نظرية غالوا التفاضلية

في الرياضيات، نظرية غالوا التفاضلية هي المجال الذي يدرس امتدادات الحقول التفاضلية .

بينما تدرس نظرية غالوا الجبرية امتدادات الحقول الجبرية ، تدرس نظرية غالوا التفاضلية امتدادات الحقول التفاضلية ، أي الحقول المزودة باشتقاق . ويحقق الاشتقاق الخصائص التالية:

D ( xy ) = (Dx)y + xDy

و

D ( x + y ) = Dx + Dy

لأي عنصرين من عناصر الحقل x و y. (تتوافق هذه المتطابقات مع قاعدة لايبنتز للجداء وخطية المشتقات ) . يتشابه جزء كبير من نظرية غالوا التفاضلية مع نظرية غالوا الجبرية. أحد الاختلافات بين البنيتين هو أن زمر غالوا في نظرية غالوا التفاضلية تميل إلى أن تكون زمر لي المصفوفية ، مقارنةً بالزمر المنتهية التي غالبًا ما تُصادف في نظرية غالوا الجبرية.

معظم نظرية غالوا التفاضلية مماثلة لنظرية غالوا الجبرية. ويكمن الاختلاف الجوهري في البنية في أن زمرة غالوا في نظرية غالوا التفاضلية هي زمرة جبرية ، بينما في نظرية غالوا الجبرية، هي زمرة منتهية مزودة بطوبولوجيا كرول .

في الرياضيات ، قد يكون التكامل غير المحدد لدالة ابتدائية دالة غير ابتدائية. ومن الأمثلة المعروفة على ذلك التكامل غير المحدد للدالة الابتدائية${\displaystyle e^{-x^{2}}}$هي الدالة غير الأولية، دالة الخطأ${\displaystyle \operatorname {erf} x}$مألوفة في الإحصاء . التكاملات غير المحددة للدوال الأولية ، دالة sinc${\displaystyle {\tfrac {\sin x}{x}}}$و${\displaystyle x^{x}}$وهي أيضاً دوال غير أولية.

من المهم ملاحظة أن مفهوم الدوال الأولية هو مفهوم اصطلاحي فقط. إذا أعدنا تعريف الدوال الأولية لتشمل دالة الخطأ، فإنه وفقًا لهذا التعريف، يكون التكامل غير المحدد لـ${\displaystyle e^{-x^{2}}}$ستُعتبر دالة أولية. ومع ذلك، بالنسبة لأي مجموعة منتهية من "الدوال الأولية" التي تُوسّع المجموعة القياسية، ستكون هناك دوال تكاملاتها غير المحددة ليست أولية.

باستخدام نظرية غالوا التفاضلية ، يُمكن تحديد التكاملات غير المحددة للدوال الأولية التي لا يُمكن التعبير عنها كدوال أولية. تستند نظرية غالوا التفاضلية إلى إطار نظرية غالوا . فبينما تدرس نظرية غالوا الجبرية امتدادات الحقول ، تدرس نظرية غالوا التفاضلية امتدادات الحقول التفاضلية - أي الحقول ذات الاشتقاق D.

لأي حقل تفاضلي F ذي مشتقة D ، يوجد حقل فرعي يسمى حقل ثوابت F ، ويُعرف على النحو التالي:

Con( F ) = { f ∈ F | Df = 0}.

يحتوي حقل الثوابت على الحقل الأولي لـ F.

إذا كان لدينا حقلان تفاضليان F و G ، فإن G يُسمى امتدادًا تفاضليًا بسيطًا لـ F إذا كان ^{[ 1 ]} ويحقق

∃ s ∈ F ; Dt = Ds / s ,

ثم يُطلق على G اسم الامتداد اللوغاريتمي لـ F.

يأخذ هذا شكل مشتق لوغاريتمي . وبشكل بديهي، يمكن اعتبار t بمثابة لوغاريتم عنصر ما s في F ، وهو ما يتوافق مع قاعدة السلسلة المعتادة. لا يمتلك F بالضرورة لوغاريتمًا محددًا بشكل فريد. يمكن النظر في امتدادات لوغاريتمية مختلفة لـ F. وبالمثل، فإن الامتداد الأسي يحقق

∃ s ∈ F ; Dt = tDs ,

والامتداد التفاضلي يحقق

∃ s ∈ F ; Dt = s .

يصبح الامتداد التفاضلي أو الامتداد الأسي امتدادًا بيكارد-فيسيو عندما يكون للمجال خاصية صفرية وتتطابق الحقول الثابتة للحقول الممتدة.

مع الأخذ في الاعتبار التحذير المذكور أعلاه، يمكن اعتبار هذا العنصر بمثابة الدالة الأسية للعنصر s في F. وأخيرًا، إذا كانت هناك متتالية منتهية من الحقول الوسيطة من F إلى G بحيث يكون Con( F ) = Con( G )، بحيث يكون كل امتداد في المتتالية إما امتدادًا جبريًا منتهيًا، أو امتدادًا لوغاريتميًا، أو امتدادًا أسيًا، فإن G يُطلق عليه امتدادًا تفاضليًا أوليًا .

لنفترض المعادلة التفاضلية الخطية المتجانسة لـ${\displaystyle a_{1},\cdots ,a_{n}\in F}$:

${\displaystyle D^{n}y+a_{1}D^{n-1}y+\cdots +a_{n-1}Dy+a_{n}y=0}$ … (1).

يوجد على الأكثر n حلاً مستقلاً خطياً على حقل الثوابت. يُسمى الامتداد G لـ F امتداد بيكارد-فيسيو للمعادلة التفاضلية (1) إذا كان G مولداً بواسطة جميع حلول (1) ويحقق Con( F ) = Con( G ).

يكون الامتداد G للحقل F امتدادًا من نوع ليوفيل إذا كان Con( F ) = Con( G ) حقلًا مغلقًا جبريًا، وتوجد سلسلة متزايدة من الحقول الفرعية.

F = F ₀ ⊂ F ₁ ⊂ … ⊂ F _n = G

بحيث يكون كل امتداد F _{k +1}  : F _k إما امتدادًا جبريًا محدودًا، أو امتدادًا تفاضليًا، أو امتدادًا أُسّيًا. يتألف امتداد ليوفيل لحقل الدوال الكسرية C ( x ) من دوال مُشتقة من تراكيب محدودة من الدوال الكسرية، والدوال الأُسّية، وجذور المعادلات الجبرية، وتكاملاتها غير المُحددة. من الواضح أن الدوال اللوغاريتمية، والدوال المثلثية، ومعكوساتها هي دوال ليوفيل على C ( x )، وخاصةً الامتدادات التفاضلية الأولية التي تُعد امتدادات ليوفيل.

من الأمثلة على الدوال التي تقع ضمن امتداد أولي على C ( x ) ولكنها لا تقع ضمن امتداد ليوفيل، التكامل غير المحدد لـ${\displaystyle e^{-x^{2}}}$.

بالنسبة للحقل التفاضلي F ، إذا كان G امتدادًا جبريًا قابلاً للفصل لـ F ، فإن اشتقاق F يمتد بشكل فريد إلى اشتقاق G. وبالتالي، فإن G يرث بشكل فريد البنية التفاضلية لـ F.

لنفترض أن F و G حقلان تفاضليان يحققان Con( F ) = Con( G )، وأن G امتداد تفاضلي أولي لـ F. ليكن a ∈ F و y ∈ G بحيث Dy = a (أي أن G يحتوي على التكامل غير المحدد لـ a ). عندئذٍ _، يوجد c₁ , …, cₙ ∈ Con( F ₎ و u₁ , … , uₙ _, v ∈ _F بحيث

${\displaystyle a=c_{1}{\frac {Du_{1}}{u_{1}}}+\dotsb +c_{n}{\frac {Du_{n}}{u_{n}}}+Dv}$

(نظرية ليوفيل). بعبارة أخرى، لا تأخذ الشكل المذكور في النظرية إلا الدوال التي تكون تكاملاتها غير المحددة أولية (أي، على أسوأ تقدير، تقع ضمن الامتداد التفاضلي الأولي للدالة F ). وبشكل بديهي، لا يمكن التعبير عن التكاملات غير المحددة الأولية إلا كمجموع عدد محدود من لوغاريتمات الدوال البسيطة.

إذا كان G / F امتدادًا لبيكارد-فيسيو، فإن كون G امتدادًا لليوفيل لـ F يكافئ وجود عنصر محايد قابل للحل في زمرة غالوا التفاضلية . ^{[ 2 ]} علاوة على ذلك، فإن كون G امتدادًا لليوفيل لـ F يكافئ إمكانية تضمين G في حقل امتداد ليوفيل لـ F.

• حقل الدوال الكسرية لمتغير عقدي واحد${\displaystyle \mathbb {C} (x)}$يصبح حقلاً تفاضلياً عند إجراء التفاضل المعتاد بالنسبة للمتغير${\displaystyle x}$كاشتقاق. حقل الثوابت لهذا الحقل هو حقل الأعداد المركبة${\displaystyle \mathbb {C} }$.

• بحسب نظرية ليوفيل المذكورة أعلاه، إذا${\displaystyle f(z)}$و${\displaystyle g(z)}$هي دوال كسرية في${\displaystyle z}$،${\displaystyle f(z)}$وهي غير صفرية، و${\displaystyle g(z)}$إذا كانت غير ثابتة،${\displaystyle \textstyle \int f(z)e^{g(z)}\,dz}$تكون الدالة أولية إذا وفقط إذا وُجدت دالة كسرية${\displaystyle h(z)}$بحيث${\displaystyle f(z)=h'(z)+h(z)g'(z)\,}$إن حقيقة أن دالة الخطأ وتكامل الجيب (التكامل غير المحدد لدالة sinc ) لا يمكن التعبير عنهما كدوال أولية تتبع مباشرة من هذه الخاصية.

• في حالة المعادلة التفاضلية${\displaystyle y''+y=0}$مجموعة غالوا هي المجموعة الضربية للأعداد المركبة ذات القيمة المطلقة${\displaystyle 1}$، والمعروفة أيضًا باسم مجموعة الدائرة . هذا مثال على مجموعة قابلة للحل، وبالفعل، فإن حلول هذه المعادلة التفاضلية هي دوال أولية (دوال مثلثية في هذه الحالة).

• مجموعة غالوا التفاضلية لمعادلة آيري ،${\displaystyle y''-xy=0}$، على الأعداد المركبة هي المجموعة الخطية الخاصة من الدرجة الثانية،${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$هذه المجموعة غير قابلة للحل، مما يشير إلى أنه لا يمكن التعبير عن حلولها باستخدام الدوال الأولية. وبدلاً من ذلك، تُعرف الحلول باسم دوال آيري .

تُستخدم نظرية غالوا التفاضلية في العديد من التطبيقات في الرياضيات والفيزياء. فعلى سبيل المثال، تُستخدم لتحديد ما إذا كان بالإمكان حل معادلة تفاضلية معينة باستخدام التكامل العددي. كما تُستخدم أيضًا في دراسة الأنظمة الديناميكية، بما في ذلك قابلية تكامل الأنظمة الهاميلتونية في الميكانيكا الكلاسيكية.

أحد التطبيقات المهمة هو تحليل شروط التكامل للمعادلات التفاضلية، وهو ما له آثار في دراسة التناظرات وقوانين الحفظ في الفيزياء.

• نظرية بيكارد-فيسيو

• كولشين، إي آر، الجبر التفاضلي والمجموعات الجبرية ، دار النشر الأكاديمية، 1973.
• هوبارد، جون هـ.؛ لونديل، بنجامين إي. (2011). "نظرة أولية على الجبر التفاضلي" (ملف PDF) . المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 118 (3): 245-261 . doi : 10.4169/amer.math.monthly.118.03.245 . JSTOR 10.4169/amer.math.monthly.118.03.245 . S2CID 1567399 .  
• برتراند، د. (1996)، "مراجعة لكتاب "محاضرات في نظرية غالوا التفاضلية"( ملف PDF) ، نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية ، 33 (2)، doi : 10.1090/s0273-0979-96-00652-0 ، ISSN 0002-9904 
• بيوكيرز، فريتس (1992)، "8. نظرية غالوا التفاضلية"، في فالدشميدت، ميشيل؛ موسى، بيير؛ لوك، جان مارك؛ إيتزيكسون، كلود (محررون)، من نظرية الأعداد إلى الفيزياء. محاضرات اجتماع حول نظرية الأعداد والفيزياء عُقد في مركز الفيزياء، ليه هوش (فرنسا)، 7-16 مارس 1989 ، برلين: سبرينغر-فيرلاغ ، ص 413-439 ، ISBN  3-540-53342-7، Zbl 0813.12001 
• ماجيد، آندي ر. (1994)، محاضرات في نظرية غالوا التفاضلية ، سلسلة محاضرات جامعية، المجلد  7، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، ISBN 978-0-8218-7004-4MR 1301076​ 
• ماجيد، آندي ر. (1999)، "نظرية غالوا التفاضلية" (ملف PDF) ، إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية ، 46 (9): 1041-1049 ، ISSN 0002-9920 ، MR 1710665  
• فان دير بوت، ماريوس؛ سينجر ، مايكل ف. (2003)، نظرية جالوا للمعادلات التفاضلية الخطية ، Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [المبادئ الأساسية للعلوم الرياضية]، المجلد.  328، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-3-540-44228-8، MR 1960772 
• خوان ج. موراليس رويز  : نظرية غالوا التفاضلية وعدم قابلية التكامل للأنظمة الهاميلتونية ، بيركهاوزر، 1999، ISBN 978-3764360788.