القيم الخاصة لدوال L

في الرياضيات ، تُعد دراسة القيم الخاصة لدوال L فرعًا من فروع نظرية الأعداد مخصصًا لتعميم الصيغ مثل صيغة لايبنيز لـ π ، أي $${\displaystyle 1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,{\frac {1}{7}}\,+\,{\frac {1}{9}}\,-\,\cdots \;=\;{\frac {\pi }{4}},\!}$$

وذلك بإدراك أن التعبير الموجود على الجانب الأيسر يساوي${\displaystyle L(1)}$أين${\displaystyle L(s)}$هي دالة ديريشليه L لحقل الأعداد النسبية الغاوسية . وينتج الطرف الأيمن من صيغة عدد الفئة التحليلية ، والعامل${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$يظهر ذلك لأن حقل غاوس له رقم فئة 1 ويحتوي على أربعة جذور للوحدة .

هناك مجموعتان من التخمينات، تمت صياغتهما لفئات عامة من الدوال L (الإطار العام جدًا هو للدوال L المرتبطة بدوافع تشاو على حقول الأعداد )، ويعكس التقسيم إلى قسمين أسئلة ما يلي:

1. كيفية الاستبدال${\displaystyle \pi }$في صيغة لايبنتز بواسطة عدد "متسامٍ" آخر (بغض النظر عما إذا كان من الممكن حاليًا لنظرية الأعداد المتسامية تقديم برهان على التسامي)؛ و
2. كيفية تعميم العامل النسبي في الصيغة (رقم الفئة مقسومًا على عدد جذور الوحدة) من خلال بعض البناء الجبري لعدد نسبي يمثل نسبة قيمة دالة L إلى العامل "المتسامي".

تُقدَّم تفسيرات إضافية للقيم الصحيحة لـ${\displaystyle n}$والتي تتضمن صيغًا من هذا النوع${\displaystyle L(n)}$من المتوقع أن يستمر الوضع على ما هو عليه.

تُسمى التخمينات الخاصة بـ (أ) بتخمينات بيلينسون ، نسبةً إلى ألكسندر بيلينسون . ^{[ 1 ] [ 2 ]} وتتلخص الفكرة في التجريد من منظم حقل عددي إلى "منظم أعلى" ( منظم بيلينسون )، وهو محدد مبني على فضاء متجهي حقيقي مستمد من نظرية K الجبرية .

تُعرف التخمينات الخاصة بالفقرة (ب) بتخمينات بلوخ-كاتو للقيم الخاصة (نسبةً إلى سبنسر بلوخ وكازويا كاتو ؛ وتختلف هذه الدائرة الفكرية عن تخمين بلوخ-كاتو لنظرية K، الذي يُعد امتدادًا لتخمين ميلنور ، والذي أُعلن عن برهانه في عام 2009). كما تُعرف أيضًا بتخمين عدد تاماغاوا ، وهو اسمٌ نشأ من تخمين بيرش-سوينرتون-داير وصياغته كمعادلة منحنى إهليلجي لمسألة عدد تاماغاوا للمجموعات الجبرية الخطية . ^{[ 3 ]} وفي امتدادٍ لاحق، تمت صياغة تخمين عدد تاماغاوا المتغير (ETNC)، لترسيخ صلة هذه الأفكار بنظرية إيواساوا ، وما يُسمى بتخمينها الرئيسي .

• تخمين برومر-ستارك

• كينغز، غيدو (2003)، "تخمين بلوخ-كاتو حول القيم الخاصة لدوال L. مسح للنتائج المعروفة" ، مجلة نظرية الأعداد في بوردو ، 15 (1): 179-198 ، doi : 10.5802/jtnb.396 ، ISSN 1246-7405 ، MR 2019010  
• "تخمينات بيلينسون" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]
• "K-functor in algebraic geometry" ، موسوعة الرياضيات ، EMS Press، 2001 [1994]
• ماثار، ريتشارد ج. (2010)، "جدول متسلسلات ديريشليه L ودوال زيتا الأولية للمعاملات الصغيرة"، arXiv : 1008.2547 [ math.NT ]

• L-funktionen und die Vermutingen von Deligne und Beilinson (دوال L وتخمينات Deligne وBeilsnson)