التوافقيات الكروية القطاعية

في الدراسة الرياضية للتناظر الدوراني ، تُعدّ التوافقيات الكروية القطاعية توافقيات كروية خاصة ثابتة تحت الدوران حول محور ثابت معين. وتُمثّل الدوال الكروية القطاعية امتدادًا واسعًا لمفهوم التوافقيات الكروية القطاعية، مما يسمح بوجود مجموعة تناظر أكثر عمومية .

على الكرة ثنائية الأبعاد، يتم تمثيل التوافقي الكروي القطاعي الفريد من الدرجة ℓ الثابت تحت الدوران الذي يثبت القطب الشمالي في الإحداثيات الكروية بواسطة $${\displaystyle Z^{(\ell )}(\theta ,\phi )={\frac {2\ell +1}{4\pi }}P_{\ell }(\cos \theta )}$$ حيث P _ℓ هي متعددة حدود ليجندر المعيارية من الدرجة ℓ ،${\displaystyle P_{\ell }(1)=1}$يُرمز إلى التوافقي الكروي القطاعي العام من الدرجة ℓ بالرمز التالي:${\displaystyle Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {y} )}$حيث x هي نقطة على الكرة تمثل المحور الثابت، و y هو متغير الدالة. ويمكن الحصول على ذلك عن طريق تدوير التوافقي القطاعي الأساسي${\displaystyle Z^{(\ell )}(\theta ,\phi ).}$

في الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد n ، تُعرَّف التوافقيات الكروية القطاعية كما يلي. ليكن x نقطة على الكرة ( n -1).${\displaystyle Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}}$أن تكون التمثيل الثنائي للدالة الخطية $${\displaystyle P\mapsto P(\mathbf {x} )}$$في فضاء هيلبرت ذي الأبعاد المحدودة${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\ell }}$من التوافقيات الكروية من الدرجة${\displaystyle \ell }$فيما يتعلق بالقياس الموحد على الكرة${\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}}$بمعنى آخر، لدينا نواة قابلة للتكاثر :$${\displaystyle Y(\mathbf {x} )=\int _{S^{n-1}}Z_ {\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {y} )Y(\mathbf {y} )\,d\Omega (y),\quad \forall Y\in {\mathcal {H}}_ {\ell }}$$ أين$أوميغا$هو المقياس الموحد على${\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}}$.

تظهر التوافقيات القطاعية بشكل طبيعي كمعاملات لنواة بواسون للكرة الوحدوية في R ⁿ : لمتجهات الوحدة x و y ،$$$$$ أين${\displaystyle \omega _{n-1}}$هي مساحة سطح الكرة ذات الأبعاد (n-1). وترتبط أيضًا بنواة نيوتن عبر $${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |^{n-2}}}=\sum _{k=0}^{\infty}c_{n,k}{\frac {|\mathbf {x} |^{k}}{|\mathbf {y} |^{n+k-2}}}Z_{\mathbf {x} /|\mathbf {x} |}^{(ك)}(\mathbf {y} /|\mathbf {y} |)}$$ حيث x و y ∈ R ⁿ والثوابت c _{n و k} معطاة بالعلاقة التالية $${\displaystyle c_{n,k}={\frac {1}{\omega _{n-1}}}{\frac {2k+n-2}{(n-2)}}.}$$

معاملات متسلسلة تايلور لنواة نيوتن (مع التطبيع المناسب) هي تحديدًا كثيرات الحدود فوق الكروية . وبالتالي، يمكن التعبير عن التوافقيات الكروية القطاعية على النحو التالي. إذا كانت α = ( n − 2)/2 ، فإن $${\displaystyle Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {y} )={\frac {n+2\ell -2}{n-2}}C_{\ell }^{(\alpha )}(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )}$$ أين${\displaystyle c_{n,\ell }}$الثوابت المذكورة أعلاه و${\displaystyle C_{\ell }^{(\alpha )}}$هي متعددة الحدود فائقة الكروية من الدرجة${\displaystyle \ell }$الحالة ثنائية الأبعاد$${\displaystyle Z^{(\ell )}(\theta ,\phi )={\frac {2\ell +1}{4\pi }}P_{\ell }(\cos \theta )}$$وهي حالة خاصة من ذلك، لأن كثيرات حدود ليجندر هي حالة خاصة من كثيرات الحدود فوق الكروية عندما${\displaystyle \alpha =1/2}$.

• تتميز التوافقيات الكروية القطاعية بأنها ثابتة دورانيًا، مما يعني أن$${\displaystyle Z_{R\mathbf {x} }^{(\ell )}(R\mathbf {y} )=Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {y} )}$$لكل تحويل متعامد R. على العكس من ذلك، فإن أي دالة f ( x , y ) على S ^{n −1} × S ^{n −1} التي هي توافقية كروية في y لكل x ثابت ، والتي تحقق خاصية الثبات هذه، هي مضاعف ثابت للتوافقية القطاعية من الدرجة ℓ .
• إذا كانت _Y1 ، ... ، Yd أساسًا متعامدًا _لـ Hℓ ، _فإن$${\displaystyle Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {y} )=\sum _{k=1}^{d}Y_{k}(\mathbf {x} ){\overline {Y_{k}(\mathbf {y} )}}.}$$
• التقييم عند x = y يعطي$${\displaystyle Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {x} )=\omega _{n-1}^{-1}\dim \mathbf {H} _{\ell }.}$$

• شتاين، إلياس ؛ فايس، غيدو (1971)، مقدمة في تحليل فورييه على الفضاءات الإقليدية ، برينستون، نيوجيرسي: مطبعة جامعة برينستون، ISBN 978-0-691-08078-9.