النواة (الجبر)

المجموعة هي مجموعة​${\displaystyle G}$باستخدام عملية ثنائية${\displaystyle \cdot }$تحقيق الخصائص الثلاث التالية لجميع${\displaystyle a,b,c\in G}$: ^{[ 7 ]}

1. ترابطي :${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$
2. الهوية : هناك${\displaystyle e\in G}$بحيث${\displaystyle e\cdot a=a\cdot e=a}$
3. المعكوسات : يوجد${\displaystyle a'\in G}$لكل${\displaystyle a\in G}$بحيث${\displaystyle a\cdot a'=a'\cdot a=e}$

تُسمى المجموعة أيضًا مجموعة تبديلية إذا كانت تحقق أيضًا${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$[ ^{7 ]​}

يترك${\displaystyle G}$و${\displaystyle H}$تكون مجموعات. تشاكل مجموعة من${\displaystyle G}$ل${\displaystyle H}$هي دالة${\displaystyle f:G\to H}$بحيث${\displaystyle f(ab)=f(a)f(b)}$للجميع${\displaystyle a,b\in G}$[ ^{8 ] (لتبسيط الأمر ،} رمز العملية${\displaystyle \cdot }$(تم حذفه.) التأجير${\displaystyle e_{H}}$كن العنصر المهيمن لـ${\displaystyle H}$ثم نواة​${\displaystyle f}$هي الصورة العكسية لمجموعة العناصر المفردة${\displaystyle \{e_{H}\}}$أي، مجموعة فرعية من${\displaystyle G}$يتألف من جميع تلك العناصر من${\displaystyle G}$التي تم رسمها بواسطة${\displaystyle f}$إلى العنصر${\displaystyle e_{H}}$[ ^{2 ] [ 9 ]​}

يُشار عادةً إلى النواة بـ${\displaystyle \ker {f}}$(أو صيغة مشابهة). ^{[ 2 ]} بالرموز:

${\displaystyle \ker f=\{g\in G:f(g)=e_{H}\}.}$

بما أن تماثل المجموعة يحافظ على عناصر الهوية، فإن عنصر الهوية${\displaystyle e_{G}}$ل${\displaystyle G}$يجب أن ينتمي إلى النواة. ^{[ 2 ]} التشاكل${\displaystyle f}$تكون الدالة أحادية إذا وفقط إذا كانت نواتها هي مجموعة العناصر المفردة فقط${\displaystyle \{e_{G}\}}$[ ^{10 ]​}

${\displaystyle \ker {f}}$هي مجموعة فرعية من${\displaystyle G}$وعلاوة على ذلك، فهي زمرة جزئية طبيعية . وبالتالي، توجد زمرة قسمة مقابلة لها.${\displaystyle G/\ker {f}}$هذا متماثل مع${\displaystyle f(G)}$صورة${\displaystyle G}$تحت${\displaystyle f}$(وهي مجموعة فرعية من${\displaystyle H}$أيضًا)، وفقًا لنظرية التشاكل الأولى للمجموعات. ^{[ 4 ]}

الحلقة ذات الهوية (أو الوحدة) هي مجموعة${\displaystyle R}$باستخدام عمليتين ثنائيتين${\displaystyle +}$و${\displaystyle \cdot }$مُرضٍ: ^{[ 11 ] [ 12 ]}

1. ${\displaystyle R}$مع${\displaystyle +}$هي مجموعة أبيلية ذات هوية${\displaystyle 0}$.
2. الضرب${\displaystyle \cdot }$هو ترابطي.
3. التوزيعي :${\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}$و${\displaystyle (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c}$للجميع${\displaystyle a,b,c\in R}$
4. الضرب${\displaystyle \cdot }$يحتوي على عنصر هوية${\displaystyle 1}$. ^{[ أ ]}

تكون الحلقة تبديلية إذا كانت عملية الضرب تبديلية، وتكون هذه الحلقة حقلاً عندما يكون كل${\displaystyle 0\neq a\in R}$له معكوس ضربي ، أي أن${\displaystyle b\in R}$أين${\displaystyle ab=1}$[ ^{12 ]} ليكن^​${\displaystyle R}$و${\displaystyle S}$ليكن حلقات. تشاكل حلقي من${\displaystyle R}$ل${\displaystyle S}$هي دالة${\displaystyle f:R\to S}$مُرضٍ للجميع${\displaystyle a,b\in R}$: ^{[ 13 ]}

1. ${\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b)}$
2. ${\displaystyle f(ab)=f(a)f(b)}$

نواة​​${\displaystyle f}$هي النواة كمجموعات جمعية. ^{[ 14 ]} وهي الصورة العكسية للمثالي الصفري${\displaystyle \{0_{S}\}}$أي المجموعة الفرعية من${\displaystyle R}$يتألف من جميع تلك العناصر من${\displaystyle R}$التي تم رسمها بواسطة${\displaystyle f}$إلى العنصر${\displaystyle 0_{S}}$يُشار عادةً إلى النواة بـ${\displaystyle \ker {f}}$(أو صيغة مشابهة). بالرموز:

${\displaystyle \operatorname {ker} f=\{r\in R:f(r)=0_{S}\}.}$

بما أن تشاكل الحلقة يحافظ على العناصر الصفرية، فإن العنصر الصفري${\displaystyle 0_{R}}$ل${\displaystyle R}$يجب أن ينتمي إلى النواة. التشاكل${\displaystyle f}$تكون الدالة أحادية إذا وفقط إذا كانت نواتها هي مجموعة العناصر المفردة فقط${\displaystyle \{0_{R}\}}$هذا هو الحال دائمًا إذا${\displaystyle R}$هو حقل ، و${\displaystyle S}$ليست الحلقة الصفرية . ^{[ 6 ]}

منذ${\displaystyle \ker {f}}$يحتوي على العنصر المحايد الضربي فقط عندما${\displaystyle S}$إذا كانت الحلقة الصفرية، فإن النواة عمومًا ليست حلقة فرعية من${\displaystyle R}$النواة عبارة عن مولد أرقام عشوائية فرعي، وبشكل أدق، هي مثال ثنائي الجوانب لـ${\displaystyle R}$لذا، من المنطقي الحديث عن حلقة القسمة${\displaystyle R/\ker {f}}$تنص نظرية التشاكل الأولى للحلقات على أن حلقة القسمة هذه متشاكلة طبيعياً مع صورة الحلقة الأخرى.${\displaystyle f}$(وهي حلقة فرعية من${\displaystyle S}$). ^{[ 6 ]}

بالنظر إلى حقل${\displaystyle F}$، فضاء متجهي (على${\displaystyle F}$) هي مجموعة أبيلية${\displaystyle V}$(مع العملية الثنائية)${\displaystyle +}$والهوية${\displaystyle 0}$) مع الضرب القياسي من${\displaystyle F}$مُرضٍ للجميع${\displaystyle a,b\in F}$و${\displaystyle \alpha ,\beta \in V}$[ ^{15 ]​}

1. ${\displaystyle a(b\alpha )=(ab)\alpha }$
2. ${\displaystyle (a+b)\alpha =a\alpha +b\alpha }$
3. ${\displaystyle a(\alpha +\beta )=a\alpha +a\beta }$
4. ${\displaystyle 1\alpha =\alpha }$

يترك${\displaystyle V}$و${\displaystyle W}$لتكن فضاءات متجهة على الحقل${\displaystyle F}$. تحويل خطي (أو تحويل خطي) من${\displaystyle V}$ل${\displaystyle W}$هي دالة${\displaystyle T:V\to W}$مُرضٍ للجميع${\displaystyle \alpha ,\beta \in V}$و${\displaystyle a\in F}$[ ^{16 ]​}

1. ${\displaystyle T(\alpha +\beta )=T(\alpha )+T(\beta )}$
2. ${\displaystyle T(a\alpha )=aT(\alpha )}$

لو${\displaystyle 0_{W}}$هو المتجه الصفري لـ${\displaystyle W}$ثم نواة${\displaystyle T}$(أو الفضاء الصفري ^{[ 17 ]} ) هو الصورة العكسية للفضاء الجزئي الصفري${\displaystyle \{0_{W}\}}$أي، مجموعة فرعية من${\displaystyle V}$يتألف من جميع تلك العناصر من${\displaystyle V}$التي تم رسمها بواسطة${\displaystyle T}$إلى العنصر${\displaystyle 0_{W}}$يُشار إلى النواة بـ${\displaystyle \ker {T}}$أو أي شكل من أشكالها، ويتم تعريفها رمزياً على النحو التالي:

${\displaystyle \ker T=\{\mathbf {v} \in V:T(\mathbf {v} )=\mathbf {0} _{W}\}.}$

بما أن التحويل الخطي يحافظ على المتجهات الصفرية، فإن المتجه الصفري${\displaystyle 0_{V}}$ل${\displaystyle V}$يجب أن ينتمي إلى النواة. التحويل${\displaystyle T}$تكون الدالة أحادية إذا وفقط إذا تم اختزال نواتها إلى الفضاء الجزئي الصفري. ^{[ 18 ]}

النواة${\displaystyle \ker {T}}$هي دائمًا فضاء جزئي خطي من${\displaystyle V}$[ ^{19 ] لذلك ،} من المنطقي الحديث عن فضاء القسمة${\displaystyle V/\ker {T}}$تنص نظرية التشاكل الأولى للفضاءات المتجهة على أن فضاء القسمة هذا متماثل بشكل طبيعي مع صورة${\displaystyle T}$(وهو فضاء جزئي من${\displaystyle W}$ونتيجة لذلك، فإن بُعد${\displaystyle V}$يساوي بُعد النواة بالإضافة إلى بُعد الصورة. ^{[ 19 ]}

يترك${\displaystyle R}$كن حلقة . وحدة فوق${\displaystyle R}$يُعرَّف تمامًا مثل الفضاء المتجهي فوق حقل، باستخدام نفس البديهيات، باستثناء استبدال الحقل بحلقة. في الواقع، الوحدة النمطية فوق حقل هي نفسها تمامًا الفضاء المتجهي فوق حقل. ^{[ 20 ]} ليكن${\displaystyle M}$و${\displaystyle N}$يكون${\displaystyle R}$-وحدات. تماثل الوحدات من${\displaystyle M}$ل${\displaystyle N}$وهي أيضاً دالة${\displaystyle \varphi :M\to N}$يحقق نفس الخصائص المماثلة للتحويل الخطي. نواة${\displaystyle \varphi }$يُعرَّف على النحو التالي: ^{[ 21 ]}

${\displaystyle \ker \varphi =\{m\in M\ |\ \varphi (m)=0\}}$

كل نواة هي وحدة فرعية من وحدة المجال، مما يعني أنها تحتوي دائمًا على الصفر، وهو العنصر المحايد الجمعي للوحدة. يمكن اعتبار نوى الزمر الأبيلية نوعًا خاصًا من نوى الوحدات عندما تكون الحلقة الأساسية هي الأعداد الصحيحة . ^{[ 21 ]}

يترك${\displaystyle G}$المجموعة الحلقية المكونة من 6 عناصر${\displaystyle \{0,1,2,3,4,5\}}$باستخدام الإضافة المعيارية ،${\displaystyle H}$كن دوريًا على عنصرين${\displaystyle \{0,1\}}$مع الإضافة المعيارية، و${\displaystyle f}$التشاكل الذي يربط كل عنصر${\displaystyle g\in G}$إلى العنصر${\displaystyle g}$modulo 2 in${\displaystyle H}$. ثم${\displaystyle \ker f=\{0,2,4\}}$بما أن جميع هذه العناصر مرتبطة بـ${\displaystyle 0\in H}$مجموعة القسمة${\displaystyle G/\ker {f}}$يحتوي على عنصرين:${\displaystyle \{0,2,4\}}$و${\displaystyle \{1,3,5\}}$وهو متماثل مع${\displaystyle H}$[ ^{22 ]​}

بالنظر إلى التشاكل${\displaystyle \varphi :G\to H}$، لدى المرء${\displaystyle \ker \varphi =1}$^{[ 22 ]} من جهة أخرى ، إذا كان هذا التطبيق مجرد تشاكل حيث H هي المجموعة التافهة، فإن${\displaystyle \varphi (g)=1}$للجميع${\displaystyle g\in G}$وهكذا${\displaystyle \ker \varphi =G}$[ ^{22 ]​}

يترك${\displaystyle \varphi$ لتكن الدالة المعرفة على النحو التالي : \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} } ${\displaystyle \varphi ((x,y))=x}$إذن، هذا تماثلٌ يتكون نواته تحديدًا من النقاط التي على الصورة${\displaystyle (0,y)}$يُعتبر هذا الإسقاط بمثابة "إسقاط على المحور السيني". ^{[ 22 ]} وتحدث ظاهرة مماثلة مع الإسقاط${\displaystyle f:(\mathbb {R} ^{\times })^{2}\to \mathbb {R} ^{\times }}$يُعرَّف بأنه${\displaystyle f(a,b)=b}$، حيث النواة هي النقاط من الشكل${\displaystyle (a,1)}$^{[ 9 ]}

كمثال غير تبديلي، لنفترض${\displaystyle Q_{8}}$يرمز إلى مجموعة الكواتيرنيون ، و${\displaystyle V_{4}}$مجموعة كلاين الرباعية . عرّف دالة${\displaystyle \varphi :Q_{8}\to V_{4}}$أن يكون: ^{[ 22 ]}

${\displaystyle \varphi (\pm 1)=1}$

${\displaystyle \varphi (\pm i)=a}$

${\displaystyle \varphi (\pm j)=b}$

${\displaystyle \varphi (\pm k)=c}$

إذن، هذا التطبيق هو تشاكل حيث${\displaystyle \ker \varphi =\{\pm 1\}}$[ ^{22 ]​}

يترك${\displaystyle S^{1}}$يرمز إلى مجموعة الدائرة ، التي تتكون من جميع الأعداد المركبة ذات القيمة المطلقة (أو المعيار ) لـ${\displaystyle 1}$، حيث تكون عملية المجموعة هي الضرب. ^{[ 23 ]} ثم الدالة${\displaystyle f:\mathbb {R} \to S^{1}}$إرسال${\displaystyle x\mapsto e^{2\pi ix}=\cos(2\pi x)+i\sin(2\pi x)}$هو تماثلٌ حيث الأعداد الصحيحة هي النواة. ومن ثمّ، تُشير نظرية التماثل الأولى إلى أن${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong S^{1}}$[ ^{24 ]​}

المجموعة المتناظرة على${\displaystyle n}$عناصر،${\displaystyle S_{n}}$، له تشاكل شامل${\displaystyle \epsilon :S_{n}\to \mathbb {Z} _{2}}$التي تجعل كل تبديل زوجية عدد التبديلات التي يكون ناتجها هو ذلك التبديل. المجموعة المتناوبة${\displaystyle A_{n}=\ker \epsilon }$هي نواة هذا التشاكل، وتتكون من التبديلات الزوجية. المجموعة المتناوبة هي مجموعة بسيطة غير تبديلية لـ${\displaystyle n\geq 5}$[ ^{25 ]​}

المحدد لـ​${\displaystyle n\times n}$المصفوفات القابلة للعكس للأعداد الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$، والتي يُرمز إلى مجموعتها بـ${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}$وتسمى المجموعة الخطية العامة لـ${\displaystyle n\times n}$مصفوفات من${\displaystyle \mathbb {R} }$، هو تشاكل على مجموعة الضرب${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }}$(تتكون من جميع الأعداد الحقيقية غير الصفرية)، وتسمى نواة المحدد المجموعة الخطية الخاصة${\displaystyle SL(n,\mathbb {R} )}$ل${\displaystyle n\times n}$مصفوفات من${\displaystyle \mathbb {R} }$هذه هي المصفوفات التي يكون محددها بالضبط${\displaystyle 1}$[ ^{26 ]​}

بالنظر إلى مجموعة${\displaystyle G}$وعنصر، وهو عملية الربط${\displaystyle x\mapsto gxg^{-1}}$هو تماثل ذاتي - أي تماثل يكون مجاله وصورته نفس المجموعة. وهذا يعطي تماثلًا من${\displaystyle G}$إلى مجموعة التشاكل الذاتي الخاصة بها${\displaystyle {\text{Aut}}(G)}$، ورسم خريطة لكل منها${\displaystyle g}$إلى التماثل الذاتي الداخلي الخاص به كما هو موضح، ونواة هذا التماثل هي المركز${\displaystyle Z(G)}$ل${\displaystyle G}$، ويتألف من${\displaystyle g\in G}$حيث لكل${\displaystyle x\in G}$لدينا${\displaystyle gxg^{-1}=x}$أو ما يعادل ذلك${\displaystyle gx=xg}$وبشكل أعم، لكل مجموعة فرعية طبيعية${\displaystyle H}$ل${\displaystyle G}$(أي المجموعات المغلقة تحت الاقتران)، فإن خريطة الاقتران هذه هي أيضًا تشاكل ذاتي على${\displaystyle H}$مما يعطي تماثلًا آخر${\displaystyle G}$ل${\displaystyle {\text{Aut}}(H)}$، حيث تكون النواة هي المركز${\displaystyle C_{G}(H)}$ل${\displaystyle H}$في${\displaystyle G}$، كونها مجموعة${\displaystyle g\in G}$حيث لكل${\displaystyle h\in H}$لدينا${\displaystyle ghg^{-1}=h}$[ ^{27 ]​}

ضع في اعتبارك عملية التخطيط${\displaystyle \varphi$ :\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} } حيث تمثل الحلقة الأخيرة الأعداد الصحيحة بتردد 2، وتُعيد الدالة كل عدد إلى زوجيته ؛ 0 للأعداد الزوجية، و1 للأعداد الفردية. يتضح أن هذه الدالة هي تشاكل، وبما أن العنصر المحايد الجمعي للحلقة الأخيرة هو 0، فإن النواة هي الأعداد الزوجية تحديدًا. ^{[ 3 ]}

يترك${\displaystyle \varphi$ :\mathbb {Q} [x]\to \mathbb {Q} } تُعرَّف على النحو التالي:${\displaystyle \varphi (p(x))=p(0)}$هذا التطبيق، وهو في الواقع تشاكل، يُحوّل كل متعددة حدود إلى حدها الثابت. يُحوّل متعددة الحدود إلى الصفر إذا وفقط إذا كان حدها الثابت يساوي صفرًا. ^{[ 3 ]} يمكن أن تتلقى متعددات الحدود ذات المعاملات الحقيقية تشاكلًا مشابهًا، حيث تكون نواته هي متعددات الحدود ذات الحد الثابت صفرًا. ^{[ 28 ]}

يترك${\displaystyle \varphi$ :\mathbb {C} ^{3}\to \mathbb {C} } تُعرَّف على النحو التالي:${\displaystyle \varphi (x,y,z)=x+2y+3z}$ثم نواة${\displaystyle \varphi }$(أي الفضاء الصفري) ستكون مجموعة النقاط${\displaystyle (x,y,z)\in \mathbb {C} ^{3}}$بحيث${\displaystyle x+2y+3z=0}$وهذه المجموعة هي فضاء جزئي من${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$(وينطبق الأمر نفسه على كل نواة من نوى التحويل الخطي). ^{[ 17 ]}

لو${\displaystyle D}$يمثل عامل الاشتقاق على كثيرات الحدود الحقيقية ، ثم نواة${\displaystyle D}$ستتألف من كثيرات الحدود التي تكون مشتقتها تساوي صفرًا، أي الدوال الثابتة . ^{[ 17 ]}

ضع في اعتبارك عملية التخطيط${\displaystyle (Tp)(x)=x^{2}p(x)}$، أين${\displaystyle p}$هي دالة كثيرة الحدود ذات معاملات حقيقية. إذن${\displaystyle T}$هي دالة خطية نواتها تساوي صفرًا بالضبط، لأن صفر هو متعدد الحدود الوحيد الذي يحقق${\displaystyle x^{2}p(x)=0}$للجميع${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$[ ^{17 ]​}

يمكن تعميم النوى في فئات لا تحتوي على أي كائنات . يجب أن تحقق الفئة الشرط التالي: ^{[ 46 ]}

• أشياء${\displaystyle A\in {\mathbf {C}}}$
• المورفيزمات${\displaystyle f:A\to B}$
• التركيب؛ إذا${\displaystyle f:A\to B}$و${\displaystyle g:B\to C}$ثمّ نرمز إلى تركيبها بـ${\displaystyle g\circ f:A\to C}$
• الترابط: إذا${\displaystyle f:A\to B}$،${\displaystyle g:B\to C}$، و${\displaystyle h:C\to D}$، ثم${\displaystyle h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f}$
• تماثل الهوية${\displaystyle id_{A}:A\to A}$حيث يؤدي التركيب معه إلى نفس التشاكل؛ لـ${\displaystyle f:A\to B}$،${\displaystyle f=f\circ id_{A}=id_{B}\circ f}$

التشكل${\displaystyle f:A\to B}$يكون التشاكل متماثلاً عندما يوجد تشاكل${\displaystyle g:B\to A}$بحيث${\displaystyle g\circ f}$و${\displaystyle f\circ g}$هي التشكلات التطابقية. ^{[ 46 ]} الكائن الصفري هو كائن من فئة يوجد فيه تشكل واحد فقط يصل إلى كل كائن وتشكل واحد فقط من كل كائن. أي كائنين صفريين متماثلان. ^{[ 47 ]} إذا كان الكائن الصفري لفئة ما مُصنَّفًا${\displaystyle 0}$ثم تركيب التشكلات${\displaystyle 0:A\to 0\to B}$هو${\displaystyle 0}$-التشكل من${\displaystyle A}$ل${\displaystyle B}$[ ^{48 ]​}

نواة التشكل${\displaystyle f:B\to C}$هو تشاكل${\displaystyle i:A\to B}$هذا أمرٌ عامٌّ للخاصية التي${\displaystyle f\circ i=0}$بمعنى آخر، إذا كان هناك تشاكل${\displaystyle j:Z\to B}$مع${\displaystyle f\circ j=0}$إذن يوجد تشاكل فريد${\displaystyle k:Z\to A}$بحيث${\displaystyle j=i\circ k}$ويتضح ذلك في المخطط التبادلي : ^{[ 48 ]}

يُشار إلى النواة بـ${\displaystyle \ker f\to B}$النواة هي حد الرسم التخطيطي${\displaystyle B\xrightarrow {f} C\xleftarrow {} 0}$من خلال عكس اتجاه التشكلات والتركيبات الواردة في تعريف النواة، يتم تعريف مفهوم النواة المشتركة ، والتي يُرمز لها بـ${\displaystyle {\text{coker}}f}$تُعرَّف صورة التشكل (في نظرية الفئات) على النحو التالي:${\displaystyle {\text{im}}f=\ker({\text{coker}}f)}$عند وجود النواة/النواة المساعدة المعنية. ^{[ 48 ]}

تُؤدي مفاهيم النوى/النوى المشتركة إلى تعريف الفئة الأبيلية . تُوصف الفئة بأنها جمعية عندما يكون لها عنصر صفري، وحاصل ضرب لأي عنصرين، وتُشكل التشكلات بين أي عنصرين ثابتين زمرة أبيلية مع توزيع التركيب على الجمع في هذه الزمرة. يُمكن تسمية التشكلات في الفئة الجمعية بالتشكلات المتماثلة. تُسمى الفئة الجمعية فئة أبيلية عندما يكون لكل تشكل متماثل نواة ونواة مشتركة، ويكون كل تشكل أحادي نواة لنواته المشتركة، ويكون كل تشكل فوقي نواة مشتركة لنواته. ^{[ 48 ]}

يمكن تعميم نوى التشكلات باستخدام مفهوم المُعادل . مُعادل لتشكلين${\displaystyle f,g:A\to B}$الكائن الموجود في فئة ما${\displaystyle E}$وتشكل${\displaystyle e:E\to A}$بحيث${\displaystyle f\circ e=g\circ e}$وعلاوة على ذلك، فهي خاصية عامة فيما يتعلق بهذه الخاصية؛ إذا${\displaystyle z:Z\to A}$هو شكل آخر مع${\displaystyle f\circ z=g\circ z}$إذن يوجد تشاكل فريد${\displaystyle u:Z\to E}$بحيث${\displaystyle z=e\circ u}$يجب أن يكون أي تشاكل مُعادل أحاديًا ؛ إذا${\displaystyle x,y:Z\to E}$مع${\displaystyle e\circ x=e\circ y}$، ثم${\displaystyle x=y}$[ ^{49 ]​}

بالنسبة للمجموعات الأبيلية، يكون مُساوي تشاكلين هو نفسه مُساوي الفرق بين هذين التشاكلين والتشاكل الصفري، لذا فإن المُساويات الوحيدة التي يجب أخذها في الاعتبار في فئة المجموعات الأبيلية هي تلك الموجودة بين أي تشاكلين.${\displaystyle h:A\to B}$والتشاكل الصفري${\displaystyle 0:A\to B}$الهدف من هذا المُعادل هو (حتى التشاكل)${\displaystyle \ker h}$، نواة التشاكل${\displaystyle h}$، والتشاكل المرتبط به هو دالة التضمين. ^{[ 49 ]} يوضح هذا المثال أن المعادلات هي تعميم لنواة التشاكل، وعلى وجه الخصوص، فإن نواة التشاكل هي المعادل بين التشاكل والتشاكل الصفري المقابل له. ^{[ 50 ]}

زوج النواة للتشاكل${\displaystyle f:X\to Y}$يُعرَّف بأنه السحب العكسي لهذا التشاكل المقترن بنفسه. ويمكن تصوره باستخدام المخطط التبادلي: ^{[ 51 ]}

يمكن أن تحتوي الدوال بين الفئات على نواة أيضًا. دالة (متغايرة) من فئة${\displaystyle {\mathbf {C}}}$ل${\displaystyle {\mathbf {D}}}$، المشار إليه${\displaystyle F:{\mathbf {C}}\to {\mathbf {D}}}$، يرسم الكائنات والتشكلات من${\displaystyle {\mathbf {C}}}$ل${\displaystyle {\mathbf {D}}}$بحيث تتحقق الأمور التالية: ^{[ 52 ]}

1. لو${\displaystyle f:A\to B}$، ثم${\displaystyle F(f):F(A)\to F(B)}$
2. ${\displaystyle F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)}$
3. ${\displaystyle F(id_{A})=id_{F(A)}}$

تطابق في فئة${\displaystyle {\mathbf {C}}}$هي علاقة تكافؤ${\displaystyle \sim }$على التشكلات حيث${\displaystyle f\sim g}$وهذا يعني أنهما يشتركان في نفس المجال والمجال المشترك، وعلاوة على ذلك${\displaystyle bfa\sim bga}$لأي شكليات قابلة للتطبيق${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$ينتج عن التطابق فئة تطابق مرتبطة به${\displaystyle {\mathbf {C}}^{\sim }}$بنفس الأشياء مثل${\displaystyle {\mathbf {C}}}$لكن مع التشكلات المكونة من${\displaystyle \langle f,g\rangle }$أين${\displaystyle f\sim g}$حيث يتم تعريف التركيب على أساس المكونات، ويكون التشكل المتطابق هو${\displaystyle {\widetilde {id_{A}}}=\langle id_{A},id_{A}\rangle }$ثم فئة القسمة${\displaystyle {\mathbf {C}}/\sim }$يمكن تشكيلها، حيث تكون الأشياء هي نفسها مرة أخرى${\displaystyle {\mathbf {C}}}$، والتشاكلات هي فئات التكافؤ${\displaystyle [f]}$بموجب التطابق، يكون التشكل المتطابق هو فئة التكافؤ المرتبطة به${\displaystyle [id_{A}]}$والتركيب يُعرَّف على النحو التالي:${\displaystyle [g]\circ [f]=[g\circ f]}$يوجد دالتان إسقاطيتان من فئة التطابق إلى الفئة الأصلية، وهما مُصنَّفتان على النحو التالي:${\displaystyle p_{1},p_{2}}$وهناك دالة قسمة${\displaystyle \pi }$من الفئة إلى فئة القسمة الخاصة بها التي تعمل كمعادل مشترك ^{[ ب ]} لدالتي الإسقاط. ^{[ 53 ]}

دالة${\displaystyle F:{\mathbf {C}}\to {\mathbf {D}}}$يعطي تطابقًا${\displaystyle \sim _{F}}$أين${\displaystyle f\sim _{F}g}$إذا وفقط إذا كانا يشتركان في نفس المجال والمجال المقابل، وعلاوة على ذلك${\displaystyle F(f)=F(g)}$نواة${\displaystyle F}$ثم يُشار إليه بفئة التطابق المرتبطة${\displaystyle \ker F={\mathbf {C}}^{\sim _{F}}}$[ ^{53 ]​}