الديناميكا الحرارية للثقوب السوداء

📅 آخر تحديث: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 23 صور
الموسوعة الحرة
حجر تذكاري لستيفن هوكينج في دير وستمنستر، يُظهر معادلته لحساب درجة حرارة الثقب الأسود

في الفيزياء ، تُعرف الديناميكا الحرارية للثقوب السوداء [ 1 ] [ 2 ] بأنها مجموعة من العلاقات الفيزيائية بين خصائص الثقوب السوداء ، والتي ترتبط ارتباطًا مباشرًا بقوانين الديناميكا الحرارية الكلاسيكية . [ 3 ] : 442 وقد طُوِّر هذا التكافؤ باستبدال الإنتروبيا بمساحة أفق الثقب الأسود، واستبدال درجة الحرارة بجاذبية سطح أفق الثقب الأسود. إن وجود درجة حرارة يعني بالضرورة أن الثقب الأسود يُصدر إشعاعًا، أي إشعاع هوكينغ . [ 3 ] : 426

لا توجد طريقة معروفة للتحقق من الديناميكا الحرارية للثقوب السوداء؛ إنها النموذج الفيزيائي الأكثر قبولاً على نطاق واسع والذي يجمع بين النسبية العامة ونظرية الحقل الكمومي والديناميكا الحرارية، [ 4 ] على الرغم من أن قانون هوكينج للمساحة قد تم اختباره بالفعل من خلال تحليل موجات الجاذبية . [ 5 ]

تاريخ

في عام 1972، افترض جاكوب بيكنشتاين أن الثقوب السوداء يجب أن يكون لها إنتروبيا تتناسب مع مساحة أفق الحدث، [ 6 ] وفي نفس العام، اقترح نظرية انعدام الشعر. وفي عام 1973، اقترح بيكنشتاين بشكل استدلاليln⁡28 π≈0.0276{\displaystyle {\frac {\ln {2}}{8\ \!\pi }}\approx 0.0276}باعتباره ثابت التناسب. [ 7 ] في العام التالي، 1974، أثبت ستيفن هوكينغ أن الثقوب السوداء تُصدر إشعاع هوكينغ الحراري [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] الذي يتوافق مع درجة حرارة معينة (درجة حرارة هوكينغ). [ 11 ] باستخدام العلاقة الديناميكية الحرارية بين الطاقة ودرجة الحرارة والإنتروبيا، تمكن هوكينغ من تأكيد فرضية بيكنشتاين وتحديد ثابت التناسب عند1/4{\displaystyle 1/4}[ 12 ] [ 13 ]​

SBH=كبأ4ℓP2،{\displaystyle S_{\text{BH}}={\frac {k_{\text{B}}A}{4{\ell _{\text{P}}}^{2}}},}

أينأ{\displaystyle A}هي منطقة أفق الحدث،كب{\displaystyle k_{\text{B}}}هو ثابت بولتزمان ، وℓP=جيℏ/ج3{\displaystyle \ell _{\text{P}}={\sqrt {G\hbar /c^{3}}}}هو طول بلانك .

يُشار إلى هذا غالبًا باسم صيغة بيكنشتاين-هوكينغ . يشير الرمز السفلي BH إما إلى الثقب الأسود أو إلى بيكنشتاين-هوكينغ . كانت حقيقة أن إنتروبيا الثقب الأسود هي أيضًا أقصى إنتروبيا يمكن الحصول عليها من خلال حد بيكنشتاين (حيث يصبح حد بيكنشتاين معادلة) هي الملاحظة الرئيسية التي أدت إلى مبدأ الهولوغرافيا . [ 14 ] تم تعميم هذه العلاقة المكانية لتشمل مناطق عشوائية عبر صيغة ريو-تاكاياناغي ، التي تربط إنتروبيا التشابك لنظرية حقل توافقي حدودي بسطح محدد في نظريتها الجاذبية الثنائية. [ 15 ]

في أوائل التسعينيات، عمّم جيرارد هوفت وليونارد ساسكيند العلاقة بين مساحة سطح الثقب الأسود وإنتروبياه، لتشمل كامل الزمكان. كان هذا شكلاً مبكراً لمبدأ الهولوغرافيا ، وهو علاقة عالمية بين الهندسة والمعلومات. وتتلخص الفكرة في أن المساحة المحيطة بأي حجم في الزمكان تحد من محتوى المعلومات في ذلك الحجم. وبالتالي، فإن عدد درجات الحرية في أي حجم محدود وليس لانهائياً. [ 14 ]

على الرغم من أن حسابات هوكينغ قدمت أدلة ديناميكية حرارية إضافية على إنتروبيا الثقوب السوداء، إلا أنه حتى عام 1995 لم يتمكن أحد من إجراء حساب دقيق لإنتروبيا الثقوب السوداء استنادًا إلى الميكانيكا الإحصائية ، التي تربط الإنتروبيا بعدد كبير من الحالات المجهرية . وقد أشارت بعض الدراسات، المعروفة بنظريات انعدام الشعر [ 16 ] ، إلى أن الثقوب السوداء قد تمتلك حالة مجهرية واحدة فقط. تغير الوضع في عام 1995 عندما قام أندرو سترومينجر وكومرون فافا [ 17 ] بحساب إنتروبيا بيكنشتاين-هوكينغ لثقب أسود فائق التناظر في نظرية الأوتار ، باستخدام طرق تعتمد على أغشية D وازدواجية الأوتار . تبع ذلك العديد من الحسابات المماثلة لإنتروبيا فئات واسعة من الثقوب السوداء المتطرفة وشبه المتطرفة ، وكانت النتائج دائمًا متوافقة مع صيغة بيكنشتاين-هوكينغ. مع ذلك، بالنسبة لثقب شوارزشيلد الأسود ، الذي يُعتبر أبعد الثقوب السوداء عن الحالة المتطرفة، لم يتم تحديد العلاقة بين الحالات الميكروسكوبية والماكروسكوبية. وتتواصل الجهود لإيجاد إجابة وافية في إطار نظرية الأوتار.

في نظرية الجاذبية الكمومية الحلقية (LQG)، يُمكن ربط تفسير هندسي بالحالات الميكروية: وهي الهندسة الكمومية للأفق. تُقدم LQG تفسيرًا هندسيًا لمحدودية الإنتروبيا وتناسب مساحة الأفق. [ 18 ] [ 19 ] من الممكن استنتاج العلاقة الصحيحة بين الطاقة والمساحة (القانون الأول للديناميكا الحرارية)، ودرجة حرارة أونرو ، والتوزيع الذي يُنتج إنتروبيا هوكينغ ، من الصياغة المتغيرة لنظرية الكم الكاملة ( رغوة الدوران ). [ 20 ] تستخدم الحسابات مفهوم الأفق الديناميكي ، وتُجرى للثقوب السوداء غير المتطرفة. يبدو أنه يجري أيضًا مناقشة حساب إنتروبيا بيكنشتاين-هوكينغ من منظور LQG. المجموعة الميكروكانونية هي المجموعة المقبولة حاليًا للحالات الميكروية للثقوب السوداء . ينتج عن دالة التوزيع للثقوب السوداء سعة حرارية سالبة . في المجموعات الكنسية، يوجد قيد على السعة الحرارية الموجبة، بينما يمكن أن توجد المجموعات الميكروكنسية بسعة حرارية سالبة. [ 21 ]

أكدت تحليلات الموجات الثقالية المنبعثة من GW250114 صحة ادعاء هوكينغ بأن مساحة سطح الثقب الأسود دالة غير متناقصة مع الزمن. [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]

قوانين ميكانيكا الثقوب السوداء الكلاسيكية

تُمثل هذه القوانين الأربعة لميكانيكا الثقوب السوداء علاقات بين الخصائص الفيزيائية للثقوب السوداء ، بافتراض النسبية العامة دون تأثيرات الكم. يُشابه هذا الشكل قوانين الديناميكا الحرارية، ولكن في غياب تأثيرات الكم، يجب أن تكون درجة حرارة الثقب الأسود صفرًا، وبالتالي يمتص جميع الإشعاعات. [ 25 ] هذا هو الشكل الذي اقترحه باردين وبراندون كارتر وهاوكينغ عام 1973 [ 26 ] (مُعبرًا عنه بوحدات هندسية ).

القانون الصفري

بالنسبة للثقب الأسود الثابت (الذي يكون في حالة توازن ميكانيكي ) [ 27 ] : 10 جاذبية السطح ،κ{\displaystyle \kappa }، ثابت على أفق الحدث. وهذا يُشابه القانون الصفري للديناميكا الحرارية بشأن تكافؤ درجة الحرارة عبر نظام في حالة اتزان، حيث تُشابه جاذبية السطح درجة الحرارة. [ 25 ] : 417

القانون الأول

بالنسبة لاضطرابات الثقوب السوداء الثابتة، يرتبط تغير الطاقة بتغير المساحة والزخم الزاوي والشحنة الكهربائية من خلال

دهـ=κ8πدأ+Ωدج+Φدسؤال،{\displaystyle dE={\frac {\kappa }{8\pi }}\,dA+\Omega \,dJ+\Phi \,dQ,}

أينهـ{\displaystyle E}هي الطاقة ،κ{\displaystyle \kappa }هي جاذبية السطح،أ{\displaystyle A}هي منطقة الأفق،Ωأوميغاهي السرعة الزاوية ،ج{\displaystyle J}الزخم الزاوي ،Φ{\displaystyle \Phi }هو الجهد الكهروستاتيكي وسؤال{\displaystyle Q}هي الشحنة الكهربائية . وبالمثل، فإن القانون الأول للديناميكا الحرارية هو بيان لحفظ الطاقة ، والذي يحتوي على حد يساوي درجة الحرارة مضروبة في التغير في الإنتروبيا.تيدS{\displaystyle TdS}.

القانون الثاني

تُعد مساحة الأفق، بافتراض شرط الطاقة الضعيفة ، دالة غير متناقصة للزمن:

دأدت≥0.{\displaystyle {\frac {dA}{dt}}\geq 0.} هنا، تُشابه مساحة سطح الثقب الأسود الإنتروبيا الديناميكية الحرارية، وتنص القوانين على أن هذه الخصائص لا يمكن أن تتناقص تلقائيًا. [ 27 ] : 6

القانون الثالث

لا يمكن تكوين ثقب أسود ذي جاذبية سطحية معدومة. أيκ=0{\displaystyle \kappa =0}لا يمكن تحقيق ذلك. وهذا يُشابه بعض أشكال القانون الثالث للديناميكا الحرارية ، وليس جميعها . [ 27 ] : 10

التأثيرات الكمومية

يُعدّ القانون الثاني المُعمّم للديناميكا الحرارية (GSL) ضروريًا لإثبات صحة القانون الثاني للديناميكا الحرارية. ذلك لأن القانون الثاني للديناميكا الحرارية، نتيجةً لاختفاء الإنتروبيا بالقرب من السطح الخارجي للثقوب السوداء، يصبح غير مُجدٍ. يسمح القانون الثاني المُعمّم بتطبيق القانون لأنه يُتيح قياس الإنتروبيا الداخلية المشتركة. يُمكن إثبات صحة القانون الثاني المُعمّم من خلال دراسة مثال، مثل النظر إلى نظام ذي إنتروبيا يسقط في ثقب أسود أكبر غير متحرك، وتحديد حدّين أعلى وأدنى للإنتروبيا لزيادة إنتروبيا الثقب الأسود وإنتروبيا النظام، على التوالي. [ 28 ] ينطبق القانون الثاني المُعمّم أيضًا على نظريات الجاذبية مثل النسبية العامة ، وجاذبية لوفلوك ، وجاذبية العالم الغشائي ، لأن شروط استخدامه لهذه النظريات مُتاحة. [ 29 ]

مع ذلك، فيما يتعلق بتكوين الثقوب السوداء، يبرز التساؤل حول مدى صحة القانون الثاني المعمم للديناميكا الحرارية، وإذا كان صحيحًا، فسيكون قد ثبتت صحته في جميع الحالات. ولأن تكوين الثقوب السوداء ليس حدثًا ثابتًا، فإن إثبات صحة القانون الثاني المعمم للديناميكا الحرارية أمرٌ صعب. ويتطلب إثبات صحته بشكل عام استخدام ميكانيكا الكم الإحصائية ، لأن القانون الثاني المعمم للديناميكا الحرارية هو قانون كمي وإحصائي في آنٍ واحد . ونظرًا لعدم وجود هذا التخصص ، يمكن افتراض أن القانون الثاني المعمم للديناميكا الحرارية مفيد بشكل عام، وكذلك للتنبؤ. على سبيل المثال، يمكن استخدام القانون الثاني المعمم للديناميكا الحرارية للتنبؤ بأنه بالنسبة لمجموعة باردة غير دوارة منشمال{\displaystyle N}النيوكليونات ،SBH-S>0{\displaystyle S_{\text{BH}}-S>0}، أينSBH{\displaystyle S_{\text{BH}}}هي إنتروبيا الثقب الأسود وS{\displaystyle S}هو مجموع الإنتروبيا العادية. [ 28 ] [ 27 ]

القانون الثالث

يُعدّ القانون الثالث للديناميكا الحرارية للثقوب السوداء مثيرًا للجدل. [ 30 ] وتُعرف بعض الأمثلة المضادة باسم الثقوب السوداء المتطرفة، والتي لا تخضع لهذا القانون. [ 31 ] كما أن القانون الثالث الكلاسيكي للديناميكا الحرارية، أو نظرية نيرنست ، التي تنص على أن إنتروبيا النظام يجب أن تؤول إلى الصفر عندما تؤول درجة حرارته إلى الصفر المطلق، ليس قانونًا عامًا. [ 32 ] ومع ذلك، لم تُشاهد أنظمة لا تخضع للقانون الثالث الكلاسيكي في الواقع، مما يُشير إلى أن الثقوب السوداء المتطرفة قد لا تُمثل فيزياء الثقوب السوداء بشكل عام. [ 30 ]

ينص شكلٌ أضعف من القانون الثالث الكلاسيكي، يُعرف بمبدأ عدم إمكانية الوصول [ 33 ] ، على أن عددًا لا نهائيًا من الخطوات مطلوب لوضع نظام ما في حالته الأرضية . ولهذا الشكل من القانون الثالث نظيرٌ في فيزياء الثقوب السوداء. [ 27 ] : 10

تفسير القوانين

تشير قوانين ميكانيكا الثقوب السوداء الأربعة إلى ضرورة ربط جاذبية سطح الثقب الأسود بدرجة حرارته، ومساحة أفق الحدث بالإنتروبيا، على الأقل حتى بعض الثوابت المضاعفة. إذا اقتصرت دراسة الثقوب السوداء على المنظور الكلاسيكي، فإن درجة حرارتها تساوي صفرًا، وبحسب نظرية انعدام الشعر [ 16 ]، فإن إنتروبيتها تساوي صفرًا، وتبقى قوانين ميكانيكا الثقوب السوداء مجرد تشبيه. مع ذلك، عند أخذ التأثيرات الكمومية في الحسبان، وُجد أن الثقوب السوداء تُصدر إشعاعًا حراريًا (إشعاع هوكينغ) عند درجة حرارة هوكينغ [ 27 ] : 12

تيح=κ2π.{\displaystyle T_{\text{H}}={\frac {\kappa }{2\pi }}.}

انطلاقاً من القانون الأول لميكانيكا الثقوب السوداء، يحدد هذا الثابت المضاعف لإنتروبيا بيكنشتاين-هاوكينغ، وهو ( بالوحدات الهندسية )

SBH=أ4.{\displaystyle S_{\text{BH}}={\frac {A}{4}}.}

وهي إنتروبيا الثقب الأسود في النسبية العامة لأينشتاين . ويمكن استخدام نظرية الحقل الكمومي في الزمكان المنحني لحساب إنتروبيا الثقب الأسود في أي نظرية متغيرة للجاذبية، والمعروفة باسم إنتروبيا والد. [ 27 ]

نقد

على الرغم من أن الديناميكا الحرارية للثقوب السوداء تُعتبر من أهم الدلائل على نظرية الكم للجاذبية، إلا أن هناك انتقادات لا تزال قائمة مفادها أن "التشابه ليس جيدًا كما يُفترض عادةً"، وأنه "غالبًا ما يستند إلى نوع من التبسيط المفرط للديناميكا الحرارية"، وأنه "من غير الواضح ما هي الأنظمة المفترضة في الديناميكا الحرارية للثقوب السوداء". [ 34 ] [ 35 ]

وقد توصل آخرون إلى استنتاج معاكس، معتقدين أن "الثقوب السوداء الثابتة لا تشبه الأنظمة الديناميكية الحرارية: بل هي أنظمة ديناميكية حرارية، بالمعنى الكامل". [ 36 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ بيكنشتاين، جاكوب (يناير 1980). "الديناميكا الحرارية للثقوب السوداء" . مجلة الفيزياء اليوم . المعهد الأمريكي للفيزياء (AIP): 24-31 . doi : 10.1063/1.2913906 .
  2. ↑ كارليب، س. (2014). "ديناميكا حرارية الثقوب السوداء". المجلة الدولية للفيزياء الحديثة د . 23 (11): 1430023–736 . arXiv : 1410.1486 . ​​Bibcode : 2014IJMPD..2330023C . CiteSeerX : 10.1.1.742.9918 . doi : 10.1142/S0218271814300237 . S2CID : 119114925 .  
  3. 1 2 ثورن، كيب س. (1994). الثقوب السوداء والتشوهات الزمنية: إرث أينشتاين المثير للجدل . دبليو دبليو نورتون وشركاه. ISBN 978-0-393-31276-8.
  4. ↑ كورييل، إريك (8 يناير 2019). "التعريفات المتعددة للثقب الأسود" . مجلة نيتشر أسترونومي . 3 (1): 27-34 . arXiv : 1808.01507 . doi : 10.1038/s41550-018-0602-1 . ISSN 2397-3366 . 
  5. ↑ مينغاريلي، كيارا إم إف (10 سبتمبر 2025). "اختبار الثقب الأسود التاريخي يُؤذن بعقد من اكتشافات موجات الجاذبية" . الفيزياء . 18 (160). الجمعية الفيزيائية الأمريكية (APS).
  6. ↑ بيكنشتاين، أ. (1972). "الثقوب السوداء والقانون الثاني". رسائل إلى نوفو سيمينتو . 4 (15): 99-104 . doi : 10.1007/BF02757029 . S2CID 120254309 . 
  7. ↑ بيكنشتاين، جاكوب د. (15-04-1973). "الثقوب السوداء والإنتروبيا". مجلة Physical Review D. 7 ( 8): 2333–2346 . doi : 10.1103/PhysRevD.7.2333 .
  8. ↑ هوكينغ، ستيفن (1 مارس 1974). "انفجارات الثقوب السوداء؟" . مجلة نيتشر . 248 (5443): 30-31 . Bibcode : 1974Natur.248...30H . doi : 10.1038/248030a0 . S2CID 4290107 . 
  9. ↑ "أول رصد لإشعاع هوكينغ" . مراجعة التكنولوجيا . 27 سبتمبر 2010. مؤرشف من الأصل في 1 مارس 2012. تم الاطلاع عليه في 17 سبتمبر 2025 .
  10. ↑ ماتسون، جون (1 أكتوبر 2010). "أفق الحدث الاصطناعي يُصدر نظيراً مختبرياً لإشعاع الثقب الأسود النظري" . مجلة ساينتفك أمريكان .
  11. ↑ هوكينج، ستيفن (1988). تاريخ موجز للزمن . بانتام.
  12. ↑ هوكينغ، ستيفن و. (1975). "تكوين الجسيمات بواسطة الثقوب السوداء" . مجلة الاتصالات في الفيزياء الرياضية . 43 (3): 199-220 . Bibcode : 1975CMaPh..43..199H . doi : 10.1007/BF02345020 . S2CID 55539246 . 
  13. ↑ ماجومدار، بارثاساراثي (1999). "إنتروبيا الثقب الأسود والجاذبية الكمومية". المجلة الهندية للفيزياء . 73.21 (2): 147. arXiv : gr-qc/9807045 . Bibcode : 1999InJPB..73..147M .
  14. 1 2 بوسو، رافائيل (2002). "مبدأ الهولوغرام". مراجعات الفيزياء الحديثة . 74 (3): 825-874 . arXiv : hep-th/0203101 . Bibcode : 2002RvMP...74..825B . doi : 10.1103/RevModPhys.74.825 . S2CID 55096624 . 
  15. ↑ فان رامسدونك، مارك (31 أغسطس 2016). "محاضرات في الجاذبية والتشابك". آفاق جديدة في الحقول والأوتار . ص 297-351 . arXiv : 1609.00026 . doi : 10.1142/9789813149441_0005 . ISBN  978-981-314-943-4. S2CID 119273886 . 
  16. 1 2 بهاتاشاريا، سوراف (2007). "نظريات انعدام الشعر للثقب الأسود لثابت كوني موجب". رسائل المراجعة الفيزيائية . 99 (20) 201101. arXiv : gr-qc/0702006 . Bibcode : 2007PhRvL..99t1101B . doi : 10.1103 /PhysRevLett.99.201101 . PMID 18233129. S2CID 119496541 .  
  17. ↑ سترومينجر، أ.؛ فافا، س. (1996). "الأصل المجهري لإنتروبيا بيكنشتاين-هاوكينغ". رسائل الفيزياء ب . 379 ( 1-4 ): 99-104 . arXiv : hep-th/9601029 . Bibcode : 1996PhLB..379...99S . doi : 10.1016/0370-2693(96)00345-0 . S2CID 1041890 . 
  18. ↑ روفيلي، كارلو (1996). "إنتروبيا الثقب الأسود من جاذبية الكم الحلقية". رسائل المراجعة الفيزيائية . 77 (16): 3288-3291 . arXiv : gr-qc/9603063 . Bibcode : 1996PhRvL..77.3288R . doi : 10.1103/ PhysRevLett.77.3288 . PMID 10062183. S2CID 43493308 .  
  19. ↑ أشتيكار، أبهاي؛ بايز، جون؛ كوريتشي، أليخاندرو؛ كراسنوف، كيريل (1998). "الهندسة الكمومية وإنتروبيا الثقب الأسود". رسائل المراجعة الفيزيائية . 80 (5): 904-907 . arXiv : gr-qc/9710007 . Bibcode : 1998PhRvL..80..904A . doi : 10.1103/PhysRevLett.80.904 . S2CID 18980849 . 
  20. ↑ بيانكي، يوجينيو (2012). "إنتروبيا الثقوب السوداء غير المتطرفة من جاذبية الحلقة". arXiv : 1204.5122 [ gr-qc ].
  21. ↑ كاساديو، ر . (2011). "الوصف الميكروكانوني للثقوب السوداء (الميكروية)" . إنتروبي . 13 (2): 502-517 . arXiv : 1101.1384 . Bibcode : 2011Entrp..13..502C . doi : 10.3390/e13020502 . S2CID 120254309 . 
  22. ↑ أباك، أ.ج. وآخرون (10 سبتمبر 2025). "GW250114: اختبار قانون هوكينغ للمساحة وطبيعة كير للثقوب السوداء" . رسائل المراجعة الفيزيائية . 135 (11) 111403. arXiv : 2509.08054 . doi : 10.1103/kw5g-d732 . 
  23. ↑ أباك، أدريان؛ وآخرون . (29 يناير 2026). "مطيافية الثقب الأسود واختبارات النسبية العامة باستخدام GW250114" . رسائل المراجعة الفيزيائية (136): 041403. doi : 10.1103/6c61-fm1n . hdl : 10261/427936 . 
  24. ↑ ويلكنسون، رايان (29 يناير 2026). "النسبية العامة تنجو من محنة صعبة" . الفيزياء . 19 (2). الجمعية الفيزيائية الأمريكية.
  25. 1 2 كارليب، س. (يوليو 2017)، الديناميكا الحرارية للثقوب السوداء ، الصفحات 415-465 ، doi : 10.1142/9789814678506_0010 ، تاريخ الاسترجاع 2026-01-03 
  26. ↑ باردين، ج.م.؛ كارتر، ب.؛ هوكينج، س.و. (1973). "القوانين الأربعة لميكانيكا الثقوب السوداء" . مجلة الاتصالات في الفيزياء الرياضية . 31 (2): 161-170 . رمز Bibcode : 1973CMaPh..31..161B . doi : 10.1007/BF01645742 . S2CID 54690354 . 
  27. 1 2 3 4 5 6 7 والد، روبرت م. (2001). "الديناميكا الحرارية للثقوب السوداء" . مراجعات حية في النسبية . 4 (1) 6. arXiv : gr -qc/9912119 . Bibcode : 2001LRR.....4....6W . doi : 10.12942/lrr-2001-6 . ISSN 1433-8351 . PMC 5253844. PMID 28163633 .   
  28. 1 2 بيكنشتاين، جاكوب د. (15-06-1974). "القانون الثاني المعمم للديناميكا الحرارية في فيزياء الثقوب السوداء". مجلة Physical Review D. 9 ( 12): 3292–3300 . Bibcode : 1974PhRvD...9.3292B . doi : 10.1103/physrevd.9.3292 . ISSN 0556-2821 . S2CID 123043135 .  
  29. ↑ وو، شاو فنغ؛ وانغ، بين؛ يانغ، غو هانغ؛ تشانغ، بنغ مينغ (17 نوفمبر 2008). "القانون الثاني المعمم للديناميكا الحرارية في نظريات الجاذبية المعممة". الجاذبية الكلاسيكية والكمية . 25 (23) 235018. arXiv : 0801.2688 . Bibcode : 2008CQGra..25w5018W . doi : 10.1088/0264-9381/25/23/235018 . S2CID 119117894 . 
  30. 1 2 راتش، إستفان (21-10-2000). "هل يعاني القانون الثالث للديناميكا الحرارية للثقوب السوداء من خلل خطير حقًا؟" . الجاذبية الكلاسيكية والكمية . 17 (20): 4353-4356 . arXiv : gr-qc/0009049 . doi : 10.1088/0264-9381/17/20/410 . ISSN 0264-9381 . 
  31. ↑ والد، روبرت م. (1999-12-01). "الجاذبية، الديناميكا الحرارية، ونظرية الكم" . الجاذبية الكلاسيكية والكمية . 16 (12A): A177– A190. arXiv : gr-qc/9901033 . Bibcode : 1999CQGra..16A.177W . doi : 10.1088/0264-9381/16/12A/309 . ISSN 0264-9381 . 
  32. ↑ والد، روبرت م. (15-11-1997). ""نظرية نيرنست وديناميكا حرارة الثقوب السوداء" . مجلة Physical Review D. 56 ( 10): 6467–6474 . arXiv : gr-qc/9704008 . Bibcode : 1997PhRvD..56.6467W . doi : 10.1103/PhysRevD.56.6467 . ISSN 0556-2821 . 
  33. ↑ ماسانيس، لويس؛ أوبنهايم، جوناثان (14 مارس 2017). "اشتقاق عام وتحديد كمي للقانون الثالث للديناميكا الحرارية" . نيتشر كوميونيكيشنز . 8 (1) 14538. arXiv : 1412.3828 . Bibcode : 2017NatCo...814538M . doi : 10.1038 /ncomms14538 . ISSN 2041-1723 . PMC 5355879. PMID 28290452 .   
  34. ↑ دوغيرتي، جون؛ كاليندر، كريغ. "ديناميكا حرارة الثقوب السوداء: أكثر من مجرد تشبيه؟" (ملف PDF) . philsci-archive.pitt.edu . دليل فلسفة علم الكونيات، المحرران: أ. إيجاس وب. لويور. مطبعة جامعة أكسفورد.
  35. ↑ فوستر، بريندان ز. (سبتمبر 2019). "هل نحن جميعًا مخطئون بشأن الثقوب السوداء؟ كريج كاليندر قلق من أن التشبيه بين الثقوب السوداء والديناميكا الحرارية قد تم المبالغة فيه" . quantamagazine.org . تم الاطلاع عليه في 3 سبتمبر 2021 .
  36. ↑ والاس، ديفيد (نوفمبر 2018). "حجة الديناميكا الحرارية للثقوب السوداء، الجزء الأول: الديناميكا الحرارية الظاهراتية". دراسات في تاريخ وفلسفة العلوم، الجزء الثاني: دراسات في تاريخ وفلسفة الفيزياء الحديثة . 64. فلسفة الفيزياء الحديثة، المجلد 64، الصفحات 52-67: 52-67 . arXiv : 1710.02724 . Bibcode : 2018SHPMP..64...52W . doi : 10.1016/j.shpsb.2018.05.002 . S2CID 73706680 . 

للمزيد من القراءة