شبه منحرف متساوي الساقين

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 42 صور
الموسوعة الحرة

في الهندسة الإقليدية ، شبه المنحرف متساوي الساقين هو شكل رباعي محدب له محور تناظر ينصف زوجًا من الأضلاع المتقابلة. وهو حالة خاصة من شبه المنحرف . ويمكن تعريفه أيضًا بأنه شبه منحرف تكون فيه كلتا ساقيه وزاويتا قاعدته متساويتين في القياس، أو بأنه شبه منحرف تكون أقطاره متساوية في الطول. تجدر الإشارة إلى أن متوازي الأضلاع غير المستطيل ليس شبه منحرف متساوي الساقين إما لعدم وجود محور تناظر، أو لعدم وجود محور تناظر له. في أي شبه منحرف متساوي الساقين، يكون ضلعان متقابلان (القاعدتان) متوازيين ، والضلعان الآخران (الساقان) متساويان في الطول (وهي خصائص مشتركة مع متوازي الأضلاع )، والأقطار متساوية في الطول. زوايا قاعدة شبه المنحرف متساوي الساقين متساوية في القياس (في الواقع، يوجد زوجان من زوايا القاعدة المتساوية، حيث تكون إحدى زوايا القاعدة هي الزاوية المكملة لزاوية قاعدة عند القاعدة الأخرى). [ 1 ]

حالات خاصة

حالات خاصة من أشباه المنحرف متساوي الساقين

يُعرَّف شبه المنحرف بأنه شكل رباعي الأضلاع له ضلعان متوازيان فقط، بينما الضلعان الآخران غير متوازيين. مع ذلك، يمكن تعريف شبه المنحرف تعريفًا شاملًا بأنه أي شكل رباعي الأضلاع له ضلعان متوازيان على الأقل. هذا التعريف الأخير هرمي، إذ يسمح بإدراج متوازي الأضلاع والمعين والمربع كحالات خاصة منه. في حالة شبه المنحرف متساوي الساقين، يكون شبه منحرف حاد الزوايا حيث تكون زاويتان متجاورتان حادتين على قاعدته الأطول. يُعتبر كل من المستطيل والمربع عادةً حالات خاصة من شبه المنحرف متساوي الساقين، [ 2 ] [ 3 ] بينما لا يُعتبر متوازي الأضلاع كذلك . [ 4 ] حالة خاصة أخرى هي شبه المنحرف ثلاثي الأضلاع أو شبه المنحرف ثلاثي الساقين، حيث يكون طول ساقين وقاعدة واحدة متساويًا؛ [ 2 ] ويمكن اعتباره تقسيمًا لسداسي منتظم . [ 5 ]

شبه منحرف متساوي الساقين، وشبه منحرف متساوي الساقين متقاطع، ومتوازي أضلاع مضاد

أي شكل رباعي غير متقاطع مع نفسه وله محور تناظر واحد فقط، يجب أن يكون إما شبه منحرف متساوي الساقين أو شكل طائرة ورقية . [ 6 ] مع ذلك، إذا سُمح بالتقاطعات، يجب توسيع مجموعة الأشكال الرباعية المتناظرة لتشمل أيضًا أشباه المنحرفات متساوية الساقين المتقاطعة (أشكال رباعية متقاطعة تكون فيها الأضلاع المتقاطعة متساوية الطول، بينما تكون الأضلاع الأخرى متوازية) ومتوازيات الأضلاع المضادة (أشكال رباعية متقاطعة تكون فيها الأضلاع المتقابلة متساوية الطول). كل متوازي أضلاع مضاد له شبه منحرف متساوي الساقين كغلاف محدب ، ويمكن تكوينه من قطري شبه منحرف متساوي الساقين والأضلاع غير المتوازية (أو أي زوج من الأضلاع المتقابلة في حالة المستطيل). [ 7 ]

الخصائص

إذا كان من المعروف أن الشكل الرباعي هو شبه منحرف ، فلا يكفي مجرد التحقق من أن الساقين لهما نفس الطول لمعرفة أنه شبه منحرف متساوي الساقين، لأن المعين هو حالة خاصة من شبه المنحرف بساقين متساويتين في الطول، ولكنه ليس شبه منحرف متساوي الساقين لأنه يفتقر إلى خط تناظر يمر بمنتصفات الأضلاع المتقابلة.

أي من الخصائص التالية تميز شبه المنحرف متساوي الساقين عن أشباه المنحرفات الأخرى:

  • الأقطار متساوية في الطول. [ 4 ]
  • زوايا القاعدة لها نفس القياس.
  • القطعة المستقيمة التي تصل بين منتصفي الضلعين المتوازيين تكون عمودية عليهما.
  • الزوايا المتقابلة متكاملة، مما يعني بدوره أن أشباه المنحرف متساوية الساقين هي أشكال رباعية دائرية . [ 8 ]
  • تقسم الأقطار بعضها بعضًا إلى قطع متساوية الطول؛ كما هو موضح في الصورة أدناه،أهـ=دهـ{\displaystyle AE=DE}،بهـ=جهـ{\displaystyle BE=CE}، وأهـ≠جهـ{\displaystyle AE\neq CE}(إذا رغب المرء في استبعاد المستطيلات).

صيغة

شبه منحرف متساوي الساقين بمتغيرات. هناأد{\displaystyle AD}وبج{\displaystyle BC}هي أساس،أج{\displaystyle AC}وبد{\displaystyle BD}هي أقطار، وهـ{\displaystyle E}هي نقطة تقاطع قطري شبه منحرف متساوي الساقين.

في هذه المقالة، دعوناأبجد{\displaystyle ABCD}يكون شبه منحرف متساوي الساقين. الحوافأد{\displaystyle AD}وبج{\displaystyle BC}هي أساس،أج{\displaystyle AC}وبد{\displaystyle BD}هي أقطار، وهـ{\displaystyle E}هي نقطة تقاطع قطري شبه منحرف متساوي الساقين.

الزوايا

في شبه المنحرف متساوي الساقين، تكون قياسات زوايا القاعدة متساوية. في الصورة أدناه، الزوايا∠أبج{\displaystyle \angle ABC}و∠دجب{\displaystyle \angle DCB}الزوايا المنفرجة متساوية في القياس، بينما الزوايا∠بأد{\displaystyle \angle BAD}و∠جدأ{\displaystyle \angle CDA}هي زوايا حادة ، ولها نفس القياس أيضاً. بما أن الخطوطأد{\displaystyle AD}وبج{\displaystyle BC}الزوايا المتوازية، والزوايا المجاورة للقواعد المتقابلة متكاملة . أي: [ 8 ]∠أبج+∠بأد=180∘.{\displaystyle \angle ABC+\angle BAD=180^{\circ }.}

الأقطار والارتفاع

قطرا شبه المنحرف متساوي الساقين متساويان في الطول؛ أي أن كل شبه منحرف متساوي الساقين هو شكل رباعي متساوي الأقطار . علاوة على ذلك، يقسم القطران بعضهما البعض بنفس النسب. كما هو موضح في الصورة، فإن القطرينأج{\displaystyle AC}وبد{\displaystyle BD}لها نفس الطولأج=بد{\displaystyle AC=BD}ويقسم كل منهما الآخر إلى أجزاء متساوية الطولأهـ=دهـ{\displaystyle AE=DE}وبهـ=جهـ{\displaystyle BE=CE}.

نسبة تقسيم كل قطر تساوي نسبة أطوال الأضلاع المتوازية التي يتقاطع معها، أيأهـهـج=دهـهـب=أدبج.{\displaystyle {\frac {AE}{EC}}={\frac {DE}{EB}}={\frac {AD}{BC}}.}

يُعطى طول كل قطر، وفقًا لنظرية بطليموس ، بالصيغة التالية: ص=أب+ج2{\displaystyle p={\sqrt {ab+c^{2}}}} أينأ{\displaystyle a}وب{\displaystyle b}أطوال الأضلاع المتوازيةأد{\displaystyle AD}وبج{\displaystyle BC}، وج{\displaystyle c}هو طول كل ساقأب{\displaystyle AB}وجد{\displaystyle CD}.

يُعطى الارتفاع، وفقًا لنظرية فيثاغورس ، بالصيغة التالية: ح=ص2-(أ+ب2)2=124ج2-(أ-ب)2.{\displaystyle h={\sqrt {p^{2}-\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {4c^{2}-(ab)^{2}}}.}

المسافة من النقطةهـ{\displaystyle E}إلى القاعدةأد{\displaystyle AD}يُعطى بواسطة د=أحأ+ب{\displaystyle d={\frac {ah}{a+b}}} أينأ{\displaystyle a}وب{\displaystyle b}أطوال الأضلاع المتوازيةأد{\displaystyle AD}وبج{\displaystyle BC}، وح{\displaystyle h}هو ارتفاع شبه المنحرف.

منطقة

مساحة شبه المنحرف متساوي الساقين (أو أي شبه منحرف آخر) تساوي متوسط ​​طولي قاعدته وقمته ( الضلعين المتوازيين ) مضروبًا في ارتفاعه.أد=أ{\displaystyle AD=a}و بج=ب{\displaystyle BC=b}والارتفاعح{\displaystyle h}هو طول قطعة مستقيمة بينأد{\displaystyle AD}وبج{\displaystyle BC}أي عمودي عليهما، ثم المساحةك{\displaystyle K}يكون ك=12(أ+ب)ح.{\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}\left(a+b\right)h.}

إذا كان طول الساقين المشترك هو بدلاً من ارتفاع شبه المنحرفأب=جد=ج{\displaystyle AB=CD=c}إذا عُرفت المساحة، فيمكن حسابها باستخدام صيغة براهماجوبتا لمساحة الشكل الرباعي الدائري، والتي، مع تساوي ضلعين، تُبسط إلى ك=(s-ج)(s-أ)(s-ب)،{\displaystyle K=(sc){\sqrt {(sa)(sb)}},} أينs=12(أ+ب+2ج){\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+2c)}يمثل نصف محيط شبه المنحرف. هذه الصيغة مماثلة لصيغة هيرون لحساب مساحة المثلث. ويمكن كتابة الصيغة السابقة للمساحة أيضًا على النحو التالي: ك=أ+ب4(أ-ب+2ج)(ب-أ+2ج).{\displaystyle K={\frac {a+b}{4}}{\sqrt {(a-b+2c)(b-a+2c)}}.}

نصف القطر المحيطي

يُعطى نصف القطر في الدائرة المحيطة بالدائرة بواسطة [ 9 ]R=جأب+ج24ج2-(أ-ب)2.{\displaystyle R=c{\sqrt {\frac {ab+c^{2}}{4c^{2}-(ab)^{2}}}}.}

في مستطيل حيثأ=ب{\displaystyle a=b}، وهذا يُبسط إلىR=12أ2+ج2{\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}}.

الازدواجية

طائرة ورقية وشبه منحرف مزدوج متساوي الساقين

تُعتبر الطائرات الورقية وشبه المنحرف متساوي الساقين متناظرتين، أي أن بينهما تطابقًا يعكس أبعاد أجزائهما، حيث تُصبح الرؤوس أضلاعًا والأضلاع رؤوسًا. في أي طائرة ورقية، تكون الدائرة المحيطة بها مماسة لأضلاعها الأربعة عند رؤوس شبه المنحرف متساوي الساقين. وبالنسبة لأي شبه منحرف متساوي الساقين، تُشكل الخطوط المماسية للدائرة المحيطة عند رؤوسه الأربعة أضلاع الطائرة الورقية. يُمكن اعتبار هذا التطابق مثالًا على التبادل القطبي ، وهي طريقة عامة لمطابقة النقاط مع الخطوط والعكس عند دائرة ثابتة. على الرغم من أن رؤوس الطائرة الورقية لا تلامس الدائرة، إلا أنها متبادلة في هذا السياق مع أضلاع شبه المنحرف متساوي الساقين. [ 10 ] تُقارن خصائص الطائرات الورقية وشبه المنحرف متساوي الساقين المتناظرة في هذا السياق في الجدول أدناه. [ 11 ]

شبه منحرف متساوي الساقينطائرة ورقية
زوجان من الزوايا المتجاورة المتساويةزوجان من الأضلاع المتجاورة المتساوية
جانبان متقابلان متساويانزاويتان متساويتان متقابلتان
ضلعان متقابلان لهما منصف عمودي مشتركزاويتان متقابلتان لهما منصف زاوية مشترك
محور تناظر يمر عبر جانبين متقابلينمحور تناظر يمر عبر زاويتين متقابلتين
دائرة محيطة تمر بجميع الرؤوسدائرة داخلية مماسة لجميع الجوانب

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ شبه المنحرف هو المصطلح المستخدم في اللغة الإنجليزية الأمريكية ، بينما في اللغة الإنجليزية البريطانية ، هو شبه منحرف ؛ انظر شبه المنحرف §  أصل الكلمة .

مراجع

  1. ↑ إريك و. وايسشتاين (2003). موسوعة سي آر سي الموجزة للرياضيات . مطبعة سي آر سي. ص  1547. ISBN 978-1-58488-347-0.
  2. 1 2 ألسينا، كلاودي؛ نيلسن، روجر (2020). وفرة من الأشكال الرباعية . الجمعية الرياضية الأمريكية. ص 90. ISBN  978-1-4704-5312-1.
  3. ↑ واسرمان، نيكولاس؛ فوكاوا-كونيلي، تيموثي؛ ويبر، كيث؛ راموس، خوان؛ أبوت، ستيفن (2022). فهم التحليل وعلاقته بتدريس الرياضيات في المرحلة الثانوية . سبرينغر. ص 7. doi : 10.1007/978-3-030-89198-5 . ISBN  978-3-030-89198-5.
  4. 1 2 ريوتي، دون (1967). "ما هو شبه المنحرف متساوي الساقين؟". معلم الرياضيات . 60 (7): 729-730 . doi : 10.5951/MT.60.7.0729 . JSTOR 27957671 . 
  5. ^ السينا ونيلسن (2020) ، ص. 100 . 
  6. ↑ هالستيد، جورج بروس (1896). "الأشكال الرباعية المتناظرة" . الهندسة التركيبية الابتدائية . جون وايلي وأولاده. ص 49-53 . 
  7. ↑ ويتني، ويليام دوايت؛ سميث، بنجامين إيلي (1911)، قاموس وموسوعة القرن ، شركة القرن، ص 1547 .
  8. 1 2 السينا ونيلسن (2020) ، ص. 97 . 
  9. ↑ شبه المنحرف على موقع Math24.net: الصيغ والجداولتمت أرشفة هذا المحتوى في 28 يونيو 2018، على موقع Wayback Machine ، وتم الوصول إليه في 1 يوليو 2014.
  10. ↑ روبرتسون، إس. أ. (1977). "تصنيف المثلثات والأشكال الرباعية". المجلة الرياضية . 61 (415): 38-49 . doi : 10.2307/3617441 . JSTOR 3617441 . 
  11. ↑ دي فيلييرز، مايكل (2009). بعض المغامرات في الهندسة الإقليدية . التعلم الديناميكي للرياضيات. ص 16، 55. ISBN  978-0-557-10295-2.