التبليط غير الدوري

في رياضيات التبليط ، يُعرف التبليط غير الدوري بأنه تبليط لا يمتلك أي تناظر انتقالي . أما مجموعة البلاطات الأولية غير الدورية فهي مجموعة من أنواع البلاطات التي يمكن استخدامها للتبليط، ولكن بشكل غير دوري فقط. ويمكن تسمية التبليطات الناتجة عن إحدى مجموعات البلاطات الأولية هذه بالتبليطات غير الدورية . ^{[ 1 ]}

تُعدّ تبليطات بنروز مثالاً معروفاً للتبليطات غير الدورية. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

في مارس 2023، أعلن أربعة باحثين، هم ديفيد سميث ، وجوزيف صموئيل مايرز، وكريغ إس. كابلان ، وحاييم غودمان-ستراوس ، عن إثبات أن البلاطة التي اكتشفها ديفيد سميث هي بلاطة أحادية غير دورية ، أي حل لمسألة أينشتاين ، وهي مسألة تبحث في وجود أي بلاطة أحادية الشكل غير دورية. ^{[ 4 ]} وفي مايو 2023، نشر المؤلفون أنفسهم بلاطة أحادية غير دورية ذات شكل حلزوني مع قيود مماثلة ولكن أقوى. ^{[ 5 ]}

تُستخدم التبليطات غير الدورية كنماذج رياضية للبلورات شبه الدورية ، وهي مواد صلبة فيزيائية اكتشفها دان شيختمان في عام 1982 ^{[ 6 ]} والذي فاز لاحقًا بجائزة نوبل في عام 2011. ^{[ 7 ]} ومع ذلك، لا يزال التركيب المحلي المحدد لهذه المواد غير مفهوم بشكل جيد.

توجد عدة طرق معروفة لإنشاء التبليطات غير الدورية.

لنفترض وجود تبليط دوري بمربعات الوحدة (يشبه ورق رسم بياني لانهائي ). الآن، قُسِّم مربع واحد إلى مستطيلين. التبليط الناتج بهذه الطريقة غير دوري: لا يوجد إزاحة غير صفرية تُبقي هذا التبليط ثابتًا. لكن من الواضح أن هذا المثال أقل إثارة للاهتمام من تبليط بنروز. لاستبعاد هذه الأمثلة المملة، يُعرَّف التبليط غير الدوري بأنه التبليط الذي لا يحتوي على أجزاء دورية كبيرة بشكل تعسفي.

يُطلق على التبليط اسم التبليط غير الدوري إذا كان غلافه يحتوي فقط على تبليطات غير دورية. غلاف التبليط${\displaystyle T\subset \mathbb {R} ^{d}}$تحتوي على جميع عمليات الإزاحة T + x للمجموعة T ، بالإضافة إلى جميع التبليطات التي يمكن تقريبها بواسطة عمليات إزاحة T. رسميًا، هذا هو إغلاق المجموعة${\displaystyle \{T+x\,:\,x\in \mathbb {R} ^{d}\}}$في الطوبولوجيا المحلية. ^{[ 8 ]} في الطوبولوجيا المحلية (أو المقياس المقابل) يوجد نوعان من التبليط${\displaystyle \varepsilon }$- أغلق إذا اتفقوا في كرة نصف قطرها${\displaystyle 1/\varepsilon }$حول نقطة الأصل (ربما بعد تحريك أحد التبليطات بمقدار أقل من${\displaystyle \varepsilon }$).

لإعطاء مثال أبسط من المثال السابق، لنفترض تبليطًا أحادي البعد T للخط الذي يبدو كالتالي: ... aaaaaabaaaaa ... حيث يمثل a فترة طولها واحد، ويمثل b فترة طولها اثنان. بالتالي، يتكون التبليط T من عدد لا نهائي من نسخ a ونسخة واحدة من b (مركزها 0، على سبيل المثال). الآن، جميع عمليات إزاحة T هي تبليطات تحتوي على b في مكان ما و a في مكان آخر. سلسلة التبليطات التي يكون فيها b متمركزًا عند${\displaystyle 1,2,4,\ldots ,2^{n},\ldots }$يتقارب – في الطوبولوجيا المحلية – إلى التبليط الدوري المكون من عنصر واحد فقط. وبالتالي، فإن T ليس تبليطًا غير دوري، لأن غلافه يحتوي على التبليط الدوري ... aaaaaa ....

بالنسبة للتبليطات ذات السلوك الجيد (مثل تبليطات الاستبدال ذات عدد محدود من الأنماط المحلية): إذا كان التبليط غير دوري ومتكرر (أي أن كل رقعة تظهر بطريقة كثيفة بشكل منتظم في جميع أنحاء التبليط)، فإنه يكون غير دوري. ^{[ 8 ]}

لوحظ وجود بلاطات غير دورية في الزخارف الإسلامية في مواقع مثل ضريح درب الإمام في إيران. ^{[ 9 ]} ويُعتقد أنها ربما شُيّدت باستخدام تقنيات بلاط غير دورية مشابهة لتلك المستخدمة في بلاط بنروز. ^{[ 9 ]}

ظهر أول ظهور محدد للتبليط غير الدوري عام 1961، عندما حاول عالم المنطق هاو وانغ تحديد ما إذا كانت مسألة الدومينو قابلة للتقرير، أي ما إذا كانت هناك خوارزمية لتحديد ما إذا كانت مجموعة محدودة معينة من البلاطات الأولية تقبل تبليط المستوى. وجد وانغ خوارزميات لحصر مجموعات البلاطات التي لا يمكنها تبليط المستوى، ومجموعات البلاطات التي تبليطه دوريًا؛ وبهذا أثبت وجود خوارزمية قرار كهذه إذا كانت كل مجموعة محدودة من البلاطات الأولية التي تقبل تبليط المستوى تقبل أيضًا تبليطًا دوريًا. في عام 1964، وجد روبرت بيرغر مجموعة غير دورية من البلاطات الأولية، ومنها أثبت أن مسألة التبليط غير قابلة للتقرير في الواقع. ^{[ 10 ] [ 11 ]} تطلبت هذه المجموعة الأولى، التي استخدمها بيرغر في برهانه على عدم قابلية التقرير، 20426 بلاطة من بلاطات وانغ. قام بيرغر لاحقًا بتقليص مجموعته إلى 104، ثم اكتشف هانز لاوتشلي مجموعة غير دورية تتطلب 40 بلاطة وانغ فقط. ^{[ 12 ]} وفي عام 1971، اكتشف رافائيل إم. روبنسون مجموعة أصغر مكونة من ست بلاطات غير دورية (مبنية على بلاطات وانغ). ^{[ 13 ]} وفي عامي 1973 و1974، اكتشف روجر بنروز ثلاث مجموعات أخرى، مما قلل عدد البلاطات المطلوبة إلى اثنتين، واكتشف روبرت أمان عدة مجموعات جديدة في عام 1977. ^{[ 14 ]} وفي عام 2023، تم تقليص عدد البلاطات المطلوبة إلى واحدة فقط على يد ديفيد سميث، وجوزيف صموئيل مايرز، وكريغ إس. كابلان ، وحاييم غودمان-ستراوس . ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 15 ]}

يمكن توليد تبليطات بنروز غير الدورية ليس فقط بواسطة مجموعة غير دورية من البلاطات الأولية، بل أيضًا عن طريق الاستبدال وطريقة القطع والإسقاط . بعد اكتشاف أشباه البلورات، أصبحت التبليطات غير الدورية موضوع دراسة مكثفة من قبل الفيزيائيين والرياضيين. وقد تبين أن طريقة القطع والإسقاط التي وضعها إن جي دي بروين لتبليطات بنروز هي في نهاية المطاف مثال على نظرية مجموعات ماير . ^{[ 16 ] [ 17 ]} يوجد اليوم كم هائل من المؤلفات حول التبليطات غير الدورية. ^{[ 8 ]}

بلاطة أينشتاين ( بالألمانية : ein Stein ، وتعني حجر واحد) هي بلاطة غير دورية تستخدم شكلاً واحداً فقط. اكتُشفت أول بلاطة من هذا النوع عام 2010 - بلاطة سوكولار-تايلور ، وهي غير متصلة في قطعة واحدة. وفي عام 2023، اكتُشفت بلاطة متصلة، تستخدم شكلاً يُطلق عليه اسم "القبعة". ^{[ 18 ]}

توجد بعض الطرق المعروفة لإنشاء تبليطات غير دورية. تعتمد بعض هذه الطرق على عائلات لانهائية من مجموعات البلاطات غير الدورية. ^{[ 19 ] [ 20 ]} وتُبنى التبليطات التي تم اكتشافها حتى الآن في الغالب بطرق قليلة، وذلك أساسًا عن طريق فرض نوع من البنية الهرمية غير الدورية. مع ذلك، فإن عدم قابلية حل مسألة الدومينو يضمن وجود عدد لا نهائي من مبادئ البناء المختلفة، وأنه في الواقع توجد مجموعات بلاطات غير دورية لا يمكن إثبات عدم دوريتها.

ومع ذلك، هناك ثلاثة مبادئ للبناء تم استخدامها بشكل أساسي للمجموعات المحدودة من البلاطات الأولية حتى عام 2023: ^{[ 21 ]}

• قواعد المطابقة،
• قواعد الاستبدال والتوسيع و
• طريقة القطع والإسقاط.

بالنسبة لبعض أنواع التبليط، لا يُعرف إلا أن إحدى طرق البناء تؤدي إلى الحصول على هذا النوع من التبليط. بينما يمكن بناء أنواع أخرى باستخدام الطرق الكلاسيكية الثلاث جميعها، مثل تبليط بنروز . ^{[ 21 ]}

أثبت غودمان-ستراوس أن جميع التبليطات المُولَّدة بواسطة قواعد الاستبدال والتي تُحقق شرطًا تقنيًا يُمكن توليدها من خلال قواعد المطابقة. هذا الشرط التقني بسيط وعادةً ما يتحقق عمليًا. يشترط أن تحتوي البلاطات على مجموعة من الحواف الوراثية بحيث يكون تبليط الاستبدال من نوع حافة إلى حافة . ^{​​[ 19 ]}

التبليط الهرمي غير الدوري من خلال المطابقة

في عملية التبليط، يجب أن تغطي النسخ المتطابقة من البلاطات الأولية كامل المستوى الإقليدي دون تداخل (باستثناء الحدود) ودون ترك أي أجزاء غير مغطاة. لذا، يجب أن تتطابق حدود البلاطات المكونة للتبليط هندسيًا. ينطبق هذا عمومًا على جميع أنواع التبليط، سواء الدورية أو غير الدورية. في بعض الأحيان، يكون شرط التطابق الهندسي هذا كافيًا لجعل مجموعة البلاطات غير دورية، كما هو الحال في تبليطات روبينسون المذكورة أدناه.

أحيانًا، يتطلب الأمر تطبيق قواعد مطابقة إضافية . عادةً ما تشمل هذه القواعد ألوانًا أو علامات يجب أن تتطابق عبر عدة بلاطات على الحدود. تتطلب بلاطات وانغ عادةً مثل هذه القواعد الإضافية.

في بعض الحالات، أمكن استبدال قواعد المطابقة بشروط مطابقة هندسية بالكامل عن طريق تعديل البلاطات الأولية عند حدودها. يتكون تبليط بنروز (P1) في الأصل من أربع بلاطات أولية مع بعض قواعد المطابقة. إحدى هذه البلاطات الأربع خماسية الأضلاع. يمكن استبدال هذه البلاطة الخماسية بثلاثة أشكال خماسية مختلفة ذات نتوءات وتجاويف إضافية عند الحدود، مما يُشكل ثلاث بلاطات مختلفة. مع البلاطات الثلاث الأخرى ذات الحدود المُعدلة بشكل مناسب، نحصل على مجموعة من ست بلاطات أولية تُشكل أساسًا نفس التبليطات غير الدورية التي تُشكلها البلاطات الأربع الأصلية، ولكن بالنسبة لهذه البلاطات الست، لا حاجة إلى قواعد مطابقة إضافية، فشرط المطابقة الهندسية كافٍ.

لاحظ أيضًا أن بلاطات روبنسون الموضحة أدناه مزودة بعلامات لتسهيل التعرف البصري على الهيكل، لكن هذه العلامات لا تضع المزيد من قواعد المطابقة على البلاطات كما هو الحال بالفعل من خلال الحدود الهندسية.

حتى الآن، لا يوجد تعريف رسمي يصف متى يكون للتبليط بنية هرمية؛ ومع ذلك، من الواضح أن تبليطات الاستبدال تمتلك هذه البنية، وكذلك تبليطات بيرغر، وكنوث ، ولاوشلي ، وروبنسون ، وأمان . وكما هو الحال مع مصطلح "التبليط غير الدوري" نفسه، فإن مصطلح " التبليط الهرمي غير الدوري " هو اختصار مناسب، ويعني شيئًا من قبيل "مجموعة من البلاطات التي لا تقبل إلا التبليطات غير الدورية ذات البنية الهرمية".

بالنسبة للتبليطات غير الدورية، سواء كانت هناك قواعد مطابقة إضافية أم لا، فإن شروط المطابقة تفرض بنية هرمية على التبليطات مما يجعل هياكل الفترة مستحيلة.

تفرض كل مجموعة من هذه البلاطات، في أي نمط تبليط تسمح به، بنية هرمية محددة. (في العديد من الأمثلة اللاحقة، يمكن وصف هذه البنية بأنها نظام تبليط استبدالي؛ وسيتم شرح ذلك لاحقًا). لا يمكن لأي نمط تبليط تسمح به مجموعة البلاطات هذه أن يكون دوريًا، ببساطة لأنه لا يمكن لأي عملية إزاحة منفردة أن تُبقي البنية الهرمية بأكملها ثابتة. لنأخذ بلاطات روبنسون لعام 1971 كمثال:

لا يمكن لأي تبليط باستخدام هذه البلاطات إلا أن يُظهر تسلسلًا هرميًا من الشبكات المربعة: فمركز أي مربع برتقالي هو أيضًا زاوية لمربع برتقالي أكبر، وهكذا إلى ما لا نهاية. يجب أن يكون أي إزاحة أصغر من حجم معين للمربع، وبالتالي لا يمكنها أن تُبقي أي تبليط من هذا القبيل ثابتًا.

يُثبت روبنسون أن هذه البلاطات يجب أن تُشكّل هذا الهيكل استقرائيًا؛ أي أن البلاطات يجب أن تُشكّل كتلًا تتلاءم فيما بينها كنسخ أكبر من البلاطات الأصلية، وهكذا. وقد استُخدمت هذه الفكرة - المتمثلة في إيجاد مجموعات من البلاطات التي لا تقبل إلا الهياكل الهرمية - في بناء معظم مجموعات البلاطات غير الدورية المعروفة حتى الآن.

مع ذلك، فإن التبليط الناتج بهذه الطريقة ليس فريدًا، ولا حتى في حدود التماثلات الإقليدية ، كالانتقالات والدورانات . قد يحتوي التبليط الكامل للمستوى المُنشأ من بلاطات روبينسون على عيوب (تُسمى أيضًا ممرات ) تمتد إلى ما لا نهاية في أربعة أذرع كحد أقصى، وقد لا يحتوي عليها . وهناك خيارات إضافية تسمح بترميز عدد لا نهائي من الكلمات من Σ ^ω لأبجدية Σ مكونة من أربعة أحرف كحد أقصى. ^{[ 14 ]} باختصار ، هناك عدد لا يُحصى من التبليطات المختلفة غير المرتبطة بالتماثلات الإقليدية، وجميعها غير دورية بالضرورة، والتي يمكن أن تنشأ من بلاطات روبينسون.

التبديلات

توفر أنظمة التبليط بالاستبدال مصدرًا غنيًا للتبليطات غير الدورية. يُقال إن مجموعة البلاطات التي تُجبر على ظهور بنية استبدال تُفرض هذه البنية. على سبيل المثال، تسمح بلاطات الكراسي الموضحة أدناه بالاستبدال، ويظهر جزء من تبليط الاستبدال في الأسفل على اليمين. هذه التبليطات بالاستبدال غير دورية بالضرورة، تمامًا كما هو موضح أعلاه، لكن بلاطة الكرسي نفسها ليست غير دورية - فمن السهل إيجاد تبليطات دورية باستخدام بلاطات كراسي غير مُعلَّمة تُحقق شروط المطابقة الهندسية.

ومع ذلك، فإن البلاطات الموضحة أدناه تجبر على ظهور بنية استبدال الكراسي، وبالتالي فهي غير دورية بحد ذاتها. ^{[ 22 ]}

كانت بلاطات بنروز، وبعدها بفترة وجيزة مجموعات بلاطات عمّان المتعددة ^{[ 23 ]، أول} مثال قائم على فرض بنية تبليط استبدالية بشكل صريح. وقد وجد كل من جوشوا سوكولار [ ^{24 ] [ 25 ]،} وروجر بنروز ^{[ 26 ]} ، ولودفيج دانزر ^{[ 27 ]} ، وحاييم غودمان-ستراوس ^{[ 22 ]} عدة مجموعات لاحقة. وقدّم شاهار موزيس أول بناء عام، موضحًا أنه يمكن فرض كل ناتج لأنظمة الاستبدال أحادية البعد بواسطة قواعد المطابقة ^{[ 20 ]} . ووجد تشارلز رادين قواعد تفرض نظام تبليط الاستبدال ذي العجلة الدوارة من كونواي ^{[ 28 ]} . وفي عام 1998، أظهر غودمان-ستراوس أنه يمكن إيجاد قواعد مطابقة محلية لفرض أي بنية تبليط استبدالية، مع مراعاة بعض الشروط البسيطة ^{[ 19 ] .}

طريقة القص والإسقاط

يمكن أيضًا الحصول على تبليطات غير دورية عن طريق إسقاط هياكل ذات أبعاد أعلى في فضاءات ذات أبعاد أقل، وفي بعض الحالات، قد توجد بلاطات تُفرض هذه البنية غير الدورية، وبالتالي تكون غير دورية. تُعد بلاطات بنروز المثال الأول والأشهر على ذلك، كما لوحظ لأول مرة في العمل الرائد لدي بروين . ^{[ 29 ]} لا يوجد حتى الآن توصيف جبري كامل لتبليطات القطع والإسقاط التي يمكن فرضها بواسطة قواعد المطابقة، على الرغم من وجود العديد من الشروط الضرورية أو الكافية المعروفة. ^{[ 30 ]}

كان يُنظر إلى التبليط غير الدوري على أنه مجرد نتاج رياضي حتى عام 1984، عندما أعلن الفيزيائي دان شيختمان اكتشاف طور من سبيكة الألومنيوم والمنغنيز يُنتج مخطط حيود حادًا بتناظر خماسي واضح ^{[ 6 ]} ، مما يعني أنه مادة بلورية ذات تناظر عشريني الوجوه. في عام 1975، كان روبرت أمان قد وسّع بالفعل بناء بنروز ليشمل مكافئًا ثلاثي الأبعاد عشريني الوجوه. في مثل هذه الحالات، يُفهم مصطلح "التبليط" بمعنى "ملء الفراغ". تُبنى الأجهزة الضوئية حاليًا على شكل تسلسلات غير دورية من طبقات مختلفة، وبالتالي فهي غير دورية في اتجاه واحد ودورية في الاتجاهين الآخرين. يبدو أن الهياكل شبه البلورية من الكادميوم والتيلوريوم تتكون من طبقات ذرية تُرتّب فيها الذرات بنمط مستوٍ غير دوري. في بعض الأحيان، يحدث حد أدنى أو حد أقصى للطاقة في الإنتروبيا لمثل هذه الهياكل غير الدورية. أظهر شتاينهارت أن الأشكال العشرية المتداخلة لغوميلت تسمح بتطبيق مبدأ القيم القصوى، وبالتالي توفر الصلة بين رياضيات التبليط غير الدوري وبنية أشباه البلورات. ^{[ 36 ]} وقد لوحظ أن موجات فاراداي تُشكّل رقعًا كبيرة من الأنماط غير الدورية. ^{[ 37 ]} وقد أعادت فيزياء هذا الاكتشاف إحياء الاهتمام بالبنى والترددات غير المتوافقة، مما يشير إلى إمكانية ربط التبليط غير الدوري بظواهر التداخل . ^{[ 38 ]}

استُخدم مصطلح "غير دوري" في الأدبيات الرياضية المتعلقة بالتبليط (وفي مجالات رياضية أخرى أيضًا، مثل الأنظمة الديناميكية أو نظرية المخططات، بمعانٍ مختلفة تمامًا) بطرق متنوعة. وفيما يخص التبليط، استُخدم مصطلح "غير دوري" أحيانًا كمرادف لمصطلح "غير دوري". والتبليط غير الدوري هو ببساطة تبليط لا يمكن تحديده بأي ترجمة غير بديهية. وفي بعض الأحيان، كان المصطلح يصف - ضمنيًا أو صراحةً - تبليطًا مُولّدًا من مجموعة غير دورية من البلاطات الأولية. وكثيرًا ما استُخدم مصطلح "غير دوري" بشكل غامض لوصف البنى قيد الدراسة، مشيرًا إلى المواد الصلبة الفيزيائية غير الدورية، وتحديدًا أشباه البلورات، أو إلى شيء غير دوري ذي نوع من النظام الكلي. ^{[ 39 ]}

يُعدّ استخدام مصطلح "التبليط" إشكاليًا أيضًا، على الرغم من تعريفه الواضح. فلا يوجد تبليط بنروز واحد ، على سبيل المثال: إذ تسمح معينات بنروز بعدد لا نهائي من التبليطات (التي لا يمكن تمييزها محليًا). ويتمثل الحل الشائع في محاولة استخدام المصطلحات بحذر في الكتابة التقنية، مع الإقرار بالانتشار الواسع للمصطلحات غير الرسمية.

• بلاطات غيريه – خمسة أنواع من البلاطات المستخدمة في الفن الزخرفي الإسلامي. صفحات تعرض أوصافًا موجزة لأهداف إعادة التوجيه. 
• قائمة مجموعات البلاطات غير الدورية
• شبه البلورة – بنية كيميائية منتظمة بدون نمط متكرر 
• الزليج – صفحات مزخرفة ببلاط الفسيفساء تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه 

• ساحة خردة الهندسة
• التبليط غير الدوري
• النمط اللانهائي الذي لا يتكرر أبداً