نظرية بوت للدورية

في الرياضيات ، تصف نظرية بوت الدورية دورية في مجموعات التماثل للمجموعات الكلاسيكية ، اكتشفها راؤول بوت ( 1957 ، 1959 ) ، والتي أثبتت أهميتها التأسيسية للعديد من الأبحاث اللاحقة، لا سيما في نظرية K للحزم المتجهة المعقدة المستقرة ، وكذلك مجموعات التماثل المستقرة للكرات . يمكن صياغة دورية بوت بطرق عديدة، حيث تظهر الدورية المذكورة دائمًا كظاهرة دورية من الدرجة الثانية، بالنسبة للبعد، للنظرية المرتبطة بالمجموعة الوحدوية . انظر على سبيل المثال نظرية K الطوبولوجية . 

توجد ظواهر دورية من الدرجة الثامنة لنظريات المطابقة، نظرية KO ( الحقيقية ) ونظرية KSp ( الرباعية ) ، المرتبطتين بالمجموعة المتعامدة الحقيقية والمجموعة التبسيطية الرباعية على التوالي. التشاكل J هو تشاكل من مجموعات التماثل للمجموعات المتعامدة إلى مجموعات التماثل المستقرة للكرات ، مما يجعل دورية بوت من الدرجة الثامنة ظاهرة في مجموعات التماثل المستقرة للكرات.

أظهر بوت أنه إذا${\displaystyle U(\infty )}$يُعرَّف بأنه الحد المباشر للمجموعات الوحدوية${\displaystyle U(n)}$، إذن فإن مجموعات التماثل الخاصة بها دورية بفترة 2: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \pi _{i}(U(\infty ))\simeq \pi _{i+2}(U(\infty ))}$

ل${\displaystyle i\geq 0}$ومجموعتا التماثل الأوليتان هما كما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{0}(U(\infty ))&\simeq 0\\\pi _{1}(U(\infty ))&\simeq \mathbb {Z} .\end{aligned}}}$

النسخة "الحقيقية" أو "المتعامدة" من نظرية بوت الدورية، حول النهاية المباشرة للمجموعات المتعامدة${\displaystyle O(n)}$يقول ذلك

${\displaystyle \pi _{i}(O(\infty ))\simeq \pi _{i+8}(O(\infty ))}$

ل${\displaystyle i\geq 0}$، وأول 8 مجموعات تماثلية لها هي كما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{0}(O(\infty ))&\simeq \mathbb {Z} _{2}\\\pi _{1}(O(\infty ))&\simeq \mathbb {Z} _{2}\\\pi _{2}(O(\infty ))&\simeq 0\\\pi _{3}(O(\infty ))&\simeq \mathbb {Z} \\\pi _{4}(O(\infty ))&\simeq 0\\\pi _{5}(O(\infty ))&\simeq 0\\\pi _{6}(O(\infty ))&\simeq 0\\\pi _{7}(O(\infty ))&\simeq \mathbb {Z} \end{محاذاة}}}$

يكمن سياق دورية بوت في أن مجموعات التماثل الكروي ، التي كان من المتوقع أن تلعب دورًا أساسيًا في الطوبولوجيا الجبرية قياسًا على نظرية التماثل ، أثبتت صعوبتها (كما أن النظرية معقدة). وقد تم تصور موضوع نظرية التماثل المستقر كتبسيط، من خلال إدخال عملية التعليق ( الضرب المباشر مع دائرة )، ورؤية ما تبقى (بشكل تقريبي) من نظرية التماثل بمجرد السماح بتعليق طرفي المعادلة عددًا غير محدود من المرات. ومع ذلك، ظلت النظرية المستقرة صعبة الحساب عمليًا.

قدمت دورية بوت نظرة ثاقبة على بعض الفضاءات بالغة الأهمية، والتي تحتل مكانة مركزية في علم الطوبولوجيا نظرًا لارتباط تماثلها بالفئات المميزة ، والتي يمكن حساب جميع زمر التماثل ( غير المستقرة ) لها. هذه الفضاءات هي الزمر الوحدوية والمتعامدة والتماثلية (اللانهائية أو المستقرة ) U و O و  Sp. في هذا السياق، يشير مصطلح "مستقر" إلى أخذ اتحاد (المعروف أيضًا بالنهاية المباشرة ) سلسلة التضمينات.

${\displaystyle U(1)\subset U(2)\subset \cdots \subset U=\bigcup _{k=1}^{\infty }U(k)}$

وبالمثل بالنسبة لـ O و  Sp. لاحظ أن استخدام بوت لكلمة مستقر في عنوان ورقته البحثية الرائدة يشير إلى هذه المجموعات الكلاسيكية المستقرة وليس إلى مجموعات التماثل المستقرة .

الصلة المهمة بين دورية بوت ومجموعات التماثل المستقرة للكرات${\displaystyle \pi _{n}^{S}}$يأتي ذلك عبر ما يسمى بالتشاكل المستقر J من مجموعات التماثل (غير المستقرة) للمجموعات الكلاسيكية (المستقرة) إلى مجموعات التماثل المستقرة هذه${\displaystyle \pi _{n}^{S}}$. وصفها جورج دبليو وايتهيد في الأصل ، وأصبحت موضوعًا لتخمين آدمز الشهير (1963) والذي تم حله أخيرًا بالإيجاب من قبل دانيال كويلين (1971).

يمكن تلخيص نتائج بوت الأصلية بإيجاز في:

النتيجة: مجموعات التماثل (غير المستقرة) للمجموعات الكلاسيكية (اللانهائية) دورية:

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{k}(U)&=\pi _{k+2}(U)\\\pi _{k}(O)&=\pi _{k+4}(\operatorname {Sp} )\\\pi _{k}(\operatorname {Sp} )&=\pi _{k+4}(O)&&k=0,1,\ldots \end{aligned}}}$

ملاحظة: يتشابك التشاكلان الثاني والثالث من هذه التشاكلات ليعطيا نتائج الدورية الثمانية:

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{k}(O)&=\pi _{k+8}(O)\\\pi _{k}(\operatorname {Sp} )&=\pi _{k+8}(\operatorname {Sp} ),&&k=0,1,\ldots \end{aligned}}}$

بالنسبة للنظرية المرتبطة بالمجموعة الوحدوية اللانهائية U ، فإن الفضاء BU هو فضاء التصنيف لحزم المتجهات المركبة المستقرة (فضاء غراسماني في أبعاد لانهائية). يصف أحد صياغات دورية بوت فضاء الحلقة الثنائية.${\displaystyle \Omega ^{2}BU}$من جامعة بوسطن . هنا،$أوميغا$هو دالة فضاء الحلقة ، المرافق الأيمن للتعليق والمرافق الأيسر لبنية فضاء التصنيف . تنص دورية بوت على أن فضاء الحلقة المزدوجة هذا هو في الأساس BU مرة أخرى؛ بتعبير أدق، $${\displaystyle \Omega ^{2}BU\simeq \mathbb {Z} \times BU}$$ هي في جوهرها (أي أنها مكافئة تماثليًا ) لاتحاد عدد قابل للعد من نسخ BU . الصيغة المكافئة هي $${\displaystyle \Omega ^{2}U\simeq U.}$$

أي من هذين الأمرين له تأثير فوري يتمثل في إظهار سبب كون نظرية K الطوبولوجية (المعقدة) نظرية دورية ثنائية.

في النظرية المقابلة للمجموعة المتعامدة اللانهائية O ، فإن الفضاء BO هو فضاء التصنيف لحزم المتجهات الحقيقية المستقرة . في هذه الحالة، تنص دورية بوت على أنه بالنسبة لفضاء الحلقة الثمانية، $${\displaystyle \Omega ^{8}BO\simeq \mathbb {Z} \times BO}$$ أو ما يعادل ذلك، $${\displaystyle \Omega ^{8}O\simeq O,}$$

مما ينتج عنه أن نظرية KO هي نظرية دورية ثمانية الأبعاد. كذلك، بالنسبة للمجموعة التبسيطية اللانهائية Sp، فإن الفضاء BSp هو فضاء التصنيف لحزم المتجهات الرباعية المستقرة ، وتنص دورية بوت على أن $${\displaystyle \Omega ^{8}\operatorname {BSp} \simeq \mathbb {Z} \times \operatorname {BSp}$$ ;} أو ما يعادلها $${\displaystyle \Omega ^{8}\operatorname {Sp} \simeq \operatorname {Sp} .}$$

وبالتالي فإن كل من نظرية K الحقيقية الطوبولوجية (المعروفة أيضًا باسم نظرية KO ) ونظرية K الرباعية الطوبولوجية (المعروفة أيضًا باسم نظرية KSp) هي نظريات دورية ثمانية الأبعاد.

تعتمد إحدى الصيغ الأنيقة لدورية بوت على ملاحظة وجود تضمينات طبيعية (كمجموعات فرعية مغلقة) بين المجموعات الكلاسيكية. وتكون فضاءات الحلقات في دورية بوت مكافئة تماثليًا للفضاءات المتناظرة للقسمة المتتالية، مع عوامل منفصلة إضافية من Z.

حول الأعداد المركبة :

${\displaystyle U\times U\subset U\subset U\times U.}$

حول الأعداد الحقيقية والأعداد الرباعية:

${\displaystyle O\times O\subset O\subset U\subset \operatorname {Sp} \subset \operatorname {Sp} \times \operatorname {Sp} \subset \operatorname {Sp} \subset U\subset O\subset O\times O.}$

تتوافق هذه المتتاليات مع المتتاليات في جبر كليفورد - انظر تصنيف جبر كليفورد ؛ على الأعداد المركبة:

${\displaystyle \mathbb {C} \oplus \mathbb {C} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {C} \oplus \mathbb {C} .}$

حول الأعداد الحقيقية والأعداد الرباعية:

${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {H} \oplus \mathbb {H} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} ,}$

حيث تشير جبر القسمة إلى "المصفوفات فوق هذا الجبر".

وبما أنها دورية 2/دورية 8، فيمكن ترتيبها في دائرة، حيث تسمى ساعة بوت الدورية وساعة كليفورد الجبرية .

ثم تتحسن نتائج دورية بوت لتصبح سلسلة من مكافئات التماثل :

بالنسبة لنظرية K المعقدة :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega U&\simeq \mathbb {Z} \times BU=\mathbb {Z} \times U/(U\times U)\\\Omega (\mathbb {Z} \times BU)&\simeq U=(U\times U)/U\end{aligned}}}$

بالنسبة لنظريات KO و KSp الحقيقية والرباعية :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega (\mathbb {Z} \times BO)&\simeq O=(O\times O)/O&\Omega (\mathbb {Z} \times \operatorname {BSp} )&\simeq \operatorname {Sp} =(\operatorname {Sp} \times \operatorname {Sp} )/\operatorname {Sp} \\\Omega O&\simeq O/U&\Omega \operatorname {Sp} &\simeq \operatorname {Sp} /U\\\Omega (O/U)&\simeq U/\operatorname {Sp} &\Omega (\operatorname {Sp} /U)&\simeq U/O\\\Omega (U/\operatorname {Sp} )&\simeq \mathbb {Z} \times \operatorname {BSp} =\mathbb {Z} \times \operatorname {Sp} /(\operatorname {Sp} \times \operatorname {Sp} )&\Omega (U/O)&\simeq \mathbb {Z} \times BO=\mathbb {Z} \times O/(O\times O)\end{aligned}}}$

تُكافئ الفضاءات الناتجة تماثليًا الفضاءات المتناظرة المختزلة الكلاسيكية ، وهي ناتج قسمة متتالي لحدود ساعة بوت الدورية. وتؤدي هذه التكافؤات مباشرةً إلى نظريات بوت الدورية.

المساحات المحددة هي، ^{[ ملاحظة 1 ]} (بالنسبة للمجموعات، يتم أيضًا سرد الفضاء المتجانس الرئيسي ):

مساحة الحلقة	حاصل القسمة	علامة كارتان التجارية	وصف
${\displaystyle \Omega ^{0}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} \times O/(O\times O)}$	مؤشر الاكتئاب BDI	غراسمانيان الحقيقي
${\displaystyle \Omega ^{1}}$	${\displaystyle O=(O\times O)/O}$		المجموعة المتعامدة ( متعدد شعب ستيفل الحقيقي )
${\displaystyle \Omega ^{2}}$	${\displaystyle O/U}$	دي 3	فضاء الهياكل المعقدة المتوافقة مع هيكل متعامد معين
${\displaystyle \Omega ^{3}}$	${\displaystyle U/\mathrm {Sp} }$	الكل	فضاء البنى الرباعية المتوافقة مع بنية معقدة معينة
${\displaystyle \Omega ^{4}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathrm {Sp} /(\mathrm {Sp} \times \mathrm {Sp} )}$	معهد التأمين الكندي	جراسماني رباعي
${\displaystyle \Omega ^{5}}$	${\displaystyle \mathrm {Sp} =(\mathrm {Sp} \times \mathrm {Sp} )/\mathrm {Sp} }$		مجموعة سيمبليكتية (متعدد شعب ستيفل الرباعي )
${\displaystyle \Omega ^{6}}$	${\displaystyle \mathrm {Sp} /U}$	سي آي	لاغرانجي معقد غراسماني
${\displaystyle \Omega ^{7}}$	${\displaystyle U/O}$	الذكاء الاصطناعي	لاغرانجي غراسماني

استخدم بوت في برهانه الأصلي ( بوت 1959 ) نظرية مورس ، التي كان بوت (1956) قد استخدمها سابقًا لدراسة تماثل زمر لي . وقد قُدِّمت العديد من البراهين المختلفة.

• بوت، راؤول (1956)، "تطبيق نظرية مورس على طوبولوجيا زمر لي"، نشرة الجمعية الرياضية الفرنسية ، 84 : 251-281 ، doi : 10.24033/bsmf.1472 ، ISSN 0037-9484 ، MR 0087035  
• بوت، راؤول (1957)، "التماثل المستقر للمجموعات الكلاسيكية"، وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم في الولايات المتحدة الأمريكية ، 43 (10): 933-935 ، Bibcode : 1957PNAS...43..933B ، doi : 10.1073/pnas.43.10.933 ، JSTOR 89403 ، MR 0102802 ، PMC 528555 ، PMID 16590113    
• بوت، راؤول (1959)، "التماثل المستقر للمجموعات الكلاسيكية"، حوليات الرياضيات ، السلسلة الثانية، 70 (2): 313-337 ، doi : 10.2307/1970106 ، ISSN 0003-486X ، JSTOR 1970106 ، MR 0110104   
• بوت، راؤول (1970)، "نظرية الدورية للمجموعات الكلاسيكية وبعض تطبيقاتها"، التقدم في الرياضيات ، 4 (3): 353-411 ، doi : 10.1016/0001-8708(70)90030-7. شرح توضيحي للنظرية والرياضيات المحيطة بها.
• Giffen، CH (1996)، "Bott دورية وبناء Q" ، في Banaszak، Grzegorz؛ جاجدا، فويتشخ؛ Krasoń، Piotr (eds.)، نظرية K الجبرية ، الرياضيات المعاصرة، المجلد.  199، الجمعية الرياضية الأمريكية، الصفحات من 107 إلى 124، ISBN  978-0-8218-0511-4MR 1409620​ 
• ميلنور، ج. (1969). نظرية مورس . مطبعة جامعة برينستون. ISBN 0-691-08008-9.
• بايز، جون (21 يونيو 1997). "الأسبوع 105" . اكتشافات هذا الأسبوع في الفيزياء الرياضية .