نظرية كليروت (الجاذبية)

تُحدد نظرية كليروت خصائص الجاذبية السطحية على سطح بيضاوي لزج دوار في حالة توازن هيدروستاتيكي تحت تأثير مجال جاذبيته وقوة الطرد المركزي . نُشرت هذه النظرية عام ١٧٤٣ على يد ألكسيس كلود كليروت في أطروحة ^{[ ١ ]} جمعت أدلة فيزيائية وجيوديسية تُثبت أن الأرض بيضاوية مفلطحة . ^{[ ٢ ] [ ٣ ]} استُخدمت النظرية في البداية لربط الجاذبية عند أي نقطة على سطح الأرض بموقع تلك النقطة، مما سمح بحساب استطالة الأرض أو تفلطحها من قياسات الجاذبية عند خطوط عرض مختلفة . واليوم، حلت محلها إلى حد كبير معادلة سوميليانا .

على الرغم من أنه كان معروفًا منذ القدم أن الأرض كروية الشكل تقريبًا، إلا أنه بحلول القرن السابع عشر، تراكمت الأدلة على أنها ليست كرة مثالية. في عام 1672، وجد جان ريشر أول دليل على أن الجاذبية ليست ثابتة على سطح الأرض (كما لو كانت الأرض كروية)؛ فقد أخذ ساعة بندولية إلى كايين ، في غيانا الفرنسية، ووجد أنها تتأخر بمقدار دقيقتين ونصف يوميًا مقارنةً بمعدل دقتها في باريس. ^{[ 4 ] [ 5 ]} يشير هذا إلى أن تسارع الجاذبية أقل في كايين منه في باريس. بدأ استخدام مقاييس الجاذبية البندولية في الرحلات إلى المناطق النائية من العالم، واكتُشف تدريجيًا أن الجاذبية تزداد تدريجيًا مع ازدياد خط العرض، حيث يكون تسارع الجاذبية أكبر بنحو 0.5% عند القطبين منه عند خط الاستواء.

شرح الفيزيائي البريطاني إسحاق نيوتن ذلك في كتابه "الأصول الرياضية للفلسفة الطبيعية " (1687)، حيث عرض نظريته وحساباته حول شكل الأرض. ^{[ 6 ]} افترض نيوتن، بشكل صحيح، أن الأرض ليست كروية تمامًا، بل لها شكل بيضاوي مفلطح ، مُفلطح قليلاً عند القطبين نتيجة لقوة الطرد المركزي لدورانها. وباستخدام الحسابات الهندسية، قدم حجة ملموسة لشكل الأرض البيضاوي المفترض. ^{[ 7 ]}

لم يكن هدف كتاب "الأصول الرياضية للفلسفة الطبيعية" تقديم إجابات دقيقة للظواهر الطبيعية، بل وضع نظريات لحل هذه العوامل غير المفسرة في العلوم. حثّ نيوتن العلماء على التعمق في دراسة المتغيرات غير المفسرة. ومن أبرز الباحثين الذين استلهموا منه ألكسيس كليرو وبيير لويس موبيرتوي . سعى كلاهما إلى إثبات صحة نظرية نيوتن حول شكل الأرض. ولتحقيق ذلك، قاما برحلة استكشافية إلى لابلاند في محاولة لقياس قوس خط الزوال بدقة . ومن خلال هذه القياسات، تمكنا من حساب انحراف مركز الأرض، أي درجة انحرافها عن شكل الكرة الكاملة.

أكد كليروت صحة نظرية نيوتن القائلة بأن الأرض بيضاوية الشكل، لكنه أشار إلى وجود خطأ في حساباته، وكتب رسالة إلى الجمعية الملكية في لندن يعرض فيها نتائج بحثه. ^{[ 8 ]} ونشرت الجمعية مقالًا في مجلة "المعاملات الفلسفية" في العام التالي، 1737. ^{[ 9 ]} وفي هذا المقال، أوضح كليروت (في القسم الثامن عشر) أن القضية العشرين لنيوتن من الكتاب الثالث لا تنطبق على الأرض الحقيقية. فقد نصت على أن وزن أي جسم عند نقطة ما في الأرض يعتمد فقط على نسبة بُعده عن مركز الأرض إلى المسافة من المركز إلى سطح الأرض عند ذلك الجسم أو فوقه، بحيث يكون الوزن الإجمالي لعمود من الماء في مركز الأرض متساويًا بغض النظر عن اتجاه صعوده نحو السطح. وكان نيوتن قد ذكر في الواقع أن هذا مبني على افتراض أن المادة داخل الأرض ذات كثافة منتظمة (في القضية التاسعة عشرة). أدرك نيوتن أن الكثافة ربما لم تكن منتظمة، واقترح ذلك كتفسير لسبب رصد قياسات الجاذبية فرقًا أكبر بين المناطق القطبية والمناطق الاستوائية مما تنبأت به نظريته. مع ذلك، اعتقد أيضًا أن هذا يعني أن خط الاستواء أبعد عن المركز مما تنبأت به نظريته، ويشير كليروت إلى أن العكس هو الصحيح. يوضح كليروت في بداية مقاله أن نيوتن لم يفسر سبب اعتقاده أن الأرض إهليلجية وليست بيضاوية الشكل، لكن كليروت، وجيمس ستيرلنغ في الوقت نفسه تقريبًا، أثبتا سبب كون الأرض إهليلجية في عام 1736.

لم تُقدّم مقالة كليروت معادلةً صحيحةً لدعم حجته، مما أثار جدلاً واسعاً في الأوساط العلمية. ولم يُقدّم جوابٌ شافٍ إلا بعد أن كتب كليروت كتابه " نظرية شكل الأرض" عام ١٧٤٣، حيث أعلن فيه ما يُعرف اليوم بنظرية كليروت.

تنص نظرية كليروت على أن التسارع الناتج عن الجاذبية g (بما في ذلك تأثير قوة الطرد المركزي) على سطح كروي في حالة توازن هيدروستاتيكي (كونه سائلاً أو كان سائلاً في الماضي، أو له سطح قريب من مستوى سطح البحر) عند خط العرض φ هو: ^{[ 10 ] [ 11 ]}

$${\displaystyle g(\varphi )=G_{e}\left[1+\left({\frac {5}{2}}mf\right)\sin ^{2}\varphi \right]\,,}$$أين

• ${\displaystyle G_{e}}$هي قيمة تسارع الجاذبية عند خط الاستواء،
• ${\displaystyle m}$نسبة قوة الطرد المركزي إلى قوة الجاذبية${\textstyle \أوميغا ^{2}R_{E}(\phi =0)/g(\phi =0)}$عند خط الاستواء، و
• ${\displaystyle f}$تسطح جزء من خط الزوال على سطح الأرض، ويُعرَّف على النحو التالي:

$${\displaystyle f={\frac {ab}{a}}\,,}$$(حيث a = المحور شبه الرئيسي، b = المحور شبه الثانوي).

تبلغ مساهمة قوة الطرد المركزي تقريبًا${\textstyle -G_{e}m\cos ^{2}\varphi ,}$بينما يتغير التجاذب الثقالي نفسه تقريبًا كما${\textstyle G_{e}\left({\frac {3}{2}}mf\right)\sin ^{2}\varphi .}$تُطبَّق هذه الصيغة عندما يكون السطح عموديًا على اتجاه الجاذبية (بما في ذلك قوة الطرد المركزي)، حتى لو لم تكن الكثافة ثابتة (كما هو معتاد). (في هذه الحالة، يمكن حساب قوة الجذب عند أي نقطة من الشكل وحده، دون الرجوع إلى${\displaystyle m}$) من أجل الأرض،${\textstyle m\approx 1/289,}$و${\textstyle {\frac {5}{2}}m\approx 1/116,}$بينما${\textstyle f\approx 1/300,}$لذا${\displaystyle g}$تكون أعلى عند القطبين (5.3‰، 0.43% نيوتن) منها عند خط الاستواء. ^{[ 12 ]}

استنتج كليروت الصيغة بافتراض أن الجسم يتكون من طبقات كروية متحدة المركز ذات كثافة ثابتة. ^{[ 13 ]} تابع لابلاس هذا العمل لاحقًا ، حيث افترض أسطحًا متساوية الكثافة وشبه كروية. ^{[ 12 ] [ 14 ]} بيّن عالم الرياضيات الإنجليزي جورج ستوكس في عام 1849 ^{[ 12 ]} أن النظرية تنطبق على أي قانون للكثافة طالما أن السطح الخارجي كروي متوازن. ^{[ 15 ] [ 16 ]} يمكن الاطلاع على تاريخ التطورات الحديثة ومعادلات أكثر تفصيلًا لـ g في كتاب خان. ^{[ 17 ]}

تم استبدال التعبير أعلاه لـ g بمعادلة سوميليانا (نسبة إلى كارلو سوميليانا ).

يُعزى الشكل الكروي للأرض إلى التفاعل بين الجاذبية وقوة الطرد المركزي الناتجة عن دورانها حول محورها. ^{[ 18 ] [ 19 ]} في كتابه "الأصول الرياضية للفلسفة الطبيعية" ، اقترح نيوتن أن شكل الأرض المتوازنة الدوارة المتجانسة هو شكل بيضاوي دوراني ذو تسطح f يُعطى بالمعادلة 1/230. ^{[ 20 ] [ 21 ]} ونتيجةً لذلك، تزداد الجاذبية من خط الاستواء إلى القطبين. وبتطبيق نظرية كليروت، وجد لابلاس من 15 قيمة للجاذبية أن f = 1/330: g _NP / G _eq − 1 = 5.6‰. ويُقدّر هذا التسطح تقديرًا حديثًا بنسبة 1:298.25642. ^{[ 22 ]} انظر شكل الأرض لمزيد من التفاصيل.

للحصول على وصف مفصل لبناء نموذج الأرض المرجعي للجيوديسيا، انظر تشاتفيلد. ^{[ 23 ]}