystyle r={\frac {p}{1+e\cdot \cos \theta }}}$

13

هذه هي المعادلة في الإحداثيات القطبية لقطع مخروطي أصله في نقطة بؤرية.${\displaystyle \theta }$يُطلق عليه اسم "الشذوذ الحقيقي".

ل${\displaystyle e=0}$هذه دائرة نصف قطرها p .

ل${\displaystyle 0<e<1,}$هذا شكل بيضاوي مع

${\displaystyle a={\frac {p}{1-e^{2}}}}$

14

${\displaystyle b={\frac {p}{\sqrt {1-e^{2}}}}=a\cdot {\sqrt {1-e^{2}}}}$

15

ل${\displaystyle e=1}$هذا قطع مكافئ ذو بُعد بؤري${\displaystyle {\tfrac {p}{2}}}$

ل${\displaystyle e>1}$هذا قطع زائد مع

${\displaystyle a={\frac {p}{e^{2}-1}}}$

16

${\displaystyle b={\frac {p}{\sqrt {e^{2}-1}}}=a\cdot {\sqrt {e^{2}-1}}}$

17

توضح الصورة التالية دائرة (رمادية)، وقطع ناقص (أحمر)، وقطع مكافئ (أخضر)، وقطع زائد (أزرق).

النقطة الواقعة على الخط الأفقي الممتد إلى اليمين من النقطة البؤرية هي النقطة التي${\displaystyle \theta =0}$والتي تأخذ فيها المسافة إلى البؤرة القيمة الدنيا${\displaystyle {\tfrac {p}{1+e}},}$نقطة الحضيض. بالنسبة للقطع الناقص، توجد أيضًا نقطة أبعد يكون عندها البعد عن البؤرة أقصى قيمة.${\displaystyle {\tfrac {p}{1-e}}.}$بالنسبة للقطع الزائد، فإن نطاق${\displaystyle \theta }$يكون $${\displaystyle -\cos ^{-1}\left(-{\frac {1}{e}}\right)<\theta <\cos ^{-1}\left(-{\frac {1}{e}}\right)}$$ وبالنسبة للقطع المكافئ، فإن المدى هو $${\displaystyle -\pi <\theta <\pi }$$

باستخدام قاعدة السلسلة للتفاضل ( 5 )، والمعادلة ( 2 )، وتعريف p على النحو التالي:${\displaystyle {\frac {H^{2}}{\alpha }}}$يتضح أن مركبة السرعة الشعاعية هي

${\displaystyle V_{r}={\dot {r}}={\frac {H}{p}}e\sin \theta ={\sqrt {\frac {\alpha }{p}}}e\sin \theta }$

18

وأن المركبة المماسية (مركبة السرعة العمودية على${\displaystyle V_{r}}$) يكون

${\displaystyle V_{t}=r\cdot {\dot {\theta }}={\frac {H}{r}}={\sqrt {\frac {\alpha }{p}}}\cdot (1+e\cdot \cos \theta )}$

19

العلاقة بين الحجة القطبية${\displaystyle \theta }$والوقت t يختلف قليلاً بالنسبة للمدارات الإهليلجية والزائدية.

بالنسبة للمدار الإهليلجي، يتم الانتقال إلى " الشذوذ اللامركزي " E الذي

${\displaystyle x=a\cdot (\cos E-e)}$

20

${\displaystyle y=b\cdot \sin E}$

21

وبالتالي

${\displaystyle {\dot {x}}=-a\cdot \sin E\cdot {\dot {E}}}$

22

${\displaystyle {\dot {y}}=b\cdot \cos E\cdot {\dot {E}}}$

23

والزخم الزاوي H هو

${\displaystyle H=x\cdot {\dot {y}}-y\cdot {\dot {x}}=a\cdot b\cdot (1-e\cdot \cos E)\cdot {\dot {E}}}$

24

بإجراء التكامل بالنسبة للزمن t نحصل على

${\displaystyle H\cdot t=a\cdot b\cdot (E-e\cdot \sin E)}$

25

بافتراض أن الوقت${\displaystyle t=0}$يتم اختيارها بحيث يكون ثابت التكامل صفراً.

بحسب تعريف p ، يكون لدى المرء

${\displaystyle H={\sqrt {\alpha \cdot p}}}$

26

يمكن كتابة هذا

${\displaystyle t=a\cdot {\sqrt {\frac {a}{\alpha }}}(E-e\cdot \sin E)}$

27

بالنسبة للمدار الزائدي، تُستخدم الدوال الزائدية لتحديد المعلمات.

${\displaystyle x=a\cdot (e-\cosh E)}$

28

${\displaystyle y=b\cdot \sinh E}$

29

والتي يمتلكها المرء

${\displaystyle {\dot {x}}=-a\cdot \sinh E\cdot {\dot {E}}}$

30

${\displaystyle {\dot {y}}=b\cdot \cosh E\cdot {\dot {E}}}$

31

والزخم الزاوي H هو

${\displaystyle H=x\cdot {\dot {y}}-y\cdot {\dot {x}}=a\cdot b\cdot (e\cdot \cosh E-1)\cdot {\dot {E}}}$

32

بإجراء التكامل بالنسبة للزمن t نحصل على

${\displaystyle H\cdot t=a\cdot b\cdot (e\cdot \sinh E-E)}$

33

أي

${\displaystyle t=a\cdot {\sqrt {\frac {a}{\alpha }}}(e\cdot \sinh E-E)}$

34

لإيجاد الزمن t الذي يتوافق مع شذوذ حقيقي معين${\displaystyle \theta }$من الضروري حساب المعلمة المقابلة E المرتبطة بالوقت بالعلاقة ( 27 ) للمدار الإهليلجي وبالعلاقة ( 34 ) للمدار الزائدي.

لاحظ أن العلاقتين ( 27 ) و( 34 ) تحددان عملية ربط بين النطاقات $${\displaystyle \left[-\infty <t<\infty \right]\longleftrightarrow \left[-\infty <E<\infty \right]}$$

هذه هي " مسألة القيمة الأولية " للمعادلة التفاضلية ( 1 ) وهي معادلة من الدرجة الأولى لـ "متجه الحالة" ذي الأبعاد الستة.${\displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {v} )}$عند كتابتها على النحو التالي

${\displaystyle {\dot {\mathbf {v} }}=-\alpha \cdot {\frac {\hat {\mathbf {r} }}{r^{2}}}}$

48

${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}=\mathbf {v} }$

49

لأي قيم لمتجه الحالة الأولي${\displaystyle (\mathbf {r} _{0},\mathbf {v} _{0})}$يمكن إيجاد مدار كبلر المقابل لحل مسألة القيمة الأولية هذه باستخدام الخوارزمية التالية:

عرّف متجهات الوحدة المتعامدة${\displaystyle ({\hat {\mathbf {r} }},{\hat {\mathbf {t} }})}$خلال

${\displaystyle \mathbf {r} _{0}=r{\hat {\mathbf {r} }}}$

50

${\displaystyle \mathbf {v} _{0}=V_{r}{\hat {\mathbf {r} }}+V_{t}{\hat {\mathbf {t} }}}$

51

مع${\displaystyle r>0}$و${\displaystyle V_{t}>0}$

من ( 13 ) و( 18 ) و( 19 ) يتبين أنه بوضع

${\displaystyle p={\frac {{(r\cdot V_{t})}^{2}}{\alpha }}}$

52

ومن خلال تحديد${\displaystyle e\geq 0}$و${\displaystyle \theta }$بحيث

${\displaystyle e\cos \theta ={\frac {V_{t}}{V_{0}}}-1}$

53

${\displaystyle e\sin \theta ={\frac {V_{r}}{V_{0}}}}$

54

أين

${\displaystyle V_{0}={\sqrt {\frac {\alpha }{p}}}}$

55

يحصل المرء على مدار كبلر الذي يمثل الشذوذ الحقيقي${\displaystyle \theta }$له نفس قيمة r ،${\displaystyle V_{r}}$و${\displaystyle V_{t}}$القيم كما هو محدد في ( 50 ) و ( 51 ).

إذا كان مدار كبلر هذا له نفس الشيء${\displaystyle ({\hat {\mathbf {r} }},{\hat {\mathbf {t} }})}$متجهات لهذه الشذوذ الحقيقي${\displaystyle \theta }$كما هو محدد في ( 50 ) و( 51 ) متجه الحالة${\displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {v} )}$يأخذ مدار كبلر القيم المطلوبة${\displaystyle (\mathbf {r} _{0},\mathbf {v} _{0})}$بالنسبة للشذوذ الحقيقي${\displaystyle \theta }$.

نظام الإحداثيات القياسي الثابت بالقصور الذاتي${\displaystyle ({\hat {\mathbf {x} }},{\hat {\mathbf {y} }})}$في المستوى المداري (مع${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$يمكن بعد ذلك تحديد اتجاه المقطع المخروطي (القطع الناقص، أو القطع المكافئ، أو القطع الزائد) من خلال العلاقة التالية:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}=\cos \theta {\hat {\mathbf {r} }}-\sin \theta {\hat {\mathbf {t} }}}$

56

${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}=\sin \theta {\hat {\mathbf {r} }}+\cos \theta {\hat {\mathbf {t} }}}$

57

لاحظ أن العلاقتين ( 53 ) و( 54 ) لهما نقطة شاذة عندما${\displaystyle V_{r}=0}$و $${\displaystyle V_{t}=V_{0}={\sqrt {\frac {\alpha }{p}}}={\sqrt {\frac {\alpha }{\frac {{(r\cdot V_{t})}^{2}}{\alpha }}}}}$$ أي

${\displaystyle V_{t}={\sqrt {\frac {\alpha }{r}}}}$

58

وهذا يعني أن المدار دائري ويتناسب مع الحالة الأولية${\displaystyle (\mathbf {r} _{0},\mathbf {v} _{0})}$

لأي متجه حالة${\displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {v} )}$يمكن حساب مدار كبلر الموافق لهذه الحالة باستخدام الخوارزمية المحددة أعلاه. أولاً، المعلمات${\displaystyle p,e,\theta }$يتم تحديدها من${\displaystyle r,V_{r},V_{t}}$ثم متجهات الوحدة المتعامدة في المستوى المداري${\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}}$باستخدام العلاقات ( 56 ) و ( 57 ).

إذا كانت معادلة الحركة الآن هي

${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} (\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)}$

59

أين $${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)}$$ هي دالة أخرى غير $${\displaystyle -\alpha {\frac {\mathbf {r} }{r^{2}}}}$$ المعلمات الناتجة${\displaystyle p}$،${\displaystyle e}$،${\displaystyle \theta }$،${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$،${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$محدد بواسطة${\displaystyle \mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }}}$ستتغير جميعها مع مرور الوقت، على عكس حالة مدار كبلر الذي لا يتغير فيه سوى المعامل${\displaystyle \theta }$سيختلف الأمر.

يقال إن مدار كيبلر المحسوب بهذه الطريقة والذي له نفس "متجه الحالة" مثل حل "معادلة الحركة" ( 59 ) في الوقت t يكون "متماسًا" في هذا الوقت.

يُعد هذا المفهوم مفيدًا على سبيل المثال في حالة $${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)=-\alpha {\frac {\hat {\mathbf {r} }}{r^{2}}}+\mathbf {f} (\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)}$$ أين $${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)}$$

هي قوة اضطراب صغيرة ناتجة، على سبيل المثال، عن جاذبية ضعيفة من أجرام سماوية أخرى. وبالتالي، فإن معلمات مدار كبلر المتذبذب ستتغير ببطء شديد، ويُعد مدار كبلر المتذبذب تقريبًا جيدًا للمدار الحقيقي لفترة زمنية طويلة قبل وبعد وقت التذبذب.

يمكن أن يكون هذا المفهوم مفيدًا أيضًا للصاروخ أثناء الطيران المدفوع لأنه يحدد مدار كيبلر الذي سيستمر فيه الصاروخ في حالة إيقاف الدفع.

بالنسبة للمدار "شبه الدائري"، يُعرَّف مفهوم " متجه اللامركزية " على النحو التالي:${\displaystyle \mathbf {e} =e{\hat {\mathbf {x} }}}$مفيد. من ( 53 ) و( 54 ) و( 56 ) يتبين أن

${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {(V_{t}-V_{0}){\hat {\mathbf {r} }}-V_{r}{\hat {\mathbf {t} }}}{V_{0}}}}$

60

أي${\displaystyle \mathbf {e} }$هي دالة قابلة للتفاضل بسلاسة لمتجه الحالة${\displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {v} )}$وكذلك إذا كانت هذه الحالة تتوافق مع مدار دائري.