تصفية مجموعة

في الرياضيات ، يُعرَّف المرشح على مجموعة ما بأنه مجموعة من المجموعات الجزئية غير الفارغة المغلقة تحت تأثير المجموعات الفائقة والتقاطعات المنتهية. ومن أمثلة المرشحات مجموعة جوارات نقطة ما في فضاء طوبولوجي .

طُرحت المرشحات لأول مرة من قِبل هنري كارتان عام 1937 ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} في سياق الفضاءات الطوبولوجية العامة، ثم طوّرها نيكولاس بورباكي في كتابهما "الطوبولوجيا العامة " (الطبعة الأولى عام 1940) كبديل لمفهوم الشبكة الذي طُوّر عام 1922 من قِبل إي. إتش. مور وهيرمان إل. سميث . ووجدت هذه المرشحات لاحقًا تطبيقات في العديد من المجالات خارج نطاق الطوبولوجيا، بما في ذلك نظرية المجموعات ، والمنطق الرياضي ، ونظرية النماذج ( مثل المنتجات الفائقة )، والجبر المجرد ، وغيرها.

تم تعميم المرشحات على مجموعة لاحقًا لتشمل مرشحات الترتيب . على وجه التحديد، مرشح على مجموعة $X$ هو مرشح ترتيب على مجموعة القوى لـ $X$ مرتبة حسب الشمول.

إن المفهوم المقابل للمرشح هو مفهوم مثالي . وتُعد المرشحات الفائقة فئة فرعية مهمة بشكل خاص من المرشحات.

تعريف

بالنظر إلى مجموعة $X$ مرشح ${\mathcal {F}}$ على $X$ هي مجموعة من المجموعات الجزئية من $X$ بحيث: ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

${\mathcal {F}}$ مغلق لأعلى : إذا $A,B\subseteq X$ هي من النوع الذي $A\in {\mathcal {F}}$ و $A\subseteq B$ ثم $B\in {\mathcal {F}}$ ،
${\mathcal {F}}$ مغلق تحت التقاطعات المحدودة: $X\in {\mathcal {F}}$ ، ^{[ أ ]} ، وإذا $A\in {\mathcal {F}}$ و $B\in {\mathcal {F}}$ ثم $A\cap B\in {\mathcal {F}}$ .

أالمرشح المناسب (أوغير المنحط) هو مرشح يكون مناسبًا كمجموعة جزئية من مجموعة القوى ${\mathcal {P}}(X)$ (أي أن المرشح غير المناسب الوحيد هو ${\mathcal {P}}(X)$ (تتكون من جميع المجموعات الجزئية الممكنة). وبحسب خاصية الإغلاق التصاعدي، يكون المرشح مناسبًا إذا وفقط إذا لم يحتوِ على المجموعة الفارغة. ^{[ 4 ]} يتبنى العديد من المؤلفين الاصطلاح القائل بأن المرشح يجب أن يكون مناسبًا بحكم التعريف. ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}

متى ${\mathcal {F}}$ و ${\mathcal {G}}$ يوجد مرشحان على نفس المجموعة بحيث ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {G}}$ يحمل، ${\mathcal {F}}$ يقال إنها أكثر خشونة ^{[ 10 ]} من ${\mathcal {G}}$ (أو مرشح فرعي من ${\mathcal {G}}$ ) بينما ${\mathcal {G}}$ يقال إنه أدق ^{[ 10 ]} من ${\mathcal {F}}$ (أوتابع لـ ${\mathcal {F}}$ أو مرشح فائق ^{[ 11 ]} من ${\mathcal {F}}$ ).

أمثلة

مجموعة العزاب ${\mathcal {F}}=\{X\}$ يُطلق عليه اسم المرشح البسيط أو غير المتقطع على $X$ [ ¹²^]
لو $Y$ هي مجموعة فرعية من $X$ ، المجموعات الفرعية من $X$ وهي مجموعات شاملة لـ $Y$ تشكيل مرشح رئيسي . ^{[ 3 ]}
لو $X$ هو فضاء طوبولوجي و $x\in X$ ثم مجموعة جوارات $x$ هو فلتر على $X$ ، مرشح الجوار ^{[ 13 ]} أو مرشح الجوار ^{[ 14 ]} لـ $x$ .
تنشأ العديد من الأمثلة من شروط "الكبر" المختلفة:
- لو $X$ هي مجموعة، وهي مجموعة جميع المجموعات الجزئية المنتهية من $X$ (أي، تلك المجموعات التي يكون مكملها في $X$ (محدود) هو مرشح على $X$ ، مرشح فريشيه ^{[ 12 ]}^{[ 15 ]}^{[ 5 ]} (أو مرشح مشترك ^{[ 13 ]} ).
- وبالمثل، إذا $X$ هي مجموعة، والمجموعات الجزئية القابلة للعد المشترك من $X$ (تلك التي يكون مكملها قابلاً للعد) تشكل مرشحًا، وهو مرشح العد المشترك ^{[ 14 ]} الذي يكون أدق من مرشح فريشيه. وبشكل أعم، بالنسبة لأي عدد أصلي $\kappa$ ، المجموعات الفرعية التي يكون مكملها عددًا أصليًا على الأكثر $\kappa$ قم بتشكيل مرشح.
- لو $X$ هو فضاء متري، على سبيل المثال، $\mathbb {R} ^{n}$ ، المجموعات الفرعية المتداخلة من $X$ (تلك التي تكون مكملتها مجموعة محدودة ) تشكل مرشحًا على $X$ [ ¹⁶^]
- لو $X$ هي مساحة قياس كاملة (على سبيل المثال، $\mathbb {R} ^{n}$ باستخدام مقياس ليبيغ )، المجموعات الفرعية المتطابقة من $X$ أي أن المجموعات الجزئية التي يكون قياس مكملها صفرًا، تشكل مرشحًا على $X$ (بالنسبة لفضاء قياس غير كامل، يمكن للمرء أن يأخذ المجموعات الفرعية التي، وإن لم تكن بالضرورة قابلة للقياس، إلا أنها موجودة في مجموعة فرعية قابلة للقياس ذات قياس صفري.)
- وبالمثل، إذا $X$ هي فضاء قياس ، والمجموعات الجزئية التي تحتوي مكملتها على مجموعة جزئية قابلة للقياس ذات قياس محدود تشكل مرشحًا على $X$ .
- لو $X$ هو فضاء طوبولوجي ، والمجموعات الفرعية من $X$ أي أولئك الذين يكون مكملهم ضئيلاً ، يشكلون مرشحًا على $X$ .
- المجموعات الفرعية من $\mathbb {N}$ والتي تتمتع بكثافة طبيعية تبلغ 1 تشكل مرشحًا على $\mathbb {N}$ [ ¹⁷^]
مرشح النادي لعدد أصلي غير معدود عادي $\kappa$ هو مرشح جميع المجموعات التي تحتوي على مجموعة فرعية من النادي $\kappa$ .
لو $({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}$ هي مجموعة من المرشحات على $X$ و ${\mathcal {J}}$ هو فلتر على $I$ ثم $\bigcup _{A\in {\mathcal {J}}}\bigcap _{i\in A}{\mathcal {F}}_{i}$ هو فلتر على $X$ يُطلق عليه اسم مرشح كوالسكي . ^{[ 18 ]}

المرشحات الرئيسية والمجانية

نواة المرشح ${\mathcal {F}}$ على $X$ هو تقاطع جميع المجموعات الجزئية من $X$ في ${\mathcal {F}}$ .

مرشح ${\mathcal {F}}$ على $X$ تكون المجموعة أساسية ^{[ 3 ]} (أو ذرية ^{[ 13 ]} ) عندما يكون لها شكل بسيط للغاية: فهي تحتوي بالضبط على المجموعات الفائقة لـ $Y$ ، بالنسبة لمجموعة جزئية ثابتة $Y\subseteq X$ . متى $Y=\varnothing$ وهذا يؤدي إلى مرشح غير مناسب. عندما $Y=\{y\}$ هذا المرشح (الذي يتكون من جميع المجموعات الفرعية التي تحتوي على عنصر واحد) هو عنصر فريد. $y$ يُطلق عليه اسم المرشح الأساسي ^{[ 3 ]} (أو المرشح المنفصل ^{[ 19 ]} ) المرتبط بـ $y$ .

مرشح ${\mathcal {F}}$ يكون رئيسيًا إذا وفقط إذا كانت نواة ${\mathcal {F}}$ هو عنصر من ${\mathcal {F}}$ وعندما يكون هذا هو الحال، ${\mathcal {F}}$ يتكون من المجموعات الفائقة لنواته. ^{[ 20 ]} على مجموعة منتهية، يكون كل مرشح رئيسيًا (لأن التقاطع الذي يحدد النواة منتهٍ).

يُقال إن المرشح حر عندما تكون نواته فارغة، وإلا فهو ثابت (وإذا $x$ هو عنصر من عناصر النواة، ويتم تثبيته بواسطة $x$ [ ^{21 ]} مرشح على ^مجموعة $X$ مجاني فقط إذا كان يحتوي على فلتر Fréchet $X$ [ ²²^]

مرشحان ${\mathcal {F}}_{1}$ و ${\mathcal {F}}_{2}$ على $X$ الشبكة عندما يكون كل عضو من ${\mathcal {F}}_{1}$ يتقاطع مع كل عضو من أعضاء ${\mathcal {F}}_{2}$ [ ^{23 ]} لكل ^مرشح ${\mathcal {F}}$ على $X$ يوجد زوج فريد من المرشحات ${\mathcal {F}}_{f}$ ( الجزء المجاني من ${\mathcal {F}}$ ) و ${\mathcal {F}}_{p}$ ( الجزء الرئيسي من ${\mathcal {F}}$ ) على $X$ بحيث ${\mathcal {F}}_{f}$ مجاني، ${\mathcal {F}}_{p}$ هو المدير، ${\mathcal {F}}_{f}\cap {\mathcal {F}}_{p}={\mathcal {F}}$ ، و ${\mathcal {F}}_{p}$ لا يتوافق مع ${\mathcal {F}}_{f}$ الجزء الرئيسي ${\mathcal {F}}_{p}$ هو المرشح الرئيسي الذي تولده نواة ${\mathcal {F}}$ والجزء المجاني ${\mathcal {F}}_{f}$ يتكون من عناصر ${\mathcal {F}}$ مع إمكانية إزالة أي عدد من العناصر من النواة. ^{[ 22 ]}

مرشح ${\mathcal {F}}$ تكون عميقة قابلة للعد إذا كانت نواة أي مجموعة جزئية قابلة للعد من ${\mathcal {F}}$ ينتمي إلى ${\mathcal {F}}$ [ ¹⁴^]

المراسلات المتعلقة بمرشحات الطلبات

يُعد مفهوم المرشح على مجموعة حالة خاصة من المفهوم الأكثر عمومية للمرشح على مجموعة مرتبة جزئيًا . وبحسب التعريف، فإن المرشح على مجموعة مرتبة جزئيًا $P$ هي مجموعة جزئية ${\mathcal {F}}$ ل $P$ وهو مغلق لأعلى (إذا $x\in {\mathcal {F}}$ و $x\leq y$ ثم $y\in {\mathcal {F}}$ ) والمتجهة للأسفل (كل مجموعة جزئية محدودة من ${\mathcal {F}}$ له حد أدنى في ${\mathcal {F}}$ مرشح على مجموعة $X$ وهو مماثل لمرشح في مجموعة الطاقة ${\mathcal {P}}(X)$ مرتبة حسب الاحتواء. ^{[ ب ]}

تركيبات المرشحات

تقاطع المرشحات

لو $({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}$ هي مجموعة من المرشحات على $X$ ، وتقاطعها $\bigcap _{i\in I}{\mathcal {F}}_{i}$ هو فلتر على $X$ التقاطع هو عملية الحد الأدنى الأكبر في مجموعة المرشحات على $X$ مرتبة جزئياً حسب التضمين، مما يمنح المرشحات على $X$ ببنية شبكية كاملة . ^{[ 14 ]}^{[ 24 ]}

التقاطع $\bigcap _{i\in I}{\mathcal {F}}_{i}$ يتكون من المجموعات الفرعية التي يمكن كتابتها على النحو التالي $\bigcup _{i\in I}A_{i}$ أين $A_{i}\in {\mathcal {F}}_{i}$ لكل $i\in I$ .

مرشح تم إنشاؤه بواسطة مجموعة من المجموعات الفرعية

بالنظر إلى عائلة من المجموعات الجزئية ${\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ يوجد مرشح أدنى على $X$ (بمعنى الاحتواء) الذي يحتوي ${\mathcal {S}}$ يمكن بناؤها على أنها تقاطع (أكبر حد أدنى) لجميع المرشحات على $X$ يحتوي على ${\mathcal {S}}$ هذا المرشح $\langle {\mathcal {S}}\rangle$ يُطلق عليه اسم المرشح الذي تم إنشاؤه بواسطة ${\mathcal {S}}$ ، و ${\mathcal {S}}$ ويُقال إنها قاعدة ترشيح فرعية لـ $\langle {\mathcal {S}}\rangle$ [ ²⁵^]

ويمكن أيضًا وصف المرشح المُنشأ بشكل أكثر وضوحًا: $\langle {\mathcal {S}}\rangle$ يتم الحصول عليها عن طريق الإغلاق ${\mathcal {S}}$ تحت تقاطعات محدودة، ثم صعوداً، أي $\langle {\mathcal {S}}\rangle$ يتكون من المجموعات الفرعية $Y\subseteq X$ بحيث $A_{0}\cap \dots \cap A_{n-1}\subseteq Y$ بالنسبة للبعض $A_{0},\dots ,A_{n-1}\in {\mathcal {B}}$ [ ¹¹^]

وبما أن هذه العمليات تحافظ على النواة، فإنه يترتب على ذلك أن $\langle {\mathcal {S}}\rangle$ يكون المرشح مناسبًا إذا وفقط إذا ${\mathcal {S}}$ تتمتع بخاصية التقاطع المحدود : تقاطع مجموعة فرعية محدودة من ${\mathcal {S}}$ غير فارغ. ^{[ 16 ]}

في الشبكة الكاملة للمرشحات على $X$ مرتبة حسب التضمين، الحد الأعلى الأدنى لمجموعة من المرشحات $({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}$ هل المرشح الذي تم إنشاؤه بواسطة $\bigcup _{i\in I}{\mathcal {F}}_{i}$ [ ²⁰^]

مرشحان ${\mathcal {F}}_{1}$ و ${\mathcal {F}}_{2}$ على $X$ الشبكة إذا وفقط إذا $\langle {\mathcal {F}} _ {1}\cup {\mathcal {F}} _ {2}\rangle$ مناسب. ^{[ 23 ]}

قواعد التصفية

يترك ${\mathcal {F}}$ كن مرشحًا على $X$ قاعدة ترشيح من ${\mathcal {F}}$ هي عائلة من المجموعات الجزئية ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ بحيث ${\mathcal {F}}$ هو الإغلاق التصاعدي لـ ${\mathcal {B}}$ ، أي، ${\mathcal {F}}$ يتكون من تلك المجموعات الفرعية $Y\subseteq X$ والتي $A\subseteq Y$ بالنسبة للبعض $A\in {\mathcal {B}}$ [ ⁶^]

يُعد هذا الإغلاق التصاعدي بمثابة مرشح إذا وفقط إذا ${\mathcal {B}}$ متجه للأسفل ، أي ${\mathcal {B}}$ غير فارغ وللجميع $A,B\in {\mathcal {B}}$ يوجد $C\in {\mathcal {B}}$ بحيث $C\subseteq A\cap B$ [ ⁶^]^[¹³^{] عندما}^يكون هذا هو الحال، ${\mathcal {B}}$ يُطلق عليه أيضًا اسم المرشح المسبق ، ويكون الإغلاق التصاعدي مساويًا للمرشح المُنشأ. $\langle {\mathcal {B}}\rangle$ [ ¹⁶^{] ومن ثم ،} كونها قاعدة ترشيح لـ ${\mathcal {F}}$ تُعد خاصية أقوى من كونها قاعدة ترشيح فرعية لـ ${\mathcal {F}}$ .

أمثلة

متى $X$ هو فضاء طوبولوجي و $x\in X$ ، قاعدة ترشيح لمرشح الجوار الخاص بـ $x$ تُعرف بأنها قاعدة محلية لـ $x$ وبالمثل، قاعدة ترشيح فرعية لمرشح الجوار لـ $x$ تُعرف باسم قاعدة فرعية محلية لـ $x$ الأحياء المفتوحة لـ $x$ دائماً ما يتم تشكيل قاعدة محلية لـ $x$ ، بحسب تعريف مرشح الجوار. في $X=\mathbb {R} ^{n}$ الكرات المغلقة ذات نصف القطر الموجب حول $x$ كما تشكل قاعدة محلية لـ $x$ .
يترك $X$ لتكن مجموعة غير منتهية ولتكن ${\mathcal {F}}$ تتكون من مجموعات فرعية من $X$ والتي تحتوي على جميع النقاط باستثناء نقطة واحدة. ثم ${\mathcal {F}}$ هي قاعدة ترشيح فرعية لمرشح فريشيه على $X$ ، والتي تتكون من المجموعات الجزئية المنتهية . إغلاقها تحت التقاطعات المنتهية هو مرشح فريشيه الكامل، ولكن توجد قواعد أصغر لمرشح فريشيه تحتوي على القاعدة الفرعية ${\mathcal {F}}$ ، مثل المجموعة التي تشكلها المجموعات الفرعية من $X$ والتي تحتوي على جميع النقاط باستثناء عدد فردي محدود. في الواقع، لكل قاعدة من قواعد مرشح فريشيه، يؤدي حذف أي مجموعة جزئية إلى الحصول على قاعدة أخرى لمرشح فريشيه.
لو $X$ هو فضاء طوبولوجي ، والمجموعات الفرعية المفتوحة الكثيفة من $X$ تشكيل قاعدة تصفية على $X$ لأنها مغلقة تحت التقاطع المحدود. يتكون المرشح الذي تولده من مكملات المجموعات الجزئية غير الكثيفة في أي مكان . $X=\mathbb {R} ^{n}$ ، إن تقييد المجموعات الفرعية المفتوحة الكثيفة الصفرية ينتج عنه قاعدة ترشيح أخرى لنفس المرشح.
وبالمثل، إذا $X$ هي فضاء طوبولوجي، تشكل التقاطعات القابلة للعد للمجموعات الفرعية المفتوحة الكثيفة قاعدة ترشيح تولد مرشح المجموعات الفرعية القابلة للعد .
يترك $X$ كن مجموعة ودع $(x_{i})_{i\in I}$ لتكن شبكة ذات قيم في $X$ أي عائلة نطاقها $I$ هي مجموعة موجهة . قاعدة التصفية لذيول $(x_{i})$ تتكون من المجموعات $\{x_{j},j\geq i\}$ ل $i\in I$ ؛ يتم إغلاقها نحو الأسفل بواسطة اتجاهية $I$ يُطلق على المرشح المُنشأ اسم مرشح الاحتمالات أو مرشح ذيول $(x_{n})$ مرشح تسلسلي ^{[ 26 ]} أوالمرشح الأولي هو مرشح يُستخدم لتحديد احتمالية حدوث شيء ما في شبكة ما. يُعد هذا المثال أساسيًا في تطبيقالمرشحات في علم الطوبولوجيا.^[¹³^]^[²⁷^]
كل نظام π هو قاعدة مرشح.

أثر مرشح على مجموعة فرعية

لو ${\mathcal {F}}$ هو فلتر على $X$ و $Y\subseteq X$ ، أثر ${\mathcal {F}}$ على $Y$ يكون $\{A\cap Y,A\in {\mathcal {F}}\}$ وهو عبارة عن مرشح. ^{[ 15 ]}

صورة لمرشح بواسطة دالة

يترك $f:X\to Y$ أن تكون دالة.

متى ${\mathcal {F}}$ هي عائلة من المجموعات الفرعية من $X$ ، صورتها بواسطة $f$ يُعرَّف بأنه

$f({\mathcal {F}})=\{\{f(x),x\in A\},A\in {\mathcal {F}}\}$

فلتر الصور بواسطة $f$ مرشح ${\mathcal {F}}$ على $X$ يُعرَّف بأنه المرشح المُنشأ $\langle f({\mathcal {F}})\rangle$ [ ²⁸^] إذا $f$ إذا كانت شاملة، $f({\mathcal {F}})$ هو بالفعل مرشح. في الحالة العامة، $f({\mathcal {F}})$ هي قاعدة ترشيح، وبالتالي $\langle f({\mathcal {F}})\rangle$ وهو إغلاقها الصاعد. ^{[ 29 ]} علاوة على ذلك، إذا ${\mathcal {B}}$ هي قاعدة ترشيح لـ ${\mathcal {F}}$ ثم $f({\mathcal {B}})$ هي قاعدة ترشيح لـ $\langle f({\mathcal {F}})\rangle$ .

بذور ${\mathcal {F}}$ و $\langle f({\mathcal {F}})\rangle$ ترتبط ببعضها البعض من خلال $f\left(\bigcap {\mathcal {F}}\right)\subseteq \bigcap \langle f({\mathcal {F}})\rangle$ .

منتج المرشحات

بالنظر إلى عائلة من المجموعات $(X_{i})_{i\in I}$ وفلتر ${\mathcal {F}}_{i}$ على كل $X_{i}$ فلتر المنتج $\prod _{i\in I}{\mathcal {F}}_{i}$ مجموعة المنتجات $\prod _{i\in I}X_{i}$ يُعرَّف بأنه المرشح الذي تم إنشاؤه بواسطة المجموعات $\pi _{i}^{-1}(A)$ ل $i\in I$ و $A\in {\mathcal {F}}_{i}$ ، أين $\pi _{i}:\left(\prod _{j\in I}X_{j}\right)\to X_{i}$ هو الإسقاط من مجموعة المنتج على $i$ المكون رقم -th. ^{[ 12 ]}^{[ 30 ]} هذا البناء مشابه لطوبولوجيا المنتج .

إذا كان كل ${\mathcal {B}}_{i}$ هو فلتر يعتمد على ${\mathcal {F}}_{i}$ ، قاعدة ترشيح من $\prod _{i\in I}{\mathcal {F}}_{i}$ يتم تحديده بواسطة المجموعات $\prod _{i\in I}A_{i}$ أين $(A_{i})$ هي عائلة من النوع الذي $A_{i}\in {\mathcal {F}}_{i}$ للجميع $i\in I$ و $A_{i}=X_{i}$ بالنسبة للجميع باستثناء عدد محدود من الأشخاص $i\in I$ [ ¹²^]^[³¹^]

انظر أيضاً

الأسس البديهية للفضاءات الطوبولوجية ، لتعريف الفضاءات الطوبولوجية من حيث المرشحات
المرشحات في علم الطوبولوجيا – استخدام المرشحات لوصف وتوصيف جميع المفاهيم والنتائج الطوبولوجية الأساسية
فضاء التقارب ، وهو تعميم للفضاءات الطوبولوجية باستخدام المرشحات
مُحدد كمية المرشح
مرشح فائق – مرشح مثالي بأقصى كفاءة
المرشح العام ، وهو نوع من المرشحات المستخدمة في فرض نظرية المجموعات

ملحوظات

↑ تقاطع المجموعات الجزئية الصفرية من $X$ يكون $X$ نفسها.
↑ من الواضح أن الفلتر على $X$ يوجد فلتر للطلبات على ${\mathcal {P}}(X)$ أما العكس، فليكن ${\mathcal {F}}$ كن مرشحًا للطلبات ${\mathcal {P}}(X)$ هي مغلقة من الأعلى بحكم التعريف. نتحقق من الإغلاق تحت التقاطعات المحدودة. إذا $A_{0},\dots ,A_{n-1}$ هي عائلة منتهية من المجموعات الجزئية من ${\mathcal {F}}$ ، وله حد أدنى في ${\mathcal {F}}$ عن طريق الإغلاق الهابط، وهو ما يمثل نوعًا ما $B\in {\mathcal {F}}$ بحيث $B\subseteq A_{0},\dots ,B\subseteq A_{n-1}$ . ثم $B\subseteq A_{0}\cap \dots \cap A_{n-1}$ ، لذلك $A_{0}\cap \dots \cap A_{n-1}\in {\mathcal {F}}$ عن طريق الإغلاق التصاعدي.

الاقتباسات

↑ كارتان 1937أ .
↑ كارتان 1937ب .
1 2 3 4 سيزار 1978 ، ص. 56.
1 2 Schechter 1996 ، ص. 100.
1 2 ويلارد 2004 ، ص. 78.
1 2 3 Dolecki & Mynard 2016 ، ص. 29.
↑ جوشي 1983 ، ص 241.
↑ Köthe 1983 ، ص 11.
↑ شوبرت 1968 ، ص 48.
1 2 شوبرت 1968 ، ص 49.
1 2 Schechter 1996 ، ص. 102.
1 2 3 4 بورباكي 1987 ، ص 57-68.
1 2 3 4 5 جوشي 1983 ، ص 242.
1 2 3 4 Dolecki & Mynard 2016 ، ص. 30.
1 2 Schechter 1996 ، ص. 103.
1 2 3 شيشتر 1996 ، ص. 104.
↑ جيتش، توماس (2006). نظرية المجموعات: طبعة الألفية الثالثة، منقحة وموسعة . برلين، نيويورك: سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 74. ISBN 978-3-540-44085-7. OCLC 50422939 .
^ شيشتر 1996 ، ص 100-130.
↑ ويلانسكي 2013 ، ص 44.
1 2 Dolecki & Mynard 2016 ، ص. 33.
↑ شيشتر 1996 ، ص 16.
1 2 Dolecki & Mynard 2016 ، ص. 34.
1 2 Dolecki & Mynard 2016 ، ص. 31.
↑ شوبرت 1968 ، ص 50.
↑ Császár 1978 ، ص 57.
↑ Dolecki & Mynard 2016 ، ص 35.
↑ ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 5.
↑ جوشي 1983 ، ص 246.
↑ Dolecki & Mynard 2016 ، ص 37.
↑ Dolecki & Mynard 2016 ، ص 39.
↑ Köthe 1983 ، ص 14.

مراجع

بورباكي، نيكولا (1989) [1966]. الطوبولوجيا العامة: الفصول من 1 إلى 4 [ Topologie Générale ] . عناصر الرياضيات . برلين نيويورك: سبرينغر للعلوم والإعلام التجاري. دوى : 10.1007/978-3-642-61701-0 . رقم ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC 18588129 .
بورباكي، نيكولا (1989) [1967]. الطوبولوجيا العامة 2: الفصول 5-10 [ Topologie Générale ] . عناصر الرياضيات . المجلد. 4. برلين نيويورك: سبرينغر ساينس آند بزنس ميديا. رقم ISBN 978-3-540-64563-4. OCLC 246032063 .
بورباكي، نيكولا (1987) [1981]. مساحات المتجهات الطوبولوجية: الفصول 1-5 . عناصر الرياضيات . تمت الترجمة بواسطة Eggleston، HG. مادان، س. برلين نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. رقم ISBN 3-540-13627-4. OCLC 17499190 .
بوريس، ستانلي ؛ سانكابانافار، هانامانتاغودا ب. (2012). دورة في الجبر الشامل (ملف PDF) . سبرينغر-فيرلاغ. الصفحات 127-135 . ISBN 978-0-9880552-0-9تمت أرشفة الملف (PDF) من النسخة الأصلية في 1 أبريل 2022.
كارتان، هنري (1937 أ). "نظرية المرشحات" . Comptes rendus hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences . 205 : 595 – 598.
كارتان، هنري (1937ب). "المرشحات والمرشحات الفائقة" . Comptes rendus hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences . 205 : 777- 779.
كزار، أكوس (1978). الطوبولوجيا العامة . ترجمة كزار، كلارا. بريستول إنجلترا: آدم هيلجر المحدودة. الصفحات من 55 إلى 59. ISBN 0-85274-275-4. OCLC 4146011 .
دوليكي، سيمون ؛ مينارد، فريدريك (2016). أسس التقارب في علم الطوبولوجيا . نيوجيرسي: دار النشر العالمية العلمية. الصفحات 29-39 . ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC 945169917 .
جوشي، ك. د. (1983). مقدمة في الطوبولوجيا العامة . نيويورك: جون وايلي وأولاده المحدودة. ص 241-248 . ISBN 978-0-85226-444-7. OCLC 9218750 .
كوته، جوتفريد (1983) [1969]. فضاءات المتجهات الطوبولوجية I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. المجلد. 159. ترجمة جارلينج، DJH New York: Springer Science & Business Media. ص 11 – 15. ردمك 978-3-642-64988-2. MR 0248498 . OCLC 840293704 .
كوتراس، كوستاس د.؛ مويزيس، كريستوس؛ نوميكوس، كريستوس؛ تسابرونيس، كونستانتينوس؛ زيكوس، يورغوس (20 أكتوبر 2021). "حول المرشحات الضعيفة والمرشحات الفائقة: نظرية المجموعات من (ولأجل) تمثيل المعرفة". مجلة المنطق التابعة لمجموعة IGPL . 31 : 68-95 . doi : 10.1093/jigpal/jzab030 .
ماكيفر ر.، ديفيد (1 يوليو 2004). "المرشحات في التحليل والطوبولوجيا" (ملف PDF) . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 9 أكتوبر 2007.(يقدم مراجعة تمهيدية للمرشحات في الطوبولوجيا وفي الفضاءات المترية.)
ناريسي، لورانس؛ بيكنشتاين، إدوارد (2011). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . الرياضيات البحتة والتطبيقية ( الطبعة الثانية). بوكا راتون، فلوريدا: مطبعة سي آر سي. الصفحات 2-5 . ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
شيشتر، إريك (1996). دليل التحليل وأسسه . سان دييغو، كاليفورنيا: دار النشر الأكاديمية. الصفحات 100-105 . ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365 .
شوبرت، هورست (1968). الطوبولوجيا . لندن: ماكدونالد وشركاه. ص 48-51 . ISBN 978-0-356-02077-8. OCLC 463753 .
ويلانسكي، ألبرت (2013). الأساليب الحديثة في فضاءات المتجهات الطوبولوجية . مينولا، نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .
ويلارد، ستيفن (2004) [1970]. الطوبولوجيا العامة . مينولا، نيويورك : منشورات دوفر . الصفحات 77-84 . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240 .

العائلات ${\mathcal {F}}$ من مجموعات أكثر $\Omega$ v ت هـ
ينطبق بالضرورة على ${\mathcal {F}}\colon$ أو، هو ${\mathcal {F}}$ مغلق بموجب:	إخراج $\,\supseteq$	$A\cap B$	$A\cup B$	$B\setminus A$	$\Omega \setminus A$	$A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots$	$A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots$	$\Omega \in {\mathcal {F}}$	$\varnothing \in {\mathcal {F}}$	FIP
نظام $π$
شبه حلقي										أبداً
شبه الجبر (شبه الحقل)										أبداً
فصل دراسي رتيب						فقط إذا $A_{i}\searrow$	فقط إذا $A_{i}\nearrow$
نظام 𝜆 (نظام دينكين)				فقط إذا $A\subseteq B$			فقط إذا $A_{i}\nearrow$ أو أنها منفصلة			أبداً
الحلقة (نظرية الترتيب)
الحلقة (نظرية القياس)										أبداً
حلقة دلتا										أبداً
𝜎-ring										أبداً
الجبر (مجال)										أبداً
الجبر π (حقل π)										أبداً
فلتر
فلتر مناسب				أبداً	أبداً				أبداً
مرشح أولي (قاعدة المرشح)
قاعدة بيانات التصفية الفرعية
الطوبولوجيا المفتوحة							(حتى التعسفي) $\cup$ )			أبداً
الطوبولوجيا المغلقة						(حتى التعسفي) $\cap$ )				أبداً
ينطبق بالضرورة على ${\mathcal {F}}\colon$ أو، هو ${\mathcal {F}}$ مغلق بموجب:	موجهة للأسفل	التقاطعات المحدودة	الاتحادات المحدودة	المكملات النسبية	يكمل في $\Omega$	التقاطعات القابلة للعد	النقابات القابلة للعد	يتضمن $\Omega$	يتضمن $\varnothing$	خاصية التقاطع المحدود
بالإضافة إلى ذلك، فإن *شبه الحلقة* هي نظام $π$ حيث يكون كل مكمل $B\setminus A$ يساوي اتحادًا منفصلاً محدودًا لمجموعات في ${\mathcal {F}}.$ الجبر *الجزئي* هو حلقة جزئية حيث كل مكمل $\Omega \setminus A$ يساوي اتحادًا منفصلاً محدودًا لمجموعات في ${\mathcal {F}}.$ $A,B,A_{1},A_{2},\ldots$ هي عناصر اعتباطية من ${\mathcal {F}}$ ويفترض أن ${\mathcal {F}}\neq \varnothing .$

[6] تقاطع المجموعات الجزئية الصفرية من $X$ يكون $X$ نفسها.

[25] من الواضح أن الفلتر على $X$ يوجد فلتر للطلبات على ${\mathcal {P}}(X)$ أما العكس، فليكن ${\mathcal {F}}$ كن مرشحًا للطلبات ${\mathcal {P}}(X)$ هي مغلقة من الأعلى بحكم التعريف. نتحقق من الإغلاق تحت التقاطعات المحدودة. إذا $A_{0},\dots ,A_{n-1}$ هي عائلة منتهية من المجموعات الجزئية من ${\mathcal {F}}$ ، وله حد أدنى في ${\mathcal {F}}$ عن طريق الإغلاق الهابط، وهو ما يمثل نوعًا ما $B\in {\mathcal {F}}$ بحيث $B\subseteq A_{0},\dots ,B\subseteq A_{n-1}$ . ثم $B\subseteq A_{0}\cap \dots \cap A_{n-1}$ ، لذلك $A_{0}\cap \dots \cap A_{n-1}\in {\mathcal {F}}$ عن طريق الإغلاق التصاعدي.

[FOOTNOTECartan1937a-1] كارتان 1937أ .

[FOOTNOTECartan1937b-2] كارتان 1937ب .

[FOOTNOTECsászár197856-3] 1 2 3 4 سيزار 1978 ، ص. 56.

[FOOTNOTESchechter1996100-4] 1 2 Schechter 1996 ، ص. 100.

[FOOTNOTEWillard200478-5] 1 2 ويلارد 2004 ، ص. 78.

[FOOTNOTEDoleckiMynard201629-7] 1 2 3 Dolecki & Mynard 2016 ، ص. 29.

[FOOTNOTEJoshi1983241-8] جوشي 1983 ، ص 241.

[FOOTNOTEKöthe198311-9] Köthe 1983 ، ص 11.

[FOOTNOTESchubert196848-10] شوبرت 1968 ، ص 48.

[FOOTNOTESchubert196849-11] 1 2 شوبرت 1968 ، ص 49.

[FOOTNOTESchechter1996102-12] 1 2 Schechter 1996 ، ص. 102.

[FOOTNOTEBourbaki198757–68-13] 1 2 3 4 بورباكي 1987 ، ص 57-68.

[FOOTNOTEJoshi1983242-14] 1 2 3 4 5 جوشي 1983 ، ص 242.

[FOOTNOTEDoleckiMynard201630-15] 1 2 3 4 Dolecki & Mynard 2016 ، ص. 30.

[FOOTNOTESchechter1996103-16] 1 2 Schechter 1996 ، ص. 103.

[FOOTNOTESchechter1996104-17] 1 2 3 شيشتر 1996 ، ص. 104.

[18] جيتش، توماس (2006). نظرية المجموعات: طبعة الألفية الثالثة، منقحة وموسعة . برلين، نيويورك: سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 74. ISBN 978-3-540-44085-7. OCLC 50422939 .

[FOOTNOTESchechter1996100–130-19] شيشتر 1996 ، ص 100-130.

[FOOTNOTEWilansky201344-20] ويلانسكي 2013 ، ص 44.

[FOOTNOTEDoleckiMynard201633-21] 1 2 Dolecki & Mynard 2016 ، ص. 33.

[FOOTNOTESchechter199616-22] شيشتر 1996 ، ص 16.

[FOOTNOTEDoleckiMynard201634-23] 1 2 Dolecki & Mynard 2016 ، ص. 34.

[FOOTNOTEDoleckiMynard201631-24] 1 2 Dolecki & Mynard 2016 ، ص. 31.

[FOOTNOTESchubert196850-26] شوبرت 1968 ، ص 50.

[FOOTNOTECsászár197857-27] Császár 1978 ، ص 57.

[FOOTNOTEDoleckiMynard201635-28] Dolecki & Mynard 2016 ، ص 35.

[FOOTNOTENariciBeckenstein20115-29] ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 5.

[FOOTNOTEJoshi1983246-30] جوشي 1983 ، ص 246.

[FOOTNOTEDoleckiMynard201637-31] Dolecki & Mynard 2016 ، ص 37.

[FOOTNOTEDoleckiMynard201639-32] Dolecki & Mynard 2016 ، ص 39.

[FOOTNOTEKöthe198314-33] Köthe 1983 ، ص 14.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ أ ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

12

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

16

17

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

21 ]

22

23 ]

[ ب ]

[ 24 ]

25

[ 26 ]

[

28

[ 29 ]

[ 30 ]

[

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗