مفارقة التوت

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
الموسوعة الحرة

مفارقة بيري هي مفارقة مرجعية ذاتية تنشأ من تعبير مثل "أصغر عدد صحيح موجب لا يمكن تعريفه بأقل من ستين حرفًا" (عبارة مكونة من سبعة وخمسين حرفًا).

نسب برتراند راسل ، أول من ناقش هذه المفارقة في كتاباته، الفضل فيها إلى جي جي بيري (1867-1928)، [ 1 ] وهو أمين مكتبة مبتدئ في مكتبة بودليان بجامعة أكسفورد . وصف راسل بيري بأنه "الشخص الوحيد في أكسفورد الذي فهم المنطق الرياضي ". [ 2 ] أطلق جان إيف جيرار على هذه المفارقة اسم " مفارقة ريتشارد " . [ 3 ]

ملخص

لننظر إلى التعبير التالي:

أصغر عدد صحيح موجب لا يمكن تعريفه بأقل من ستين حرفًا.

بما أن الأبجدية الإنجليزية تتكون من ستة وعشرين حرفًا فقط، فإن عدد العبارات التي تقل عن ستين حرفًا محدود، وبالتالي يوجد عدد محدود من الأعداد الصحيحة الموجبة التي تُعرَّف بعبارات تقل عن ستين حرفًا. وبما أن عدد الأعداد الصحيحة الموجبة لا نهائي، فهذا يعني وجود أعداد صحيحة موجبة لا يمكن تعريفها بعبارات تقل عن ستين حرفًا. إذا وُجدت أعداد صحيحة موجبة تحقق خاصية معينة، فإنه يوجد أصغر عدد صحيح موجب يحقق تلك الخاصية؛ وبالتالي، يوجد أصغر عدد صحيح موجب يحقق خاصية "عدم إمكانية تعريفه بأقل من ستين حرفًا". هذا هو العدد الصحيح الذي تشير إليه العبارة السابقة. لكن العبارة السابقة تتكون من سبعة وخمسين حرفًا فقط، لذا فهي قابلة للتعريف بأقل من ستين حرفًا، وليست أصغر عدد صحيح موجب لا يمكن تعريفه بأقل من ستين حرفًا، وبالتالي لا تُعرَّف بهذه العبارة. هذه مفارقة: يجب أن يكون هناك عدد صحيح محدد بواسطة هذا التعبير، ولكن بما أن التعبير متناقض ذاتيًا (أي عدد صحيح يحدده يمكن تعريفه في أقل من ستين حرفًا)، فلا يمكن أن يكون هناك أي عدد صحيح محدد بواسطة هذا التعبير.

يُضيف عالم الرياضيات وعلوم الحاسوب غريغوري تشايتين في كتابه "المجهول " (1999) هذا التعليق: "لقد تكبّد المؤرخ الرياضي المكسيكي أليخاندرو غارسيدييغو عناء البحث عن تلك الرسالة [رسالة بيري التي استقى منها راسل ملاحظاته]، وهي في الواقع مفارقة مختلفة تمامًا. تتحدث رسالة بيري عن أول عدد ترتيبي لا يمكن تسميته بعدد محدود من الكلمات. ووفقًا لنظرية كانتور، لا بد من وجود مثل هذا العدد الترتيبي، لكننا سمّيناه للتو بعدد محدود من الكلمات، وهذا تناقض."

دقة

تنشأ مفارقة بيري، كما صيغت أعلاه، بسبب الغموض المنهجي في كلمة "قابل للتعريف". وفي صياغات أخرى لمفارقة بيري، مثل تلك التي تُقرأ: "...غير قابل للتسمية بأقل من..."، فإن مصطلح "قابل للتسمية" يحمل أيضًا هذا الغموض المنهجي. وتؤدي المصطلحات من هذا النوع إلى مغالطات الحلقة المفرغة . ومن المصطلحات الأخرى التي تحمل هذا النوع من الغموض: قابل للإرضاء، صحيح، خاطئ، دالة، خاصية، فئة، علاقة، عدد أصلي، وعدد ترتيبي. [ 4 ] إن حل إحدى هذه المفارقات يعني تحديد موضع الخطأ في استخدامنا للغة بدقة، ووضع قيود على استخدامها لتجنبها.

يمكن حلّ هذه المجموعة من المفارقات من خلال دمج مستويات المعنى في اللغة. يمكن كتابة المصطلحات ذات الغموض المنهجي برموز سفلية تشير إلى أن مستوىً معيناً من المعنى يُعتبر ذا أولوية أعلى من غيره في تفسيرها. على سبيل المثال، قد يُسمى "العدد الذي لا يمكن تسميته 0 بأقل من إحدى عشرة كلمة" بالعدد 1 بأقل من إحدى عشرة كلمة وفقًا لهذا المخطط. [ 5 ]

مع ذلك، يمكن للمرء أن يقرأ إسهامات ألفريد تارسكي في مفارقة الكاذب ليكتشف قصور هذا الحل في اللغات. فقد شخّص تارسكي المفارقة بأنها لا تظهر إلا في اللغات " المغلقة دلاليًا "، أي اللغة التي يُمكن فيها لجملة أن تُسند الصدق (أو الكذب) إلى جملة أخرى في اللغة نفسها (أو حتى إلى نفسها). ولتجنب التناقض الذاتي، من الضروري عند مناقشة قيم الصدق أن نتصور مستويات لغوية، كل منها لا يُمكنه إسناد الصدق (أو الكذب) إلا إلى لغات في مستوى أدنى. لذا، عندما تُشير جملة إلى قيمة صدق جملة أخرى، فإنها تكون أعلى دلاليًا. فالجملة المشار إليها جزء من "لغة الموضوع"، بينما تُعتبر الجملة المُشيرة جزءًا من "لغة فوقية" بالنسبة إلى لغة الموضوع. ومن المشروع أن تُشير الجمل في "لغات" أعلى في التسلسل الهرمي الدلالي إلى جمل أدنى في التسلسل الهرمي "اللغوي"، ولكن ليس العكس. وهذا يمنع النظام من أن يصبح مرجعياً ذاتياً.

مع ذلك، فإن هذا النظام غير مكتمل. يرغب المرء في أن يكون قادرًا على صياغة عبارات مثل: "لكل عبارة في المستوى α من التسلسل الهرمي، توجد عبارة في المستوى α + 1 تؤكد أن العبارة الأولى خاطئة". هذه عبارة صحيحة وذات معنى حول التسلسل الهرمي الذي حدده تارسكي، لكنها تشير إلى عبارات في كل مستوى من مستويات التسلسل الهرمي، لذا يجب أن تكون أعلى من كل مستوى، وبالتالي فهي غير ممكنة ضمن التسلسل الهرمي (مع أن صيغًا محدودة من الجملة ممكنة). [ 6 ] [ 7 ] يُنسب الفضل إلى شاول كريبك في تحديد هذا النقص في تسلسل تارسكي الهرمي في بحثه الذي حظي باقتباسات كثيرة "موجز لنظرية الحقيقة"، [ 7 ] وهو يُعتبر مشكلة عامة في اللغات الهرمية. [ 8 ] [ 7 ]

النظائر الرسمية

باستخدام برامج أو براهين ذات أطوال محدودة، من الممكن بناء نظير لتعبير بيري بلغة رياضية رسمية، كما فعل غريغوري تشايتين . ورغم أن النظير الرسمي لا يؤدي إلى تناقض منطقي، إلا أنه يثبت بعض نتائج الاستحالة. [ 9 ]

استند جورج بولوس (1989) إلى نسخة رسمية من مفارقة بيري لإثبات نظرية عدم اكتمال غودل بطريقة جديدة وأبسط بكثير. [ 10 ] الفكرة الأساسية لبرهانه هي أن العبارة التي تتحقق عن x إذا وفقط إذا كان x = n لعدد طبيعي n يمكن تسميتها تعريفًا لـ n ، وأن المجموعة {( n , k ): n لها تعريف طوله k رمزًا} يمكن إثبات أنها قابلة للتمثيل (باستخدام أعداد غودل ). عندئذٍ، يمكن صياغة العبارة " m هو أول عدد لا يمكن تعريفه بأقل من k رمزًا" رسميًا وإثبات أنها تعريف بالمعنى المذكور آنفًا. [ 10 ]

العلاقة بتعقيد كولموغوروف

لا يمكن عمومًا تحديد الحد الأدنى لعدد الرموز اللازمة لوصف سلسلة نصية معينة في اللغة الطبيعية بشكل قاطع. في هذا السياق، يمكن استخدام مصطلحي " سلسلة نصية" و "رقم" بشكل متبادل، فالرقم في الواقع عبارة عن سلسلة من الرموز، مثل كلمة إنجليزية (مثل كلمة "eleven" المستخدمة في المفارقة)، بينما من الممكن الإشارة إلى أي كلمة برقم، مثلاً برقم موقعها في قاموس معين أو باستخدام ترميز مناسب. يمكن وصف بعض السلاسل النصية الطويلة بدقة باستخدام عدد أقل من الرموز مقارنةً بما تتطلبه تمثيلاتها الكاملة، كما هو الحال غالبًا عند استخدام ضغط البيانات . يُعرَّف تعقيد السلسلة النصية بأنه الحد الأدنى للطول الذي يتطلبه الوصف للإشارة (بشكل قاطع) إلى التمثيل الكامل لتلك السلسلة.

يُعرَّف تعقيد كولموغوروف باستخدام اللغات الرسمية ، أو آلات تورينغ، مما يُجنِّبنا الغموض بشأن السلسلة الناتجة عن وصف مُعطى. ويمكن إثبات أن تعقيد كولموغوروف غير قابل للحساب. يُظهر البرهان بالتناقض أنه لو أمكن حساب تعقيد كولموغوروف، لكان من الممكن أيضًا توليد مفارقات مماثلة لهذه المفارقة بشكل منهجي، أي أوصاف أقصر مما يستلزمه تعقيد السلسلة الموصوفة. بمعنى آخر، تعريف عدد بيري متناقض لأنه من غير الممكن فعليًا حساب عدد الكلمات اللازمة لتعريف عدد، ونعلم أن هذا الحساب غير ممكن بسبب هذه المفارقة.

انظر أيضاً

ملحوظات

مراجع

للمزيد من القراءة