موتر كهرومغناطيسي

يُعطى الشكل التفاضلي الثاني لفاراداي بالصيغة التالية:

$${\displaystyle {\begin{aligned}F={}&(E_{x}/c)\ dx\wedge dt+(E_{y}/c)\ dy\wedge dt+(E_{z}/c)\ dz\wedge dt\\&+B_{x}\ dy\wedge dz+B_{y}\ dz\wedge dx+B_{z}\ dx\wedge dy,\end{aligned}}}$$

أين${\displaystyle dt}$هو عنصر الزمن مضروبًا في سرعة الضوء${\displaystyle c}$.

هذا هو المشتق الخارجي لمشتقته العكسية من الرتبة 1، وهو الشكل المتغير المشترك للجهد الرباعي، ^{[ 4 ] : ​​315}

$${\displaystyle A=(\phi /c)\,dt-A_{x}\,dx-A_{y}\,dy-A_{z}\,dz,}$$

أين${\displaystyle \phi (\mathbf {x} ,t)}$لديه${\displaystyle -{\boldsymbol {\nabla }}\phi =\mathbf {E} }$(${\displaystyle \phi }$يمثل جهدًا قياسيًا لحقل المتجهات غير الدوراني/المحافظ${\displaystyle \mathbf {E} }$) و${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)}$لديه${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} =\mathbf {B} }$(${\displaystyle \mathbf {A} }$هو جهد متجه لحقل متجه لولبي${\displaystyle \mathbf {B} }$).

يمكن الحصول على المجالين الكهربائي والمغناطيسي من مركبات موتر المجال الكهرومغناطيسي. وتكون العلاقة أبسط ما يكون في الإحداثيات الديكارتية .

$${\displaystyle E_{i}=cF_{0i},}$$ حيث c هي سرعة الضوء، و $${\displaystyle B_{i}=-{\tfrac {1}{2}}\varepsilon _{ijk}F^{jk},}$$ أين${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$هو موتر ليفي-سيفيتا . هذا يعطي الحقول في إطار مرجعي معين؛ إذا تم تغيير الإطار المرجعي، فإن مكونات الموتر الكهرومغناطيسي ستتحول بشكل متغاير ، وستُعطى الحقول في الإطار الجديد بواسطة المكونات الجديدة.

في شكل مصفوفة متغايرة مع إشارة مترية (+,−,−,−)، ^{[ 4 ] : ​​313}$${\displaystyle F^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_ {y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}.}$$

يُعطى الشكل المتغير المشترك عن طريق خفض المؤشر ،

$${\displaystyle {\begin{aligned}F_{\mu \nu }&=\eta _{\alpha \nu }F^{\beta \alpha }\eta _{\mu \beta }\\[1ex]&={\begin{bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$الموتر الثنائي لهودج لموتر فاراداي هو $${\displaystyle {\begin{aligned}G^{\alpha \beta }&={\tfrac {1}{2}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }F_{\gamma \delta }\\[1ex]&={\begin{bmatrix}0&-B_{x}&-B_{y}&-B_{z}\\B_{x}&0&E_{z}/c&-E_{y}/c\\B_{y}&-E_{z}/c&0&E_{x}/c\\B_{z}&E_{y}/c&-E_{x}/c&0\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$

من الآن فصاعدًا في هذه المقالة، عندما يتم ذكر المجالات الكهربائية أو المغناطيسية، يُفترض وجود نظام إحداثيات ديكارتية، وتكون المجالات الكهربائية والمغناطيسية بالنسبة إلى الإطار المرجعي لنظام الإحداثيات، كما هو الحال في المعادلات أعلاه.

ينتج عن الشكل المصفوفي لموتر المجال الخصائص التالية: ^{[ 2 ]}

1. التناظر العكسي :$${\displaystyle F^{\mu \nu }=-F^{\nu \mu }}$$
2. ستة مكونات مستقلة: في الإحداثيات الديكارتية، هذه هي ببساطة المكونات المكانية الثلاثة للمجال الكهربائي ( E _x ، E _y ، E _z ) والمجال المغناطيسي ( B _x ، B _y ، B _z ).
3. الضرب الداخلي: إذا تم تكوين ضرب داخلي لموتر شدة المجال، فإنه يتم تكوين ثابت لورنتز.$${\displaystyle F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }=2\left(B^{2}-{\frac {E^{2}}{c^{2}}}\right)}$$وهذا يعني أن هذا الرقم لا يتغير من إطار مرجعي إلى آخر.
4. الثابت شبه القياسي : حاصل ضرب الموتر${\displaystyle F^{\mu \nu }}$مع نظام هودج المزدوج${\displaystyle G^{\mu \nu }}$يعطي ثابت لورنتز :$${\displaystyle G_{\gamma \delta }F^{\gamma \delta }={\frac {1}{2}}\varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }F^{\alpha \beta }F^{\gamma \delta }=-{\frac {4}{c}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {E} \,}$$أين${\displaystyle \varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }}$هذا هو رمز ليفي-تشيفيتا من الرتبة الرابعة . وتعتمد إشارة ما سبق على الاصطلاح المستخدم لرمز ليفي-تشيفيتا. الاصطلاح المستخدم هنا هو${\displaystyle \varepsilon _{0123}=-1}$. هذا الثابت وثابت لورنتز السابق يختفيان في حالة المجال المتقاطع.
5. المحدد :$${\displaystyle \det F={\frac {1}{c^{2}}}\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {E} \right)^{2}}$$وهو يتناسب مع مربع الثابت المذكور أعلاه.
6. يتعقب :$${\displaystyle \operatorname {tr} F={F^{\mu }}_{\mu }=0}$$

يُبسّط هذا الموتر ويُختزل معادلات ماكسويل من أربع معادلات حسابية متجهة إلى معادلتين حقليتين موتريتين. في علم الكهرباء الساكنة وعلم الكهرباء الديناميكية ، يُعرَّف قانون جاوس وقانون أمبير الدائري على التوالي كما يلي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}},&\nabla \times \mathbf {B} &={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mu _{0}\mathbf {J} \end{aligned}}}$$

وتختزل إلى معادلة ماكسويل غير المتجانسة:

$${\displaystyle \partial _{\alpha }F^{\beta \alpha }=-\mu _{0}J^{\beta },}$$ أين${\displaystyle J^{\alpha }=(c\rho ,\mathbf {J} )}$هو التيار الرباعي .

في علم المغناطيسية الساكنة وعلم المغناطيسية الديناميكية، فإن قانون جاوس للمغناطيسية ومعادلة ماكسويل-فاراداي هما على التوالي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {B} &=0,&\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\end{aligned}}}$$

والتي تُختزل إلى هوية بيانكي :

$${\displaystyle \partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }=0}$$

أو باستخدام تدوين الفهرس مع الأقواس المربعة ^{[ملاحظة 1]} للجزء غير المتناظر من الموتر:

$${\displaystyle \partial _{[\alpha }F_{\beta \gamma ]}=0}$$ باستخدام التعبير الذي يربط موتر فاراداي بالجهد الرباعي، يمكن إثبات أن الكمية المضادة للتناظر المذكورة أعلاه تتحول إلى الصفر بشكل مطابق (${\displaystyle \equiv 0}$). هذه المعادلة الموترية تعيد إنتاج معادلات ماكسويل المتجانسة.

يمكن الحصول على كثافة الهاميلتوني باستخدام العلاقة المعتادة،

$${\displaystyle {\mathcal {H}}(\phi ^{i},\pi _{i})=\pi _{i}{\dot {\phi }}^{i}(\phi ^{i},\pi _{i})-{\mathcal {L}}\,.}$$

هنا${\displaystyle \phi ^{i}=A^{i}}$هي الحقول وكثافة زخم المجال الكهرومغناطيسي هي

$${\displaystyle \pi _{i}=T_{0i}={\frac {1}{\mu _{0}}}F_{0}{}^{\alpha }F_{i\alpha }={\frac {1}{\mu _{0}c}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} \,.}$$ بحيث تكون الكمية المحفوظة المرتبطة بالانتقال من نظرية نوثر هي الزخم الكلي $${\displaystyle \mathbf {P} =\sum _{\alpha }m_{\alpha }{\dot {\mathbf {x} }}_{\alpha }+{\frac {1}{\mu _{0}c}}\int _{\mathcal {V}}\mathrm {d} ^{3}x\,\mathbf {E} \times \mathbf {B} \,.}$$

ترتبط كثافة الهاميلتوني للحقل الكهرومغناطيسي بموتر الإجهاد والطاقة الكهرومغناطيسي$${\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}\left[F^{\mu \alpha }F^{\nu }{}_{\alpha }-{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right]\,.}$$

مثل

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {H}}=T_{00}&={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{0}\mathbf {E} ^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ^{2}\right)\\[1ex]&={\frac {1}{8\pi }}\left(\mathbf {E} ^{2}+\mathbf {B} ^{2}\right)\,.\end{aligned}}}$$

حيث أهملنا كثافة طاقة المادة ، بافتراض وجود المجال الكهرومغناطيسي فقط، وتفترض المساواة الأخيرة نظام CGS. زخم الشحنات غير النسبية المتفاعلة مع المجال الكهرومغناطيسي في مقياس كولوم (${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {A} =\nabla _{i}A^{i}=0}$) يكون

$${\displaystyle \mathbf {p} _{\alpha }=m_{\alpha }{\dot {\mathbf {x} }}_{\alpha }+{\frac {q_{\alpha }}{c}}\mathbf {A} (\mathbf {x} _{\alpha })\,.}$$

الهاميلتوني الكلي لنظام المادة + المجال الكهرومغناطيسي هو

$${\displaystyle H=\int _{\mathcal {V}}d^{3}x\,T_{00}=H_{\text{mat}}+H_{\text{em}}\,.}$$

حيث بالنسبة للجسيمات النقطية غير النسبية في مقياس كولوم

$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\text{mat}}&=\sum _{\alpha }m_{\alpha }\left|{\dot {\mathbf {x} }}_{\alpha }\right|^{2}+\sum _{\alpha <\beta }{\frac {q_{\alpha }q_{\beta }}{\left|\mathbf {x} _{\alpha }-\mathbf {x} _{\beta }\right|}}\\[1ex]&=\sum _{\alpha }{\frac {1}{2m_{\alpha }}}\left[\mathbf {p} _{\alpha }-{\frac {q_{\alpha }}{c}}\mathbf {A} (\mathbf {x} _{\alpha })\right]^{2}+\sum _{\alpha <\beta }{\frac {q_{\alpha }q_{\beta }}{\left|\mathbf {x} _{\alpha }-\mathbf {x} _{\beta }\right|}}\,.\end{aligned}}}$$

حيث يكون الحد الأخير متطابقًا${\textstyle {\frac {1}{8\pi }}\int _{\mathcal {V}}d^{3}x\,\mathbf {E} _{\parallel }^{2}}$أين${\displaystyle {E}_{\parallel i}={\nabla _{i}}A_{0}}$ و

$${\displaystyle H_{\text{em}}={\frac {1}{8\pi }}\int _{\mathcal {V}}d^{3}x\left(\mathbf {E} _{\perp }^{2}+\mathbf {B} ^{2}\right)\,.}$$ أين و ${\textstyle {E}_{\perp i}=-{\frac {1}{c}}\partial _{0}A_{i}}$.

يمتد لاغرانجيان الديناميكا الكهربائية الكمومية إلى ما هو أبعد من لاغرانجيان الكلاسيكي الذي تم تأسيسه في النسبية ليشمل خلق وإفناء الفوتونات (والإلكترونات):

$${\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}\left(i\hbar c\,\gamma ^{\alpha }D_{\alpha }-mc^{2}\right)\psi -{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta },}$$

حيث يحتوي الجزء الأول في الجانب الأيمن على سبينور ديراك${\displaystyle \psi }$يمثل حقل ديراك . في نظرية الحقل الكمومي، يُستخدم كنموذج لموتر شدة حقل القياس. وباستخدامه بالإضافة إلى لاغرانجيان التفاعل المحلي، فإنه يستعيد دوره المعتاد في الديناميكا الكهربائية الكمومية.