نظرية العجلة

📅 آخر تحديث: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 68 صور
الموسوعة الحرة
رسم تخطيطي لعجلة، باعتباره الخط الإسقاطي الحقيقي مع نقطة عند الصفر (يرمز لها بـ ⊥)

العجلة نوع من أنواع الجبر (بمعنى الجبر الشامل ) حيث يكون القسمة مُعرّفة دائمًا. وعلى وجه الخصوص، فإن القسمة على صفر لها معنى. ويمكن توسيع نطاق الأعداد الحقيقية لتشمل العجلة، كما هو الحال مع أي حلقة تبديلية .

مصطلح "العجلة" مستوحى من الصورة الطوبولوجية⊙{\displaystyle \odot }من الخط الإسقاطي الحقيقي بالإضافة إلى نقطة إضافية ⊥ ( العنصر السفلي ) بحيث⊥=0/0{\displaystyle \bot =0/0}[ 1 ] [ 2 ]​

يمكن اعتبار العجلة مكافئة لحلقة تبديلية (وشبه حلقة ) حيث لا يكون الجمع والضرب مجموعة، بل على التوالي أحادي تبديلي وأحادي تبديلي مع انعكاس . [ 2 ]

تعريف

العجلة هي بنية جبرية(دبليو،0،1،+،⋅،/){\displaystyle (W,0,1,+,\cdot ,/)}، حيث

  • دبليو{\displaystyle W}هي مجموعة
  • 0{\displaystyle {}0}و1{\displaystyle 1}هي عناصر من تلك المجموعة
  • +{\displaystyle +}و⋅{\displaystyle \cdot }العمليات الثنائية
  • /{\displaystyle /}هي عملية أحادية

وتستوفي الخصائص التالية:

  • +{\displaystyle +}و⋅{\displaystyle \cdot }كل منها تبادلية وتجميعية ، ولها0{\displaystyle \,0}و1{\displaystyle 1}بصفتهم هوياتهم الخاصة .
  • /{\displaystyle /}هو انقلاب ، على سبيل المثال//x=x{\displaystyle //x=x}
  • /{\displaystyle /}هي ضربية ، على سبيل المثال/(xy)=/x/y{\displaystyle /(xy)=/x/y}
  • (x+y)z+0z=xz+yz{\displaystyle (x+y)z+0z=xz+yz}
  • (x+yz)/y=x/y+z+0y{\displaystyle (x+yz)/y=x/y+z+0y}
  • 0⋅0=0{\displaystyle 0\cdot 0=0}
  • (x+0y)z=xz+0y{\displaystyle (x+0y)z=xz+0y}
  • /(x+0y)=/x+0y{\displaystyle /(x+0y)=/x+0y}
  • 0/0+x=0/0{\displaystyle 0/0+x=0/0}

جبر العجلات

تستبدل العجلات عملية القسمة المعتادة كعملية ثنائية بعملية الضرب، وهي عملية أحادية تُطبق على وسيط واحد./x{\displaystyle /x}مشابه (ولكن ليس مطابقًا) للمعكوس الضربيx-1{\displaystyle x^{-1}}بحيثأ/ب{\displaystyle a/b}يصبح اختصارًا لـأ⋅/ب=/ب⋅أ{\displaystyle a\cdot /b=/b\cdot a}لكن لا هذا ولا ذاكأ⋅ب-1{\displaystyle a\cdot b^{-1}}ولاب-1⋅أ{\displaystyle b^{-1}\cdot a}بشكل عام، ويعدل قواعد الجبر بحيث

  • ∃x:0x≠0{\displaystyle \exists x:0x\neq 0}
  • ∃x:x/x≠1{\displaystyle \exists x:x/x\neq 1}، مثل/x{\displaystyle /x}لا يُساوي المعكوس الضربي لـx{\displaystyle x}.

الهويات الأخرى التي يمكن استخلاصها هي

  • 0x+0y=0xy{\displaystyle 0x+0y=0xy}
  • x/x=1+0x/x{\displaystyle x/x=1+0x/x}
  • x-x=0x2{\displaystyle xx=0x^{2}}

حيث النفي-x{\displaystyle -x}يتم تعريفها بواسطة-x=أx{\displaystyle -x=ax}وx-y=x+(-y){\displaystyle xy=x+(-y)}إذا كان هناك عنصرأ{\displaystyle a}بحيث1+أ=0{\displaystyle 1+a=0}(وبذلك في الحالة العامة)x-x≠0{\displaystyle xx\neq 0}).

ومع ذلك، بالنسبة لقيمx{\displaystyle x}مُرضٍ0x=0{\displaystyle 0x=0}و0/x=0{\displaystyle 0/x=0}نحصل على المعتاد

  • x/x=1{\displaystyle x/x=1}
  • x-x=0{\displaystyle xx=0}

إذا أمكن تعريف النفي كما سبق، فإن المجموعة الفرعية{x|0x=0}{\displaystyle \{x\mid 0x=0\}}هي حلقة تبديلية ، وكل حلقة تبديلية هي مجموعة جزئية من عجلة. إذاx{\displaystyle x}إذا كان عنصرًا قابلاً للعكس في الحلقة التبديلية،x-1=/x{\displaystyle x^{-1}=/x}وبالتالي، كلماx-1{\displaystyle x^{-1}}هذا منطقي، إنه يساوي/x{\displaystyle /x}لكن الأخير يتم تعريفه دائمًا، حتى عندماx=0{\displaystyle x=0}[ 1 ]​

أمثلة

عجلة الكسور

يتركأ{\displaystyle A}لتكن حلقة تبديلية، ولتكنS{\displaystyle S}ليكن شبه أحادي ضربي منأ{\displaystyle A}عرّف علاقة التطابق∼S{\displaystyle \sim _{S}}علىأ×أ{\displaystyle A\times A}عبر

(x1،x2)∼S(y1،y2){\displaystyle (x_{1},x_{2})\sim _{S}(y_{1},y_{2})}يعني ذلك وجودsx،sy∈S{\displaystyle s_{x},s_{y}\in S}بحيث(sxx1،sxx2)=(syy1،syy2){\displaystyle (s_{x}x_{1},s_{x}x_{2})=(s_{y}y_{1},s_{y}y_{2})}.

عرّف عجلة الكسور منأ{\displaystyle A}بالنسبة إلىS{\displaystyle S}كحاصل القسمةأ×أ /∼S{\displaystyle A\times A~/{\sim _{S}}}(ويشير إلى فئة التكافؤ التي تحتوي على(x1،x2){\displaystyle (x_{1},x_{2})}مثل[x1،x2]{\displaystyle [x_{1},x_{2}]}) مع العمليات

0=[0أ،1أ]{\displaystyle 0=[0_{A},1_{A}]}      (الهوية الجمعية)
1=[1أ،1أ]{\displaystyle 1=[1_{A},1_{A}]}      (العنصر المحايد المضاعف)
/[x1،x2]=[x2،x1]{\displaystyle /[x_{1},x_{2}]=[x_{2},x_{1}]}      (عملية تبادلية)
[x1،x2]+[y1،y2]=[x1y2+x2y1،x2y2]{\displaystyle [x_{1},x_{2}]+[y_{1},y_{2}]=[x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1},x_{2}y_{2}]}      (عملية الجمع)
[x1،x2]⋅[y1،y2]=[x1y1،x2y2]{\displaystyle [x_{1},x_{2}]\cdot [y_{1},y_{2}]=[x_{1}y_{1},x_{2}y_{2}]}      (عملية الضرب)

بشكل عام، لا يُعتبر هذا الهيكل حلقة إلا إذا كان تافهاً، كما0x≠0{\displaystyle 0x\neq 0}بالمعنى المعتاد – هنا معx=[0،0]{\displaystyle x=[0,0]}نحصل0x=[0،0]{\displaystyle 0x=[0,0]}، على الرغم من أن ذلك يعني أن∼S{\displaystyle \sim _{S}}علاقة غير سليمة على عجلتنادبليو{\displaystyle W}.

وينتج هذا عن حقيقة أن[0،0]=[0،1]⟹0∈S{\displaystyle [0,0]=[0,1]\implies 0\in S}وهذا غير صحيح بشكل عام أيضاً. [ 1 ]

الخط الإسقاطي وكرة ريمان

تُنتج الحالة الخاصة لما سبق، بدءًا بحقل، خطًا إسقاطيًا ممتدًا إلى عجلة عن طريق ضم عنصر سفلي يُشار إليه بـ ⊥ ، حيث0/0=⊥{\displaystyle 0/0=\bot }الخط الإسقاطي هو نفسه امتداد للحقل الأصلي بواسطة عنصر∞{\displaystyle \infty }، أينz/0=∞{\displaystyle z/0=\infty }لأي عنصرz≠0{\displaystyle z\neq 0}في الميدان. ومع ذلك،0/0{\displaystyle 0/0}لا يزال غير معرف على الخط الإسقاطي، ولكنه معرف في امتداده إلى عجلة.

بدءًا من الأعداد الحقيقية ، يكون الخط الإسقاطي المقابل دائرة هندسيًا ، ثم النقطة الإضافية0/0{\displaystyle 0/0}يُعطي الشكل الذي هو مصدر مصطلح "العجلة". أو بالبدء بالأعداد المركبة بدلاً من ذلك، فإن "الخط" الإسقاطي المقابل هو كرة ( كرة ريمان )، ثم تُعطي النقطة الإضافية نسخة ثلاثية الأبعاد من العجلة.

انظر أيضاً

الاقتباسات

مراجع