عدد حقيقي قابل للتحديد

بصورة غير رسمية، العدد الحقيقي القابل للتعريف هو عدد حقيقي يمكن تحديده بشكل فريد من خلال وصفه. يمكن التعبير عن هذا الوصف كبنية رياضية أو كصيغة من لغة رسمية . على سبيل المثال، الجذر التربيعي الموجب للعدد 2،${\displaystyle {\sqrt {2}}}$يمكن تعريفها بأنها الحل الإيجابي الوحيد للمعادلة${\displaystyle x^{2}=2}$ويمكن بناؤه باستخدام البوصلة والمسطرة.

تؤدي الخيارات المختلفة للغة الرسمية أو تفسيرها إلى مفاهيم مختلفة لإمكانية التعريف. وتشمل الأنواع المحددة للأعداد القابلة للتعريف الأعداد القابلة للإنشاء في الهندسة، والأعداد الجبرية ، والأعداد القابلة للحساب .

إحدى طرق تحديد العدد الحقيقي هي استخدام التقنيات الهندسية. العدد الحقيقي${\displaystyle r}$يُعتبر عددًا قابلاً للإنشاء إذا كانت هناك طريقة لإنشاء قطعة مستقيمة طولها${\displaystyle r}$باستخدام البوصلة والمسطرة، بدءًا بقطعة مستقيمة ثابتة طولها 1.

كل عدد صحيح موجب، وكل عدد نسبي موجب، قابل للإنشاء. الجذر التربيعي الموجب للعدد 2 قابل للإنشاء. أما الجذر التكعيبي للعدد 2 فليس قابلاً للإنشاء؛ ويعود ذلك إلى استحالة مضاعفة المكعب .

عدد حقيقي${\displaystyle r}$يُطلق عليه اسم عدد جبري حقيقي إذا كان هناك متعدد حدود${\displaystyle p(x)}$، بمعاملات صحيحة فقط، بحيث${\displaystyle r}$هو جذر${\displaystyle p}$، إنه،${\displaystyle p(r)=0}$يمكن تعريف كل عدد جبري حقيقي على حدة باستخدام علاقة الترتيب على الأعداد الحقيقية. على سبيل المثال، إذا كانت كثيرة الحدود${\displaystyle q(x)}$للمعادلة خمسة جذور حقيقية، ويمكن تعريف الجذر الثالث بأنه الجذر الوحيد.${\displaystyle r}$بحيث${\displaystyle q(r)=0}$بحيث يوجد عددان مختلفان أقل من${\displaystyle r}$عندها${\displaystyle q}$يساوي صفرًا.

جميع الأعداد النسبية قابلة للإنشاء، وجميع الأعداد القابلة للإنشاء هي أعداد جبرية. وهناك أعداد مثل الجذر التكعيبي للعدد ٢، وهي أعداد جبرية ولكنها غير قابلة للإنشاء.

تشكل الأعداد الجبرية الحقيقية حقلاً فرعياً من الأعداد الحقيقية. وهذا يعني أن 0 و1 عددان جبريان، وعلاوة على ذلك، إذا${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$إذا كانت أعدادًا جبرية، فإن أعدادًا جبرية كذلك${\displaystyle a+b}$،${\displaystyle ab}$،${\displaystyle ab}$وإذا${\displaystyle b}$غير صفري،${\displaystyle a/b}$.

تتمتع الأعداد الجبرية الحقيقية أيضًا بخاصية تتجاوز كونها حقلًا فرعيًا من الأعداد الحقيقية، وهي أنه لكل عدد صحيح موجب${\displaystyle n}$وكل عدد جبري حقيقي${\displaystyle a}$جميع${\displaystyle n}$جذور${\displaystyle a}$الأعداد الحقيقية هي أيضاً أعداد جبرية.

يوجد عددٌ محدودٌ من الأعداد الجبرية، بينما يوجد عددٌ غير محدودٍ من الأعداد الحقيقية، لذا، من حيث العدد الأصلي، فإن معظم الأعداد الحقيقية ليست جبرية. وقد نُشر هذا البرهان غير البنّاء، الذي يُثبت أن ليس كل الأعداد الحقيقية جبرية، لأول مرة من قِبل جورج كانتور في بحثه عام 1874 بعنوان " حول خاصية لمجموعة جميع الأعداد الجبرية الحقيقية ".

تُسمى الأعداد غير الجبرية بالأعداد المتسامية . وأشهر الأعداد المتسامية هي π و e .

يُقال عن العدد الحقيقي أنه عدد قابل للحساب إذا كانت هناك خوارزمية، عند إعطاء عدد طبيعي${\displaystyle n}$، ينتج توسيعًا عشريًا للعدد بدقة تصل إلى${\displaystyle n}$المنازل العشرية. وقد قدم آلان تورينج هذا المفهوم في عام 1936. ^{[ 1 ]}

تشمل الأعداد القابلة للحساب الأعداد الجبرية بالإضافة إلى العديد من الأعداد المتسامية، بما في ذلك${\displaystyle \pi }$و${\displaystyle e}$وكما هو الحال مع الأعداد الجبرية، تشكل الأعداد القابلة للحساب أيضًا حقلًا فرعيًا من الأعداد الحقيقية، وتكون الأعداد الموجبة القابلة للحساب مغلقة تحت أخذ${\displaystyle n}$الجذر رقم 1 لكل موجب${\displaystyle n}$.

ليست كل الأعداد الحقيقية قابلة للحساب. ومن الأمثلة المحددة على الأعداد الحقيقية غير القابلة للحساب نهايات متواليات سبيكر ، والأعداد الحقيقية العشوائية خوارزمياً مثل أعداد أوميغا لشايتين .

مفهوم آخر للتعريف يأتي من النظريات الرسمية للحساب، مثل حساب بيانو . تحتوي لغة الحساب على رموز للصفر والواحد والعملية التالية والجمع والضرب، مصممة ليتم تفسيرها بالطريقة المعتادة على الأعداد الطبيعية . ولأن متغيرات هذه اللغة لا تشمل الأعداد الحقيقية ، فإن نوعًا مختلفًا من التعريف مطلوب للإشارة إلى الأعداد الحقيقية. العدد الحقيقي${\displaystyle a}$يمكن تعريفها في لغة الحساب (أو الحسابية ) إذا كان من الممكن تعريف قطع ديديكيند الخاص بها كمسند في تلك اللغة؛ أي إذا كانت هناك صيغة من الدرجة الأولى${\displaystyle \varphi }$بلغة الحساب، بثلاثة متغيرات حرة، بحيث $${\displaystyle \forall m\,\forall n\,\forall p\left(\varphi (n,m,p)\iff {\frac {(-1)^{p}\cdot n}{m+1}}<a\right).}$$ هنا تتراوح قيم m و n و p ضمن نطاق الأعداد الصحيحة غير السالبة.

لغة الحساب من الدرجة الثانية هي نفسها لغة الحساب من الدرجة الأولى، باستثناء أن المتغيرات والمكممات يُسمح لها بالتنقل بين مجموعات الأعداد الطبيعية. يُطلق على العدد الحقيقي الذي يمكن تعريفه من الدرجة الثانية في لغة الحساب اسم العدد التحليلي .

كل عدد حقيقي قابل للحساب هو عدد حسابي، والأعداد الحسابية تشكل حقلاً فرعياً من الأعداد الحقيقية، وكذلك الأعداد التحليلية. كل عدد حسابي هو عدد تحليلي، ولكن ليس كل عدد تحليلي هو عدد حسابي. ولأن عدد الأعداد التحليلية محدود، فإن معظم الأعداد الحقيقية ليست تحليلية، وبالتالي ليست حسابية أيضاً.

كل عدد قابل للحساب هو عدد حسابي، ولكن ليس كل عدد حسابي قابل للحساب. على سبيل المثال، نهاية متتالية سبيكر هي عدد حسابي غير قابل للحساب.

يمكن تصنيف تعريفات الأعداد الحقيقية الحسابية والتحليلية إلى تسلسل هرمي حسابي وتسلسل هرمي تحليلي . بشكل عام، يكون العدد الحقيقي قابلاً للحساب إذا وفقط إذا كان قطع ديديكيند الخاص به عند المستوى 1.${\displaystyle \Delta _{1}^{0}}$من التسلسل الهرمي الحسابي، أحد أدنى المستويات. وبالمثل، تشكل الأعداد الحقيقية ذات القطوع الحسابية من نوع ديديكيند أدنى مستوى في التسلسل الهرمي التحليلي.

عدد حقيقي${\displaystyle a}$يمكن تعريفها من الدرجة الأولى بلغة نظرية المجموعات، بدون معلمات ، بالنسبة لنموذج معين${\displaystyle M}$فيما يخص تقنية ZFC ، إذا كانت هناك صيغة${\displaystyle \varphi }$بلغة نظرية المجموعات ، مع متغير حر واحد ، بحيث${\displaystyle a}$هو العدد الحقيقي الفريد في ${\displaystyle M}$بحيث${\displaystyle \varphi (a)}$^{[ 2 ]} وهذا يعطي مفاهيم مختلفة عن قابلية التعريف لنماذج مختلفة، والتي لا يمكن وصفها بصيغة في لغة نظرية المجموعات.

جميع الأعداد التحليلية، وخاصة جميع الأعداد القابلة للحساب، قابلة للتعريف بلغة نظرية المجموعات. وبالتالي، فإن الأعداد الحقيقية القابلة للتعريف بلغة نظرية المجموعات تشمل جميع الأعداد الحقيقية المألوفة مثل 0 و 1 و${\displaystyle \pi }$،${\displaystyle e}$إلخ، إلى جانب جميع الأعداد الجبرية. وبافتراض أنها تشكل مجموعة في النموذج، فإن الأعداد الحقيقية القابلة للتعريف بلغة نظرية المجموعات تشكل حقلاً.

كل نموذج${\displaystyle M}$يجب أن يحتوي أي نظام يحتوي على عدد لا يُحصى من الأعداد الحقيقية على أعداد حقيقية غير قابلة للتعريف بالنسبة إلى${\displaystyle M}$(بدون معلمات). وينتج هذا عن حقيقة أن عدد الصيغ محدود، وبالتالي عدد عناصرها محدود.${\displaystyle M}$يمكن تعريفها على${\displaystyle M}$وبالتالي، إذا${\displaystyle M}$يحتوي على عدد لا يُحصى من الأعداد الحقيقية، ويمكن إثبات ذلك من "الخارج".${\displaystyle M}$ليس كل عدد حقيقي${\displaystyle M}$يمكن تعريفها على${\displaystyle M}$.

تصبح هذه الحجة أكثر إشكالية إذا طُبقت على نماذج الفئات في نظرية ZFC، مثل كون فون نيومان . إن الادعاء "العدد الحقيقي${\displaystyle x}$يمكن تعريفها على نموذج الفئة${\displaystyle N}$لا يمكن التعبير عن ذلك بصيغة ZFC. ^{[ 3 ] [ 4 ]} وبالمثل، لا يمكن التعبير عن مسألة ما إذا كان كون فون نيومان يحتوي على أعداد حقيقية لا يمكن تعريفها بجملة في لغة ZFC. علاوة على ذلك، توجد نماذج قابلة للعد في ZFC حيث يمكن تعريف جميع الأعداد الحقيقية، وجميع مجموعات الأعداد الحقيقية، والدوال على الأعداد الحقيقية، وما إلى ذلك. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

• مفارقة بيري
• عالم قابل للبناء
• مشكلة اتخاذ القرار
• مجموعة قابلة للتحديد الترتيبي
• مفارقة ريتشارد
• نظرية تارسكي غير القابلة للتعريف