الفرضية الرئيسية لنظرية إيواساوا

في الرياضيات ، تتمثل الفرضية الرئيسية لنظرية إيواساوا في وجود علاقة وثيقة بين دوال L- العددية p -adic ومجموعات الفئات المثالية للحقول الدائرية ، وقد أثبتها كينكيتشي إيواساوا للأعداد الأولية التي تحقق فرضية كومر-فانديفر ، وأثبتها مازور وويلز ( 1984 ) لجميع الأعداد الأولية . وتُعدّ كل من نظرية هيربراند-ريبيه وفرضية غراس نتيجتين سهلتين لهذه الفرضية الرئيسية. وهناك العديد من التعميمات لهذه الفرضية، لتشمل الحقول الحقيقية تمامًا ، ^{[ 1 ]} وحقول CM ، والمنحنيات الإهليلجية ، وما إلى ذلك. 

استلهم إيواساوا (1969أ) جزئيًا من تشبيه وصف ويل لدالة زيتا لمنحنى جبري على حقل منتهٍ بدلالة القيم الذاتية لتشاكل فروبينيوس على تنوعه اليعقوبي . في هذا التشبيه،

• يتوافق فعل فروبينيوس مع فعل المجموعة Γ.
• يتوافق جاكوبيان المنحنى مع وحدة X على Γ معرفة بدلالة مجموعات الفئات المثالية.
• دالة زيتا لمنحنى على حقل محدود تتوافق مع دالة L p -adic .
• تتوافق نظرية ويل التي تربط القيم الذاتية لفروبينيوس بأصفار دالة زيتا للمنحنى مع التخمين الرئيسي لإيواساوا الذي يربط تأثير جبر إيواساوا على X بأصفار دالة زيتا p -adic.

كانت الفرضية الأساسية لنظرية إيواساوا هي التأكيد على أن طريقتين لتعريف دوال L من الرتبة p -adic (عن طريق نظرية الوحدات، وعن طريق الاستيفاء) يجب أن تتطابقا، طالما كان ذلك مُعرَّفًا جيدًا. وقد أثبت مازور وويلز (1984) ذلك بالنسبة لـ Q ، وأثبته وايلز (1990) لجميع حقول الأعداد الحقيقية تمامًا . وقد استُلهمت هذه البراهين من برهان كين ريبت لعكس نظرية هيربراند ( نظرية هيربراند-ريبت ).

وجد كارل روبين برهانًا أكثر بساطة لنظرية مازور-وايلز باستخدام طريقة ثاين وأنظمة أويلر لكوليفاجين ، الموصوفة في لانغ (1990) وواشنطن (1997) ، وأثبت لاحقًا تعميمات أخرى للتخمين الرئيسي للحقول التربيعية التخيلية . ^{[ 2 ]}

في عام ٢٠١٤، أثبت كريستوفر سكينر وإريك أوربان عدة حالات من التخمينات الرئيسية لفئة واسعة من الأشكال النمطية . ^{[ ٣ ]} ونتيجة لذلك، بالنسبة لمنحنى إهليلجي نمطي على الأعداد النسبية ، أثبتا أن تلاشي دالة هاس-ويل L ( E , s ) للمنحنى E عند s = ١ يستلزم أن زمرة سيلمر p -adic للمنحنى E لانهائية. وبالاقتران مع نظريات غروس - زاغير وكوليفاجين ، قدم هذا برهانًا مشروطًا (على تخمين تيت-شافاريفيتش ) للتخمين القائل بأن المنحنى E يحتوي على عدد لا نهائي من النقاط النسبية إذا وفقط إذا كانت L ( E , ١) = ٠، وهو شكل (ضعيف) من تخمين بيرش-سوينرتون-داير . استُخدمت هذه النتائج من قِبل مانجول بهارجافا ، وسكينر، ووي تشانغ لإثبات أن نسبة موجبة من المنحنيات الإهليلجية تُحقق حدسية بيرش-سوينرتون-داير. ^{[ 4 ] [ 5 ]}    

• p عدد أولي.
• F _n هو الحقل Q (ζ) حيث ζ هو جذر الوحدة من الرتبة p ^{n +1} .
• Γ هي أكبر مجموعة فرعية من مجموعة غالوا المطلقة لـ F _∞ المتماثلة مع الأعداد الصحيحة p -adic .
• γ هو مولد طوبولوجي لـ Γ.
• L _n هو حقل فئة هيلبرت p لـ F _n .
• H _n هي مجموعة غالوا Gal( L _n / F _n )، متماثلة مع المجموعة الفرعية لعناصر مجموعة الفئة المثالية لـ F _n التي رتبتها هي قوة p .
• H _∞ هو الحد العكسي لمجموعات غالوا H _n .
• V هو الفضاء المتجهي H _∞ ⊗ _{Z p} Q _p .
• ω هو رمز تايخمولر .
• V ⁱ هو الفضاء الذاتي ω ⁱ لـ V.
• h _p (ω ⁱ , T ) هي متعددة الحدود المميزة لـ γ التي تعمل على الفضاء المتجهي V ⁱ .
• L _p هي دالة L p-adic مع L _p (ω ⁱ ,1– k ) = –B _k (ω ^{i – k} )/ k ، حيث B هو عدد برنولي المعمم .
• u هو العدد p-adic الفريد الذي يحقق γ(ζ) = ζ ^u لجميع جذور الوحدة ζ ذات القوة p.
• G _p هي سلسلة القوى حيث G _p (ω ⁱ , u ^s –1) = L _p (ω ⁱ , s ).

تنص الفرضية الرئيسية لنظرية إيواساوا، التي أثبتها مازور وويلز، على أنه إذا كان i عددًا صحيحًا فرديًا لا يتطابق مع 1 modulo p –1، فإن مُثُل${\displaystyle \mathbf {Z} _{p}[[T]]}$يتم توليدها بواسطة h _p (ω ⁱ , T ) و G _p (ω ^{1– i} , T ) متساوية.