الوتر (الهندسة)

في الهندسة ، الوتر ( من اللاتينية chorda بمعنى " وتر أو خيط " ) في الدائرة هو قطعة مستقيمة تقع نقطتا نهايتها على قوس دائري . إذا مُدِّد الوتر إلى ما لا نهاية في كلا الاتجاهين ليصبح خطًا مستقيمًا ، يُسمى الناتج قاطعًا . أما الخط العمودي المار بمنتصف الوتر فيُسمى سهمًا (من اللاتينية بمعنى "سهم"). 

بشكل عام، الوتر هو قطعة مستقيمة تصل بين نقطتين على أي منحنى ، على سبيل المثال، على قطع ناقص . الوتر الذي يمر بمركز الدائرة هو قطر الدائرة .

من بين خصائص أوتار الدائرة ما يلي:

1. تكون الأوتار متساوية البعد عن المركز إذا وفقط إذا كانت أطوالها متساوية.
2. الأوتار المتساوية هي تلك التي تشكل زوايا متساوية من مركز الدائرة.
3. يُطلق على الوتر الذي يمر عبر مركز الدائرة اسم القطر، وهو أطول وتر في تلك الدائرة المحددة.
4. إذا تقاطعت امتدادات الخطوط (الخطوط القاطعة) للوترين AB و CD عند نقطة P ، فإن أطوالها تحقق AP · PB = CP · PD ( نظرية قوة النقطة ).

تقع نقاط منتصف مجموعة من الأوتار المتوازية في القطع المخروطي على استقامة واحدة ( نظرية نقطة المنتصف للقطع المخروطي ). ^{[ 1 ]}

استُخدمت الأوتار على نطاق واسع في المراحل الأولى لتطور علم المثلثات . أول جدول مثلثي معروف، جمعه هيبارخوس في القرن الثاني قبل الميلاد، لم يعد موجودًا، ولكنه دوّن قيمة دالة الوتر لكل 7 + 1/2 درجة . في القرن الثاني الميلادي، جمع بطليموس جدولًا أكثر شمولًا للأوتار في كتابه عن علم الفلك ، مُبيّنًا قيمة الوتر للزوايا التي تتراوح من 1/2 إلى 180 درجة بزيادات قدرها 1/2 درجة . استخدم بطليموس دائرة قطرها 120 درجة، وقدّم أطوال الأوتار بدقة تصل إلى رقمين ستينيين (أساس 60 ) بعد الجزء الصحيح. ^{[ 2 ]}

تُعرَّف دالة الوتر هندسيًا كما هو موضح في الصورة. وتر الزاوية هو طول الوتر بين نقطتين على دائرة الوحدة تفصل بينهما تلك الزاوية المركزية . تُؤخذ الزاوية θ في الاتجاه الموجب، ويجب أن تقع ضمن الفترة 0 < θ ≤ π (قياس بالراديان). يمكن ربط دالة الوتر بدالة الجيب الحديثة ، وذلك باختيار إحدى النقطتين (1,0) والأخرى (cos θ , sin θ ) ، ثم استخدام نظرية فيثاغورس لحساب طول الوتر: ^{[ 2 ]}

$${\displaystyle \operatorname {crd} \theta ={\sqrt {(1-\cos \theta )^{2}+\sin ^{2}\theta }}={\sqrt {2-2\cos \theta }}=2\sin {\frac {\theta }{2}}}$$^{[ 3 ]}

تستخدم الخطوة الأخيرة صيغة نصف الزاوية . وكما بُني علم المثلثات الحديث على دالة الجيب، بُني علم المثلثات القديم على دالة الوتر. يُقال إن هيبارخوس قد كتب مؤلفًا من اثني عشر مجلدًا عن الأوتار، فُقدت جميعها الآن، لذا يُفترض أنه كان معروفًا عنها الكثير. في الجدول أدناه (حيث c هو طول الوتر، و D هو قطر الدائرة)، يمكن إثبات أن دالة الوتر تُحقق العديد من المتطابقات المشابهة للمتطابقات الحديثة المعروفة.

اسم	يعتمد على الجيب	قائم على الأوتار
فيثاغورس	${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1\,}$	${\displaystyle \operatorname {crd} ^{2}\theta +\operatorname {crd} ^{2}(\pi -\theta )=4\,}$
نصف زاوية	${\displaystyle \sin {\frac {\theta }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}\,}$	${\displaystyle \operatorname {crd} \ {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {2-\operatorname {crd} (\pi -\theta )}}\,}$
أبوثيم ( أ )	${\displaystyle c=2{\sqrt {r^{2}-a^{2}}}}$	${\displaystyle c={\sqrt {D^{2}-4a^{2}}}}$
الزاوية ( θ )	${\displaystyle c=2r\sin {\frac {\theta }{2}}}$	${\displaystyle c={\frac {D}{2}}\operatorname {crd} \theta }$

توجد الدالة العكسية أيضًا: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \theta =2\arcsin {\frac {c}{2r}}}$

• القطعة الدائرية - الجزء المتبقي من القطاع بعد إزالة المثلث المتكون من مركز الدائرة ونقطتي نهاية القوس الدائري على الحدود.
• سلم الأوتار
• جدول بطليموس للأوتار
• تنص نظرية هولدتش على أنه بالنسبة لوتر يدور في منحنى مغلق محدب.
• الرسم البياني الدائري
• Exsecant and excosecant
• Versine and haversine – (${\displaystyle \operatorname {crd} \theta =2{\sqrt {\operatorname {haversin} \theta }}}$)
• منحنى زيندلر (منحنى مغلق وبسيط تكون فيه جميع الأوتار التي تقسم طول القوس إلى نصفين متساوية في الطول)
• مفارقة برتراند (الاحتمالية) مفارقة متوسط ​​طول الوتر

• تاريخ علم المثلثات - ملخص
• الدوال المثلثية. مؤرشفة بتاريخ 10 مارس 2017 على موقع Wayback Machine ، مع التركيز على التاريخ.
• وتر (دائرة) مع رسوم متحركة تفاعلية