القاعدة (الطوبولوجيا)

في الرياضيات ، القاعدة (أو الأساس ؛ جمع : قواعد ) لطوبولوجيا τ لمساحة طوبولوجي ( X ، τ) هي عائلة من المجموعات الفرعية المفتوحة لـ X بحيث تكون كل مجموعة مفتوحة من الطوبولوجيا مساوية لاتحاد بعض العائلات الفرعية لـ . على سبيل المثال، مجموعة جميع الفواصل المفتوحة في خط الأعداد الحقيقية هي أساس لطوبولوجيا إقليدية على لأن كل فترة مفتوحة هي مجموعة مفتوحة، ويمكن أيضًا كتابة كل مجموعة فرعية مفتوحة لـ على أنها اتحاد بعض عائلات الفواصل المفتوحة. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

القواعد منتشرة في كل مكان في الطوبولوجيا. غالبًا ما يكون وصف واستخدام المجموعات الموجودة في قاعدة الطوبولوجيا، والتي تسمى المجموعات المفتوحة الأساسية ، أسهل من المجموعات المفتوحة التعسفية. ^[1] يمكن التحقق من العديد من التعريفات الطوبولوجية المهمة مثل الاستمرارية والتقارب باستخدام المجموعات المفتوحة الأساسية فقط بدلاً من المجموعات المفتوحة التعسفية. تحتوي بعض الطوبولوجيات على قاعدة من المجموعات المفتوحة ذات خصائص مفيدة محددة قد تجعل التحقق من مثل هذه التعريفات الطوبولوجية أسهل.

لا تشكل كل عائلات المجموعات الفرعية لمجموعة قاعدة لطوبولوجيا على . في ظل بعض الظروف المفصلة أدناه، ستشكل عائلة المجموعات الفرعية قاعدة لطوبولوجيا (فريدة) على ، يتم الحصول عليها من خلال أخذ جميع الاتحادات الممكنة للعائلات الفرعية. تُستخدم مثل هذه العائلات من المجموعات بشكل متكرر لتحديد الطوبولوجيات. هناك مفهوم أضعف يتعلق بالقواعد وهو وجود قاعدة فرعية لطوبولوجيا. ترتبط قواعد الطوبولوجيا أيضًا ارتباطًا وثيقًا بالقواعد المجاورة . ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

بالنظر إلى الفضاء الطوبولوجي ، فإن القاعدة ^[2] (أو الأساس ^[3] ) للطوبولوجيا ( وتسمى أيضًا قاعدة لـ إذا تم فهم الطوبولوجيا) هي عائلة من المجموعات المفتوحة بحيث يمكن تمثيل كل مجموعة مفتوحة من الطوبولوجيا على أنها اتحاد لبعض العائلات الفرعية من . ^{[ملاحظة 1]} تسمى عناصر المجموعات المفتوحة الأساسية . وعلى نحو مكافئ، فإن عائلة المجموعات الفرعية لـ هي قاعدة للطوبولوجيا إذا وفقط إذا و لكل مجموعة مفتوحة في و نقطة يوجد بعض المجموعات المفتوحة الأساسية بحيث . ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \tau }$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \tau }$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in U}$${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle x\in B\subseteq U}$

على سبيل المثال، يشكل جمع كل الفواصل المفتوحة في الخط الحقيقي قاعدة للطوبولوجيا القياسية على الأعداد الحقيقية. وبشكل عام، في الفضاء المتري، يشكل جمع كل الكرات المفتوحة حول نقاط قاعدة للطوبولوجيا. ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

بشكل عام، يمكن أن يكون للفضاء الطوبولوجي العديد من القواعد. الطوبولوجيا بأكملها هي دائمًا قاعدة لنفسها (أي أنها قاعدة لـ ). بالنسبة للخط الحقيقي، فإن مجموعة كل الفترات المفتوحة هي قاعدة للطوبولوجيا. وكذلك مجموعة كل الفترات المفتوحة ذات النقاط النهائية النسبية، أو مجموعة كل الفترات المفتوحة ذات النقاط النهائية غير النسبية، على سبيل المثال. لاحظ أنه لا يلزم أن يكون لقاعدتين مختلفتين أي مجموعة مفتوحة أساسية مشتركة. إحدى الخصائص الطوبولوجية للمساحة هي الحد الأدنى لعدد الكاردينالات لقاعدة لطوبولوجياتها، والتي تسمى وزن و يرمز لها . من الأمثلة أعلاه، فإن الخط الحقيقي له وزن قابل للعد. ${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle w(X)}$

إذا كانت قاعدة لطوبولوجيا الفضاء ، فإنها تلبي الخصائص التالية: ^[4]${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$

(ب1) عناصر الغطاء ، أي أن كل نقطة تنتمي إلى عنصر من عناصر .${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

(ب2) لكل نقطة يوجد ما يشبه ذلك .${\displaystyle B_{1},B_{2}\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle x\in B_{1}\cap B_{2}}$${\displaystyle B_{3}\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle x\in B_{3}\subseteq B_{1}\cap B_{2}}$

الخاصية (B1) تتوافق مع حقيقة أنها مجموعة مفتوحة؛ الخاصية (B2) تتوافق مع حقيقة أنها مجموعة مفتوحة. ${\displaystyle X}$${\displaystyle B_{1}\cap B_{2}}$

على العكس من ذلك، افترض أن تكون مجرد مجموعة بدون أي طوبولوجيا وهي عائلة من المجموعات الفرعية للخصائص المرضية (B1) و (B2). ثم تكون قاعدة للطوبولوجيا التي تولدها. وبصورة أكثر دقة، دع تكون عائلة جميع المجموعات الفرعية لـ التي هي اتحادات لعائلات فرعية لـ ثم تكون طوبولوجيا على و تكون قاعدة لـ . ^[5] (الرسم التخطيطي: يحدد الطوبولوجيا لأنها مستقرة تحت اتحادات تعسفية بالبناء، وهي مستقرة تحت التقاطعات المحدودة بواسطة (B2)، وتحتوي على بواسطة (B1)، وتحتوي على المجموعة الفارغة كاتحاد للعائلة الفرعية الفارغة لـ . تكون العائلة إذن قاعدة لـ بالبناء.) مثل هذه العائلات من المجموعات هي طريقة شائعة جدًا لتعريف الطوبولوجيا. ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \tau }$

بشكل عام، إذا كانت مجموعة وكانت مجموعة عشوائية من مجموعات جزئية من ، فهناك أصغر طوبولوجيا (فريدة) على المجموعة المحتوية على . (هذه الطوبولوجيا هي تقاطع جميع الطوبولوجيات على المجموعة المحتوية على .) تسمى الطوبولوجيا الطوبولوجيا الناتجة عن ، وتسمى قاعدة فرعية لـ . يمكن أيضًا وصف الطوبولوجيا بأنها مجموعة جميع الاتحادات العشوائية للتقاطعات المحدودة لعناصر . (انظر المقالة حول القاعدة الفرعية .) الآن، إذا كانت تلبي أيضًا الخاصيتين (B1) و(B2)، فيمكن وصف الطوبولوجيا الناتجة عن بطريقة أبسط دون الحاجة إلى أخذ التقاطعات: هي مجموعة جميع اتحادات عناصر ( وتكون قاعدة لـ في هذه الحالة). ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \tau }$

غالبًا ما توجد طريقة سهلة للتحقق من الشرط (B2). إذا كان تقاطع أي عنصرين في هو نفسه عنصر في أو كان فارغًا، فإن الشرط (B2) مُرضي تلقائيًا (عن طريق أخذ ). على سبيل المثال، تقبل طوبولوجيا إقليدس على المستوى كقاعدة مجموعة جميع المستطيلات المفتوحة ذات الأضلاع الأفقية والرأسية، والتقاطع غير الفارغ لمجموعتين مفتوحتين أساسيتين هو أيضًا مجموعة مفتوحة أساسية. ولكن هناك قاعدة أخرى لنفس الطوبولوجيا وهي مجموعة جميع الأقراص المفتوحة؛ وهنا يكون الشرط الكامل (B2) ضروريًا. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle B_{3}=B_{1}\cap B_{2}}$

مثال على مجموعة من المجموعات المفتوحة التي ليست قاعدة هي مجموعة كل الفواصل شبه اللانهائية من الأشكال و مع . تحتوي الطوبولوجيا التي تم إنشاؤها بواسطة على كل الفواصل المفتوحة ، وبالتالي تولد الطوبولوجيا القياسية على الخط الحقيقي. لكنها مجرد قاعدة فرعية للطوبولوجيا وليست قاعدة: لا تحتوي الفاصلة المفتوحة المحدودة على أي عنصر من (على نحو مكافئ، لا تنطبق الخاصية (B2)). ${\displaystyle S}$${\displaystyle (-\infty ,a)}$${\displaystyle (a,\infty )}$${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$${\displaystyle S}$${\displaystyle (a,b)=(-\infty ,b)\cap (a,\infty )}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle (أ،ب)}$${\displaystyle S}$

تشكل المجموعة Γ لجميع الفواصل المفتوحة في الأساس لطوبولوجيا إقليدية على . ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

عائلة غير فارغة من المجموعات الفرعية لمجموعة X والتي تكون مغلقة تحت تقاطعات محدودة لمجموعتين أو أكثر، والتي تسمى نظام π على X ، تكون بالضرورة قاعدة لطوبولوجيا على X إذا وفقط إذا كانت تغطي X. بحكم التعريف، فإن كل جبر σ ، وكل مرشح (وبالتالي على وجه الخصوص، كل مرشح مجاور )، وكل طوبولوجيا هي نظام π تغطية وبالتالي أيضًا قاعدة لطوبولوجيا. في الواقع، إذا كان Γ مرشحًا على X ، فإن { ∅ } ∪ Γ هي طوبولوجيا على X و Γ هي أساس لها. لا يجب أن تكون قاعدة الطوبولوجيا مغلقة تحت تقاطعات محدودة والعديد منها ليست كذلك. ولكن مع ذلك، يتم تعريف العديد من الطوبولوجيات بقواعد مغلقة أيضًا تحت تقاطعات محدودة. على سبيل المثال، كل من العائلات التالية من مجموعة فرعية من مغلقة تحت تقاطعات محدودة وبالتالي فإن كل منها يشكل أساسًا لبعض الطوبولوجيا على : ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

• إن المجموعة Γ لجميع الفواصل المفتوحة المحدودة في تولد الطوبولوجيا الإقليدية المعتادة على .${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• إن المجموعة Σ لجميع الفواصل المغلقة المحدودة في تولد الطوبولوجيا المنفصلة على وبالتالي فإن الطوبولوجيا الإقليدية هي مجموعة فرعية من هذه الطوبولوجيا. وهذا على الرغم من حقيقة أن Γ ليست مجموعة فرعية من Σ . وبالتالي فإن الطوبولوجيا التي تولدها Γ ، وهي الطوبولوجيا الإقليدية على ، تكون أكثر خشونة من الطوبولوجيا التي تولدها Σ . في الواقع، إنها أكثر خشونة بشكل صارم لأن Σ تحتوي على مجموعات مضغوطة غير فارغة لا تكون مفتوحة أبدًا في الطوبولوجيا الإقليدية.${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• إن مجموعة Γ_{${\displaystyle \mathbb {س} }$} لجميع الفواصل في Γ بحيث تكون كلتا النقطتين النهائيتين للفاصل أرقامًا نسبية تولد نفس الطوبولوجيا مثل Γ . ويظل هذا صحيحًا إذا تم استبدال كل مثيل للرمز Γ بـ Σ .
• Σ _∞ = { [ r , ∞) : r ∈ }${\displaystyle \mathbb {R} }$ يولد طوبولوجيا أكثر خشونة من الطوبولوجيا التي يولدها Σ . لا يوجد عنصر من Σ _∞ مفتوح في الطوبولوجيا الإقليدية على .${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Γ _∞ = { ( r , ∞) : r ∈ }${\displaystyle \mathbb {R} }$ تولد طوبولوجيا أكثر خشونة بشكل صارم من كل من الطوبولوجيا الإقليدية والطوبولوجيا الناتجة عن Σ _∞ . المجموعتان Σ _∞ و Γ _∞ منفصلتان، ولكن مع ذلك فإن Γ _∞ هي مجموعة فرعية من الطوبولوجيا الناتجة عن Σ _∞ .

• تسمح طوبولوجيا الترتيب على مجموعة مرتبة تمامًا بمجموعة من المجموعات الشبيهة بالفترة المفتوحة كقاعدة.
• في الفضاء المتري، تشكل مجموعة كل الكرات المفتوحة قاعدة للطوبولوجيا.
• تتكون الطوبولوجيا المنفصلة من مجموعة من العناصر الفردية كأساس.
• الفضاء القابل للعد الثاني هو الفضاء الذي له قاعدة قابلة للعد .

تتكون قاعدة طوبولوجيا زاريسكي على طيف الحلقة من مجموعات مفتوحة لها خصائص مفيدة محددة. بالنسبة للقاعدة المعتادة لهذه الطوبولوجيا، فإن كل تقاطع محدود للمجموعات المفتوحة الأساسية هو مجموعة مفتوحة أساسية.

• طوبولوجيا زاريسكي هي الطوبولوجيا التي تحتوي على المجموعات الجبرية كمجموعات مغلقة. ولها قاعدة مكونة من مكملات المجموعة للأسطح الجبرية الفائقة .${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$
• تحتوي طوبولوجيا زاريسكي لطيف الحلقة (مجموعة المثل الأولية ) على قاعدة بحيث يتكون كل عنصر من جميع المثل الأولية التي لا تحتوي على عنصر معين من الحلقة.

• تكون الطوبولوجيا أدق من الطوبولوجيا إذا وفقط إذا كان لكل مجموعة مفتوحة أساسية من المحتوية على ، توجد مجموعة مفتوحة أساسية من المحتوية والمحتواة في .${\displaystyle \tau _{2}}$${\displaystyle \tau _{1}}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \tau _{1}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \tau _{2}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle B}$
• إذا كانت هناك قواعد للتوبولوجيات، فإن مجموعة كل حاصل ضرب المجموعة مع كل منها تكون قاعدة لطوبولوجيا الحاصل. وفي حالة وجود حاصل لا نهائي، لا يزال هذا ينطبق، إلا أن جميع العناصر الأساسية، باستثناء عدد محدود منها، يجب أن تكون المساحة بأكملها.${\displaystyle {\mathcal {B}}_{1},\ldots ,{\mathcal {B}}_{n}}$${\displaystyle \tau _{1},\ldots ,\tau _{n}}$ ${\displaystyle B_{1}\times \cdots \times B_{n}}$${\displaystyle B_{i}\in {\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle \tau _{1}\times \cdots \times \tau _{n}.}$
• ليكن أساسًا لـ وليكن فضاءً جزئيًا لـ . ثم إذا تقاطعنا مع كل عنصر من عناصر مع ، فإن المجموعة الناتجة من المجموعات تكون أساسًا للفضاء الجزئي .${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$
• إذا كانت الدالة تربط كل مجموعة مفتوحة أساسية من إلى مجموعة مفتوحة من ، فإنها تكون خريطة مفتوحة . وبالمثل، إذا كانت كل صورة أولية لمجموعة مفتوحة أساسية من مفتوحة في ، فإنها تكون متصلة .${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$تكون قاعدة لمساحة طوبولوجي إذا وفقط إذا كانت المجموعة الفرعية للعناصر التي تحتوي على تشكل قاعدة محلية عند ، لأي نقطة .${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x\in X}$

المجموعات المغلقة بارعة بنفس القدر في وصف طوبولوجيا الفضاء. وبالتالي، هناك مفهوم مزدوج لقاعدة للمجموعات المغلقة في الفضاء الطوبولوجي. في الفضاء الطوبولوجي، تشكل مجموعة المجموعات المغلقة قاعدة للمجموعات المغلقة إذا وفقط إذا كان لكل مجموعة مغلقة وكل نقطة ليست في يوجد عنصر يحتوي ولكن لا يحتوي على العائلة هي قاعدة للمجموعات المغلقة إذا وفقط إذا كان ثنائيها في أي هي عائلة المكملات لأعضاء ، هي قاعدة للمجموعات المفتوحة من${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle x.}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \{X\setminus C:C\in {\mathcal {C}}\}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle X.}$

ليكن قاعدة للمجموعات المغلقة لـ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle X.}$

1. ${\displaystyle \bigcap {\mathcal {C}}=\varnothing }$
2. بالنسبة لكل اتحاد هو تقاطع بعض العائلات الفرعية من (أي أنه بالنسبة لأي ليس في يوجد بعض المحتوي وبعض غير المحتوي ).${\displaystyle C_{1},C_{2}\in {\mathcal {C}}}$${\displaystyle C_{1}\cup C_{2}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle C_{1}{\text{ or }}C_{2}}$${\displaystyle C_{3}\in {\mathcal {C}}}$${\displaystyle C_{1}\cup C_{2}}$${\displaystyle x}$

تشكل أي مجموعة من المجموعات الفرعية لمجموعة تلبي هذه الخصائص قاعدة للمجموعات المغلقة لطوبولوجيا على المجموعات المغلقة لهذه الطوبولوجيا هي على وجه التحديد تقاطعات أعضاء${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$

في بعض الحالات يكون من الأنسب استخدام قاعدة للمجموعات المغلقة بدلاً من المجموعات المفتوحة. على سبيل المثال، تكون المساحة منتظمة تمامًا إذا وفقط إذا شكلت المجموعات الصفرية قاعدة للمجموعات المغلقة. في أي مساحة طوبولوجي، تشكل المجموعات الصفرية قاعدة للمجموعات المغلقة لبعض الطوبولوجيا على ستكون هذه الطوبولوجيا أدق طوبولوجيا منتظمة تمامًا على أكثر خشونة من الطوبولوجيا الأصلية. وعلى نحو مماثل، يتم تعريف طوبولوجيا زاريسكي على A ⁿ من خلال أخذ المجموعات الصفرية من الدوال متعددة الحدود كأساس للمجموعات المغلقة. ${\displaystyle X,}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$

وسوف نعمل على المفاهيم المنصوص عليها في (إنجلكينج 1989، ص 12، ص 127-128).

حدد X مساحة طوبولوجي. هنا، الشبكة هي عائلة من المجموعات، والتي، لجميع النقاط x والأحياء المفتوحة U التي تحتوي على x ، يوجد B في والتي لاحظ أنه على عكس الأساس، لا يلزم أن تكون المجموعات في الشبكة مفتوحة. ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle x\in B\subseteq U.}$

نحن نحدد الوزن ، w ( X )، باعتباره الحد الأدنى لعدد العناصر في الأساس؛ ونحدد وزن الشبكة ، nw ( X )، باعتباره الحد الأدنى لعدد العناصر في الشبكة؛ وطبيعة النقطة ، باعتبارها الحد الأدنى لعدد العناصر في الأساس المجاور لـ x في X ؛ وطبيعة X لتكون ${\displaystyle \chi (x,X),}$$${\displaystyle \chi (X)\triangleq \sup\{\chi (x,X):x\in X\}.}$$

الهدف من حساب الخصائص والوزن هو أن نكون قادرين على معرفة نوع القواعد والقواعد المحلية التي يمكن أن توجد. لدينا الحقائق التالية:

• nw ( X ) ≤ w ( X ).
• إذا كانت X منفصلة، ​​فإن w ( X ) = nw ( X ) = | X |.
• إذا كان X هو هاوسدورف، فإن nw ( X ) تكون منتهية إذا وفقط إذا كانت X منتهية منفصلة.
• إذا كان B هو أساس X ، فسيكون هناك أساس للحجم${\displaystyle B'\subseteq B}$${\displaystyle |B'|\leq w(X).}$
• إذا كان هناك أساس جوار لـ x في X ، فسيكون هناك أساس جوار للحجم${\displaystyle N'\subseteq N}$${\displaystyle |N'|\leq \chi (x,X).}$
• إذا كانت عبارة عن إسقاط مستمر، فإن nw ( Y ) ≤ w ( X ). (ببساطة ضع في اعتبارك شبكة Y لكل أساس B من X. )${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f'''B\triangleq \{f''U:U\in B\}}$
• إذا كان هاوسدورف، فيوجد طوبولوجيا هاوسدورف أضعف بحيث وبالتالي، من باب أولى ، إذا كانت X مضغوطة أيضًا، فإن مثل هذه الطوبولوجيات تتطابق وبالتالي، لدينا، جنبًا إلى جنب مع الحقيقة الأولى، nw ( X ) = w ( X ).${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle (X,\tau ')}$${\displaystyle w(X,\tau ')\leq nw(X,\tau ).}$
• إذا كانت الخريطة المستمرة من مساحة مترية مضغوطة إلى مساحة هاوسدورف، فإن Y تكون مترية مضغوطة.${\displaystyle f:X\to Y}$

الحقيقة الأخيرة تنبع من كون f ( X ) عبارة عن هاوسدورف مضغوط، وبالتالي (نظرًا لأن المساحات المدمجة القابلة للعد هي بالضرورة قابلة للعد من الدرجة الثانية)؛ بالإضافة إلى حقيقة أن مساحات هاوسدورف المضغوطة قابلة للعد من الدرجة الثانية بالضبط في حالة كونها قابلة للعد من الدرجة الثانية. (تطبيق لهذا، على سبيل المثال، هو أن كل مسار في مساحة هاوسدورف مضغوط قابل للعد من الدرجة الثانية.) ${\displaystyle nw(f(X))=w(f(X))\leq w(X)\leq \aleph _{0}}$

باستخدام الصيغة أعلاه، افترض أن w ( X ) ≤ κ عدد أساسي لا نهائي. إذن لا يوجد تسلسل متزايد بدقة للمجموعات المفتوحة (أو تسلسل متناقص بدقة للمجموعات المغلقة) بطول ≥ κ ⁺ .

ولرؤية هذا (بدون بديهية الاختيار)، حدد المجموعات المفتوحة كأساس. ولنفترض أن ، على النقيض من ذلك ، كانت هناك تسلسل متزايد بدقة من المجموعات المفتوحة. وهذا يعني $${\displaystyle \left\{U_{\xi }\right\}_{\xi \in \kappa },}$$$${\displaystyle \left\{V_{\xi }\right\}_{\xi \in \kappa ^{+}}}$$$${\displaystyle \forall \alpha <\kappa ^{+}:\qquad V_{\alpha }\setminus \bigcup _{\xi <\alpha }V_{\xi }\neq \varnothing .}$$

لأنه يمكننا استخدام الأساس لإيجاد بعض U _γ مع x في U _γ ⊆ V _α . وبهذه الطريقة يمكننا تعريف خريطة جيدة، f  : κ ⁺ → κ بتعيين كل α إلى أقل γ حيث U _γ ⊆ V _α و $${\displaystyle x\in V_{\alpha }\setminus \bigcup _{\xi <\alpha }V_{\xi },}$$$${\displaystyle V_{\alpha }\setminus \bigcup _{\xi <\alpha }V_{\xi }.}$$

هذه الخريطة حقنية، وإلا لكان هناك α < β مع f ( α ) = f ( β ) = γ ، وهو ما يعني ضمناً U _γ ⊆ V _α ولكنه يلتقي أيضًا وهو تناقض. ولكن هذا من شأنه أن يوضح أن κ ⁺ ≤ κ ، وهو تناقض. $${\displaystyle V_{\beta }\setminus \bigcup _{\xi <\alpha }V_{\xi }\subseteq V_{\beta }\setminus V_{\alpha },}$$

• مبرهنة ايسينين-فولبين
• بديهية اللصق
• نظام الحي