الجبر التفاضلي

اشتقاق​${\textstyle \partial }$على خاتم${\textstyle R}$هي دالة${\displaystyle \partial :R\to R\,}$ بحيث $${\displaystyle \partial (r_{1}+r_{2})=\partial r_{1}+\partial r_{2}}$$ و

${\displaystyle \partial (r_{1}r_{2})=(\partial r_{1})r_{2}+r_{1}(\partial r_{2})\quad }$( قاعدة لايبنتز للمنتج )،

لكل${\displaystyle r_{1}}$و${\displaystyle r_{2}}$في${\displaystyle R.}$

يكون الاشتقاق خطيًا على الأعداد الصحيحة لأن هذه المتطابقات تستلزم${\displaystyle \partial (0)=\partial (1)=0}$و${\displaystyle \partial (-r)=-\partial (r).}$

الحلقة التفاضلية هي حلقة تبديلية${\displaystyle R}$مزودة باشتقاق واحد أو أكثر يتبادلان بشكل ثنائي؛ أي،$${\displaystyle \partial _{1}(\partial _{2}(r))=\partial _{2}(\partial _{1}(r))}$$لكل زوج من الاشتقاقات وكل${\displaystyle r\in R.}$^{[ 7 ]} عندما يكون هناك اشتقاق واحد فقط، يتحدث المرء غالبًا عنحلقة تفاضلية عادية؛ وإلا، يتحدث المرء عنحلقة تفاضلية جزئية.

الحقل التفاضلي هو حلقة تفاضلية هي أيضاً حقل. الجبر التفاضلي${\displaystyle A}$على حقل تفاضلي${\displaystyle K}$هي حلقة تفاضلية تحتوي على${\displaystyle K}$كحلقة فرعية بحيث يكون التقييد على${\displaystyle K}$من مشتقات${\displaystyle A}$تساوي مشتقات${\displaystyle K.}$(يرد أدناه تعريف أكثر عمومية، يشمل الحالة التي يكون فيها${\displaystyle K}$ليس حقلاً، وهو مكافئ بشكل أساسي عندما${\displaystyle K}$(هو حقل.)

جبر ويت هو حلقة تفاضلية تحتوي على الحقل${\displaystyle \mathbb {Q} }$من الأعداد النسبية. أو بصورة مكافئة، هذا جبر تفاضلي على${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$منذ${\displaystyle \mathbb {Q} }$يمكن اعتبارها حقلاً تفاضلياً تكون فيه كل مشتقة هي الدالة الصفرية .

ثوابت الحلقة التفاضلية هي العناصر${\displaystyle r}$بحيث${\displaystyle \partial r=0}$لكل اشتقاق${\displaystyle \partial .}$تشكل ثوابت الحلقة التفاضلية حلقة فرعية ، وتشكل ثوابت الحقل التفاضلي حقلاً فرعياً. ^{[ 8 ]} هذا المعنى لكلمة "ثابت" يعمم مفهوم الدالة الثابتة ، ويجب عدم الخلط بينه وبين المعنى الشائع للثابت .

في المتطابقات التالية ،${\displaystyle \delta }$هو اشتقاق لحلقة تفاضلية${\displaystyle R.}$^{[ 9 ]}

• لو${\displaystyle r\in R}$و${\displaystyle c}$ثابت في${\displaystyle R}$(إنه،${\displaystyle \delta c=0}$)، ثم$${\displaystyle \delta (cr)=c\delta (r).}$$
• لو${\displaystyle r\in R}$و${\displaystyle u}$هي وحدة في${\displaystyle R,}$ثم $${\displaystyle \delta \left({\frac {r}{u}}\right)={\frac {\delta (r)u-r\delta (u)}{u^{2}}}}$$
• لو${\displaystyle n}$هو عدد صحيح غير سالب و${\displaystyle r\in R}$ثم$${\displaystyle \delta (r^{n})=nr^{n-1}\delta (r)}$$
• لو${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n}}$الوحدات في${\displaystyle R,}$و${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$إذا كانت أعدادًا صحيحة، فإن أحدها يمتلك متطابقة المشتقة اللوغاريتمية :$${\displaystyle {\frac {\delta (u_{1}^{e_{1}}\ldots u_{n}^{e_{n}})}{u_{1}^{e_{1}}\ldots u_{n}^{e_{n}}}}=e_{1}{\frac {\delta (u_{1})}{u_{1}}}+\dots +e_{n}{\frac {\delta (u_{n})}{u_{n}}}.}$$

عامل الاشتقاق أو الاشتقاق من الرتبة العليا هو تركيب لعدة اشتقاقات. وبما أن اشتقاقات الحلقة التفاضلية يفترض أن تكون تبادلية، فإن ترتيب الاشتقاقات لا يهم، ويمكن كتابة عامل الاشتقاق على النحو التالي: $${\displaystyle \delta _{1}^{e_{1}}\circ \cdots \circ \delta _{n}^{e_{n}},}$$ أين${\displaystyle \delta _{1},\ldots ,\delta _{n}}$هي الاشتقاقات قيد الدراسة،${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$هي أعداد صحيحة غير سالبة، ويشير أس الاشتقاق إلى عدد مرات تركيب هذا الاشتقاق في العامل.

المجموع${\displaystyle o=e_{1}+\cdots +e_{n}}$يُطلق عليه رتبة الاشتقاق. إذا${\displaystyle o=1}$عامل الاشتقاق هو أحد الاشتقاقات الأصلية. إذا${\displaystyle o=0}$لدينا دالة التطابق ، والتي تُعتبر عمومًا عامل الاشتقاق الوحيد من الرتبة الصفرية. وفقًا لهذه الاصطلاحات، تُشكّل عوامل الاشتقاق شبه زمرة تبديلية حرة على مجموعة الاشتقاقات قيد الدراسة.

مشتق من عنصر${\displaystyle x}$إن تطبيق عامل الاشتقاق على حلقة تفاضلية هو تطبيق عامل الاشتقاق على${\displaystyle x,}$أي، باستخدام الرموز المذكورة أعلاه،${\displaystyle \delta _{1}^{e_{1}}\circ \cdots \circ \delta _{n}^{e_{n}}(x).}$المشتق الصحيح هو مشتق من رتبة موجبة. ^{[ 7 ]}

مثالي تفاضلي${\displaystyle I}$حلقة تفاضلية${\displaystyle R}$هو مثال للخاتم${\displaystyle R}$أي أنها مغلقة (مستقرة) تحت مشتقات الحلقة؛ أي${\textstyle \partial x\in I,}$لكل اشتقاق${\displaystyle \partial }$وكل${\displaystyle x\in I.}$يُقال إن المثالي التفاضلي مثالي حقيقي إذا لم يكن الحلقة بأكملها. ولتجنب الالتباس، يُطلق أحيانًا على المثالي الذي ليس مثاليًا تفاضليًا اسم المثالي الجبري .

جذر المثالي التفاضلي هو نفسه جذره كمثال جبري، أي مجموعة عناصر الحلقة التي لها قوة في المثالي. جذر المثالي التفاضلي هو أيضًا مثالي تفاضلي. المثالي التفاضلي الجذري أو الكامل هو مثالي تفاضلي يساوي جذره. ^{[ 10 ]} المثالي التفاضلي الأولي هو مثالي تفاضلي أولي بالمعنى المعتاد؛ أي إذا كان حاصل ضربه ينتمي إلى المثالي، فإن عاملًا واحدًا على الأقل من عوامله ينتمي إلى المثالي. المثالي التفاضلي الأولي هو دائمًا مثالي تفاضلي جذري.

ومن اكتشافات ريت أنه على الرغم من أن النظرية الكلاسيكية للمثالي الجبري لا تعمل مع المثالي التفاضلي، إلا أنه يمكن توسيع جزء كبير منها ليشمل المثالي التفاضلي الجذري، وهذا يجعلها أساسية في الجبر التفاضلي.

إن تقاطع أي عائلة من المُثُل التفاضلية هو مُثُل تفاضلية، وتقاطع أي عائلة من المُثُل التفاضلية الجذرية هو مُثُل تفاضلية جذرية. ^{[ 11 ]} ويترتب على ذلك أنه، بالنظر إلى مجموعة جزئية${\displaystyle S}$في حلقة تفاضلية، توجد ثلاثة مثاليات مولدة منها، وهي تقاطعات كل من المثاليات الجبرية، وكل المثاليات التفاضلية، وكل المثاليات التفاضلية الجذرية التي تحتويها. ^{[ 11 ] [ 12 ]}

المثالي الجبري الناتج عن${\displaystyle S}$هي مجموعة التراكيب الخطية المحدودة لعناصر${\displaystyle S,}$ويُشار إليه عادةً باسم${\displaystyle (S)}$أو${\displaystyle \langle S\rangle .}$

المثالي التفاضلي الناتج عن${\displaystyle S}$هي مجموعة التراكيب الخطية المحدودة لعناصر${\displaystyle S}$ومشتقات أي رتبة من هذه العناصر؛ ويُشار إليها عادةً بـ${\displaystyle [S].}$متى${\displaystyle S}$محدود،${\displaystyle [S]}$لا يتم توليدها بشكل نهائي كمثال جبري بشكل عام.

المثالي التفاضلي الجذري الناتج عن${\displaystyle S}$يُشار إليه عادةً باسم${\displaystyle \{S\}.}$لا توجد طريقة معروفة لتوصيف عناصرها بطريقة مماثلة للحالتين الأخريين.

إن ترتيب المشتقات هو ترتيب كلي وترتيب مقبول ، كما هو محدد على النحو التالي: ^{[ 24 ] [ 25 ] [ 26 ]}

${\textstyle \forall p\in \Theta Y,\ \forall \theta _{\mu }\in \Theta$ :\theta _{\mu }p>p.}

${\textstyle \forall p,q\in \Theta Y,\ \forall \theta _{\mu }\in \Theta :p\geq q\Rightarrow \theta _{\mu }p\geq \theta _{\mu }q.}$

لكل مشتقة مجموعة من الأعداد الصحيحة، ويُرتب ترتيب أحادي الحد المشتقة بترتيب هذه المجموعة. تُحدد هذه المجموعة المتغير التفاضلي، ومؤشر المشتقة المتعدد، وقد تُحدد رتبة المشتقة. تشمل أنواع الترتيب ما يلي: ^{[ 27 ]}

• الترتيب المنظم :${\displaystyle \forall y_{i},y_{j}\in Y,\ \forall \theta _{\mu },\theta _{\nu }\in \Theta \$ :\ \operatorname {ord} (\theta _{\mu })\geq \operatorname {ord} (\theta _{\nu })\Rightarrow \theta _{\mu }y_{i}\geq \theta _{\nu }y_{j}}
• ترتيب الإقصاء :${\displaystyle \forall y_{i},y_{j}\in Y,\ \forall \theta _{\mu },\theta _{\nu }\in \Theta \$ :\ y_{i}\geq y_{j}\Rightarrow \theta _{\mu} y_{i}\geq \theta _{\nu }y_{j}}

في هذا المثال، تحدد المجموعة الصحيحة المتغير التفاضلي غير المحدد والفهرس المتعدد للمشتق، والترتيب الأحادي المعجمي ،${\textstyle \geq _{\text{lex}}}$^{[ 28 ]} يحدد رتبة المشتقة.

${\displaystyle \eta (\delta _{1}^{e_{1}}\circ \cdots \circ \delta _{n}^{e_{n}}(y_{j}))=(j,e_{1},\ldots ,e_{n})}$.

${\displaystyle \eta (\theta _{\mu }y_{j})\geq _{\text{lex}}\eta (\theta _{\nu }y_{k})\Rightarrow \theta _{\mu }y_{j}\geq \theta _{\nu }y_{k}.}$

هذا هو الشكل القياسي لكثير الحدود:${\displaystyle p=a_{d}\cdot u_{p}^{d}+a_{d-1}\cdot u_{p}^{d-1}+\cdots +a_{1}\cdot u_{p}+a_{0}}$[ ^{24 ] [ 28 ]​}

• المشتق الرئيسي أو المشتق الرائد هو أعلى مشتق في كثير الحدود:${\displaystyle u_{p}}$.
• المعاملات${\displaystyle a_{d},\ldots ,a_{0}}$لا تحتوي على المشتق الرئيسي${\textstyle u_{p}}$.
• درجة كثيرة الحدود هي أكبر أس للمشتقة الرئيسية:${\displaystyle \deg _{u_{p}}(p)=d}$.
• المعامل الابتدائي هو:${\displaystyle I_{p}=a_{d}}$.
• الرتبة هي المشتقة الرئيسية مرفوعة إلى درجة متعددة الحدود:${\displaystyle u_{p}^{d}}$.
• المشتق هو المشتق المنفصل:${\displaystyle S_{p}={\frac {\partial p}{\partial u_{p}}}}$.

مجموعة منفصلة${\displaystyle S_{A}=\{S_{p}\mid p\in A\}}$، المجموعة الأولية هي${\displaystyle I_{A}=\{I_{p}\mid p\in A\}}$والمجموعة المدمجة هي${\textstyle H_{A}=S_{A}\cup I_{A}}$[ ^{29 ]​}

متعدد الحدود المختزل جزئياً ( الصيغة الطبيعية الجزئية )${\textstyle q}$فيما يتعلق بكثير الحدود${\textstyle p}$يشير هذا إلى أن هذه كثيرات الحدود هي عناصر حقل غير أرضية،${\textstyle p,q\in {\mathcal {K}}\{Y\}\setminus {\mathcal {K}}}$، و${\displaystyle q}$لا يحتوي على مشتق مناسب من${\displaystyle u_{p}}$[ ^{30 ] [ 31 ] [ 29 ]​}

كثير الحدود المختزل جزئياً${\textstyle q}$فيما يتعلق بكثير الحدود${\textstyle p}$يتحول إلى متعدد الحدود المختزل ( الصيغة الطبيعية )${\textstyle q}$بالنسبة إلى${\textstyle p}$إذا كانت درجة${\textstyle u_{p}}$في${\textstyle q}$أقل من درجة${\textstyle u_{p}}$في${\textstyle p}$[ ^{30 ] [ 31 ] [ 29 ]​}

تحتوي مجموعة كثيرات الحدود المختزلة ذاتيًا على كل كثيرة حدود مختزلة بالنسبة إلى كل كثيرة حدود أخرى في المجموعة. كل مجموعة مختزلة ذاتيًا هي مجموعة منتهية. المجموعة المختزلة ذاتيًا مثلثية الشكل، أي أن لكل عنصر من عناصر كثيرة الحدود مشتقة رئيسية مميزة. ^{[ 32 ] [ 30 ]}

تحدد خوارزمية ريت للاختزال الأعداد الصحيحة${\textstyle i_{A_{k}},s_{A_{k}}}$ويحول متعددة الحدود التفاضلية${\textstyle f}$باستخدام القسمة الزائفة على كثير حدود ذي باقي أقل أو متساوي الرتبة${\textstyle f_{red}}$التي يتم اختزالها بالنسبة لمجموعة كثيرات الحدود المختزلة ذاتيًا${\textstyle A}$تُختزل الخطوة الأولى من الخوارزمية جزئيًا متعددة الحدود المدخلة، بينما تُختزلها الخطوة الثانية كليًا. صيغة الاختزال هي: ^{[ 30 ]}

${\displaystyle f_{\text{red}}\equiv \prod _{A_{k}\in A}I_{A_{k}}^{i_{A_{k}}}\cdot S_{A_{k}}^{i_{A_{k}}}\cdot f,{\pmod {[A]}}{\text{ with }}i_{A_{k}},s_{A_{k}}\in \mathbb {N} .}$

تعيين${\textstyle A}$تُعتبر سلسلة تفاضلية إذا كانت رتبة المشتقات الرئيسية هي${\textstyle u_{A_{1}}<\dots <u_{A_{m}}}$و${\textstyle \forall i,\ A_{i}}$يتم تقليله بالنسبة إلى${\textstyle A_{i+1}}$^{[ 33 ]}

مجموعات مخفضة تلقائياً${\textstyle A}$و${\textstyle B}$تحتوي كل مجموعة على عناصر متعددة الحدود مرتبة. تقوم هذه العملية بترتيب مجموعتين مُختزلتين ذاتيًا عن طريق مقارنة أزواج من متعددات الحدود ذات الفهرسة المتطابقة من كلتا المجموعتين المُختزلتين ذاتيًا. ^{[ 34 ]}

• ${\displaystyle A_{1}<\cdots <A_{m}\in A}$و${\displaystyle B_{1}<\cdots <B_{n}\in B}$و${\displaystyle i,j,k\in \mathbb {N} }$.
• ${\displaystyle {\text{rank }}A<{\text{rank }}B}$إذا كان هناك${\displaystyle k\leq \operatorname {minimum} (m,n)}$بحيث${\displaystyle A_{i}=B_{i}}$ل${\textstyle 1\leq i<k}$و${\displaystyle A_{k}<B_{k}}$.
• ${\displaystyle \operatorname {rank} A<\operatorname {rank} B}$لو${\displaystyle n<m}$و${\displaystyle A_{i}=B_{i}}$ل${\displaystyle 1\leq i\leq n}$.
• ${\displaystyle \operatorname {rank} A=\operatorname {rank} B}$لو${\displaystyle n=m}$و${\displaystyle A_{i}=B_{i}}$ل${\displaystyle 1\leq i\leq n}$.

مجموعة من الخصائص${\textstyle C}$هي أدنى مجموعة فرعية مختزلة ذاتيًا مرتبة بين جميع المجموعات الفرعية المختزلة ذاتيًا للمثالي والتي لا تنتمي فواصلها متعددة الحدود إلى المثالي${\textstyle {\mathcal {I}}}$[ ^{35 ]​}

تُطبق متعددة الحدود دلتا على زوج من متعددات الحدود${\textstyle p,q}$الذين يشترك قادتهم في أصل مشترك،${\textstyle \theta _{\alpha }u_{p}=\theta _{\beta }u_{q}}$المؤثر التفاضلي المشترك الأصغر للمشتقات الرئيسية لزوج كثيرات الحدود هو${\textstyle \theta _{pq}}$، ودالة دلتا متعددة الحدود هي: ^{[ 36 ] [ 37 ]}

${\displaystyle \operatorname {\Delta -poly} (p,q)=S_{q}\cdot {\frac {\theta _{pq}p}{\theta _{p}}}-S_{p}\cdot {\frac {\theta _{pq}q}{\theta _{q}}}}$

المجموعة المتماسكة هي مجموعة متعددة الحدود التي تختزل أزواجها من متعددات حدود دلتا إلى الصفر. ^{[ 36 ] [ 37 ]}

نظام منتظم${\textstyle \Omega }$يحتوي على مجموعة متجانسة ومختزلة ذاتيًا من المعادلات التفاضلية${\textstyle A}$ومجموعة متباينات${\textstyle H_{\Omega }\supseteq H_{A}}$مع مجموعة${\textstyle H_{\Omega }}$^{[ 37 ]}​

مثالي تفاضلي منتظم${\textstyle {\mathcal {I}}_{\text{dif}}}$والمثال الجبري المنتظم${\textstyle {\mathcal {I}}_{\text{alg}}}$هي مُثُل تشبع تنشأ من نظام منتظم. ^{[ 37 ]} تنصّ ليمّة لازارد على أن المُثُل التفاضلية المنتظمة والمُثُل الجبرية المنتظمة هي مُثُل جذرية. ^{[ 38 ]}

• التفاضل المثالي المنتظم :${\textstyle {\mathcal {I}}_{\text{dif}}=[A]:H_{\Omega }^{\infty }.}$
• المثالي الجبري المنتظم :${\textstyle {\mathcal {I}}_{\text{alg}}=(A):H_{\Omega }^{\infty }.}$

تقوم خوارزمية روزنفيلد-غروبنر بتحليل المثالي التفاضلي الجذري إلى تقاطع محدود من المثاليات التفاضلية الجذرية المنتظمة. هذه المثاليات التفاضلية الجذرية المنتظمة، المُمثلة بمجموعات مميزة، ليست بالضرورة مثاليات أولية، كما أن التمثيل ليس بالضرورة أدنى . ^{[ 39 ]}

تتمثل مشكلة العضوية في تحديد ما إذا كانت متعددة الحدود التفاضلية${\textstyle p}$هو عنصر من عناصر مثالية مُولَّدة من مجموعة من كثيرات الحدود التفاضلية${\textstyle S}$تُولّد خوارزمية روزنفيلد-غروبنر مجموعات من قواعد غروبنر. وتُحدد الخوارزمية أن متعددة الحدود تنتمي إلى المثالي إذا وفقط إذا كانت متعددة الحدود المتبقية المختزلة جزئيًا تنتمي إلى المثالي الجبري المُولّد بواسطة قواعد غروبنر. ^{[ 40 ]}

تُسهّل خوارزمية روزنفيلد-غروبنر إنشاء متسلسلات تايلور لحلول المعادلات التفاضلية. ^{[ 41 ]}

مثال 1:${\textstyle (\operatorname {Mer} (\operatorname {f} (y),\partial _{y}))}$هو حقل الدوال الميرومورفية التفاضلية مع اشتقاق قياسي واحد .

المثال الثاني:${\textstyle (\mathbb {C} \{y\},p(y)\cdot \partial _{y})}$هو حقل تفاضلي ذو مؤثر تفاضلي خطي كمشتق، لأي متعدد حدود${\displaystyle p(y)}$.

يُعرِّف${\textstyle E^{a}(p(y))=p(y+a)}$بصفتك مشغل وردية${\textstyle E^{a}}$لكثير الحدود${\textstyle p(y)}$.

مؤثر ثابت تحت الإزاحة${\textstyle T}$يتنقل مع عامل المناوبة:${\textstyle E^{a}\circ T=T\circ E^{a}}$.

مشتق بينشيرلي ، وهو اشتقاق للمؤثر الثابت تحت الإزاحة${\textstyle T}$، يكون${\textstyle T^{\prime }=T\circ y-y\circ T}$[ ^{42 ]​}

حلقة الأعداد الصحيحة هي${\displaystyle (\mathbb {Z} .\delta )}$وكل عدد صحيح هو ثابت.

• مشتقة العدد 1 تساوي صفرًا.${\textstyle \delta (1)=\delta (1\cdot 1)=\delta (1)\cdot 1+1\cdot \delta (1)=2\cdot \delta (1)\Rightarrow \delta (1)=0}$.
• أيضًا،${\displaystyle \delta (m+1)=\delta (m)+\delta (1)=\delta (m)\Rightarrow \delta (m+1)=\delta (m)}$.
• بالاستقراء،${\displaystyle \delta (1)=0\ \wedge \ \delta (m+1)=\delta (m)\Rightarrow \forall \ m\in \mathbb {Z} ,\ \delta (m)=0}$.

حقل الأعداد النسبية هو${\displaystyle (\mathbb {Q} .\delta )}$وكل عدد نسبي هو ثابت.

• كل عدد نسبي هو ناتج قسمة عددين صحيحين.

  ${\displaystyle \forall r\in \mathbb {Q} ,\ \exists \ a\in \mathbb {Z} ,\ b\in \mathbb {Z} /\{0\},\ r={\frac {a}{b}}}$

• قم بتطبيق صيغة الاشتقاق للقسمة مع مراعاة أن مشتقات الأعداد الصحيحة تساوي صفرًا:

  ${\displaystyle \delta (r)=\delta \left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {\delta (a)\cdot b-a\cdot \delta (b)}{b^{2}}}=0}$.

تشكل الثوابت الحلقة الفرعية للثوابت${\textstyle (\mathbb {C} ,\partial _{y})\subset (\mathbb {C} \{y\},\partial _{y})}$[ ^{43 ]​}

عنصر${\textstyle \exp(y)}$ببساطة يُولّد مثاليًا تفاضليًا${\textstyle [\exp(y)]}$في الحلقة التفاضلية${\textstyle (\mathbb {C} \{y,\exp(y)\},\partial _{y})}$[ ^{44 ]​}

أي خاتم يحمل هوية هو${\textstyle \operatorname {{\mathcal {Z}}-} }$الجبر. ^{[ 45 ]} وبالتالي فإن الحلقة التفاضلية هي${\textstyle \operatorname {{\mathcal {Z}}-} }$الجبر.

إذا رن${\textstyle {\mathcal {R}}}$هي حلقة فرعية من مركز الحلقة الأحادية${\textstyle {\mathcal {M}}}$، ثم${\textstyle {\mathcal {M}}}$هو${\textstyle \operatorname {{\mathcal {R}}-} }$الجبر. ^{[ 45 ]} بالتالي، فإن الحلقة التفاضلية هي جبر فوق حلقتها التفاضلية الفرعية. هذا هو التركيب الطبيعي للجبر فوق حلقته الفرعية. ^{[ 30 ]}

جرس${\textstyle (\mathbb {Q} \{y,z\},\partial _{y})}$يحتوي على كثيرات حدود غير قابلة للاختزال،${\textstyle p}$(عادي، بدون مربعات) و${\textstyle q}$(مولد خاص ومثالي).

${\textstyle \partial _{y}(y)=1,\ \partial _{y}(z)=1+z^{2},\ z=\tan(y)}$

${\textstyle p(y)=1+y^{2},\ \partial _{y}(p)=2\cdot y,\ \gcd(p,\partial _{y}(p))=1}$

${\textstyle q(z)=1+z^{2},\ \partial _{y}(q)=2\cdot z\cdot (1+z^{2}),\ \gcd(q,\partial _{y}(q))=q}$

يستخدم التكامل الرمزي خوارزميات تتضمن كثيرات الحدود ومشتقاتها مثل اختزال هيرميت، وخوارزمية تشيتشوفسكي، وخوارزمية لازارد-ريوبو-تراغر، وخوارزمية هورويتز-أوستروغرادسكي، والتحليل الخالي من المربعات، والتحليل التجزئي إلى كثيرات حدود خاصة وعادية. ^{[ 46 ]}

يمكن للجبر التفاضلي تحديد ما إذا كانت مجموعة من المعادلات التفاضلية متعددة الحدود لها حل. وقد يُساعد ترتيب الترتيب الكلي في تحديد القيود الجبرية. كما يُمكن لترتيب الحذف تحديد ما إذا كان متغير مستقل واحد أو مجموعة مختارة من المتغيرات المستقلة يُمكنها التعبير عن المعادلات التفاضلية. وباستخدام التفكيك المثلثي وترتيب الحذف، قد يكون من الممكن حل المعادلات التفاضلية، متغيرًا تفاضليًا واحدًا في كل مرة، بطريقة تدريجية. وهناك نهج آخر يتمثل في إنشاء فئة من المعادلات التفاضلية ذات شكل حل معروف؛ حيث يُحدد مطابقة معادلة تفاضلية مع فئتها حل المعادلة. وتتوفر طرق لتسهيل التكامل العددي لنظام المعادلات التفاضلية الجبرية . ^{[ 47 ]}

في دراسةٍ للأنظمة الديناميكية غير الخطية التي تتسم بالفوضى ، استخدم الباحثون طريقة الحذف التفاضلي لتبسيط المعادلات التفاضلية إلى معادلات تفاضلية عادية تتضمن متغير حالة واحد. وقد نجحوا في معظم الحالات، مما سهّل تطوير حلول تقريبية، وتقييم الفوضى بكفاءة، وبناء دوال ليابونوف . ^{[ 48 ]} كما طبّق الباحثون طريقة الحذف التفاضلي لفهم بيولوجيا الخلية ، والنماذج الكيميائية الحيوية المُجزأة ، وتقدير المعلمات ، وتقريب الحالة شبه المستقرة (QSSA) للتفاعلات الكيميائية الحيوية. ^{[ 49 ] [ 50 ]} وباستخدام قواعد غروبنر التفاضلية، درس الباحثون خصائص التناظر غير الكلاسيكية للمعادلات التفاضلية غير الخطية . ^{[ 51 ]} وتشمل التطبيقات الأخرى نظرية التحكم، ونظرية النماذج ، والهندسة الجبرية . ^{[ 52 ] [ 16 ] [ 53 ]} وينطبق الجبر التفاضلي أيضًا على المعادلات التفاضلية الفرقية. ^{[ 54 ]}

أ${\textstyle \operatorname {\mathbb {Z} -graded} }$فضاء المتجهات${\textstyle V_{\bullet }}$هي مجموعة من الفضاءات المتجهة${\textstyle V_{m}}$بدرجة عددية صحيحة${\textstyle |v|=m}$ل${\textstyle v\in V_{m}}$يمكن تمثيل هذا الفضاء المتجهي المتدرج بمجموع مباشر : ^{[ 55 ]}

${\displaystyle V_{\bullet }=\bigoplus _{m\in \mathbb {Z} }V_{m}}$

الفضاء المتجهي المتدرج التفاضلي أو المركب السلسلي هو فضاء متجهي متدرج${\textstyle V_{\bullet }}$باستخدام خريطة تفاضلية أو خريطة حدودية${\textstyle d_{m}:V_{m}\to V_{m-1}}$مع${\displaystyle d_{m}\circ d_{m+1}=0}$[ ^{56 ]​}

مجمع السلسلة المشتركة هو فضاء متجهي متدرج${\textstyle V^{\bullet }}$باستخدام خريطة تفاضلية أو خريطة حدودية مشتركة${\textstyle d_{m}:V_{m}\to V_{m+1}}$مع${\displaystyle d_{m+1}\circ d_{m}=0}$[ ^{56 ]​}

الجبر التفاضلي المتدرج هو جبر متدرج${\textstyle A}$مع اشتقاق خطي${\textstyle d:A\to A}$مع${\displaystyle d\circ d=0}$الذي يتبع قاعدة منتج لايبنيز المتدرجة. ^{[ 57 ]}

• قاعدة لايبنيز المتدرجة للمنتج:${\displaystyle \forall a,b\in A,\ d(a\cdot b)=d(a)\cdot b+(-1)^{|a|}\cdot a\cdot d(b)}$مع${\displaystyle |a|}$درجة المتجه${\displaystyle a}$.

جبر لي هو فضاء متجهي حقيقي أو مركب ذو أبعاد منتهية${\textstyle {\mathcal {g}}}$باستخدام عامل القوس الثنائي الخطي${\textstyle [,]:{\mathcal {g}}\times {\mathcal {g}}\to {\mathcal {g}}}$مع التناظر المائل وخاصية هوية جاكوبي . ^{[ 58 ]}

• التناظر المائل:${\displaystyle [X,Y]=-[Y,X]}$
• خاصية هوية جاكوبي:${\displaystyle [X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0}$

للجميع${\displaystyle X,Y,Z\in {\mathcal {g}}}$.

العامل المرافق ،${\textstyle \operatorname {ad} _{X}(Y)=[Y,X]}$يُعدّ هذا اشتقاقًا للقوس لأن تأثير المرافق على عملية القوس الثنائي مماثل لتأثير الاشتقاق على عملية الضرب الثنائي. هذا هو الاشتقاق الداخلي المحدد بواسطة${\textstyle X}$[ ^{59 ] [ 60 ]​}

${\displaystyle \operatorname {ad} _{X}([Y,Z])=[\operatorname {ad} _{X}(Y),Z]+[Y,\operatorname {ad} _{X}(Z)]}$

الجبر الشامل الشامل${\textstyle U({\mathcal {g}})}$من جبر لي${\textstyle {\mathcal {g}}}$هي جبر ترابطي أقصى مع عنصر محايد، يتم توليده بواسطة عناصر جبر لي${\textstyle {\mathcal {g}}}$وتحتوي على نواتج مُعرَّفة بعملية الأقواس. ويعني مصطلح "أقصى" أن التشاكل الخطي يُحوِّل الجبر الشامل إلى أي جبر آخر يمتلك هذه الخصائص. والمؤثر المرافق هو اشتقاق يتبع قاعدة لايبنتز للضرب. ^{[ 61 ]}

• المنتج في${\displaystyle U({\mathcal {g}})}$ :${\displaystyle X\cdot Y-Y\cdot X=[X,Y]}$
• قاعدة لايبنتز للمنتج:${\displaystyle \operatorname {ad} _{X}(Y\cdot Z)=\operatorname {ad} _{X}(Y)\cdot Z+Y\cdot \operatorname {ad} _{X}(Z)}$

للجميع${\displaystyle X,Y,Z\in U({\mathcal {g}})}$.

جبر ويل هو جبر${\textstyle A_{n}(K)}$ فوق خاتم${\textstyle K[p_{1},q_{1},\dots ,p_{n},q_{n}]}$مع منتج غير تبادلي محدد: ^{[ 62 ]}

${\displaystyle p_{i}\cdot q_{i}-q_{i}\cdot p_{i}=1,\$ :\ i\in \{1,\dots ,n\}} .

جميع المنتجات غير المحددة الأخرى تبادلية لـ${\textstyle i,j\in \{1,\dots ,n\}}$:

${\displaystyle p_{i}\cdot q_{j}-q_{j}\cdot p_{i}=0{\text{ if }}i\neq j,\ p_{i}\cdot p_{j}-p_{j}\cdot p_{i}=0,\ q_{i}\cdot q_{j}-q_{j}\cdot q_{i}=0}$.

يمكن لجبر ويل أن يمثل اشتقاقات كثيرات الحدود لحلقة تبديلية${\textstyle f\in K[y_{1},\ldots ,y_{n}]}$عناصر جبر فايل هي تشاكلات داخلية ، وهي العناصر${\textstyle p_{1},\ldots ,p_{n}}$تُستخدم هذه الوظيفة كمشتقات قياسية، وتُنتج تركيبات الخرائط مؤثرات تفاضلية خطية . يُعدّ نموذج D منهجًا مشابهًا لفهم المؤثرات التفاضلية. التشكلات الداخلية هي: ^{[ 62 ]}

${\displaystyle q_{j}(y_{k})=y_{j}\cdot y_{k},\ q_{j}(c)=c\cdot y_{j}{\text{ with }}c\in K,\ p_{j}(y_{j})=1,\ p_{j}(y_{k})=0{\text{ if }}j\neq k,\ p_{j}(c)=0{\text{ with }}c\in K}$

الحلقة الترابطية، وربما غير التبادلية${\textstyle A}$له اشتقاق${\textstyle d:A\to A}$[ ^{63 ]​}

حلقة المؤثرات التفاضلية الزائفة${\textstyle A((\partial ^{-1}))}$اليسار${\textstyle \operatorname {A-module} }$ يحتوي على عناصر حلقية${\textstyle L}$[ ^{63 ] [ 64 ] [ 65 ]​}

${\displaystyle a_{i}\in A,\ i,i_{\min }\in \mathbb {N} ,\ |i_{\min }|>0\$ L=\sum _{i\geq i_{\min }}^{n}a_{i}\cdot \partial ^{i}}

المشتق هو${\textstyle d(a)=\partial \circ a-a\circ \partial }$[ ^{63 ]​}

معامل ذي الحدين هو${\displaystyle {\Bigl (}{i \atop k}{\Bigr )}}$.

عملية ضرب المؤثرات التفاضلية الزائفة هي: ^{[ 63 ]}

${\displaystyle \sum _{i\geq i_{\min }}^{n}a_{i}\cdot \partial ^{i}\cdot \sum _{j\geq j_{\min }}^{m}b_{i}\cdot \partial ^{j}=\sum _{i,j;k\geq 0}{\Bigl (}{i \atop k}{\Bigr )}\cdot a_{i}\cdot d^{k}(b_{j})\cdot \partial ^{i+j-k}}$