تخمين الحجم

في فرع الرياضيات المسمى نظرية العقد ، تعتبر فرضية الحجم مشكلة مفتوحة تربط الثوابت الكمومية للعقد بالهندسة الزائدية لمكملاتها .

لنرمز بـ O إلى العقدة غير المكتملة . لأي عقدة${\displaystyle K}$، يترك${\displaystyle \langle K\rangle _{N}}$ليكن ثابت كاشاييف لـ${\displaystyle K}$والتي يمكن تعريفها على النحو التالي:

${\displaystyle \langle K\rangle _{N}=\lim _{q\to e^{2\pi i/N}}{\frac {J_{K,N}(q)}{J_{O,N}(q)}}}$،

أين${\displaystyle J_{K,N}(q)}$هو${\displaystyle N}$- متعددة حدود جونز الملونة لـ${\displaystyle K}$تنص فرضية الحجم على أن ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {2\pi \log |\langle K\rangle _{N}|}{N}}=\operatorname {vol} (S^{3}\backslash K)}$،

أين${\displaystyle \operatorname {vol} (S^{3}\backslash K)}$هو الحجم التبسيطي لمكمل${\displaystyle K}$في الكرة ثلاثية الأبعاد ، تُعرَّف على النحو التالي. بواسطة تحليل JSJ ، المكمل${\displaystyle S^{3}\backslash K}$يمكن تحليلها بشكل فريد إلى نظام من الحلقات

${\displaystyle S^{3}\backslash K=\left(\bigsqcup _{i}H_{i}\right)\sqcup \left(\bigsqcup _{j}E_{j}\right)}$

مع${\displaystyle H_{i}}$زائدي و${\displaystyle E_{j}}$مُدعّم بألياف سيفرت . الحجم البسيط${\displaystyle \operatorname {vol} (S^{3}\backslash K)}$ثم يُعرَّف بأنه المجموع

${\displaystyle \operatorname {vol} (S^{3}\backslash K)=\sum _{i}\operatorname {vol} (H_{i})}$،

أين${\displaystyle \operatorname {vol} (H_{i})}$هو الحجم الزائدي للمشعب الزائدي${\displaystyle H_{i}}$[ ^{1 ]​}

كحالة خاصة، إذا${\displaystyle K}$إذا كانت عقدة زائدية ، فإن تحليل JSJ يقرأ ببساطة${\displaystyle S^{3}\backslash K=H_{1}}$والحجم التبسيطي بحكم التعريف${\displaystyle \operatorname {vol} (S^{3}\backslash K)}$يتفق مع الحجم الزائدي${\displaystyle \operatorname {vol} (H_{1})}$.

تم تقديم ثابت كاشاييف لأول مرة من قبل رينات م. كاشاييف في عامي 1994 و1995 للروابط الزائدية كمجموع حالة باستخدام نظرية اللوغاريتمات الثنائية الكمومية . ^{[ 2 ] [ 3 ]} وقد ذكر كاشاييف صيغة حدسية الحجم في حالة العقد الزائدية في عام 1997. ^{[ 4 ]}

أشار موراكامي وموراكامي (2001) إلى أن ثابت كاشاييف يرتبط بكثير حدود جونز الملون عن طريق استبدال المتغير${\displaystyle q}$مع جذر الوحدة${\displaystyle e^{i\pi /N}}$استخدموا مصفوفة R كتحويل فورييه منفصل لإثبات تكافؤ هذين الوصفين. وكانت هذه الورقة البحثية الأولى التي تصوغ حدسية الحجم بصيغتها الحديثة باستخدام الحجم التبسيطي. كما أثبتوا أن حدسية الحجم تستلزم حدسية فيكتور فاسيليف التالية :

إذا اتفقت جميع ثوابت فاسيليف للعقدة مع تلك الخاصة بالعقدة غير المكتملة، فإن العقدة هي العقدة غير المكتملة.

الملاحظة الأساسية في برهانهم هي أنه إذا كان كل ثابت فاسيليف لعقدة${\displaystyle K}$إذا كان الأمر تافهاً،${\displaystyle J_{K,N}(q)=1}$لأي${\displaystyle N}$.

تُعتبر فرضية الحجم مفتوحةً بالنسبة للعُقد العامة، ومن المعروف أنها خاطئة بالنسبة للروابط العشوائية. وقد تم التحقق من صحة فرضية الحجم في العديد من الحالات الخاصة، بما في ذلك:

• عقدة الرقم ثمانية (توبياس إيكهولم)، ^{[ 5 ]}
• العقدة الثلاثية اللفات (رينات كاشاييف ويوشيوكي يوكوتا)، ^{[ 5 ]}
• حلقات بوروميان ( ستافروس جاروفاليديس وثانغ لي )، ^{[ 5 ]}
• عقدة توروس (رينات كاشيف وأولاف تيركونن)، ^{[ 5 ]}
• جميع العقد والروابط ذات الحجم الصفري ( رولاند فان دير فين )، ^{[ 5 ]}
• روابط وايتهيد الملتوية ( هاو تشنغ )، ^{[ 6 ]}
• وايتهيد يضاعف عقد الطارة غير التافهة${\displaystyle T(p,q)}$مع${\displaystyle q=2}$(هاو تشنغ). ^{[ 6 ]}

باستخدام التعقيد، افترض موراكامي وآخرون (2002) أنه بالنسبة للعقدة الزائدية${\displaystyle K}$،

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {2\pi \log \langle K\rangle _{N}}{N}}=\operatorname {vol} (S^{3}\backslash K)+CS(S^{3}\backslash K)}$،

أين${\displaystyle CS}$هو ثابت تشيرن-سيمونز لحقل الإطار الخاص بالبنية الزائدية لـ${\displaystyle K}$يشير هذا إلى وجود علاقة بين متعددة الحدود جونز الملونة ونظرية تشيرن-سيمونز المعقدة.