نظرية الأعداد التحليلية المجردة

نظرية الأعداد التحليلية المجردة هي فرع من الرياضيات يستلهم أفكار وتقنيات نظرية الأعداد التحليلية الكلاسيكية ويطبقها على مجالات رياضية متنوعة. تُعدّ نظرية الأعداد الأولية الكلاسيكية مثالًا نموذجيًا، وينصبّ التركيز على نتائج التوزيع التقاربي المجردة . وقد ابتكر هذه النظرية وطوّرها علماء رياضيات بارزون مثل جون كنوبفماخر وآرني بورلينغ في القرن العشرين.

المفهوم الأساسي المعني هو مفهوم شبه المجموعة الحسابية ، وهي شبه زمرة تبديلية G تحقق الخصائص التالية:

• توجد مجموعة جزئية قابلة للعد (منتهية أو غير منتهية قابلة للعد) P من G ، بحيث يكون لكل عنصر a ≠ 1 في G تحليل فريد على الصورة

${\displaystyle a=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}}$

حيث تمثل pᵢ عناصر مميزة من P _{، و} αᵢ أعدادًا صحيحة موجبة ، وقد يعتمد r على a ، ويُعتبر تحليلان متطابقين إذا اختلفا فقط في ترتيب العوامل المشار إليها. تُسمى عناصر P بالأعداد الأولية لـ G.

• يوجد تطبيق معياري ذو قيم حقيقية${\displaystyle |{\mbox{ }}|}$على G بحيث
  1. ${\displaystyle |1|=1}$
  2. ${\displaystyle |p|>1{\mbox{ لكل }}p\in P}$
  3. ${\displaystyle |ab|=|a||b|{\mbox{ لجميع }}a,b\in G}$
  4. العدد الإجمالي${\displaystyle N_{G}(x)}$من العناصر${\displaystyle a\in G}$من المعتاد${\displaystyle |a|\leq x}$محدود، لكل عدد حقيقي${\displaystyle x>0}$.

• المثال النموذجي لشبه المجموعة الحسابية هو شبه المجموعة الضربِيّة للأعداد الصحيحة الموجبة G = Z ⁺ = {1, 2, 3, ...}، مع مجموعة جزئية من الأعداد الأولية النسبية P = {2, 3, 5, ...}. هنا، معيار العدد الصحيح هو ببساطة${\displaystyle |n|=n}$، لهذا السبب${\displaystyle N_{G}(x)=\lfloor x\rfloor }$، أكبر عدد صحيح لا يتجاوز x .

• إذا كان K حقلًا جبريًا للأعداد ، أي امتدادًا منتهيًا لحقل الأعداد النسبية Q ، فإن المجموعة G التي تضم جميع المُثُل غير الصفرية في حلقة الأعداد الصحيحة O _K من K تُشكل شبه زمرة حسابية بعنصر محايد O _K ، ويُعطى معيار المُثُل I بعدد عناصر حلقة القسمة O _K / I. في هذه الحالة، يُعد تعميم نظرية الأعداد الأولية المناسب هو نظرية لانداو للمُثُل الأولية ، التي تصف التوزيع التقاربي للمُثُل في O _K.

• يمكن النظر في فئات حسابية متنوعة تحقق نظرية من نوع كرول-شميدت. في جميع هذه الحالات، تكون عناصر G فئات تماثل في فئة مناسبة ، وتتكون P من جميع فئات التماثل للكائنات غير القابلة للتحليل ، أي الكائنات التي لا يمكن تحليلها كحاصل ضرب مباشر لكائنات غير صفرية. وفيما يلي بعض الأمثلة النموذجية.
  • فئة جميع الزمر الأبيلية المنتهية في ظل عملية الضرب المباشر المعتادة وتعيين المعيار${\displaystyle |A|=\operatorname {card} (A).}$الكائنات غير القابلة للتحليل هي المجموعات الدورية ذات رتبة القوة الأولية.
  • فئة جميع المشعبات الريمانية المدمجة والمتصلة ببساطة والمتناظرة عالميًا تحت حاصل الضرب الريماني للمشعبات وتطبيق المعيار${\displaystyle |M|=c^{\dim M},}$حيث c > 1 ثابت، و dim M يرمز إلى بُعد المتشعب لـ M. الكائنات غير القابلة للتحليل هي الفضاءات المتناظرة المدمجة والمتصلة ببساطة وغير القابلة للاختزال .
  • فئة جميع الفضاءات الطوبولوجية المحدودة القابلة للقياس الزائف تحت مجموع الطوبولوجيا وتعيين المعيار${\displaystyle |X|=2^{\operatorname {card} (X)}.}$الكائنات غير القابلة للتحليل هي المساحات المتصلة .

يُعدّ استخدام الدوال الحسابية ودوال زيتا واسع النطاق. وتتمثل الفكرة في توسيع نطاق الحجج والتقنيات المختلفة للدوال الحسابية ودوال زيتا في نظرية الأعداد التحليلية الكلاسيكية لتشمل سياق أي شبه زمرة حسابية قد تحقق بديهية واحدة أو أكثر. ومن هذه البديهيات النموذجية ما يلي، والذي يُطلق عليه عادةً "البديهية أ" في المراجع العلمية:

• البديهية أ . توجد ثوابت موجبة أ و${\displaystyle \delta }$وثابت ${\displaystyle \nu }$مع${\displaystyle 0\leq \nu <\delta }$بحيث${\displaystyle N_{G}(x)=Ax^{\delta }+O(x^{\nu }){\mbox{ as }}x\rightarrow \infty .}$^{[ 5 ]}

بالنسبة لأي شبه مجموعة حسابية تحقق البديهية A ، لدينا نظرية الأعداد الأولية المجردة التالية : ^{[ 6 ]}

${\displaystyle \pi _{G}(x)\sim {\frac {x^{\delta }}{\delta \log x}}{\mbox{ as }}x\rightarrow \infty }$

حيث π _G ( x ) = العدد الإجمالي للعناصر p في P ذات المعيار | p | ≤ x .

• البديهية أ ، وهي خاصية من خصائص الأنظمة الديناميكية
• دالة زيتا لبورلينغ

• بوريس، ستانلي ن. (2001). الكثافة في نظرية الأعداد وقوانين النهايات المنطقية . دراسات وبحوث رياضية. المجلد  86. بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية . ISBN 0-8218-2666-2. Zbl 0995.11001 . 
• كنوبفماخر، جون (1990) [1975]. نظرية الأعداد التحليلية المجردة (  الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: دار نشر دوفر. ISBN 0-486-66344-2. Zbl 0743.11002 . 
• مونتغمري، هيو ل.؛ فوغان ، روبرت س. (2007). نظرية الأعداد الضربية 1. النظرية الكلاسيكية . دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة. المجلد  97. ص  278. ISBN 978-0-521-84903-6. Zbl 1142.11001 .