مصفوفة متناظرة معكوسة

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 107 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، وخاصة في الجبر الخطي ، المصفوفة المتناظرة المعكوسة (أو المتناظرة المضادة أو المضادة للقياس [ 1 ] ) هي مصفوفة مربعة يكون منقولها مساوياً لسالبها. أي أنها تحقق الشرط [ 2 ].

أ متناظر معكوس⟺أتي=-أ.{\displaystyle A{\text{ skew-symmetric}}\quad \iff \quad A^{\textsf {T}}=-A.}

فيما يتعلق بعناصر المصفوفة، إذاأأناج{\textstyle a_{ij}}يشير إلى المدخل فيأنا{\textstyle i}الصف رقم -th وج{\textstyle j}العمود رقم -، فإن شرط التناظر المائل يكون مكافئًا لـ

أ متناظر معكوس⟺أأناج=-أجأنا.{\displaystyle A{\text{ skew-symmetric}}\quad \iff \quad a_{ij}=-a_{ji}.}

في خاصية لا تساوي 2، تكون العناصر القطرية للمصفوفة المتناظرة المائلة أصفارًا لأن كل عنصر يجب أن يكون معكوسه.

مثال

المصفوفة أ=[02-45-20-44540]{\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&2&-45\\-2&0&-4\\45&4&0\end{bmatrix}}} هو متماثل معكوس لأن أتي=[0-245204-45-40]=-أ.{\displaystyle A^{\textsf {T}}={\begin{bmatrix}0&-2&45\\2&0&4\\-45&-4&0\end{bmatrix}}=-A.}

ملكيات

نفترض طوال الوقت أن جميع عناصر المصفوفة تنتمي إلى حقلF{\textstyle \mathbb {F} }المصفوفة التي لا تساوي خاصيتها 2. أي، نفترض أن 1 + 1 ≠ 0 ، حيث يرمز 1 إلى العنصر المحايد الضربي و0 إلى العنصر المحايد الجمعي للحقل المعطى. إذا كانت خاصية الحقل تساوي 2، فإن المصفوفة المتناظرة المعكوسة هي نفسها المصفوفة المتناظرة .

  • مجموع مصفوفتين متماثلتين معكوسة يكون متماثلاً معكوساً.
  • المضاعف القياسي لمصفوفة متناظرة معكوسة يكون متناظرًا معكوسًا.
  • تكون العناصر الموجودة على القطر الرئيسي للمصفوفة المتناظرة المائلة صفرًا، وبالتالي فإن أثرها يساوي صفرًا.
  • القيم الذاتية لمصفوفة حقيقية متماثلة معكوسة هي قيم تخيلية بحتة.
  • لوأ{\textstyle A}إذا كانت مصفوفة حقيقية متناظرة معكوسة،أنا+أ{\textstyle I+A}قابلة للعكس ، حيثأنا{\textstyle I}هي مصفوفة الوحدة.
  • لوأ{\textstyle A}إذا كانت مصفوفة متناظرة معكوسةأ2{\textstyle A^{2}}هي مصفوفة متناظرة سالبة شبه محددة .

بنية الفضاء المتجهي

نتيجةً للخاصيتين الأوليين المذكورتين أعلاه، فإن مجموعة جميع المصفوفات المتناظرة عكسيًا ذات الحجم الثابت تُشكّل فضاءً متجهيًا .ن×ن{\textstyle n\times n}المصفوفات المتناظرة المائلة لها بُعد12ن(ن-1).{\textstyle {\frac {1}{2}}n(n-1).}

يتركحصيرةن{\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}}يشير إلى فضاءن×ن{\textstyle n\times n}المصفوفات. يتم تحديد المصفوفة المتناظرة المائلة بواسطة12ن(ن-1){\textstyle {\frac {1}{2}}n(n-1)}القيم العددية (عدد العناصر فوق القطر الرئيسي )؛ يتم تحديد المصفوفة المتناظرة بواسطة12ن(ن+1){\textstyle {\frac {1}{2}}n(n+1)}القيم العددية (عدد المدخلات على القطر الرئيسي أو فوقه). ليكنالانحرافن{\textstyle {\mbox{انحراف}}_{n}}يشير إلى فضاءن×ن{\textstyle n\times n}المصفوفات المتناظرة المائلة وطبيعين{\textstyle {\mbox{Sym}}_{n}}يشير إلى فضاءن×ن{\textstyle n\times n}المصفوفات المتناظرة. إذاأ∈حصيرةن{\textstyle A\in {\mbox{Mat}}_{n}}ثم أ=12(أ-أتي)+12(أ+أتي).{\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}\left(AA^{\mathsf {T}}\right)+{\tfrac {1}{2}}\left(A+A^{\mathsf {T}}\right).}

لاحظ أن12(أ-أتي)∈الانحرافن{\textstyle {\frac {1}{2}}\left(AA^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Skew}}_{n}}و12(أ+أتي)∈طبيعين.{\textstyle {\frac {1}{2}}\left(A+A^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Sym}}_{n}.}هذا صحيح بالنسبة لكل مصفوفة مربعةأ{\textstyle A}مع إدخالات من أي حقل تختلف خصائصه عن 2. ثم ، بماحصيرةن=الانحرافن+طبيعين{\textstyle {\mbox{Mat}} _ {n} = {\mbox {Skew}} _ {n} + {\mbox {Sym}} _ {n}}والانحرافن∩طبيعين={0}،{\textstyle {\mbox{Skew}}_{n}\cap {\mbox{Sym}}_{n}=\{0\},}حصيرةن=الانحرافن⊕طبيعين،{\displaystyle {\mbox{Mat}} _ {n} = {\mbox {Skew}} _ {n} \oplus {\mbox {Sym}} _ {n}،} أين⊕{\displaystyle \oplus }يرمز إلى المجموع المباشر .

يرمز بـ⟨⋅،⋅⟩{\textstyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }المنتج الداخلي القياسي علىRن.{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}الحقيقين×ن{\displaystyle n\times n}مصفوفةأ{\textstyle A}تكون متناظرة عكسياً إذا وفقط إذا ⟨أx،y⟩=-⟨x،أy⟩ للجميع x،y∈Rن.{\displaystyle \langle Ax,y\rangle =-\langle x,Ay\rangle \quad {\text{ for all }}x,y\in \mathbb {R} ^{n}.}

وهذا يعادل أيضًا⟨x،أx⟩=0{\textstyle \langle x,Ax\rangle =0}للجميعx∈Rن{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}(أحد التداعيات واضح، والآخر نتيجة مباشرة لـ⟨x+y،أ(x+y)⟩=0{\textstyle \langle x+y,A(x+y)\rangle =0}للجميعx{\displaystyle x}وy{\displaystyle y}).

بما أن هذا التعريف مستقل عن اختيار الأساس ، فإن التناظر المائل هو خاصية تعتمد فقط على المؤثر الخطيأ{\displaystyle A}وخيار من المنتجات الداخلية .

3×3{\displaystyle 3\times 3}يمكن استخدام المصفوفات المتناظرة المائلة لتمثيل الضرب الاتجاهي كضرب مصفوفات.

علاوة على ذلك، إذاأ{\displaystyle A}إذا كانت مصفوفة متناظرة معكوسة (أو مصفوفة هيرميتية معكوسة )،xتيأx=0{\displaystyle x^{T}Ax=0}للجميعx∈جن{\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}.

المحدد

يتركأ{\displaystyle A}كنن×ن{\displaystyle n\times n}مصفوفة متناظرة معكوسة. محدد المصفوفةأ{\displaystyle A}يرضي

المحقق(أ)=المحقق(أتي)=المحقق(-أ)=(-1)نالمحقق(أ).{\displaystyle \det(A)=\det \left(A^{\textsf {T}}\right)=\det(-A)={\left(-1\right)}^{n}\det(A).}

على وجه الخصوص، إذان{\displaystyle n}بما أن الحقل الأساسي ليس من النوع 2، فإن المحدد يساوي صفرًا. لذا، فإن جميع المصفوفات المتناظرة المائلة ذات البعد الفردي تكون شاذة لأن محدداتها تساوي صفرًا دائمًا. تُعرف هذه النتيجة بنظرية جاكوبي ، نسبةً إلى كارل غوستاف جاكوبي (إيفز، 1980).

أما الحالة ذات الأبعاد الزوجية فهي أكثر إثارة للاهتمام. ويتضح أن محددأ{\displaystyle A}لن{\displaystyle n}حتى يمكن كتابتها كمربع متعدد الحدود في مدخلاتأ{\displaystyle A}، وهو ما أثبته كايلي لأول مرة: [ 3 ]

المحقق(أ)=Pf⁡(أ)2.{\displaystyle \det(A)=\operatorname {Pf} (A)^{2}.}

تُسمى هذه المعادلة متعددة الحدود بـ Pfaffianأ{\displaystyle A}ويُشار إليه بـPf⁡(أ){\displaystyle \operatorname {Pf} (A)}وبالتالي، فإن محدد المصفوفة الحقيقية المتناظرة عكسيًا يكون دائمًا غير سالب. مع ذلك، يمكن إثبات هذه الحقيقة الأخيرة بطريقة بسيطة كما يلي: القيم الذاتية للمصفوفة الحقيقية المتناظرة عكسيًا هي أعداد تخيلية بحتة (انظر أدناه)، ولكل قيمة ذاتية قيمة ذاتية مرافقة لها نفس التعددية؛ لذلك، بما أن المحدد هو حاصل ضرب القيم الذاتية، كل منها مكررة وفقًا لتعدديتها، فإنه يترتب على ذلك مباشرةً أن المحدد، إن لم يكن صفرًا، هو عدد حقيقي موجب.

عدد المصطلحات المتميزةs(ن){\displaystyle s(n)}في توسيع محدد مصفوفة متناظرة معكوسة من الرتبةن{\displaystyle n}سبق أن تناول كايلي وسيلفستر وباف هذا الموضوع. ونظرًا لعمليات الحذف، فإن هذا العدد صغير جدًا مقارنةً بعدد حدود محدد مصفوفة عامة من الرتبةن{\displaystyle n}، وهون!{\displaystyle n!}التسلسلs(ن){\displaystyle s(n)}(التسلسل A002370 في OEIS ) هو

1، 0، 1، 0، 6، 0، 120، 0، 5250، 0، 395010، 0، …

وهي مُشفّرة في الدالة المولدة الأسية∑ن=0∞s(ن)ن!xن=(1-x2)-14خبرة⁡(x24).{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {s(n)}{n!}}x^{n}=\left(1-x^{2}\right)^{-{\frac {1}{4}}}\exp \left({\frac {x^{2}}{4}}\right).}

ويخضع الأخير للسلوك التقاربي (لـن{\displaystyle n}حتى) s(ن)=234π12Γ(34)(نهـ)ن-14(1+يا(ن-1)).{\displaystyle s(n)={\frac {2^{\frac {3}{4}}}{\pi ^{\frac {1}{2}}}}\,\Gamma {\left({\frac {3}{4}}\right)}{\left({\frac {n}{e}}\right)}^{n-{\frac {1}{4}}}\left(1+O{\left(n^{-1}\right)}\right).}

عدد الحدود الموجبة وعدد الحدود السالبة يساوي تقريبًا نصف المجموع الكلي، على الرغم من أن الفرق بينهما يأخذ قيمًا موجبة وسالبة أكبر فأكبر مع ازديادن{\displaystyle n}زيادة (التسلسل A167029 في OEIS ) .

الضرب الاتجاهي

يمكن استخدام المصفوفات المتناظرة المائلة من الرتبة 3×3 لتمثيل الضرب الاتجاهي كضرب مصفوفات. لنفترض متجهينأ=(أ1،أ2،أ3){\displaystyle \mathbf {a} =\left(a_{1},a_{2},a_{3}\right)}وب=(ب1،ب2،ب3).{\displaystyle \mathbf {b} =\left(b_{1},b_{2},b_{3}\right).}الضرب الاتجاهيأ×ب{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }هي دالة ثنائية الخطية ، مما يعني أنه بتثبيت أحد الوسيطين، على سبيل المثالأ{\displaystyle \mathbf {a} }، فإنه يُنتج خريطة خطية مع مصفوفة تحويل مرتبطة بها[أ]×{\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }}بحيث

أ×ب=[أ]×ب،{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =[\mathbf {a} ]_{\times }\mathbf {b} ,}

أين[أ]×{\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }}يكون

[أ]×=[0-أ3أ2أ30-أ1-أ2أ10].{\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }={\begin{bmatrix}\,\,0&\!-a_{3}&\,\,\,a_{2}\\\,\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\\!-a_{2}&\,\,a_{1}&\,\,0\end{bmatrix}}.}

يمكن التحقق من ذلك على الفور عن طريق حساب كلا جانبي المعادلة السابقة ومقارنة كل عنصر متناظر من النتائج.

يمتلك المرء بالفعل [أ×ب]×=[أ]×[ب]×-[ب]×[أ]×؛{\displaystyle [\mathbf {a\times b} ]_{\times }=[\mathbf {a} ]_{\times }[\mathbf {b} ]_{\times }-[\mathbf {b} ]_{\times }[\mathbf {a} ]_{\times };}

أي أن مبدل المصفوفات المتناظرة المائلة من الرتبة 3×3 يمكن تحديده بالضرب الاتجاهي لمتجهين. وبما أن المصفوفات المتناظرة المائلة من الرتبة 3×3 هي جبر لي لمجموعة الدورانSيا(3){\textstyle SO(3)}وهذا يوضح العلاقة بين الفضاء الثلاثيR3{\textstyle \mathbb {R} ^{3}}الضرب الاتجاهي والدوران ثلاثي الأبعاد. يمكن الاطلاع على المزيد حول الدوران المتناهي الصغر أدناه.

النظرية الطيفية

بما أن المصفوفة تشبه منقولتها، فلا بد أن يكون لهما نفس القيم الذاتية. وعليه، فإن القيم الذاتية للمصفوفة المتناظرة عكسيًا تأتي دائمًا في أزواج ±λ (باستثناء حالة الأبعاد الفردية حيث توجد قيمة ذاتية إضافية غير مزدوجة تساوي صفرًا). وبحسب نظرية الطيف ، فإن القيم الذاتية غير الصفرية للمصفوفة المتناظرة عكسيًا الحقيقية هي جميعها أعداد تخيلية بحتة ، وبالتالي فهي على الصورة التالية:λ1أنا،-λ1أنا،λ2أنا،-λ2أنا،...{\displaystyle \lambda _{1}i,-\lambda _{1}i,\lambda _{2}i,-\lambda _{2}i,\ldots }حيث كل واحد منλك{\displaystyle \lambda _{k}}إنها حقيقية.

المصفوفات الحقيقية المتناظرة عكسيًا هي مصفوفات عادية (تتبادل مع مرافقاتها ) وبالتالي تخضع لنظرية الطيف ، التي تنص على أنه يمكن تحويل أي مصفوفة حقيقية متناظرة عكسيًا إلى مصفوفة قطرية بواسطة مصفوفة وحدوية . ولأن القيم الذاتية للمصفوفة الحقيقية المتناظرة عكسيًا هي قيم تخيلية، فإنه لا يمكن تحويلها إلى مصفوفة قطرية بواسطة مصفوفة حقيقية. ومع ذلك، من الممكن تحويل أي مصفوفة متناظرة عكسيًا إلى شكل قطري كتلي بواسطة تحويل متعامد خاص . [ 4 ] [ 5 ] على وجه التحديد، كل2ن×2ن{\displaystyle 2n\times 2n}يمكن كتابة المصفوفة الحقيقية المتناظرة المائلة على الصورة التاليةأ=سؤالΣسؤالتي{\displaystyle A=Q\Sigma Q^{\textsf {T}}}أينسؤال{\displaystyle Q}متعامد و Σ=[0λ1-λ100⋯000λ2-λ200⋮⋱⋮00⋯0λر-λر00⋱0]{\displaystyle \Sigma ={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}0&\lambda _{1}\\-\lambda _{1}&0\end{matrix}}&0&\cdots &0\\0&{\begin{matrix}0&\lambda _{2}\\-\lambda _{2}&0\end{matrix}}&&0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &{\begin{matrix}0&\lambda _{r}\\-\lambda _{r}&0\end{matrix}}\\&&&&{\begin{matrix}0\\&\ddots \\&&0\end{matrix}}\end{bmatrix}}}

لريال مدريدλك{\displaystyle \lambda _{k}}عندما يكون بفافيانأ{\displaystyle A}،Pو(أ){\displaystyle {\rm {Pf}}(A)}إذا كانت النتيجة موجبة، فإن جميعλك{\displaystyle \lambda _{k}}يمكن جعلها إيجابية. عندماPو(أ){\displaystyle {\rm {Pf}}(A)}إذا كانت النتيجة سلبية، فواحد على الأقل منλك{\displaystyle \lambda _{k}}s سالبة. القيم الذاتية غير الصفرية لهذه المصفوفة هي ±λ k i . في حالة الأبعاد الفردية، تحتوي Σ دائمًا على صف واحد على الأقل وعمود واحد على الأقل من الأصفار.

وبشكل أعم، يمكن كتابة كل مصفوفة معقدة متماثلة معكوسة بالشكل التالي:أ=يوΣيوتي{\displaystyle A=U\Sigma U^{\mathrm {T} }}أينيو{\displaystyle U}هو نظام وحدوي وΣ{\displaystyle \Sigma }له الشكل القطري الكتلي الموضح أعلاه معλك{\displaystyle \lambda _{k}}لا تزال موجبة تمامًا. هذا مثال على تحليل يولا لمصفوفة مربعة معقدة. [ 6 ]

الأشكال المتناظرة المائلة والمتناوبة

شكل متناظر معكوسφ{\displaystyle \varphi }في فضاء متجهيV{\displaystyle V}فوق حقلك{\displaystyle K}يُعرَّف الشكل ذو الخاصية العشوائية بأنه شكل ثنائي الخطية

φ:V×V↦ك{\displaystyle \varphi :V\times V\mapsto K}

بحيث يكون ذلك لجميعv،w{\displaystyle v,w}فيV،{\displaystyle V,}

φ(v،w)=-φ(w،v).{\displaystyle \varphi (v,w)=-\varphi (w,v).}

هذا يحدد شكلاً ذا خصائص مرغوبة للفضاءات المتجهة على حقول ذات خاصية لا تساوي 2، ولكن في فضاء متجه على حقل ذي خاصية 2، يكون التعريف مكافئًا لتعريف الشكل المتناظر، حيث أن كل عنصر هو معكوسه الجمعي الخاص.

حيث الفضاء المتجهيV{\displaystyle V}إذا كان لدينا حقل ذو خاصية عشوائية تتضمن الخاصية 2، فيمكننا تعريف الشكل المتناوب على أنه شكل ثنائي الخطيةφ{\displaystyle \varphi }بحيث يكون ذلك لجميع المتجهاتv{\displaystyle v}فيV{\displaystyle V}

φ(v،v)=0.{\displaystyle \varphi (v,v)=0.}

وهذا يعادل شكلاً متناظراً معكوساً عندما لا يكون الحقل من الخاصية 2، كما هو موضح من

0=φ(v+w،v+w)=φ(v،v)+φ(v،w)+φ(w،v)+φ(w،w)=φ(v،w)+φ(w،v)،{\displaystyle 0=\varphi (v+w,v+w)=\varphi (v,v)+\varphi (v,w)+\varphi (w,v)+\varphi (w,w)=\varphi (v,w)+\varphi (w,v),}

ومن ثم

φ(v،w)=-φ(w،v).{\displaystyle \varphi (v,w)=-\varphi (w,v).}

شكل ثنائي الخطيةφ{\displaystyle \varphi }سيتم تمثيلها بواسطة مصفوفةأ{\displaystyle A}بحيثφ(v،w)=vتيأw{\displaystyle \varphi (v,w)=v^{\textsf {T}}Aw}، التي كانت ذات يوم أساسًا لـV{\displaystyle V}يتم اختياره، وعلى العكس من ذلكن×ن{\displaystyle n\times n}مصفوفةأ{\displaystyle A}علىكن{\displaystyle K^{n}}يؤدي ذلك إلى إرسال نموذج(v،w){\displaystyle (v,w)}لvتيأw.{\displaystyle v^{\textsf {T}}Aw.} بالنسبة لكل من الأشكال المتناظرة، والمتناظرة المائلة، والمتناوبة، فإن المصفوفات الممثلة هي متناظرة، ومتناظرة مائلة، ومتناوبة على التوالي.

دورانات متناهية الصغر

تشكل المصفوفات المتناظرة المائلة على حقل الأعداد الحقيقية الفضاء المماسي للمجموعة المتعامدة الحقيقيةيا(ن){\displaystyle \mathrm {O} (n)}عند مصفوفة الوحدة؛ أو بشكل رسمي، جبر لي المتعامد الخاص . وبهذا المعنى، يمكن اعتبار المصفوفات المتناظرة المائلة بمثابة دورانات متناهية الصغر .

وبعبارة أخرى، فإن فضاء المصفوفات المتناظرة المائلة يشكل جبر ليo(ن){\displaystyle {\mathfrak {o}}(n)}من مجموعة لاييا(ن){\displaystyle \mathrm {O} (n)}. يتم تحديد قوس لي في هذا الفضاء بواسطة المبدل :

[أ،ب]=أب-بأ.{\displaystyle [A,B]=AB-BA.\,}

من السهل التحقق من أن مبدل مصفوفتين متماثلتين معكوسة يكون متماثلاً معكوساً أيضاً:

[أ،ب]تي=(أب)تي-(بأ)تي=بتيأتي-أتيبتي=(-ب)(-أ)-(-أ)(-ب)=بأ-أب=-[أ،ب].{\displaystyle {\begin{aligned}{[}A,B{]}^{\textsf {T}}&=(AB)^{\textsf {T}}-(BA)^{\textsf {T}}=B^{\textsf {T}}A^{\textsf {T}}-A^{\textsf {T}}B^{\textsf {T}}\\&=(-B)(-A)-(-A)(-B)=BA-AB=-[A,B]\,.\end{aligned}}}

الدالة الأسية للمصفوفة المتناظرة المائلةأ{\displaystyle A}ثم تكون مصفوفة متعامدةR{\displaystyle R}:

R=خبرة⁡(أ)=∑ن=0∞أنن!.{\displaystyle R=\exp(A)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A^{n}}{n!}}.}

تقع صورة الخريطة الأسية لجبر لي دائمًا في المكون المتصل لمجموعة لي الذي يحتوي على عنصر الوحدة . في حالة مجموعة لييا(ن){\displaystyle \mathrm {O} (n)}، هذا المكون المتصل هو المجموعة المتعامدة الخاصةSيا(ن){\displaystyle \mathrm {SO} (n)}، التي تتكون من جميع المصفوفات المتعامدة ذات المحدد 1. لذلكR=خبرة⁡(أ){\displaystyle R=\exp(A)}سيكون لها محدد  +1. علاوة على ذلك، بما أن الخريطة الأسية لمجموعة لي المدمجة المتصلة تكون دائمًا شاملة، يتضح أن كل مصفوفة متعامدة ذات محدد يساوي واحدًا يمكن كتابتها على أنها أسية لبعض المصفوفات المتناظرة المائلة.

في الحالة المهمة بشكل خاص للأبعادن=2،{\displaystyle n=2,}يختزل التمثيل الأسي للمصفوفة المتعامدة إلى الشكل القطبي المعروف لعدد مركب ذي معيار يساوي واحدًا. في الواقع، إذا ⁠ن=2{\displaystyle n=2}، مصفوفة متعامدة خاصة لها الشكل التالي

[أ-ببأ]،{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&-b\\b&\,a\end{bmatrix}},}

مع​أ2+ب2=1{\displaystyle a^{2}+b^{2}=1}لذلك ، فإن وضعأ=كوس⁡θ{\displaystyle a=\cos \theta }و​ب=الخطيئة⁡θ{\displaystyle b=\sin \theta }، يمكن كتابتها

[كوسθ-الخطيئةθالخطيئةθكوسθ]=خبرة⁡(θ[0-110])،{\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \,\theta &-\sin \,\theta \\\sin \,\theta &\,\cos \,\theta \end{bmatrix}}=\exp \left(\theta {\begin{bmatrix}0&-1\\1&\,0\end{bmatrix}}\right),}

وهو ما يتوافق تمامًا مع الشكل القطبيكوس⁡θ+أناالخطيئة⁡θ=خبرة⁡(أناθ){\displaystyle \cos \theta +i\sin \theta =\exp(i\theta )}عدد مركب ذو معامل وحدة.

في ثلاثة أبعاد، تكون الدالة الأسية للمصفوفة هي صيغة دوران رودريغز في تدوين المصفوفات ، وعند التعبير عنها عبر صيغة أويلر-رودريغز ، فإن جبر معلماتها الأربعة يؤدي إلى ظهور الكواترنيونات .

التمثيل الأسي لمصفوفة متعامدة من الرتبةن{\displaystyle n}ويمكن الحصول على ذلك أيضًا انطلاقًا من حقيقة أنه في البعدن{\displaystyle n}أي مصفوفة متعامدة خاصةR{\displaystyle R} يمكن كتابتها على النحو التالي :R=سؤالSسؤالتي{\displaystyle R=QSQ^{\textsf {T}}}، حيثسؤال{\displaystyle Q}هي متعامدة و S هي مصفوفة قطرية كتلية مع⌊ن/2⌋{\textstyle \lfloor n/2\rfloor }كتل من الرتبة  2، بالإضافة إلى كتلة واحدة من الرتبة 1 إذان{\displaystyle n}عدد فردي؛ ولأن كل كتلة منفردة من الرتبة 2 هي أيضًا مصفوفة متعامدة، فإنها تقبل صيغة أسية. وبناءً على ذلك، يمكن كتابة المصفوفة S على شكل أسي لمصفوفة كتلية متناظرة معكوسة. Σ{\displaystyle \Sigma }بالشكل المذكور أعلاه ،S=خبرة⁡(Σ){\displaystyle S=\exp(\Sigma )}، بحيث​R=سؤالخبرة⁡(Σ)سؤالتي=خبرة⁡(سؤالΣسؤالتي){\displaystyle R=Q\exp(\Sigma )Q^{\textsf {T}}=\exp(Q\Sigma Q^{\textsf {T}})}، الدالة الأسية للمصفوفة المتناظرة المائلةسؤالΣسؤالتي{\displaystyle Q\Sigma Q^{\textsf {T}}}⁠ . على العكس من ذلك، فإن خاصية الشمولية للخريطة الأسية، إلى جانب عملية التقطير الكتلي المذكورة أعلاه للمصفوفات المتناظرة المائلة، تستلزم التقطير الكتلي للمصفوفات المتعامدة.

بدون إحداثيات

وبشكل أكثر جوهرية (أي بدون استخدام الإحداثيات)، التحويلات الخطية المتناظرة المائلة على فضاء متجهيV{\displaystyle V}يمكن تعريف الضرب الداخلي على أنه المتجهات الثنائية على الفضاء، وهي عبارة عن مجموع المتجهات الثنائية البسيطة ( الشفرات الثنائية ).v∧w.{\textstyle v\wedge w.}يتم تحديد التطابق من خلال الخريطةv∧w↦v⊗w-w⊗v{\textstyle v\wedge w\mapsto v\otimes w-w\otimes v}في الإحداثيات المتعامدة، تُعدّ هذه المصفوفات هي المصفوفات الأولية المتناظرة عكسيًا. يُستخدم هذا التوصيف في تفسير التفاف حقل متجهي (وهو في الأصل متجه ثنائي الأبعاد) على أنه دوران متناهي الصغر أو "الالتفاف"، ومن هنا جاءت التسمية.

مصفوفة قابلة للتناظر المائل

أنن×ن{\displaystyle n\times n}مصفوفةأ{\displaystyle A}يُقال إن المصفوفة قابلة للتناظر المعكوس إذا وُجدت مصفوفة قطرية قابلة للعكسد{\displaystyle D}بحيثدأ{\displaystyle DA}متناظر عكسيًا. بالنسبة للحقيقةن×ن{\displaystyle n\times n}المصفوفات، وأحيانًا يكون الشرط لـد{\displaystyle D}يُضاف إليها إدخالات موجبة. [ 7 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ ريتشارد أ. ريمنت؛ كي جي جوريسكوغ ؛ ليزلي ف. ماركوس (1996). التحليل العاملي التطبيقي في العلوم الطبيعية . مطبعة جامعة كامبريدج. ص  68. ISBN 0-521-57556-7.
  2. ↑ ليبشوتز، سيمور؛ ليبسون، مارك (سبتمبر 2005). ملخص شوم لنظرية ومسائل الجبر الخطي . ماكجرو هيل. ص 38. ISBN  9780070605022.
  3. ^ كايلي ، آرثر (1847). "Sur les المحددات gauches" [ على المحددات المنحرفة ] . مجلة كريل . 38 : 93 – 96.أعيد طبعه في كايلي، أ. (2009). "Sur les Déterminants Gauches". الأوراق الرياضية المجمعة . المجلد. 1. الصفحات من 410 إلى 413. دوى : 10.1017/CBO9780511703676.070 . رقم ISBN   978-0-511-70367-6.
  4. ^ دوبليج، إس. نيكيتين، أ.؛ غالكين، أ.؛ سيرجييف، أ.؛ دايي، أوف؛ موهاباترا، ر. ليباتوف، ل.؛ دن، G.؛ فاينبرج، J.؛ أوياما، هـ؛ فورونوف، ت. (2004). "بفافيان" . في دوبليج، إس؛ سيجل، دبليو؛ باجر، ج. (محرران). موسوعة موجزة عن التناظر الفائق . سبرينغر. ص. 298. دوى : 10.1007/1-4020-4522-0_393 . رقم ISBN  978-1-4020-1338-6.
  5. ↑ زومينو، برونو (1962). "الأشكال الطبيعية للمصفوفات المركبة". مجلة الفيزياء الرياضية . 3 (5): 1055-1057 . Bibcode : 1962JMP.....3.1055Z . doi : 10.1063/1.1724294 .
  6. ↑ يولا، دي سي (1961). "صيغة طبيعية لمصفوفة تحت زمرة التطابق الوحدوية" . المجلة الكندية للرياضيات 13 : 694-704 . doi : 10.4153 /CJM-1961-059-8 .
  7. ↑ فومين، سيرجي؛ زيليفينسكي، أندريه (2001). "جبر المجموعات 1: الأسس". arXiv : math/0104151v1 .

للمزيد من القراءة