الوظيفة الكروية المناطقية

في الرياضيات ، الدالة الكروية القطاعية ، أو ببساطة الدالة الكروية، هي دالة على زمرة محلية متراصة G ذات زمرة جزئية متراصة K (غالبًا ما تكون زمرة جزئية متراصة عظمى )، وتظهر كمعامل مصفوفة لمتجه ثابت تحت تأثير K في تمثيل غير قابل للاختزال لـ G. من الأمثلة الرئيسية معاملات مصفوفة السلسلة الرئيسية الكروية ، والتمثيلات غير القابلة للاختزال التي تظهر في تحليل التمثيل الوحدوي لـ G على L² ( G / K ). في هذه الحالة، يتم توليد مبدل G بواسطة جبر الدوال ثنائية الثبات على G بالنسبة إلى K ^{، وذلك عن طريق} الالتفاف الأيمن . وتكون الدالة تبادلية إذا كانت G / K فضاءً متناظرًا ، على سبيل المثال عندما تكون G زمرة لي شبه بسيطة متصلة ذات مركز منتهٍ، و K زمرة جزئية متراصة عظمى. تصف معاملات المصفوفة للمتسلسلة الرئيسية الكروية بدقة طيف جبر C* المقابل الناتج عن الدوال ثنائية التغاير ذات الدعم المدمج ، والذي يُطلق عليه غالبًا جبر هيك . ^ويكون طيف جبر باناخ* التبادلي للدوال ثنائية التغاير L1 أكبر؛ فعندما تكون G زمرة لي شبه بسيطة ذات زمرة فرعية مدمجة قصوى K ، تنشأ خصائص إضافية من معاملات المصفوفة للمتسلسلة المكملة ، التي يتم الحصول عليها عن طريق الاستمرار التحليلي للمتسلسلة الرئيسية الكروية.

تم تحديد الدوال الكروية القطاعية بشكل صريح للمجموعات شبه البسيطة الحقيقية بواسطة هاريش تشاندرا . أما بالنسبة للمجموعات الخطية الخاصة ، فقد اكتشفها بشكل مستقل كل من إسرائيل جيلفاند ومارك نايمارك . بالنسبة للمجموعات المركبة، تتبسط النظرية بشكل كبير، لأن G هي تعقيد K ، وترتبط الصيغ بالاستمرارات التحليلية لصيغة فايل على K. وقد طور روجر جودمانت النظرية التحليلية الوظيفية المجردة للدوال الكروية القطاعية لأول مرة . وبصرف النظر عن تفسيرها في نظرية المجموعات، فإن الدوال الكروية القطاعية لمجموعة لي شبه بسيطة G توفر أيضًا مجموعة من الدوال الذاتية المتزامنة للفعل الطبيعي لمركز الجبر الشامل لـ G على L² ( G / K )، ^{كمؤثرات} تفاضلية على الفضاء المتناظر G / K . بالنسبة لمجموعات لي شبه البسيطة من النوع p-adic ، طُوِّرت نظرية الدوال الكروية القطاعية وجبر هيك لأول مرة على يد ساتيك وإيان جي. ماكدونالد . وتُعمِّم نظائر نظرية بلانشيريل وصيغة عكس فورييه في هذا السياق متسلسلات الدوال الذاتية لميهلر وويل وفوك للمعادلات التفاضلية العادية الشاذة : وقد تم الحصول عليها بشكل عام في ستينيات القرن العشرين بدلالة دالة c لهاريش-تشاندرا .

يأتي اسم "الدالة الكروية القطاعية" من الحالة التي تكون فيها G هي SO(3, R ) تعمل على كرة ثنائية الأبعاد و K هي المجموعة الفرعية التي تثبت نقطة: في هذه الحالة، يمكن اعتبار الدوال الكروية القطاعية دوالًا معينة على الكرة ثابتة تحت الدوران حول محور ثابت.

ليكن G زمرة طوبولوجية أحادية المعامل متراصة محليًا ^، و K زمرة جزئية متراصة _، ولتكن H₁ = L₂ ( G / K ). بالتالي، تقبل H₁ تمثيلًا وحدويًا π لـ G عن طريق الإزاحة اليسرى. هذا تمثيل جزئي من التمثيل المنتظم، لأنه إذا كانت H = L₂ ( G ) مع التمثيلات المنتظمة اليسرى واليمنى λ وρ لـ G ، ^فإن P هو الإسقاط المتعامد _.

${\displaystyle P=\int _{K}\rho (ك)\,dk}$

من H إلى H ₁ ثم يمكن تحديد H _{1 بشكل طبيعي مع} PH مع تأثير G المعطى من خلال تقييد λ.

من ناحية أخرى، وفقًا لنظرية فون نيومان للتبديل ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \lambda (G)^{\prime }=\rho (G)^{\prime \prime },}$

حيث يرمز S' إلى مُبدِّل مجموعة من المؤثرات S ، بحيث

${\displaystyle \pi (G)^{\prime }=P\rho (G)^{\prime \prime }P.}$

وبالتالي، يتم توليد مبدل π كجبر فون نيومان بواسطة المؤثرات.

${\displaystyle P\rho (f)P=\int _{G}f(g)(P\rho (g)P)\,dg}$

حيث f دالة متصلة ذات دعم مضغوط على G. ^{[ أ ]}

ومع ذلك، فإن P ρ( f ) P هو مجرد تقييد لـ ρ( F ) على H ₁ ، حيث

${\displaystyle F(g)=\int _{K}\int _{K}f(kgk^{\prime })\,dk\,dk^{\prime }}$

هي الدالة المستمرة ثنائية التناظر K ذات الدعم المدمج التي تم الحصول عليها عن طريق حساب متوسط ​​f بواسطة K على كلا الجانبين.

وبالتالي فإن مبدل π يتم توليده عن طريق تقييد المؤثرات ρ( F ) مع F في C _c ( K \ G / K )، وهي الدوال المستمرة ثنائية التباين K ذات الدعم المدمج على G.

تشكل هذه الدوال جبرًا * تحت عملية الالتفاف مع الانعكاس

${\displaystyle F^{*}(g)={\overline {F(g^{-1})}},}$

يُطلق عليها غالبًا اسم جبر هيك للزوج ( G ، K ).

ليكن A ( K \ G / K ) يرمز إلى جبر C* الناتج عن المؤثرات ρ( F ) على H ₁ .

يُقال أن الزوج ( G ، K ) هو زوج جيلفاند ^{[ 2 ]} إذا كان واحد، وبالتالي جميع، الجبر التالي تبادلي :

• ${\displaystyle \pi (G)^{\prime }}$
• ${\displaystyle C_{c}(K\backslash G/K)}$
• ${\displaystyle A(K\backslash G/K).}$

بما أن A ( K \ G / K ) هو جبر C* تبادلي ، فإنه وفقًا لنظرية Gelfand–Naimark يكون له الشكل C ₀ ( X )، حيث X هو الفضاء المدمج محليًا للتشاكلات * المستمرة المعيارية لـ A ( K \ G / K ) في C .

يُمكن الحصول على تمثيل ملموس للتشاكلات * في X كدوال محدودة بشكل منتظم ثنائية التباين K على G كما يلي. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

بسبب التقدير

${\displaystyle \|\pi (F)\|\leq \int _{G}|F(g)|\,dg\equiv \|F\|_{1},}$

يمتد التمثيل π لـ C _c ( K \ G / K ) في A ( K \ G / K ) بالاستمرارية إلى L ¹ ( K \ G / K )، وهو الجبر * للدوال التكاملية ثنائية التغاير K. تشكل الصورة جبرًا فرعيًا كثيفًا * من A ( K \ G / K ). إن تقييد التشاكل * χ المستمر لمعيار المؤثر هو أيضًا مستمر للمعيار ||·|| ₁ . بما أن فضاء باناخ الثنائي لـ L ¹ هو L ^∞ ، فإنه يترتب على ذلك أن

${\displaystyle \chi (\pi (F))=\int _{G}F(g)h(g)\,dg,}$

لبعض الدوال الفريدة المحدودة بشكل منتظم K -biinvariant h على G. هذه الدوال h هي بالضبط الدوال الكروية القطاعية للزوج ( G ، K ).

تتمتع الدالة الكروية القطاعية h بالخصائص التالية: ^{[ 2 ]}

1. الدالة h متصلة بانتظام على G
2. ${\displaystyle h(x)h(y)=\int _{K}h(xky)\,dk\,\,(x,y\in G).}$
3. h (1) =1 (التطبيع)
4. h دالة موجبة محددة على G
5. f * h تتناسب مع h لجميع f في C _c ( K \ G / K ).

هذه نتائج مباشرة لكون الدالة الخطية المحدودة χ المعرفة بواسطة h تشاكلًا. تُميز الخصائص 2 و3 و4، أو الخصائص 3 و4 و5، الدوال الكروية القطاعية. يمكن الحصول على فئة أعمّ من الدوال الكروية القطاعية بإسقاط شرط الإيجابية المحددة من الشروط، ولكن بالنسبة لهذه الدوال، لا توجد أي صلة بالتمثيلات الوحدوية . بالنسبة لزمر لي شبه البسيطة، يوجد توصيف إضافي باعتبارها دوال ذاتية لمؤثرات تفاضلية ثابتة على G / K (انظر أدناه).

في الواقع، كحالة خاصة من بناء جيلفاند-نايمارك-سيغال ، توجد مطابقة أحادية بين التمثيلات غير القابلة للاختزال σ لـ G التي لها متجه وحدة v محدد بواسطة K والدوال الكروية القطاعية h المعطاة بواسطة

${\displaystyle h(g)=(\sigma (g)v,v).}$

غالبًا ما تُوصف هذه التمثيلات غير القابلة للاختزال بأنها من الفئة الأولى . وهي تحديدًا التمثيلات غير القابلة للاختزال اللازمة لتحليل التمثيل المستحث π على H1 . يمتد كل تمثيل σ بشكل فريد عن طريق الاستمرارية إلى A ( K \ G / K )، بحيث تحقق كل دالة كروية قطاعية الشرط التالي _:

${\displaystyle \left|\int _{G}f(g)h(g)\,dg\right|\leq \|\pi (f)\|}$

لكل f في A ( K \ G / K ). علاوة على ذلك، بما أن التبديل π( G )' تبديلي، فهناك مقياس احتمالي وحيد μ على فضاء التشاكلات X بحيث

${\displaystyle \int _{G}|f(g)|^{2}\,dg=\int _{X}|\chi (\pi (f))|^{2}\,d\mu (\chi ).}$

يُطلق على μ اسم مقياس بلانشيريل _{. وبما أن} π( G )' هو مركز جبر فون نيومان المُوَلَّد بواسطة G ، فإنه يُعطي أيضًا المقياس المرتبط بالتحليل التكاملي المباشر لـ H1 بدلالة التمثيلات غير القابلة للاختزال σ _χ .

إذا كانت G زمرة لي متصلة ، فبفضل أعمال كارتان ومالسيف وإيواساوا وشيفالي ، تمتلك G زمرة جزئية مضغوطة قصوى ، وحيدة حتى الاقتران. [ ^{7 ] [ 8 ]} في هذه الحالة ، تكون K متصلة ويكون خارج القسمة G ^/ K متماثلًا مع فضاء إقليدي. عندما تكون G شبه بسيطة أيضًا ، يمكن ملاحظة ذلك مباشرةً باستخدام تحليل كارتان المرتبط بالفضاء المتناظر G / K ، وهو تعميم للتحليل القطبي للمصفوفات القابلة للعكس. في الواقع، إذا كان τ هو التشاكل الذاتي الدوري الثاني المرتبط بـ G مع الزمرة الجزئية ذات النقطة الثابتة K ، فإن

${\displaystyle G=P\cdot K,}$

أين

${\displaystyle P=\{g\in G|\tau (g)=g^{-1}\}.}$

في ظل التطبيق الأسي ، يكون P متماثلًا تفاضليًا مع الفضاء الذاتي -1 لـ τ في جبر لي لـ G. وبما أن τ يحافظ على K ، فإنه يُحدث تشاكلًا ذاتيًا لجبر هيك C _{_c} ( K \ G / K ). من ناحية أخرى، إذا كان F يقع في C _{_c} ( K \ G / K )، فإن

F (τ g ) = F ( g ^{− 1} ),

بحيث يُحدث τ تماثلًا عكسيًا، لأن الانعكاس يفعل ذلك. وبالتالي، عندما تكون G شبه بسيطة،

• جبر هيك تبادلي
• ( G , K ) هو زوج جيلفاند.

وبشكل أكثر عمومية، فإن نفس الحجة تعطي المعيار التالي لـ Gelfand لكي يكون ( G , K ) زوج Gelfand: ^{[ 9 ]}

• G هي مجموعة أحادية المعامل ومتراصة محليًا؛
• K هي مجموعة فرعية مضغوطة تنشأ كنقاط ثابتة لتشاكل ذاتي دوري من الدرجة الثانية τ من G ؛
• G = K · P (ليس بالضرورة ناتج ضرب مباشر)، حيث يتم تعريف P كما هو موضح أعلاه.

أهم مثالين يغطيهما هذا هما:

• G هي زمرة لي شبه بسيطة متصلة ومضغوطة مع τ تماثل ذاتي دوري من الدرجة الثانية؛ ^{[ 10 ] [ 11 ]}
• G هو ناتج شبه مباشر${\displaystyle A\rtimes K}$، مع A مجموعة أبيلية مدمجة محليًا بدون التواء 2 و τ( a · k )= k · a ⁻¹ لـ a في A و k في K .

تغطي الحالات الثلاث الأنواع الثلاثة من الفضاءات المتناظرة G / K : ^{[ 5 ]}

1. النوع غير المضغوط ، عندما تكون K مجموعة فرعية مضغوطة قصوى من مجموعة لي شبه بسيطة حقيقية غير مضغوطة G ؛
2. النوع المضغوط ، عندما تكون K هي المجموعة الفرعية ذات النقطة الثابتة لتشاكل دوري من الدرجة الثانية لمجموعة لي شبه البسيطة المضغوطة G ؛
3. النوع الإقليدي ، عندما يكون A فضاءً إقليديًا محدود الأبعاد مع تأثير متعامد لـ K.

ليكن G زمرة لي متصلة شبه بسيطة ومتراصة، ولتكن τ تشاكلًا ذاتيًا دوريًا من الدرجة الثانية لـ G مع زمرة جزئية ثابتة K = G ^τ . في هذه الحالة، تكون K زمرة لي متصلة ومتراصة. ^{[ 5 ]} بالإضافة إلى ذلك، ليكن T طارة عظمى لـ G ثابتة تحت τ، بحيث T${\displaystyle \cap }$P عبارة عن حلقة قصوى في P ، والمجموعة ^{[ 12 ]}

${\displaystyle S=K\cap T=T^{\tau }.}$

S هو الناتج المباشر لسطح حلقي ومجموعة تبديلية أولية ثنائية .

في عام ١٩٢٩، اكتشف إيلي كارتان قاعدةً لتحديد تحليل L² ⁽ G / K ) إلى المجموع المباشر للتمثيلات غير القابلة للاختزال ذات الأبعاد المحدودة للمجموعة G ، والتي لم يُثبتها سيغوردور هيلغاسون بدقة إلا في عام ١٩٧٠. ولأن مُبدِّل G على L² ⁽ G / K ) تبديلي، فإن كل تمثيل غير قابل للاختزال يظهر بتكرار واحد. وبحسب مبدأ التبادل لفروبينيوس للمجموعات المتراصة، فإن التمثيلات غير القابلة للاختزال V التي تظهر هي تحديدًا تلك التي تقبل متجهًا غير صفري مُحدد بواسطة K.

انطلاقاً من نظرية تمثيل الزمر شبه البسيطة المدمجة ، تُصنَّف التمثيلات غير القابلة للاختزال للزمرة G وفقاً لأعلى وزن لها . ويُحدَّد هذا الوزن بواسطة تشاكل الطارة القصوى T إلى T.

تنص نظرية كارتان -هيلجاسون ^{[ 13 ] [ 14 ] على أن}

إن التمثيلات غير القابلة للاختزال لـ G التي تقبل متجهًا غير صفري محدد بواسطة K هي تحديدًا تلك التي لها أعلى الأوزان المقابلة للتشاكلات التافهة على S.

تُسمى التمثيلات غير القابلة للاختزال المقابلة بالتمثيلات الكروية .

يمكن إثبات النظرية ^{[ 5 ]} باستخدام تحليل إيواساوا :

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {a}}\oplus {\mathfrak {n}},}$

أين${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$،${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$،${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$هي تعقيدات جبر لي لـ G و K و A = T${\displaystyle \cap }$ب و

${\displaystyle {\mathfrak {n}}=\bigoplus {\mathfrak {g}}_{\alpha },}$

مجموع على جميع الفضاءات الذاتية لـ T في${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$المقابل للجذور الموجبة α غير المحددة بواسطة τ.

ليكن V تمثيلاً كروياً بمتجه الوزن الأعلى v₀ ومتجه ثابت _{بالنسبة لـ K هو vₖ. بما أن v₀} هو متجه _{ذاتي لجبر} لي القابل للحل${\displaystyle {\mathfrak {a}}\oplus {\mathfrak {n}}}$تنص نظرية بوانكاريه-بيركوف-ويت على أن الوحدة النمطية K المولدة بواسطة v₀ هي V بأكملها . إذا كانت Q هي الإسقاط المتعامد على النقاط الثابتة لـ K في V، _والذي تم الحصول عليه عن طريق حساب المتوسط ​​على G بالنسبة لمقياس هار ، فإنه يترتب على ذلك أن

${\displaystyle \displaystyle {v_{K}=cQv_{0}}}$

لبعض الثوابت غير الصفرية c . ولأن v _K ثابتة بواسطة S و v ₀ هو متجه ذاتي لـ S ، فإن المجموعة الفرعية S يجب أن تثبت v ₀ بالفعل ، وهو شكل مكافئ لشرط التفاهة على S.

وعلى العكس من ذلك، إذا تم تحديد v _{0 بواسطة} S ، فإنه يمكن إثبات ^{[ 15 ]} أن معامل المصفوفة

${\displaystyle \displaystyle {f(g)=(gv_{0},v_{0})}}$

غير سالبة على K. بما أن f ( 1) > 0، فإنه يترتب على ذلك أن ( Qv ₀ , v ₀ ) > 0 وبالتالي فإن Qv ₀ هو متجه غير صفري محدد بواسطة K.

إذا كانت G زمرة لي شبه بسيطة غير متراصة، فإن زمرتها الجزئية المتراصة القصوى K تؤثر بالاقتران على المكون P في تحليل كارتان . إذا كانت A زمرة أبيلية قصوى من G محتواة في P ، فإن A متماثلة تفاضليًا مع جبر لي الخاص بها تحت الخريطة الأسية ، وكتعميم إضافي للتحليل القطبي للمصفوفات، فإن كل عنصر من P يكون مترافقًا تحت K مع عنصر من A ، بحيث ^{[ 16 ]}

G = KAK .

يوجد أيضًا تحلل إيواساوا المرتبط به

G = KAN ,

حيث N هي مجموعة فرعية مغلقة عديمة القوة، متماثلة مع جبر لي الخاص بها تحت الخريطة الأسية ومُعَيَّرة بواسطة A. وبالتالي فإن S = AN هي مجموعة فرعية مغلقة قابلة للحل من G ، وهي حاصل الضرب شبه المباشر لـ N بواسطة A ، و G = KS .

إذا كان α في Hom( A , T ) خاصيةً لـ A ، فإن α يمتد إلى خاصية لـ S ، بتعريفه على أنه تافه على N. يوجد تمثيل وحدوي مستحث σ لـ G على L² ⁽ G / S ) = L² ⁽ K ) ، ^{[ 17 ]} وهو ما يسمى بتمثيل السلسلة الرئيسية (الكروي) .

يمكن وصف هذا التمثيل صراحةً كما يلي. على عكس G و K ، فإن زمرة لي القابلة للحل S ليست أحادية النمط. لنفترض أن dx يرمز إلى مقياس هار الثابت من اليسار على S، و _ΔS الدالة النمطية لـ S. إذن ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \int _{G}f(g)\,dg=\int _{S}\int _{K}f(x\cdot k)\,dx\,dk=\int _{S}\int _{K}f(k\cdot x)\Delta _{S}(x)\,dx\,dk.}$

يتم تحقيق تمثيل السلسلة الرئيسية σ على L ² ( K ) كما هو ^{[ 18 ]}

${\displaystyle (\sigma (g)\xi )(k)=\alpha ^{\prime }(g^{-1}k)^{-1}\,\xi (U(g^{-1}k)),}$

أين

${\displaystyle g=U(g)\cdot X(g)}$

هو تحليل إيواساوا للدالة g حيث U ( g ) في K و X ( g ) في S و

${\displaystyle \alpha ^{\prime }(kx)=\Delta _{S}(x)^{1/2}\alpha (x)}$

لكل k في K و x في S.​

التمثيل σ غير قابل للاختزال، لذا إذا كان v يرمز إلى الدالة الثابتة 1 على K ، والتي يتم تحديدها بواسطة K ،

${\displaystyle \varphi _{\alpha }(g)=(\sigma (g)v,v)}$

يُعرّف دالة كروية نطاقية لـ G.

يؤدي حساب الجداء الداخلي أعلاه إلى صيغة هاريش-تشاندرا للدالة الكروية القطاعية

${\displaystyle \varphi _{\alpha }(g)=\int _{K}\alpha ^{\prime }(gk)^{-1}\,dk}$

كتكامل على K.

أثبت هاريش-تشاندرا أن هذه الدوال الكروية القطاعية تستنفد خصائص جبر C* المُوَلَّد بواسطة C _c ( K \ G / K ) المؤثرة بالالتفاف الأيمن على L ² ( G / K ). كما بيّن أن خاصيتين مختلفتين α و β تُعطيان نفس الدالة الكروية القطاعية إذا وفقط إذا كان α = β· s ، حيث s ينتمي إلى زمرة فايل لـ A

${\displaystyle W(A)=N_{K}(A)/C_{K}(A),}$

ناتج قسمة مُعَيِّر A في K على مُوَسِّطه ، وهو مجموعة انعكاس محدودة .

يمكن أيضًا التحقق مباشرةً ^{[ 2 ]} من أن هذه الصيغة تُعرّف دالة كروية قطاعية، دون استخدام نظرية التمثيل. يتطلب إثبات أن كل صيغة كروية قطاعية تنشأ بهذه الطريقة في زمر لي شبه البسيطة العامة دراسةً تفصيليةً للمؤثرات التفاضلية الثابتة تحت تأثير G على G / K ودوالها الذاتية المتزامنة (انظر أدناه). ^{[ 4 ] [ 5 ]} في حالة الزمر شبه البسيطة المعقدة، أدرك كلٌ من هاريش-شاندرا وفيليكس بيريزين، بشكلٍ مستقل، أن الصيغة تُبسط بشكلٍ كبير ويمكن إثباتها بشكلٍ مباشر. ^{[ 5 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]}

تُعطى الدوال الكروية الموجبة المحددة المتبقية بصيغة هاريش-تشاندرا مع α في Hom( A , C *) بدلاً من Hom( A , T ). يُسمح بقيم معينة فقط لـ α، وتنشأ التمثيلات غير القابلة للاختزال المقابلة كاستمرارات تحليلية للمتسلسلة الرئيسية الكروية. دُرست هذه " المتسلسلة التكميلية " لأول مرة من قِبل بارغمان (1947) لـ G = SL(2, R )، ومن قِبل هاريش-تشاندرا (1947) وجيلفاند ونايمارك (1947) لـ G = SL(2, C ). لاحقًا في ستينيات القرن العشرين، طُوِّر بناء متسلسلة تكميلية عن طريق الاستمرار التحليلي للمتسلسلة الرئيسية الكروية بشكل منهجي لمجموعات لي شبه البسيطة العامة بواسطة راي كونزي وإلياس شتاين وبرترام كوستانت . ^{[ 23 ] [ 24 ] [ 25 ]} بما أن هذه التمثيلات غير القابلة للاختزال ليست معتدلة ، فإنها ليست مطلوبة عادة للتحليل التوافقي على G (أو G / K ).

أثبت هاريش-تشاندرا ^{[ 4 ] [ 5 ]} أن الدوال الكروية القطاعية يمكن تعريفها بأنها تلك الدوال المعيارية الموجبة المحددة الثابتة تحت تأثير K على G / K ، والتي تُعد دوالًا ذاتية لـ D ( G / K )، وهو جبر المؤثرات التفاضلية الثابتة على G. يؤثر هذا الجبر على G / K ويتبادل مع التأثير الطبيعي لـ G عن طريق الإزاحة إلى اليسار. ويمكن تعريفه بأنه الجبر الجزئي للجبر الشامل المُغلف لـ G المُثبت تحت التأثير المرافق لـ K. أما بالنسبة للمُبدِّل لـ G على L² ⁽ G / K ) وجبر هيك المُقابل، فإن جبر المؤثرات هذا تبادلي ؛ بل هو جبر جزئي لجبر المؤثرات القابلة للقياس المرتبطة بالمُبدِّل π( G )'، وهو جبر فون نيومان أبيلي. كما أثبت هاريش-تشاندرا، فإن هذا الجبر متماثل مع جبر كثيرات الحدود الثابتة تحت تأثير W ( A ) على جبر لي لـ A ، والذي هو بدوره حلقة كثيرات حدود وفقًا لنظرية شيڤالي-شيبارد-تود حول ثوابت كثيرات الحدود لمجموعات الانعكاس المنتهية . أبسط مؤثر تفاضلي ثابت على G / K هو مؤثر لابلاس ؛ هذا المؤثر، حتى إشارة معينة، هو ببساطة صورة مؤثر كازيمير تحت تأثير π في مركز الجبر الشامل لـ G.

وبالتالي، فإن الدالة f المعيارية الموجبة المحددة ثنائية التغاير K على G هي دالة كروية قطاعية إذا وفقط إذا كان لكل D في D ( G / K ) يوجد ثابت _λD بحيث

${\displaystyle \displaystyle \pi (D)f=\lambda _{D}f,}$

أي أن f هي دالة ذاتية متزامنة للمؤثرات π( D ).

إذا كانت ψ دالة كروية قطاعية، فإنها، عند اعتبارها دالة على G / K ، تُعد دالة ذاتية لمؤثر لابلاس هناك، وهو مؤثر تفاضلي إهليلجي ذو معاملات تحليلية حقيقية . وبفضل الانتظام الإهليلجي التحليلي ، فإن ψ دالة تحليلية حقيقية على G / K ، وبالتالي على G.

استخدم هاريش-تشاندرا هذه الحقائق المتعلقة ببنية المؤثرات الثابتة لإثبات أن صيغته تعطي جميع الدوال الكروية القطاعية لزمر لي شبه البسيطة الحقيقية. ^{[ 26 ] [ 27 ] [ 28 ]} في الواقع، إن خاصية التبديل للمُبدِّل تعني أن الفضاءات الذاتية المتزامنة لجبر المؤثرات التفاضلية الثابتة جميعها ذات بُعد واحد؛ كما أن البنية متعددة الحدود لهذا الجبر تُجبر القيم الذاتية المتزامنة على أن تكون هي نفسها تلك المرتبطة بالفعل بصيغة هاريش-تشاندرا.

المجموعة G = SL(2, C ) هي التعقيد المعقد لمجموعة لي المدمجة K = SU(2) والغطاء المزدوج لمجموعة لورنتز . درس ديراك لأول مرة تمثيلات مجموعة لورنتز اللانهائية الأبعاد عام 1945، حيث تناول تمثيلات المتسلسلات المنفصلة التي أطلق عليها اسم " الموسعات ". وبعد ذلك بوقت قصير، أجرى كل من هاريش-شاندرا، وجيلفاند-نايمارك، وبارغمان دراسة منهجية في هذا المجال. ويمكن تحديد التمثيلات غير القابلة للاختزال من الفئة الأولى، والتي تُقابل الدوال الكروية القطاعية، بسهولة باستخدام المكون القطري لمؤثر لابلاس . ^{[ 5 ]}

في الواقع، أي مصفوفة عقدية أحادية المعامل من الرتبة 2×2، g، تقبل تحليلًا قطبيًا فريدًا g = pv ، حيث v عنصر وحدوي و p موجب. بدورها، p = uau *، حيث u عنصر وحدوي و a مصفوفة قطرية عناصرها موجبة. بالتالي ، g = uaw، حيث w = u * v ، بحيث أن أي دالة ثنائية التباين من الرتبة K على G تُقابل دالة للمصفوفة القطرية.

${\displaystyle a={\begin{pmatrix}e^{r/2}&0\\0&e^{-r/2}\end{pmatrix}},}$

ثابتة تحت تأثير زمرة فايل. بتحديد G / K مع الفضاء الزائدي ثلاثي الأبعاد، فإن الدوال الزائدية القطاعية ψ تُقابل دوالًا شعاعية هي دوال ذاتية لمؤثر لابلاس. ولكن بدلالة الإحداثي الشعاعي r ، يُعطى مؤثر لابلاس بالمعادلة ^{[ 29 ].}

${\displaystyle L=-\partial _{r}^{2}-2\coth r\partial _{r}.}$

بوضع f ( r ) = sinh( r )·ψ( r )، ينتج أن f دالة فردية لـ r ودالة ذاتية لـ${\displaystyle \partial _{r}^{2}}$.

لذلك

${\displaystyle \varphi (r)={\sin(\ell r) \over \ell \sinh r}}$

أين${\displaystyle \ell }$حقيقي.

يوجد معالجة أولية مماثلة لمجموعات لورنتز المعممة SO( N ,1) في تاكاهاشي (1963) وفاروت وكوراني ( 1994) (تذكر أن SO0 ⁽ 3,1) = SL(2, C ) / ±I).

إذا كانت G زمرة لي شبه بسيطة معقدة، فإنها تمثل تعقيد زمرتها الجزئية المدمجة القصوى K.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$و${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$هل هي جبر لي الخاص بهم؟

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus i{\mathfrak {k}}.}$

ليكن T طارة قصوى في K مع جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$. ثم

${\displaystyle A=\exp i{\mathfrak {t}},\,\,P=\exp i{\mathfrak {k}}.}$

يترك

${\displaystyle W=N_{K}(T)/T}$

لتكن زمرة ويل لـ T في K. تذكر أن الأحرف في Hom( T , T ) تسمى الأوزان ويمكن تحديدها بعناصر شبكة الأوزان Λ في Hom(${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$، R ) =${\displaystyle {\mathfrak {t}}^{*}}$يوجد ترتيب طبيعي للأوزان، ولكل تمثيل غير قابل للاختزال ذي أبعاد محدودة (π، V ) لـ K وزن أعلى فريد λ. أوزان التمثيل المرافق لـ K على${\displaystyle {\mathfrak {k}}\ominus {\mathfrak {t}}}$تُسمى هذه الجذور، ويُستخدم الرمز ρ للدلالة على نصف مجموع الجذور الموجبة α، وتنص صيغة فايل المميزة على أنه بالنسبة لـ z = exp X في T

${\displaystyle \displaystyle \chi _{\lambda }(e^{X})\equiv {\rm {Tr}}\,\pi (z)=A_{\lambda +\rho }(e^{X})/A_{\rho }(e^{X}),}$

حيث، بالنسبة لـ μ في${\displaystyle {\mathfrak {t}}^{*}}$، يرمز A _μ إلى التناظر العكسي

${\displaystyle \displaystyle A_{\mu }(e^{X})=\sum _{s\in W}\varepsilon (s)e^{i\mu (sX)},}$

و ε تشير إلى خاصية الإشارة لمجموعة الانعكاس المحدودة W.

تُعبّر صيغة المقام لـ Weyl عن المقام A _ρ كحاصل ضرب:

${\displaystyle \displaystyle A_{\rho }(e^{X})=e^{i\rho (X)}\prod _{\alpha >0}(1-e^{-i\alpha (X)}),}$

حيث يكون الناتج فوق الجذور الموجبة.

تؤكد صيغة أبعاد ويل أن

${\displaystyle \displaystyle \chi _{\lambda }(1)\equiv {\rm {dim}}\,V={\prod _{\alpha >0}(\lambda +\rho ,\alpha ) \over \prod _{\alpha >0}(\rho ,\alpha )}.}$

حيث المنتج الداخلي${\displaystyle {\mathfrak {t}}^{*}}$هل هذا مرتبط بشكل القتل في${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$.

الآن

• كل تمثيل غير قابل للاختزال لـ K يمتد بشكل هولومورفي إلى التعقيد G
• كل خاصية غير قابلة للاختزال χ _λ ( k ) من K تمتد بشكل هولومورفي إلى تعقيد K و${\displaystyle {\mathfrak {t}}^{*}}$.
• لكل λ في Hom( A , T ) =${\displaystyle i{\mathfrak {t}}^{*}}$، هناك دالة كروية نطاقية φ _λ .

تنص صيغة بيريزين -هاريش-تشاندرا ^{[ 5 ]} على أنه بالنسبة لـ X في${\displaystyle i{\mathfrak {t}}}$

${\displaystyle \varphi _{\lambda }(e^{X})={\chi _{\lambda }(e^{X}) \over \chi _{\lambda }(1)}.}$

بعبارة أخرى:

• يتم إعطاء الدوال الكروية القطاعية على مجموعة لي شبه بسيطة معقدة عن طريق الاستمرار التحليلي للصيغة الخاصة بالخصائص المعيارية.

أحد أبسط البراهين ^{[ 30 ]} لهذه الصيغة يتضمن المكون الشعاعي على A لمؤثر لابلاس على G ، ^وهو برهان موازٍ شكليًا لإعادة صياغة هيلجاسون للبرهان الكلاسيكي لفرويدنتال لصيغة ويل ، باستخدام المكون الشعاعي على T لمؤثر لابلاس على K. [ ^{31 ]}

في الحالة الأخيرة، يمكن تعريف دوال الفئة على K بدوال ثابتة تحت تأثير W على T. والمكون القطري لـ ΔK _على T هو ببساطة تعبير عن تقييد ΔK _بدوال ثابتة تحت تأثير W على T ، حيث يُعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle \displaystyle \Delta _{K}=h^{-1}\circ \Delta _{T}\circ h+\|\rho \|^{2},}$

أين

${\displaystyle \displaystyle h(e^{X})=A_{\rho }(e^{X})}$

لكل X في${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$إذا كانت χ دالة ذات وزن أعلى λ، فإن φ = h ·χ تحقق الشرط التالي:

${\displaystyle \Delta _{T}\varphi =(\|\lambda +\rho \|^{2}-\|\rho \|^{2})\varphi .}$

وبالتالي، لكل وزن μ بمعامل فورييه غير صفري في φ،

${\displaystyle \displaystyle \|\lambda +\rho \|^{2}=\|\mu +\rho \|^{2}.}$

تُظهر الحجة الكلاسيكية لفرويدنتال أن μ + ρ يجب أن يكون لها الشكل s (λ + ρ) لبعض s في W ، لذا فإن صيغة الحرف تتبع من التناظر العكسي لـ φ.

وبالمثل، يمكن تعريف الدوال الثنائية الثابتة من النوع K على G بالدوال الثابتة من النوع W ( A ) على A. والمكون القطري لـ ΔG _على A هو ببساطة تعبير عن تقييد ΔG _{بالدوال} الثابتة من النوع W ( A ) على A. ويُعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle \displaystyle \Delta _{G}=H^{-1}\circ \Delta _{A}\circ H-\|\rho \|^{2},}$

أين

${\displaystyle \displaystyle H(e^{X})=A_{\rho }(e^{X})}$

لكل X في${\displaystyle i{\mathfrak {t}}}$.

يمكن اشتقاق صيغة بيريزين-هاريش-تشاندرا للدالة الكروية القطاعية φ عن طريق إدخال الدالة المضادة للتناظر

${\displaystyle \displaystyle f=H\cdot \varphi ,}$

وهي دالة ذاتية لمؤثر لابلاس ΔA _. بما أن K مُوَلَّدة من نسخ من مجموعات فرعية هي صور متماثلة لـ SU(2) تُقابل الجذور البسيطة ، فإن تعقيدها G مُوَلَّد من الصور المتماثلة المُقابلة لـ SL(2, C ). صيغة الدوال الكروية القطاعية لـ SL(2, C ) تُشير إلى أن f دالة دورية على${\displaystyle i{\mathfrak {t}}}$بالنسبة لبعض الشبكات الفرعية . يشير التناظر المضاد تحت مجموعة ويل وحجة فرويدنتال مرة أخرى إلى أن ψ يجب أن يكون لها الشكل المذكور حتى ثابت ضربي، والذي يمكن تحديده باستخدام صيغة بُعد ويل.

نشأت نظرية الدوال الكروية القطاعية لـ SL(2, R ) في أعمال ميهلر عام 1881 في الهندسة الزائدية. اكتشف ميهلر نظيرًا لنظرية بلانشيريل، التي أعاد فوك اكتشافها عام 1943. يُطلق على توسيع الدوال الذاتية المقابل اسم تحويل ميهلر-فوك . وقد رسّخ هيرمان فايل هذه النظرية عام 1910 من خلال عمله المهم في النظرية الطيفية للمعادلات التفاضلية العادية . يؤدي الجزء القطري من لابلاس في هذه الحالة إلى معادلة تفاضلية فوق هندسية ، تناول فايل نظريتها بالتفصيل. ثم عمّم هاريش-شاندرا منهج فايل لدراسة الدوال الكروية القطاعية ونظرية بلانشيريل المقابلة لها في زمر لي شبه البسيطة الأكثر عمومية. بعد أعمال ديراك حول تمثيلات المتسلسلات المنفصلة لـ SL(2, R )، طُوِّرت النظرية العامة للتمثيلات الوحدوية غير القابلة للاختزال لـ SL(2, R ) بشكل مستقل من قِبَل بارغمان، وهاريش-تشاندرا، وجيلفاند-نايمارك. تُشكِّل التمثيلات غير القابلة للاختزال من الفئة الأولى، أو ما يُكافئها نظرية الدوال الكروية القطاعية، حالة خاصة مهمة من هذه النظرية.

المجموعة G = SL(2, R ) هي غطاء مزدوج لمجموعة لورنتز ثلاثية الأبعاد SO(2,1)، وهي مجموعة التناظر للمستوى الزائدي مع مقياس بوانكاريه الخاص بها . وتخضع المجموعة لتحويلات موبيوس . يمكن تحديد النصف العلوي من المستوى مع قرص الوحدة بواسطة تحويل كايلي . وبناءً على هذا التحديد، تُطابق G المجموعة SU(1,1) ، التي تخضع أيضًا لتحويلات موبيوس. ولأن التأثير متعدٍ ، يمكن تحديد كلا الفضائين بـ G / K ، حيث K = SO(2) . المقياس ثابت تحت تأثير G ، والمؤثر لابلاس المرتبط به ثابت تحت تأثير G ، ويتطابق مع صورة مؤثر كازيمير . في نموذج النصف العلوي من المستوى، يُعطى المؤثر لابلاس بالصيغة ^{[ 5 ] [ 6 ].}

${\displaystyle \displaystyle \Delta =-4y^{2}(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}).}$

إذا كان s عددًا مركبًا و z = x + iy حيث y > 0، فإن الدالة

${\displaystyle \displaystyle f_{s}(z)=y^{s}=\exp({s}\cdot \log y),}$

هي دالة ذاتية لـ Δ:

${\displaystyle \displaystyle \Delta f_{s}=4s(1-s)f_{s}.}$

بما أن Δ يتبادل مع G ، فإن أي إزاحة يسارية لـ f _s هي أيضًا دالة ذاتية لها نفس القيمة الذاتية. على وجه الخصوص، عند حساب المتوسط ​​على K ، تكون الدالة

${\displaystyle \varphi _{s}(z)=\int _{K}f_{s}(k\cdot z)\,dk}$

هي دالة ذاتية ثابتة بالنسبة لـ K لـ Δ على G / K. عندما

${\displaystyle \displaystyle s={1 \over 2}+i\tau ,}$

مع كون τ عددًا حقيقيًا، تُعطي هذه الدوال جميع الدوال الكروية القطاعية على G. وكما هو الحال مع صيغة هاريش-تشاندرا الأكثر عمومية لمجموعات لي شبه البسيطة، فإن φ _s هي دالة كروية قطاعية لأنها معامل المصفوفة المقابل لمتجه مُحدد بواسطة K في السلسلة الرئيسية . تتوفر حجج مختلفة لإثبات عدم وجود حجج أخرى. إحدى أبسط الحجج الجبرية الكلاسيكية لمجموعات لي ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 32 ] [ 33 ] [ 34 ]} هي ملاحظة أنه بما أن Δ مؤثر إهليلجي بمعاملات تحليلية، فبحسب الانتظام الإهليلجي التحليلي، فإن أي دالة ذاتية هي بالضرورة دالة تحليلية حقيقية. وبالتالي، إذا كانت الدالة الكروية القطاعية تُقابل معامل المصفوفة لمتجه v وتمثيل σ، فإن المتجه v هو متجه تحليلي لـ G و

${\displaystyle \displaystyle (\sigma (e^{X})v,v)=\sum _{n=0}^{\infty }(\sigma (X)^{n}v,v)/n!}$

لكل X في${\displaystyle i{\mathfrak {t}}}$لقد طوّر بارغمان ، بطريقة كلاسيكية، الشكل المتناهي الصغر للتمثيلات الوحدوية غير القابلة للاختزال، مع متجه ثابت بواسطة K. ^{[ 32 ] [ 33 ]} وهي تُطابق تمامًا السلسلة الرئيسية لـ SL(2, R ). ويترتب على ذلك أن الدالة الكروية القطاعية تُطابق تمثيلًا للسلسلة الرئيسية.

تستند حجة كلاسيكية أخرى ^{[ 35 ]} إلى إثبات أن لابلاس على الدوال الشعاعية يأخذ الشكل التالي

${\displaystyle \displaystyle \Delta =-\partial _{r}^{2}-\coth(r)\cdot \partial _{r},}$

وبالتالي، كدالة لـ r ، يجب أن تحقق الدالة الكروية القطاعية φ( r ) المعادلة التفاضلية العادية

${\displaystyle \displaystyle \varphi ^{\prime \prime }+\coth r\,\varphi ^{\prime }=\alpha \,\varphi }$

لثابت ما α. يُحوّل تغيير المتغيرات t = sinh r هذه المعادلة إلى معادلة تفاضلية فوق هندسية . يُعطى الحل العام بدلالة دوال ليجندر ذات دليل مركب بالصيغة ^{[ 2 ] [ 36 ].}

${\displaystyle \varphi (r)=P_{\rho }(\cosh r)={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }(\cosh r+\sinh r\,\cos \theta )^{\rho }\,d\theta ,}$

حيث α = ρ(ρ+1). وتُفرض قيود إضافية على ρ من خلال محدودية وكون الدالة الكروية القطاعية على G موجبة التحديد .

ثمة نهج آخر، من ابتكار موغنس فلينستيد-جنسن، يستنتج خصائص الدوال الكروية القطاعية على SL(2, R )، بما في ذلك صيغة بلانشيريل، من النتائج المقابلة لـ SL(2, C )، والتي تُعدّ نتائج مباشرة لصيغة بلانشيريل وصيغة تحويل فورييه العكسي لـ R. وتعمل "طريقة النزول" هذه بشكل أعم، إذ تسمح باستنتاج نتائج زمرة لي شبه بسيطة حقيقية عن طريق النزول من النتائج المقابلة لتعقيدها. ^{[ 37 ] [ 38 ]}

• نظرية الدوال المناطقية التي ليست بالضرورة موجبة التحديد. تُعطى هذه الدوال بنفس الصيغ المذكورة أعلاه، ولكن دون قيود على المعامل المركب s أو ρ. وهي تُقابل تمثيلات غير وحدوية. [ 5 ]
• صيغة توسيع وعكس الدوال الذاتية لهاريش-شاندرا للدوال الكروية . [ 39 ] هذه حالة خاصة مهمة من نظرية بلانشيريل الخاصة به لمجموعات لي شبه البسيطة الحقيقية.
• بنية جبر هيك . أثبت هاريش-تشاندرا وجودمانت، باعتبارهما جبرَي التفاف، وجودَ تماثلات طبيعية بين C  c∞  ( K \ G / K ) و C  c∞  ( A ) W ، وهو الجبر الجزئي الثابت تحت زمرة ويل. [ 3 ] من السهل إثبات ذلك بالنسبة لـ SL(2, R ). [ 6 ]
• الدوال الكروية لمجموعات الحركة الإقليدية ومجموعات لي المدمجة . [ 5 ]
• الدوال الكروية لزمر لي p-adic . وقد درسها ساتيك وماكدونالد بتعمق . [ 40 ] [ 41 ] وكانت دراستهما، ودراسة جبر هيك المرتبط بها، إحدى الخطوات الأولى في نظرية التمثيل الموسعة لزمر لي p-adic شبه البسيطة، وهو عنصر أساسي في برنامج لانجلاندز .

• نظرية بلانشيريل للدوال الكروية
• جبر هيك لمجموعة متراصة محليًا
• تمثيلات جماعات الكذب
• التحليل التوافقي غير التبادلي
• تمثيل معتدل
• دالة موجبة محددة على مجموعة
• فضاء متناظر
• زوج من الأشقر

• كاسلمان، ويليام، ملاحظات حول الدوال الكروية (ملف PDF)