متعددة الحدود المتجانسة المتناظرة الكاملة

تتميز كثيرات الحدود المتجانسة المتناظرة الكاملة بالتطابق التالي لسلسلة القوى الرسمية في t :

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }h_{k}(X_{1},\ldots ,X_{n})t^{k}=\prod _{i=1}^{n}\sum _{j=0}^{\infty }(X_{i}t)^{j}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{1-X_{i}t}}}$

(يُطلق على هذا اسم الدالة المولدة ، أو المتسلسلة المولدة، لكثيرات الحدود المتناظرة المتجانسة الكاملة). هنا، يُمثل كل كسر في التعبير النهائي الطريقة المعتادة لتمثيل المتسلسلة الهندسية الشكلية التي تُعد عاملاً في التعبير الأوسط. يمكن تبرير هذه المتطابقة بالنظر إلى كيفية تكوين حاصل ضرب هذه المتسلسلات الهندسية: يُحصل على كل عامل في حاصل الضرب بضرب حد واحد مُختار من كل متسلسلة هندسية، _ويُحصل على كل حد أحادي في المتغيرات Xᵢ لاختيار واحد فقط من هذه الحدود، ويأتي مضروبًا في قوة t تساوي درجة الحد الأحادي.

يمكن اعتبار الصيغة أعلاه حالة خاصة من نظرية ماكماهون الرئيسية . ويمكن تفسير الطرف الأيمن على النحو التالي:${\displaystyle 1/\!\det(1-tM)}$أين${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$و${\displaystyle M={\text{diag}}(X_{1},\ldots ,X_{N})}$. على الجانب الأيسر، يمكن للمرء أن يحدد كثيرات الحدود المتجانسة المتناظرة الكاملة كحالات خاصة من معامل الحدود المتعددة الذي يظهر في تعبير ماكماهون.

بإجراء بعض العمليات الحسابية القياسية، يمكننا أيضًا كتابة الدالة المولدة على النحو التالي:$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }h_{k}(X_{1},\ldots ,X_{n})\,t^{k}=\exp \left(\sum _{j=1}^{\infty }(X_{1}^{j}+\cdots +X_{n}^{j}){\frac {t^{j}}{j}}\right)}$$وهو متسلسلة القوى لتوسيع الدالة الأسية للتضخم .${\displaystyle (X_{1}+\cdots +X_{n})t}$(ولاحظ أن${\displaystyle p_{j}:=X_{1}^{j}+\cdots +X_{n}^{j}}$هو بالضبط مجموع القوى المتناظرة من الرتبة j ) .

توجد علاقة أساسية بين كثيرات الحدود المتناظرة الأولية وكثيرات الحدود المتجانسة الكاملة:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{m}(-1)^{i}e_{i}(X_{1},\ldots ,X_{n})h_{m-i}(X_{1},\ldots ,X_{n})=0,}$

وهذا صحيح لجميع قيم m > 0 ، ولأي عدد من المتغيرات n . وأسهل طريقة لإثبات صحة ذلك هي من خلال متطابقة متسلسلات القوى الرسمية في t لكثيرات الحدود المتناظرة الأولية، المشابهة لتلك المذكورة أعلاه لكثيرات الحدود المتجانسة الكاملة، والتي يمكن كتابتها أيضًا بدلالة الدوال الأسية الكاملة كما يلي:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }e_{k}(X_{1},\ldots ,X_{n})(-t)^{k}=\prod _{i=1}^{n}(1-X_{i}t)=PE[-(X_{1}+\cdots +X_{n})t]}$

(هذه في الواقع متطابقة لكثيرات الحدود في t ، لأنه بعد e _n ( X ₁ , ..., X _n ) تصبح كثيرات الحدود المتناظرة الأولية صفرًا). بضرب هذا في الدالة المولدة لكثيرات الحدود المتناظرة المتجانسة الكاملة، نحصل على المتسلسلة الثابتة 1 (وبصورة مكافئة، تحقق الدوال الأسية الكاملة الخصائص المعتادة للدالة الأسية)، وتُستنتج العلاقة بين كثيرات الحدود المتجانسة الأولية والكاملة من مقارنة معاملات t ^m . وهناك طريقة أكثر مباشرة لفهم هذه العلاقة، وهي النظر في المساهمات في المجموع الذي يتضمن حدًا أحاديًا ثابتًا X ^α من الدرجة m . لأي مجموعة جزئية S من المتغيرات التي تظهر بأس غير صفري في الحد الأحادي، يوجد حد يتضمن حاصل ضرب X_{_S} لتلك المتغيرات كحد من e _{_s} ( X _₁ , ..., X_{_n} ) ، حيث s = #S ، والحد الأحادي X _^α / X _{_S} من h _{_m - s} ( X _₁ , ..., X_{_n} ) ؛ معامل هذا الحد هو (-1) ^s . وتنتج العلاقة من حقيقة أن

${\displaystyle \sum _{s=0}^{l}{\binom {l}{s}}(-1)^{s}=(1-1)^{l}=0\quad {\mbox{for }}l>0,}$

باستخدام صيغة ذات الحدين ، حيث يُمثل l < m عدد المتغيرات المختلفة التي تظهر (بأُس غير صفري) في Xα. بما أن e₀(X₁, ..., Xₙ) و h₀(X₁, ..., Xₙ) كلاهما ^يساوي 1 _، يُمكن عزل إما _الحد الأول أو _الأخير من المجموع _من العلاقة _. يُعطي الحد الأول _سلسلة من المعادلات:

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})&=e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\\h_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})&=h_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})-e_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\\h_{3}(X_{1},\ldots ,X_{n})&=h_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})-h_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})e_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})+e_{3}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\\\end{aligned}}}$

وهكذا، يسمح ذلك بالتعبير بشكل متكرر عن كثيرات الحدود المتناظرة المتجانسة الكاملة المتتالية بدلالة كثيرات الحدود المتناظرة الأولية؛ وهذا الأخير يعطي مجموعة من المعادلات

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})&=h_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\\e_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})&=h_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})-h_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\\e_{3}(X_{1},\ldots ,X_{n})&=h_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})e_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})-h_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})+h_{3}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\\\end{aligned}}}$

وهكذا، يسمح ذلك بفعل العكس. تلعب أول n من كثيرات الحدود المتجانسة المتناظرة الأولية والكاملة أدوارًا متشابهة تمامًا في هذه العلاقات، على الرغم من أن كثيرات الحدود الأولية تصبح صفرًا، بينما لا تصبح الأخيرة كذلك. يمكن فهم هذه الظاهرة في سياق حلقة الدوال المتناظرة . إذ تحتوي على تشاكل حلقي يبدل متواليات n من الدوال الأولية وأول n من الدوال المتجانسة المتناظرة الكاملة .

تُولّد مجموعة كثيرات الحدود المتناظرة المتجانسة الكاملة من الدرجة 1 إلى n في n متغيرًا حلقة كثيرات الحدود المتناظرة في n متغيرًا. وبشكل أكثر تحديدًا، فإن حلقة كثيرات الحدود المتناظرة ذات المعاملات الصحيحة تساوي حلقة كثيرات الحدود الصحيحة .

${\displaystyle \mathbb {Z} {\big [}h_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\ldots ,h_{n}(X_{1},\ldots ,X_{n}){\big ]}.}$

ويمكن صياغة ذلك بالقول إن

${\displaystyle h_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\ldots ,h_{n}(X_{1},\ldots ,X_{n})}$

تشكل أساسًا متساميًا لحلقة كثيرات الحدود المتناظرة في X ₁ ، ...، X _n ذات المعاملات الصحيحة (كما هو الحال أيضًا بالنسبة لكثيرات الحدود المتناظرة الأولية). وينطبق الشيء نفسه على الحلقة${\displaystyle \mathbb {Z} }$من الأعداد الصحيحة التي يتم استبدالها بأي حلقة تبديلية أخرى . وتنتج هذه العبارات من عبارات مماثلة لكثيرات الحدود المتناظرة الأولية، نظرًا لإمكانية التعبير عن أي نوع من كثيرات الحدود المتناظرة بدلالة النوع الآخر.

يرتبط تقييم كثيرات الحدود المتجانسة الكاملة وكثيرات الحدود المتناظرة الأولية عند الأعداد الصحيحة بأعداد ستيرلينغ :

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{n}(1,2,\ldots ,k)&=\left\{{\begin{matrix}n+k\\k\end{matrix}}\right\}\\e_{n}(1,2,\ldots ,k)&=\left[{k+1 \atop k+1-n}\right]\\\end{aligned}}}$

إن متعددة الحدود h _k ( X ₁ , ..., X _n ) هي أيضًا مجموع جميع متعددات الحدود المتناظرة أحادية الحد المتميزة من الدرجة k في X ₁ , ..., X _n ، على سبيل المثال

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{3}(X_{1},X_{2},X_{3})&=m_{(3)}(X_{1},X_{2},X_{3})+m_{(2,1)}(X_{1},X_{2},X_{3})+m_{(1,1,1)}(X_{1},X_{2},X_{3})\\&=\left(X_{1}^{3}+X_{2}^{3}+X_{3}^{3}\right)+\left(X_{1}^{2}X_{2}+X_{1}^{2}X_{3}+X_{1}X_{2}^{2}+X_{1}X_{3}^{2}+X_{2}^{2}X_{3}+X_{2}X_{3}^{2}\right)+(X_{1}X_{2}X_{3}).\\\end{aligned}}}$

تُعطي متطابقات نيوتن لكثيرات الحدود المتناظرة المتجانسة الصيغة التكرارية البسيطة

${\displaystyle kh_{k}=\sum _{i=1}^{k}h_{k-i}p_{i},}$

أين${\displaystyle h_{k}=h_{k}(X_{1},\dots ,X_{n})}$و p _k هي متعددة الحدود المتناظرة ذات مجموع القوى k : ${\displaystyle p_{k}(X_{1},\ldots ,X_{n})=\sum \nolimits _{i=1}^{n}x_{i}^{k}=X_{1}^{k}+\cdots +X_{n}^{k}}$كما سبق ذكره.

للصغار${\displaystyle k}$لدينا

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=p_{1},\\2h_{2}&=h_{1}p_{1}+p_{2},\\3h_{3}&=h_{2}p_{1}+h_{1}p_{2}+p_{3}.\\\end{aligned}}}$

لنفترض فضاءً متجهيًا V ذو n بُعد ومؤثرًا خطيًا M : V → V بقيم ذاتية X ₁ , X ₂ , ..., X _n . لنرمز بـ Sym ^k ( V ) إلى القوة الموترية المتناظرة k له ، و M ^{Sym( k )} إلى المؤثر المستحث Sym ^k ( V ) → Sym ^k ( V ) . 

اقتراح:

${\displaystyle \operatorname {Trace} _{\operatorname {Sym} ^{k}(V)}\left(M^{\operatorname {Sym} (k)}\right)=h_{k}(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}).}$

البرهان سهل: لنفترض أساسًا ذاتيًا eᵢ _{للمصفوفة} M. يمكن فهرسة الأساس في Symₖ ( V ₎ بواسطة المتتاليات i₁ _≤ i₂ _≤ ... ≤ iᵏ ، وبالفعل ، لننظر ^في تناظرات

${\displaystyle e_{i_{1}}\otimes \,e_{i_{2}}\otimes \ldots \otimes \,e_{i_{k}}}$.

جميع هذه المتجهات هي متجهات ذاتية لـ M ^{Sym( k )} ذات قيم ذاتية.

${\displaystyle X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{k}},}$

وبالتالي فإن هذه الفرضية صحيحة.

وبالمثل، يمكن التعبير عن كثيرات الحدود المتناظرة الأولية عبر آثار قوى الموتر المتناظرة عكسيًا . كلا التعبيرين مُضمنان في تعبيرات كثيرات حدود شور كآثار على دوال شور ، والتي يمكن اعتبارها صيغة ويل المميزة لـ GL( V ) .

إذا استبدلنا المتغيرات${\displaystyle X_{i}}$ل${\displaystyle 1+X_{i}}$، متعددة الحدود المتناظرة${\displaystyle h_{k}(1+X_{1},\ldots ,1+X_{n})}$ يمكن كتابتها كتركيبة خطية من${\displaystyle h_{j}(X_{1},\ldots ,X_{n})}$، ل${\displaystyle 0\leq j\leq k}$،

${\displaystyle h_{k}(1+X_{1},\ldots ,1+X_{n})=\sum _{j=0}^{k}{\binom {n+k-1}{k-j}}h_{j}(X_{1},\ldots ,X_{n}).}$

يعتمد البرهان ، كما ورد في اللمة 3.5 من المرجع ^{[ 1 ]} ، على الخصائص التوافقية للزيادة${\displaystyle k}$- مجموعات${\displaystyle (i_{1},\ldots ,i_{k})}$أين${\displaystyle 1\leq i_{1}\leq \cdots \leq i_{k}\leq n}$.