مراكز الثقل في الحقول غير المنتظمة

📅 آخر تحديث: ٢٠ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٠ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 3 صور
الموسوعة الحرة

في الفيزياء ، يُعد مركز ثقل الجسم المادي نقطةً يمكن استخدامها لوصف موجز للتفاعلات الجاذبية. في مجال جاذبية منتظم ، يعمل مركز الكتلة كمركز ثقل. وهذا تقريب جيد جدًا للأجسام الصغيرة القريبة من سطح الأرض، لذا لا توجد حاجة عملية للتمييز بين "مركز الثقل" و"مركز الكتلة" في معظم التطبيقات، كالهندسة والطب.

في مجال غير منتظم، لا يمكن حساب تأثيرات الجاذبية، مثل طاقة الوضع والقوة وعزم الدوران، باستخدام مركز الكتلة وحده. على وجه الخصوص، يمكن لمجال الجاذبية غير المنتظم أن يُحدث عزم دوران على الجسم، حتى حول محور يمر بمركز كتلته. يسعى مركز الثقل إلى تفسير هذا التأثير. من الناحية النظرية، مركز الثقل هو نقطة تطبيق محصلة قوة الجاذبية على الجسم. قد لا توجد مثل هذه النقطة، وإذا وُجدت، فهي ليست فريدة. يمكن تحديد مركز ثقل فريد بتقريب المجال إما بأنه متوازٍ أو متناظر كرويًا.

نادرًا ما يُستخدم مفهوم مركز الثقل، باعتباره منفصلًا عن مركز الكتلة، في التطبيقات العملية، حتى في علم الميكانيكا السماوية ، حيث تُعدّ الحقول غير المنتظمة ذات أهمية بالغة. ولأن مركز الثقل يعتمد على الحقل الخارجي، فإن تحديد حركته أصعب من تحديد حركة مركز الكتلة. والطريقة الشائعة للتعامل مع عزم الدوران الناتج عن الجاذبية هي نظرية الحقل.

مركز الكتلة

إحدى طرق تعريف مركز ثقل الجسم هي أنه النقطة الفريدة فيه، إن وُجدت، التي تُحقق الشرط التالي: انعدام عزم الدوران حول هذه النقطة مهما كان وضع الجسم في مجال القوة المحيطة به. يوجد مركز الثقل هذا فقط عندما تكون القوة منتظمة، وفي هذه الحالة يتطابق مع مركز الكتلة. [ 1 ] يعود هذا النهج إلى أرخميدس . [ 2 ]

مراكز الثقل في مجال

عندما يتأثر جسم ما بمجال جاذبية خارجي غير منتظم، يمكن أحيانًا تحديد مركز ثقل بالنسبة لهذا المجال، والذي يعمل كنقطة تُطبَّق عندها قوة الجاذبية. تُعرِّف كتبٌ مثل "محاضرات فاينمان في الفيزياء" مركز الثقل بأنه نقطة لا يوجد حولها عزم دوران. بعبارة أخرى، مركز الثقل هو نقطة تطبيق القوة المحصلة. [ 3 ] وفقًا لهذا التعريف، يُعرَّف مركز الثقل (r<sub> cg</sub>) بأنه نقطة تحقق المعادلة التالية:

رجز×F=τ،{\displaystyle \mathbf {r} _{\mathrm {cg} }\times \mathbf {F} ={\boldsymbol {\tau }},}

حيث F و τ هما القوة الكلية وعزم الدوران المؤثر على الجسم بسبب الجاذبية. [ 4 ]

من بين التعقيدات المتعلقة بـ r cg أن معادلتها الأساسية غير قابلة للحل بشكل عام. فإذا لم تكن F و τ متعامدتين ، فلا يوجد حل؛ إذ لا يكون لقوة الجاذبية محصلة ولا يمكن استبدالها بقوة واحدة عند أي نقطة. [ 5 ] وهناك بعض الحالات الخاصة المهمة التي يُضمن فيها تعامد F و τ ، كما هو الحال إذا كانت جميع القوى تقع في مستوى واحد أو تتجه نحو نقطة واحدة. [ 6 ]

إذا كانت المعادلة قابلة للحل، فهناك تعقيد آخر: حلولها ليست فريدة. بل يوجد عدد لا نهائي من الحلول؛ تُعرف مجموعة جميع الحلول بخط عمل القوة. هذا الخط موازٍ للوزن F. عمومًا، لا توجد طريقة لاختيار نقطة معينة كمركز ثقل وحيد. [ 7 ] مع ذلك، يمكن اختيار نقطة واحدة في بعض الحالات الخاصة، كما لو كان مجال الجاذبية متوازيًا أو متناظرًا كرويًا. سيتم تناول هذه الحالات لاحقًا.

الحقول المتوازية

يمكن تمثيل بعض عدم التجانس في مجال الجاذبية بمجال متغير ولكنه متوازٍ: g ( r ) = g ( r ) n ، حيث n متجه وحدة ثابت . على الرغم من أن مجال الجاذبية غير المنتظم لا يمكن أن يكون متوازٍ تمامًا، إلا أن هذا التقريب قد يكون صحيحًا إذا كان الجسم صغيرًا بما فيه الكفاية. [ 8 ] يمكن تعريف مركز الثقل على أنه متوسط ​​مرجح لمواقع الجسيمات المكونة للجسم. فبينما يمثل مركز الكتلة متوسط ​​كتلة كل جسيم، يمثل مركز الثقل متوسط ​​وزن كل جسيم.

رجز=1دبليو∑أناwأنارأنا،{\displaystyle \mathbf {r} _{\mathrm {cg} }={\frac {1}{W}}\sum _{i}w_{i}\mathbf {r} _{i},}

حيث يُمثل wᵢ الوزن (القياسي) للجسيم رقم i ، و W الوزن الكلي (القياسي) لجميع الجسيمات. [ 9 ] لهذه المعادلة حل وحيد دائمًا، وفي تقريب المجال الموازي، تتوافق مع متطلبات عزم الدوران. [ 10 ]

من الأمثلة الشائعة على ذلك القمر في مجال الأرض . فباستخدام تعريف المتوسط ​​المرجح، يكون مركز ثقل القمر منخفضًا (أقرب إلى الأرض) من مركز كتلته، لأن الجزء السفلي منه يتأثر بقوة أكبر بجاذبية الأرض . [ 11 ] وقد أدى هذا في النهاية إلى ظهور القمر دائمًا بنفس الوجه، وهي ظاهرة تُعرف باسم التزامن المداري .

الحقول المتناظرة كرويًا

إذا كان مجال الجاذبية الخارجي متناظرًا كرويًا، فإنه يُكافئ مجال كتلة نقطية M عند مركز التناظر r . في هذه الحالة، يُمكن تعريف مركز الثقل بأنه النقطة التي تُعطى عندها القوة الكلية المؤثرة على الجسم بقانون نيوتن .

جيمم(رجز-ر)|رجز-ر|3=F،{\displaystyle {\frac {GmM(\mathbf {r} _{\mathrm {cg} }-\mathbf {r} )}{|\mathbf {r} _{\mathrm {cg} }-\mathbf {r} |^{3}}}=\mathbf {F} ,}

حيث G هو ثابت الجاذبية و m كتلة الجسم. طالما أن القوة الكلية لا تساوي صفرًا، فإن لهذه المعادلة حلًا وحيدًا، وهي تحقق شرط العزم. [ 12 ] من الميزات المفيدة لهذا التعريف أنه إذا كان الجسم متناظرًا كرويًا، فإن r cg يقع عند مركز كتلته. عمومًا، كلما زادت المسافة بين r والجسم، اقترب مركز الثقل من مركز الكتلة. [ 13 ]

ثمة طريقة أخرى للنظر إلى هذا التعريف وهي اعتبار مجال الجاذبية للجسم؛ عندئذٍ يكون r cg هو المصدر الظاهري للجاذبية بالنسبة لمراقب موجود عند النقطة r . ولهذا السبب، يُشار أحيانًا إلى r cg على أنه مركز ثقل الجسم M بالنسبة للنقطة r . [ 7 ]

الاستخدام

إن مراكز الثقل المحددة أعلاه ليست نقاطًا ثابتة على الجسم، بل تتغير بتغير موضع الجسم واتجاهه. هذه الخاصية تجعل التعامل مع مركز الثقل صعبًا، لذا فإن هذا المفهوم قليل الفائدة العملية. [ 14 ]

عند الحاجة إلى مراعاة عزم الدوران الناتج عن الجاذبية، يكون من الأسهل تمثيل الجاذبية كقوة تؤثر عند مركز الكتلة، بالإضافة إلى عزم دوران يعتمد على الاتجاه . [ 15 ] ويُفضل التعامل مع هذا الأخير من خلال اعتبار جهد الجاذبية مجالًا . [ 7 ]

ملحوظات

مراجع

  • أسيموف، إسحاق (1988) [1966]، فهم الفيزياء ، كتب بارنز أند نوبل، رقم ISBN 0-88029-251-2
  • بيتي، ميلارد ف. (2006)، مبادئ ميكانيكا الهندسة، المجلد 2: الديناميكا - تحليل الحركة ، المفاهيم والأساليب الرياضية في العلوم والهندسة، المجلد  33، سبرينغر، ISBN 0-387-23704-6
  • فاينمان، ريتشارد ؛ لايتون، روبرت ب .؛ ساندز، ماثيو (1963)، محاضرات فاينمان في الفيزياء ، المجلد  1 (الطبعة السادسة، فبراير 1977  )، أديسون-ويسلي، ISBN 0-201-02010-6{{citation}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
  • فراوتشي، ستيفن سي .؛ أولينيك، ريتشارد ب.؛ أبوستول، توم م .؛ جودستين، ديفيد ل. (1986)، الكون الميكانيكي: الميكانيكا والحرارة، طبعة متقدمة ، مطبعة جامعة كامبريدج، ISBN 0-521-30432-6
  • جولدشتاين، هربرت ؛ بول، تشارلز ؛ سافكو، جون (2002)، الميكانيكا الكلاسيكية (  الطبعة الثالثة)، أديسون-ويسلي، ISBN 0-201-65702-3
  • غودمان، لورانس إي.؛ وارنر، ويليام إتش. (2001) [1964]، علم السكون ، دوفر، ISBN 0-486-42005-1
  • هاميل، باتريك (2009)، ديناميكيات المستوى المتوسط ، جونز وبارتليت للتعليم، رقم ISBN 978-0-7637-5728-1
  • جونغ، آي جي؛ روجرز، بي جي (1995)، ميكانيكا الهندسة: علم السكون ، دار نشر ساوندرز كوليدج، رقم ISBN 0-03-026309-3
  • ميليكان، روبرت أندروز (1902)، الميكانيكا، الفيزياء الجزيئية والحرارة: دورة جامعية لمدة اثني عشر أسبوعًا ، شيكاغو: سكوت، فورسمان وشركاه ، تم استرجاعه في 25 مايو 2011
  • بولارد، ديفيد د.؛ فليتشر، ريموند س. (2005)، أساسيات الجيولوجيا البنيوية ، مطبعة جامعة كامبريدج، ISBN 978-0-521-83927-3
  • بيتيل، أندرو؛ كيوسالاس، جان (2010)، ميكانيكا الهندسة: علم السكون ، المجلد  1 (  الطبعة الثالثة)، سينجايج ليرنينج، ISBN 978-0-495-29559-4
  • روزن، جو؛ جوثارد، ليزا كوين (2009)، موسوعة العلوم الفيزيائية ، دار إنفوبيس للنشر، رقم ISBN 978-0-8160-7011-4
  • سيرواي، ريموند أ.؛ جويت، جون و. (2006)، مبادئ الفيزياء: نص قائم على حساب التفاضل والتكامل ، المجلد  1 (  الطبعة الرابعة)، تومسون ليرنينج، Bibcode : 2006ppcb.book.....J ، ISBN 0-534-49143-X
  • شيرلي، جيمس هـ.؛ فيربيردج، رودس ويتمور (1997)، موسوعة علوم الكواكب ، سبرينغر، ISBN 0-412-06951-2
  • دي سيلفا، كلارنس دبليو. (2002)، دليل الاهتزاز والصدمات ، مطبعة سي آر سي، رقم ISBN 978-0-8493-1580-0
  • سايمون، كيث ر. (1964)، الميكانيكا. ، شركة أديسون-ويسلي للنشر، OCLC 1080783137 
    • سايمون، كيث ر. (1971)، الميكانيكا ، أديسون-ويسلي، رقم ISBN 978-0-201-07392-8
  • تيبلر، بول أ.؛ موسكا، جين (2004)، الفيزياء للعلماء والمهندسين ، المجلد  1أ (  الطبعة الخامسة)، دبليو إتش فريمان وشركاه، رقم ISBN 0-7167-0900-7