اتصال (حزمة متجهة)

في الرياضيات ، وخاصةً في الهندسة التفاضلية ونظرية القياس ، يُعدّ الاتصال على حزمة ليفية أداةً تُعرّف مفهوم النقل المتوازي على الحزمة؛ أي طريقة "لربط" أو تحديد الألياف فوق النقاط المتجاورة. الحالة الأكثر شيوعًا هي حالة الاتصال الخطي على حزمة متجهة ، حيث يكون مفهوم النقل المتوازي خطيًا . يُحدد الاتصال الخطي بشكل مكافئ بواسطة مشتقة متغايرة ، وهي مؤثر يُفاضل مقاطع الحزمة على طول الاتجاهات المماسية في المتشعب الأساسي، بحيث تكون مشتقة المقاطع المتوازية صفرًا. تُعمّم الاتصالات الخطية، على أي حزمة متجهة، اتصال ليفي-سيفيتا على الحزمة المماسية لمتشعب شبه ريماني ، مما يوفر طريقة قياسية لتفاضل الحقول المتجهة. تُعمّم الاتصالات غير الخطية هذا المفهوم على الحزم التي لا تكون أليافها خطية بالضرورة.

وتسمى الاتصالات الخطية أيضًا اتصالات كوزول نسبة إلى جان لويس كوزول ، الذي قدم إطارًا جبريًا لوصفها ( كوزول 1950 ) .

تُعرّف هذه المقالة الاتصال على حزمة متجهة باستخدام ترميز رياضي شائع يُقلل من أهمية الإحداثيات. مع ذلك، تُستخدم ترميزات أخرى بانتظام: ففي النسبية العامة ، تُكتب حسابات الحزمة المتجهة عادةً باستخدام الموترات المفهرسة؛ وفي نظرية القياس ، يُركز على التشكلات الداخلية لألياف الفضاء المتجه . هذه الترميزات المختلفة متكافئة، كما نوقش في المقالة المتعلقة بالاتصالات المترية (وتنطبق التعليقات الواردة فيها على جميع الحزم المتجهة).

ليكن M متعدد شعب قابل للتفاضل ، مثل الفضاء الإقليدي . دالة ذات قيم متجهة${\displaystyle M\to \mathbb {R} ^{n}}$يمكن اعتبارها جزءًا من حزمة المتجهات التافهة${\displaystyle M\times \mathbb {R} ^{n}\to M.}$يمكن للمرء أن ينظر في جزء من حزمة متجهات قابلة للتفاضل بشكل عام، ومن ثم فمن الطبيعي أن يسأل عما إذا كان من الممكن تفاضل جزء، كتعميم لكيفية تفاضل دالة على M.

تتمثل الحالة النموذجية في اشتقاق دالة${\displaystyle X:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$في الفضاء الإقليدي${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$في هذا السياق، المشتقة${\displaystyle dX}$في نقطة${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$في الاتجاه${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}$يمكن تعريفها بالصيغة القياسية

${\displaystyle dX(v)(x)=\lim _{t\to 0}{\frac {X(x+tv)-X(x)}{t}}.}$

لكل${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$وهذا يُعرّف متجهًا جديدًا${\displaystyle dX(v)(x)\in \mathbb {R} ^{m}.}$

عند الانتقال إلى قسم${\displaystyle X}$من حزمة متجهة${\displaystyle E}$على مشعب${\displaystyle M}$يواجه المرء مشكلتين رئيسيتين مع هذا التعريف. أولاً، بما أن المتشعب ليس له بنية خطية، فإن المصطلح${\displaystyle x+tv}$لا معنى له${\displaystyle M}$بدلاً من ذلك، يسلك المرء طريقاً${\displaystyle \gamma$ :(-1,1)\to M} بحيث${\displaystyle \gamma (0)=x,\gamma '(0)=v}$ويحسب

${\displaystyle dX(v)(x)=\lim _{t\to 0}{\frac {X(\gamma (t))-X(\gamma (0))}{t}}.}$

لكن هذا لا يزال غير منطقي، لأن${\displaystyle X(\gamma (t))}$و${\displaystyle X(\gamma (0))}$هي عناصر من فضاءات متجهة متميزة${\displaystyle E_{\gamma (t)}}$و${\displaystyle E_{x}.}$وهذا يعني أن طرح هذين الحدين ليس معرفاً بشكل طبيعي.

يُحلّ هذا الإشكال بإضافة بنية اتصال إلى حزمة المتجهات. ويمكن فهم الاتصالات من ثلاث زوايا على الأقل، وعند صياغتها بدقة، تكون هذه الزوايا الثلاث متكافئة.

1. ( النقل المتوازي ) يمكن اعتبار الاتصال بمثابة تخصيص لكل مسار قابل للتفاضل${\displaystyle \gamma }$تماثل خطي${\displaystyle P_{t}^{\gamma }:E_{\gamma (t)}\to E_{x}}$للجميع${\displaystyle t.}$باستخدام هذا التشاكل، يمكن نقل${\displaystyle X(\gamma (t))}$إلى الألياف${\displaystyle E_{x}}$ثم احسب الفرق؛ بشكل صريح،$${\displaystyle \nabla _{v}X=\lim _{t\to 0}{\frac {P_{t}^{\gamma }X(\gamma (t))-X(\gamma (0))}{t}}.}$$لكي يعتمد هذا فقط على${\displaystyle v,}$وليس على الطريق${\displaystyle \gamma }$التمديد${\displaystyle v,}$من الضروري وضع قيود (في التعريف) على اعتماد${\displaystyle P_{t}^{\gamma }}$على${\displaystyle \gamma .}$ليس من السهل صياغة هذا المفهوم، ولذا يُشتق مفهوم "النقل المتوازي" عادةً كنتيجة ثانوية لطرق أخرى لتعريف الاتصالات. في الواقع، إن مفهوم "اتصال إهرسمان" ليس إلا صياغة مبسطة للغاية للنقل المتوازي.
2. ( صلة إهرسمان ) القسم${\displaystyle X}$يمكن اعتبارها خريطة سلسة من متعدد الشعب السلس${\displaystyle M}$إلى المشعب الأملس${\displaystyle E.}$وبناءً على ذلك، يمكن للمرء أن ينظر في الدفع إلى الأمام${\displaystyle dX(v),}$وهو عنصر من عناصر الفضاء المماسي${\displaystyle T_{X(x)}E.}$في صياغة إهريسمان للعلاقة، يختار المرء طريقة لتخصيصها لكل${\displaystyle x}$وكل${\displaystyle e\in E_{x},}$تحليل المجموع المباشر لـ${\displaystyle T_{X(x)}E}$إلى فضاءين فرعيين خطيين، أحدهما هو التضمين الطبيعي لـ${\displaystyle E_{x}.}$باستخدام هذه البيانات الإضافية، يتم تحديد${\displaystyle \nabla _{v}X}$عن طريق الإسقاط${\displaystyle dX(v)}$يتم تقييمها في${\displaystyle E_{x}.}$من أجل احترام البنية الخطية لحزمة المتجهات، يتم فرض قيود إضافية على كيفية تحليل المجموع المباشر لـ${\displaystyle T_{e}E}$يتحرك مع تغير قيمة e عبر الألياف.
3. ( المشتق المتغير ) المشتق القياسي${\displaystyle dX(v)}$في السياقات الإقليدية، يفي ببعض التبعيات على${\displaystyle X}$و${\displaystyle v,}$أهمها الخطية. ويُعرَّف المشتق المتغير بأنه أي عملية${\displaystyle (v,X)\mapsto \nabla _{v}X}$والتي تحاكي هذه الخصائص، بالإضافة إلى شكل من أشكال قاعدة الضرب .

ما لم تكن القاعدة صفرية الأبعاد، يوجد دائمًا عدد لا نهائي من الاتصالات على حزمة متجهات قابلة للتفاضل، وبالتالي يوجد دائمًا خيار مناسب لكيفية تفاضل المقاطع. اعتمادًا على السياق، قد توجد خيارات متميزة، على سبيل المثال تلك التي تُحدد بحل معادلات تفاضلية جزئية معينة . في حالة حزمة المماس ، يُحدد أي مقياس شبه ريماني (وخاصة أي مقياس ريماني ) اتصالًا قانونيًا، يُسمى اتصال ليفي-تشيفيتا .

يترك${\displaystyle \pi :E\to M}$ليكن حزمة متجهات حقيقية ملساء فوق مشعب أملس${\displaystyle M}$. يُرمز إلى فضاء المقاطع الملساء لـ${\displaystyle \pi :E\to M}$بواسطة${\displaystyle \Gamma (\pi )}$مشتقة متغايرة على${\displaystyle \pi }$أحد البنيتين المتكافئتين التاليتين:

1. أن${\displaystyle \mathbb {R} }$- خريطة خطية${\displaystyle \nabla$ :\Gamma (\pi )\to \Gamma (T^{*}M\otimes \pi )} بحيث تكون قاعدة الضرب$${\displaystyle \nabla (fs)=df\otimes s+f\nabla s}$$ينطبق هذا على جميع الدوال السلسة${\displaystyle f}$على${\displaystyle M}$وجميع الأجزاء الملساء${\displaystyle s}$ل${\displaystyle \pi .}$
2. مهمة، لأي قسم سلس وكل${\displaystyle x\in M}$، من${\displaystyle \mathbb {R} }$خريطة خطية${\displaystyle (\nabla s)_{x}:T_{x}M\to \pi ^{-1}(x)}$والتي تعتمد بسلاسة على x بحيث$${\displaystyle \nabla (a_{1}s_{1}+a_{2}s_{2})=a_{1}\nabla s_{1}+a_{2}\nabla s_{2}}$$لأي قسمين أملسين${\displaystyle s_{1},s_{2}}$وأي أعداد حقيقية${\displaystyle a_{1},a_{2},}$وبحيث يكون لكل دالة سلسة${\displaystyle f}$،${\displaystyle \nabla (fs)}$يرتبط بـ${\displaystyle \nabla s}$بواسطة$${\displaystyle {\big (}\nabla (fs){\big )}_{x}(v)=df(v)s(x)+f(x)(\nabla s)_{x}(v)}$$لأي${\displaystyle x\in M}$و${\displaystyle v\in T_{x}M.}$

بالإضافة إلى استخدام التعريف المتعارف عليه بين فضاء المتجهات${\displaystyle T_{x}^{\ast }M\otimes \pi ^{-1}(x)}$والفضاء المتجهي للخرائط الخطية${\displaystyle T_{x}M\to \pi ^{-1}(x),}$هذان التعريفان متطابقان ولا يختلفان إلا في اللغة المستخدمة.

من المعتاد الإشارة إلى${\displaystyle (\nabla s)_{x}(v)}$بواسطة${\displaystyle \nabla _{v}s,}$مع${\displaystyle x}$كونها ضمنية في${\displaystyle v.}$باستخدام هذه الصيغة، تُكتب قاعدة الضرب في النسخة الثانية من التعريف المذكور أعلاه

${\displaystyle \nabla _{v}(fs)=df(v)s+f\nabla _{v}s.}$

ملاحظة: في حالة حزمة المتجهات المركبة ، يظل التعريف أعلاه ذا معنى، ولكن عادةً ما يُعتبر معدلاً بتغيير "حقيقي" و"${\displaystyle \mathbb {R} }$"يبدو أنهم في كل مكان "معقدون" و "${\displaystyle \mathbb {C} .}$يفرض هذا قيودًا إضافية، إذ ليس كل تطبيق خطي حقيقي بين فضاءات متجهة مركبة تطبيقًا خطيًا مركبًا. يوجد بعض الغموض في هذا التمييز، حيث يمكن اعتبار حزمة متجهة مركبة أيضًا حزمة متجهة حقيقية.

بالنظر إلى حزمة متجهة${\displaystyle E\to M}$هناك العديد من الحزم المرتبطة بـ${\displaystyle E}$والتي يمكن إنشاؤها، على سبيل المثال حزمة المتجهات الثنائية${\displaystyle E^{*}}$قوى الموتر${\displaystyle E^{\otimes k}}$قوى الموتر المتناظرة وغير المتناظرة${\displaystyle S^{k}E,\Lambda ^{k}E}$والمجاميع المباشرة${\displaystyle E^{\oplus k}}$اتصال على${\displaystyle E}$يُنشئ اتصالاً على أيٍّ من هذه الحزم المرتبطة. وتُصوَّر سهولة الانتقال بين الاتصالات على الحزم المرتبطة بشكلٍ أكثر دقةً من خلال نظرية اتصالات الحزم الرئيسية ، ولكننا هنا نعرض بعض الاتصالات الأساسية المُستحثة.

يترك${\displaystyle E\to M}$أن تكون حزمة متجهة.${\displaystyle E}$الشكل التفاضلي ذو القيم من الدرجة${\displaystyle r}$هو جزء من حزمة حاصل الضرب الموتري :

${\displaystyle \bigwedge ^{r}T^{*}M\otimes E.}$

يُرمز إلى فضاء هذه الأشكال بـ

${\displaystyle \Omega ^{r}(E)=\Omega ^{r}(M;E)=\Gamma \left(\bigwedge ^{r}T^{*}M\otimes E\right)=\Omega ^{r}(M)\otimes _{C^{\infty }(M)}\Gamma (E),}$

حيث يشير الضرب الموتري الأخير إلى الضرب الموتري للوحدات على حلقة الدوال الملساء على${\displaystyle M}$.

أن${\displaystyle E}$النموذج الصفري ذو القيمة هو مجرد جزء من الحزمة${\displaystyle E}$. إنه،

${\displaystyle \Omega ^{0}(E)=\Gamma (E).}$

في هذه الصيغة، يوجد اتصال على ${\displaystyle E\to M}$هي خريطة خطية

${\displaystyle \nabla$ :\أوميغا ^{0}(E)\إلى \أوميغا ^{1}(E).}

يمكن اعتبار الاتصال تعميمًا للمشتقة الخارجية إلى أشكال ذات قيم حزم متجهة. في الواقع، بالنظر إلى اتصال ما${\displaystyle \nabla }$على${\displaystyle E}$هناك طريقة فريدة للتوسع${\displaystyle \nabla }$إلى مشتق خارجي متغاير

${\displaystyle d_{\nabla }:\Omega ^{r}(E)\to \Omega ^{r+1}(E).}$

يُعرَّف هذا المشتق الخارجي المتغير بواسطة قاعدة لايبنيز التالية، والتي تُحدد على موترات بسيطة من الشكل${\displaystyle \omega \otimes s}$وتم تمديدها خطيًا:

${\displaystyle d_{\nabla }(\omega \otimes s)=d\omega \otimes s+(-1)^{\deg \omega }\omega \wedge \nabla s}$

أين${\displaystyle \omega \in \Omega ^{r}(M)}$لهذا السبب.${\displaystyle \deg \omega =r}$،${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$هو قسم، و${\displaystyle \omega \wedge \nabla s}$يشير إلى${\displaystyle (r+1)}$- نموذج مع القيم في${\displaystyle E}$محدد بواسطة الثني${\displaystyle \omega }$مع الجزء ذي الشكل الواحد من${\displaystyle \nabla s}$لاحظ ذلك بالنسبة لـ${\displaystyle E}$الأشكال الصفرية ذات القيم، وهذا يستعيد قاعدة لايبنيز العادية للاتصال${\displaystyle \nabla }$.

بخلاف المشتق الخارجي العادي، يمتلك المرء عمومًا${\displaystyle d_{\nabla }^{2}\neq 0}$. في الحقيقة،${\displaystyle d_{\nabla }^{2}}$يرتبط ذلك ارتباطًا مباشرًا بانحناء الوصلة${\displaystyle \nabla }$(انظر أدناه ).

كل حزمة متجهة فوق مشعب تقبل اتصالاً، ويمكن إثبات ذلك باستخدام تجزئة الوحدة . ومع ذلك، فإن الاتصالات ليست فريدة. إذا${\displaystyle \nabla _{1}}$و${\displaystyle \nabla _{2}}$يوجد اتصالان على${\displaystyle E\to M}$إذن، الفرق بينهما هو${\displaystyle C^{\infty }(M)}$عامل خطي. أي،

${\displaystyle (\nabla _{1}-\nabla _{2})(fs)=f(\nabla _{1}s-\nabla _{2}s)}$

لجميع الوظائف السلسة${\displaystyle f}$على${\displaystyle M}$وجميع الأجزاء الملساء${\displaystyle s}$ل${\displaystyle E}$ويترتب على ذلك أن الفرق${\displaystyle \nabla _{1}-\nabla _{2}}$يمكن تحديدها بشكل فريد من خلال شكل واحد على${\displaystyle M}$مع القيم في حزمة التشكل الداخلي${\displaystyle \operatorname {End} (E)=E^{*}\otimes E}$:

${\displaystyle \nabla _{1}-\nabla _{2}\in \Omega ^{1}(M;\mathrm {End} \,E).}$

على العكس من ذلك، إذا${\displaystyle \nabla }$يوجد اتصال على${\displaystyle E}$و${\displaystyle A}$هو شكل واحد على${\displaystyle M}$مع القيم في${\displaystyle \operatorname {End} (E)}$، ثم${\displaystyle \nabla +A}$يوجد اتصال على${\displaystyle E}$.

بمعنى آخر، مساحة الاتصالات على${\displaystyle E}$هو فضاء أفيني لـ${\displaystyle \Omega ^{1}(\operatorname {End} (E))}$يُشار عادةً إلى هذا الفضاء الأفيني بـ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$.

يترك${\displaystyle E\to M}$لتكن حزمة متجهة من الرتبة${\displaystyle k}$ودع${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$كن حزمة الإطار لـ${\displaystyle E}$ثم اتصال (رئيسي) على${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$يُحدث اتصالاً على${\displaystyle E}$لاحظ أولاً أن أجزاء من${\displaystyle E}$وهي في تناظر واحد لواحد مع الخرائط المتغيرة اليمينية${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)\to \mathbb {R} ^{k}}$(يمكن ملاحظة ذلك من خلال النظر في تراجع سعر السهم)${\displaystyle E}$زيادة${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)\to M}$، وهو متماثل مع الحزمة التافهة${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)\times \mathbb {R} ^{k}}$.) بالنظر إلى قسم${\displaystyle s}$ل${\displaystyle E}$لنفترض أن الخريطة المتغيرة المناظرة هي${\displaystyle \psi (s)}$المشتقة المتغيرة على${\displaystyle E}$ثم يتم تحديده بواسطة

${\displaystyle \psi (\nabla _{X}s)=X^{H}(\psi (s))}$

أين${\displaystyle X^{H}}$هو الرفع الأفقي لـ${\displaystyle X}$من${\displaystyle M}$ل${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$تذكر أن الرفع الأفقي يتحدد بواسطة الوصلة الموجودة على${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$.)

وعلى النقيض من ذلك، فإن الاتصال على${\displaystyle E}$يحدد اتصالاً على${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$وهذان التركيبان معكوسان لبعضهما البعض.

اتصال على${\displaystyle E}$يتم تحديده أيضًا بشكل مكافئ بواسطة اتصال إهرسمان الخطي على${\displaystyle E}$وهذا يوفر إحدى طرق إنشاء الاتصال الرئيسي المرتبط.

يمكن إنشاء الاتصالات المستحثة التي نوقشت في #الاتصالات المستحثة على أنها اتصالات على حزم أخرى مرتبطة بحزمة الإطار الخاصة بـ${\displaystyle E}$باستخدام تمثيلات أخرى غير التمثيل القياسي المستخدم أعلاه. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle \rho }$يشير إلى التمثيل القياسي لـ${\displaystyle \operatorname {GL} (k,\mathbb {R} )}$على${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ثم الحزمة المرتبطة بالتمثيل${\displaystyle \rho \oplus \rho }$ل${\displaystyle \operatorname {GL} (k,\mathbb {R} )}$على${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}\oplus \mathbb {R} ^{k}}$هي حزمة المجموع المباشر${\displaystyle E\oplus E}$والوصلة المستحثة هي بالضبط تلك التي تم وصفها أعلاه.

يترك${\displaystyle E\to M}$لتكن حزمة متجهة من الرتبة${\displaystyle k}$ودع${\displaystyle U}$ليكن مجموعة فرعية مفتوحة من${\displaystyle M}$والتي${\displaystyle E}$يُبسط الأمر. لذلك، على المجموعة${\displaystyle U}$،${\displaystyle E}$يسمح بإطار محلي أملس من المقاطع

${\displaystyle \mathbf {e} =(e_{1},\dots ,e_{k});\quad e_{i}:U\to \left.E\right|_{U}.}$

منذ الإطار${\displaystyle \mathbf {e} }$يحدد أساس الألياف${\displaystyle E_{x}}$لأي${\displaystyle x\in U}$يمكن للمرء توسيع أي قسم محلي${\displaystyle s:U\to \left.E\right|_{U}}$في الإطار كـ

${\displaystyle s=\sum _{i=1}^{k}s^{i}e_{i}}$

لمجموعة من الدوال السلسة${\displaystyle s^{1},\dots ,s^{k}:U\to \mathbb {R} }$.

بافتراض وجود اتصال${\displaystyle \nabla }$على${\displaystyle E}$، من الممكن التعبير${\displaystyle \nabla }$زيادة${\displaystyle U}$من حيث الإطار المحلي للمقاطع، باستخدام قاعدة الضرب المميزة للوصلة. لأي مقطع أساسي${\displaystyle e_{i}}$الكمية${\displaystyle \nabla (e_{i})\in \Omega ^{1}(U)\otimes \Gamma (U,E)}$يمكن توسيعها في الإطار المحلي${\displaystyle \mathbf {e} }$مثل

${\displaystyle \nabla (e_{i})=\sum _{j=1}^{k}A_{i}^{\ j}\otimes e_{j},}$

أين${\displaystyle A_{i}^{\ j}\in \Omega ^{1}(U);\,j=1,\dots ,k}$هي مجموعة من الأشكال التفاضلية المحلية من الدرجة الأولى. يمكن وضع هذه الأشكال في مصفوفة من الأشكال التفاضلية من الدرجة الأولى معرفة بواسطة

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}A_{1}^{\ 1}&\cdots &A_{k}^{\ 1}\\\vdots &\ddots &\vdots \\A_{1}^{\ k}&\cdots &A_{k}^{\ k}\end{pmatrix}}\in \Omega ^{1}(U,\operatorname {End} (\left.E\right|_{U}))}$

يُطلق عليه شكل الاتصال المحلي لـ${\displaystyle \nabla }$زيادة${\displaystyle U}$فعل${\displaystyle \nabla }$في أي قسم${\displaystyle s:U\to \left.E\right|_{U}}$يمكن حسابها بدلالة${\displaystyle A}$باستخدام قاعدة الضرب كـ

${\displaystyle \nabla (s)=\sum _{j=1}^{k}\left(ds^{j}+\sum _{i=1}^{k}A_{i}^{\ j}s^{i}\right)\otimes e_{j}.}$

إذا كان القسم المحلي${\displaystyle s}$يُكتب أيضًا في تدوين المصفوفات كمتجه عمودي باستخدام الإطار المحلي${\displaystyle \mathbf {e} }$كأساس،

${\displaystyle s={\begin{pmatrix}s^{1}\\\vdots \\s^{k}\end{pmatrix}},}$

ثم باستخدام ضرب المصفوفات العادي يمكن كتابة

${\displaystyle \nabla (s)=ds+As}$

أين${\displaystyle ds}$هو اختصار لتطبيق المشتق الخارجي${\displaystyle d}$لكل مكون من مكونات${\displaystyle s}$كمتجه عمودي. في هذه الصيغة، غالبًا ما يُكتب محليًا أن${\displaystyle \left.\nabla \right|_{U}=d+A}$وبهذا المعنى، يتم تحديد الاتصال محليًا بشكل كامل من خلال شكل الاتصال الخاص به في بعض التبسيطات.

كما هو موضح في #الخصائص الأفينية لمجموعة الاتصالات ، يختلف أي اتصال عن الآخر بصيغة أحادية ذات قيم داخلية. من هذا المنظور، فإن الصيغة الأحادية للاتصال${\displaystyle A}$هو تحديدًا الشكل الأحادي ذو القيم الداخلية بحيث يكون الاتصال${\displaystyle \left.\nabla \right|_{U}}$على${\displaystyle \left.E\right|_{U}}$يختلف عن العلاقة التافهة${\displaystyle d}$على${\displaystyle \left.E\right|_{U}}$، وهو موجود بسبب${\displaystyle U}$مجموعة تبسيطية لـ${\displaystyle E}$.

اتصال${\displaystyle \nabla }$على حزمة متجهة${\displaystyle E\to M}$يُعرّف مفهوم النقل المتوازي على${\displaystyle E}$على طول منحنى في${\displaystyle M}$. يترك${\displaystyle \gamma$ ليكن المسار الأملسفي [0,1]\to M} ${\displaystyle M}$قسم${\displaystyle s}$ل${\displaystyle E}$على امتداد${\displaystyle \gamma }$يُقال إنها متوازية إذا

${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}s=0}$

للجميع${\displaystyle t\in [0,1]}$وبالمثل، يمكن للمرء أن ينظر إلى حزمة السحب الخلفي${\displaystyle \gamma ^{*}E}$ل${\displaystyle E}$بواسطة${\displaystyle \gamma }$هذه حزمة متجهة فوق${\displaystyle [0,1]}$مع الألياف${\displaystyle E_{\gamma (t)}}$زيادة${\displaystyle t\in [0,1]}$الصلة${\displaystyle \nabla }$على${\displaystyle E}$يعود إلى الاتصال على${\displaystyle \gamma ^{*}E}$قسم${\displaystyle s}$ل ${\displaystyle \gamma ^{*}E}$يكون متوازياً إذا وفقط إذا${\displaystyle \gamma ^{*}\nabla (s)=0}$.

يفترض${\displaystyle \gamma }$هو طريق من${\displaystyle x}$ل${\displaystyle y}$في${\displaystyle M}$المعادلة المذكورة أعلاه التي تحدد المقاطع المتوازية هي معادلة تفاضلية عادية من الدرجة الأولى (انظر التعبير المحلي أعلاه)، وبالتالي لها حل وحيد لكل شرط ابتدائي ممكن. أي، لكل متجه${\displaystyle v}$في${\displaystyle E_{x}}$يوجد قسم متوازٍ فريد${\displaystyle s}$ل${\displaystyle \gamma ^{*}E}$مع${\displaystyle s(0)=v}$. حدد خريطة نقل متوازية

${\displaystyle \tau _{\gamma }:E_{x}\to E_{y}\,}$

بواسطة${\displaystyle \tau _{\gamma }(v)=s(1)}$يمكن إثبات ذلك${\displaystyle \tau _{\gamma }}$هو تماثل خطي ، ومعكوسه يُعطى باتباع نفس الإجراء مع المسار المعكوس${\displaystyle \gamma ^{-}}$من${\displaystyle y}$ل${\displaystyle x}$.

يمكن استخدام النقل المتوازي لتحديد مجموعة التماثل للاتصال${\displaystyle \nabla }$مقرها في نقطة${\displaystyle x}$في${\displaystyle M}$هذه هي المجموعة الفرعية من${\displaystyle \operatorname {GL} (E_{x})}$تتألف من جميع خرائط النقل المتوازية القادمة من الحلقات الموجودة في${\displaystyle x}$:

${\displaystyle \mathrm {Hol} _{x}=\{\tau _{\gamma }:\gamma {\text{ is a loop based at }}x\}.\,}$

ترتبط مجموعة التماثل للوصلة ارتباطًا وثيقًا بانحناء الوصلة ( AmbroseSinger 1953 ) .

يمكن استعادة الاتصال من مشغلي النقل المتوازيين الخاصين به على النحو التالي. إذا${\displaystyle X\in \Gamma (TM)}$هو حقل متجهي و${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$قسم، عند نقطة${\displaystyle x\in M}$اختر منحنى متكامل${\displaystyle \gamma$ :(-\varepsilon ,\varepsilon )\to M} for${\displaystyle X}$في${\displaystyle x}$لكل${\displaystyle t\in (-\varepsilon ,\varepsilon )}$سنكتب${\displaystyle \tau _{t}:E_{\gamma (t)}\to E_{x}}$لخريطة النقل الموازية التي تسير على طول${\displaystyle \gamma }$من${\displaystyle t}$ل${\displaystyle 0}$وخاصة لكل${\displaystyle t\in (-\varepsilon ,\varepsilon )}$لدينا${\displaystyle \tau _{t}s(\gamma (t))\in E_{x}}$. ثم${\displaystyle t\mapsto \tau _{t}s(\gamma (t))}$يُعرّف منحنى في الفضاء المتجهي${\displaystyle E_{x}}$والتي يمكن تفاضلها. يتم استعادة المشتقة المتغيرة على النحو التالي:

${\displaystyle \nabla _{X}s(x)={\frac {d}{dt}}\left(\tau _{t}s(\gamma (t))\right)_{t=0}.}$

هذا يوضح أن تعريفًا مكافئًا للاتصال يتم تحديده من خلال تحديد جميع عمليات التماثل في النقل المتوازي.${\displaystyle \tau _{\gamma }}$بين ألياف${\displaystyle E}$وباعتبار التعبير أعلاه تعريفًا لـ${\displaystyle \nabla }$.

انحناء الوصلة​${\displaystyle \nabla }$على${\displaystyle E\to M}$هو نموذج ثنائي${\displaystyle F_{\nabla }}$على${\displaystyle M}$مع القيم في حزمة التشكل الداخلي${\displaystyle \operatorname {End} (E)=E^{*}\otimes E}$. إنه،

${\displaystyle F_{\nabla }\in \Omega ^{2}(\mathrm {End} (E))=\Gamma (\Lambda ^{2}T^{*}M\otimes \mathrm {End} (E)).}$

يتم تعريفها من خلال التعبير

${\displaystyle F_{\nabla }(X,Y)(s)=\nabla _{X}\nabla _{Y}s-\nabla _{Y}\nabla _{X}s-\nabla _{[X,Y]}s}$

أين${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$هي حقول متجهات مماسية على${\displaystyle M}$و${\displaystyle s}$هو جزء من${\displaystyle E}$يجب على المرء أن يتحقق من ذلك${\displaystyle F_{\nabla }}$يكون${\displaystyle C^{\infty }(M)}$-خطي في كليهما${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$وأنها في الواقع تحدد تشاكلًا داخليًا للحزمة من${\displaystyle E}$.

كما ذكر أعلاه ، فإن المشتق الخارجي المتغير${\displaystyle d_{\nabla }}$لا يلزم أن يكون مربعه صفرًا عند العمل على${\displaystyle E}$الأشكال ذات القيم. المعامل${\displaystyle d_{\nabla }^{2}}$إلا أنها ذات طبيعة موترية بحتة (أي${\displaystyle C^{\infty }(M)}$(خطي). وهذا يعني أنه مستحث من شكل ثنائي بقيم في${\displaystyle \operatorname {End} (E)}$هذا الشكل الثنائي هو تحديدًا شكل الانحناء المذكور أعلاه. لـ${\displaystyle E}$صيغة ذات قيمة${\displaystyle \sigma }$لدينا

${\displaystyle (d_{\nabla })^{2}\sigma =F_{\nabla }\wedge \sigma .}$

الوصلة المسطحة هي الوصلة التي يتلاشى شكل انحنائها بشكل متطابق.

بافتراض وجود وصلتين${\displaystyle \nabla _{1},\nabla _{2}}$على حزمة متجهة${\displaystyle E\to M}$من الطبيعي التساؤل متى يمكن اعتبارها متكافئة. هناك مفهوم محدد جيدًا للتشاكل الذاتي لحزمة متجهة${\displaystyle E\to M}$قسم${\displaystyle u\in \Gamma (\operatorname {End} (E))}$يكون تشاكلاً ذاتياً إذا${\displaystyle u(x)\in \operatorname {End} (E_{x})}$قابلة للعكس عند كل نقطة${\displaystyle x\in M}$يُطلق على هذا التشاكل الذاتي اسم تحويل قياسي لـ${\displaystyle E}$وتُسمى مجموعة جميع التشاكلات الذاتية مجموعة القياس ، ويُرمز لها غالبًا بـ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$أو${\displaystyle \operatorname {Aut} (E)}$يمكن وصف مجموعة تحويلات القياس بدقة على أنها فضاء مقاطع الحزمة المرافقة A الكبيرة${\displaystyle \operatorname {Ad} ({\mathcal {F}}(E))}$من حزمة الإطار لحزمة المتجهات${\displaystyle E}$لا ينبغي الخلط بين هذا وبين الحزمة المرافقة الصغيرة${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathcal {F}}(E))}$، وهو ما يرتبط بشكل طبيعي بـ${\displaystyle \operatorname {End} (E)}$نفسها. الحزمة${\displaystyle \operatorname {Ad} {\mathcal {F}}(E)}$هي الحزمة المرتبطة بحزمة الإطار الرئيسي من خلال تمثيل الاقتران لـ${\displaystyle G=\operatorname {GL} (r)}$على حد ذاته،${\displaystyle g\mapsto ghg^{-1}}$وله ألياف من نفس المجموعة الخطية العامة${\displaystyle \operatorname {GL} (r)}$أين${\displaystyle \operatorname {rank} (E)=r}$لاحظ أنه على الرغم من امتلاكها نفس الألياف الموجودة في حزمة الإطار${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$والارتباط به،${\displaystyle \operatorname {Ad} ({\mathcal {F}}(E))}$لا تساوي حزمة الإطار، ولا حتى حزمة رئيسية بحد ذاتها. ويمكن وصف مجموعة القياس بشكل مكافئ على النحو التالي:${\displaystyle {\mathcal {G}}=\Gamma (\operatorname {Ad} {\mathcal {F}}(E)).}$