نظرية ذات الحدين

بالنسبة للقيم الموجبة لـ a و b ، تنص نظرية ذات الحدين مع n = 2 على حقيقة هندسية بديهية مفادها أنه يمكن تقسيم مربع طول ضلعه a + b إلى مربع طول ضلعه a ، ومربع طول ضلعه b ، ومستطيلين طول ضلعهما a و b . أما مع n = 3 ، فتنص النظرية على أنه يمكن تقسيم مكعب طول ضلعه a + b إلى مكعب طول ضلعه a ، ومكعب طول ضلعه b ، وثلاثة مستطيلات أبعادها a × a × b ، وثلاثة مستطيلات أبعادها a × b × b .

في حساب التفاضل والتكامل ، تقدم هذه الصورة أيضًا برهانًا هندسيًا للمشتقة${\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1}:}$^{[ 2 ]} إذا قام المرء بتعيين${\displaystyle a=x}$و${\displaystyle b=\Delta x,}$إذا فسرنا b على أنه تغيير متناهي الصغر في a ، فإن هذه الصورة توضح التغيير المتناهي الصغر في حجم مكعب فائق الأبعاد n .${\displaystyle (x+\Delta x)^{n},}$حيث معامل الحد الخطي (في${\displaystyle \Delta x}$) يكون${\displaystyle nx^{n-1},}$مساحة الأوجه n ، كل منها ذو بُعد n − 1 : $${\displaystyle (x+\Delta x)^{n}=x^{n}+nx^{n-1}\Delta x+{\binom {n}{2}}x^{n-2}(\Delta x)^{2}+\cdots .}$$ بإدخال هذا في تعريف المشتقة عبر حاصل قسمة الفرق وأخذ النهايات، فإن الحدود ذات الرتبة الأعلى،${\displaystyle (\Delta x)^{2}}$وتصبح القيم الأعلى منها ضئيلة، مما ينتج عنه الصيغة${\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1},}$يُفسَّر ذلك على أنه "معدل التغير المتناهي الصغر في حجم مكعب ذي n بُعدًا مع تغير طول ضلعه يساوي مساحة n من أوجهه ذات ( n - 1) بُعدًا". إذا تم تكامل هذه الصورة، وهو ما يتوافق مع تطبيق النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل ، فسيتم الحصول على صيغة كافالييري التربيعية ، وهي التكامل${\displaystyle \textstyle {\int x^{n-1}\,dx={\tfrac {1}{n}}x^{n}}}$– انظر برهان صيغة كافالييري التربيعية لمزيد من التفاصيل. ^{[ 2 ]}

معامل x ^{n − k} y ^k يُعطى بالصيغة $${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\;(n-k)!}},}$$ والتي تُعرَّف بدلالة دالة المضروب n !. وبصورة مكافئة، يمكن كتابة هذه الصيغة على النحو التالي:$${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)\cdots 1}}=\prod _{\ell =1}^{k}{\frac {n-\ell +1}{\ell }}=\prod _{\ell =0}^{k-1}{\frac {n-\ell }{k-\ell }}}$$ مع وجود k عامل في كل من بسط ومقام الكسر . على الرغم من أن هذه الصيغة تتضمن كسرًا، فإن معامل ذات الحدين${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$هو في الواقع عدد صحيح .

معامل ذي الحدين${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$يمكن تفسير ذلك على أنه عدد طرق اختيار k عنصرًا من مجموعة مكونة من n عنصرًا ( مجموعة ). ويرتبط هذا بالثنائيات للسبب التالي: إذا كتبنا ( x + y ) n كحاصل ضرب$${\displaystyle (x+y)(x+y)(x+y)\cdots (x+y),}$$ وبناءً على قانون التوزيع ، سيكون هناك حد واحد في مفكوك المعادلة لكل اختيار لـ x أو y من كل ثنائي حد في حاصل الضرب. على سبيل المثال، سيكون هناك حد واحد فقط x n ، يُقابل اختيار x من كل ثنائي حد. مع ذلك، ستكون هناك عدة حدود من الشكل x n  - 2y 2 ، حد لكل طريقة لاختيار ثنائيي حد فقط للمساهمة بـ y . بالتالي، بعد جمع الحدود المتشابهة ، سيكون معامل x n  - 2y 2 مساويًا لعدد طرق اختيار عنصرين فقط من مجموعة مكونة من n عنصرًا.

بفكّ ( x + y ) ^{ⁿ نحصل على} مجموع 2ⁿ من نواتج ^الضرب _على الصورة e₁e₂ ... _{eₙ ،} حيث eᵢ _هو إما x أو y . بإعادة ترتيب العوامل ، يتضح أن كل ناتج ضرب يساوي xⁿ - ^{k yᵏ} لبعض قيم k بين 0 و n . بالنسبة لقيمة معينة لـ ^k ، يتم إثبات تساوي ما يلي بالتتابع:  

• عدد الحدود التي تساوي x ^{n − k} y ^k في المفكوك
• عدد السلاسل المكونة من n حرفًا x و y والتي تحتوي على y في k موضعًا بالضبط
• عدد المجموعات الجزئية المكونة من k عنصر من {1، 2، ...، n }
• ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}},}$إما عن طريق التعريف، أو عن طريق حجة تركيبية قصيرة إذا كان المرء يُعرّف${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$مثل${\displaystyle {\tfrac {n!}{k!(n-k)!}}.}$

وهذا يثبت نظرية ذات الحدين.

يُقدّم الاستقراء برهانًا آخر لنظرية ذات الحدين. عندما n = 0 ، يكون كلا الطرفين مساويًا لـ 1 ، لأن x₀ = 1 و${\displaystyle {\tbinom {0}{0}}=1.}$لنفترض الآن أن المساواة صحيحة لقيمة معينة لـ n ؛ سنثبتها لـ n + 1. بالنسبة لـ j ، k ≥ 0 ، ليكن [ f ( x , y )]  j , k  معامل x j y k في كثيرة الحدود f ( x , y ) . وفقًا لفرضية الاستقراء، فإن ( x + y )  n  كثيرة حدود في x و y بحيث يكون [( x + y ) n ]  j , k ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$إذا كان j + k = n ، و 0 فيما عدا ذلك. المتطابقة $${\displaystyle (x+y)^{n+1}=x(x+y)^{n}+y(x+y)^{n}}$$ يُظهر ذلك أن ( x + y ) n + 1 هي أيضًا كثيرة حدود في x و y ، و $${\displaystyle [(x+y)^{n+1}]_{j,k}=[(x+y)^{n}]_{j-1,k}+[(x+y)^{n}]_{j,k-1},}$$ بما أنه إذا كان j + k = n + 1 ، فإن ( j − 1) + k = n و j + ( k − 1) = n . الآن، الطرف الأيمن هو $${\displaystyle {\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}={\binom {n+1}{k}},}$$ باستخدام متطابقة باسكال . [ 3 ] من جهة أخرى، إذا كان j + k ≠ n + 1 ، فإن ( j – 1) + k ≠ n و j + ( k – 1) ≠ n ، وبالتالي نحصل على 0 + 0 = 0 . $${\displaystyle (x+y)^{n+1}=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}x^{n+1-k}y^{k},}$$ وهي الفرضية الاستقرائية مع استبدال n بـ n + 1، وبالتالي تكتمل الخطوة الاستقرائية.

تتعلق نظرية ذات الحدين القياسية، كما نوقش أعلاه، بـ${\displaystyle (x+y)^{n}}$حيث الأس${\displaystyle n}$هو عدد صحيح غير سالب. تسمح نظرية ذات الحدين المعممة بأسس غير صحيحة أو سالبة أو حتى مركبة ، على حساب استبدال المجموع المحدود بمتسلسلة لانهائية .

للقيام بذلك، يجب إعطاء معنى لمعاملات ذات الحدين ذات دليل علوي اختياري، وهو ما لا يمكن فعله باستخدام الصيغة المعتادة مع المضروب. ومع ذلك، بالنسبة لعدد اختياري r ، يمكن تعريف $${\displaystyle {\binom {r}{k}}={\frac {r(r-1)\cdots (r-k+1)}{k!}}={\frac {r^{\underline {k}}}{k!}},}$$ حيث تُقدّم المعادلة الأخيرة ترميزًا حديثًا للمضروب التنازلي . ويتوافق هذا مع التعريفات المعتادة عندما يكون r عددًا صحيحًا غير سالب. عندئذٍ، إذا كان x و y عددين حقيقيين حيث | x | > | y | ، ^{[ ملاحظة 2 ]} وكان r أي عدد مركب، فإنه يكون لدينا $${\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{r}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {r}{k}}x^{r-k}y^{k}\\&=x^{r}+rx^{r-1}y+{\frac {r(r-1)}{2!}}x^{r-2}y^{2}+{\frac {r(r-1)(r-2)}{3!}}x^{r-3}y^{3}+\cdots .\end{aligned}}}$$

عندما يكون r عددًا صحيحًا غير سالب، فإن معاملات ذات الحدين لـ k > r تساوي صفرًا، وبالتالي تُختزل هذه المعادلة إلى نظرية ذات الحدين المعتادة، ويكون عدد الحدود غير الصفرية على الأكثر r + 1. أما بالنسبة لقيم r الأخرى ، فإن المتسلسلة تحتوي على عدد لا نهائي من الحدود غير الصفرية.

على سبيل المثال، r = 1/2 يعطي السلسلة التالية للجذر التربيعي: $${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+{\frac {7}{256}}x^{5}-\cdots .}$$

عندما تكون قيمة r = − 1 ، تصبح متسلسلة ذات الحدين المعممة كما يلي: $${\displaystyle (1+x)^{-1}={\frac {1}{1+x}}=1-x+x^{2}-x^{3}+x^{4}-x^{5}+\cdots .}$$وهي صيغة مجموع المتسلسلة الهندسية للحالة المتقاربة | x | < 1 ، والتي نسبتها المشتركة هي − x .

وبشكل أكثر عمومية، مع r = − s ، لدينا لـ | x | < 1 : ^{[ 4 ]}$${\displaystyle {\frac {1}{(1+x)^{s}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {-s}{k}}x^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {s+k-1}{k}}(-1)^{k}x^{k}.}$$

فعلى سبيل المثال، عندما تكون قيمة s تساوي 1/2 ، $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+x}}}=1-{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}-{\frac {5}{16}}x^{3}+{\frac {35}{128}}x^{4}-{\frac {63}{256}}x^{5}+\cdots .}$$

استبدال x بـ -x ينتج عنه: $${\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{s}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {s+k-1}{k}}(-1)^{k}(-x)^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {s+k-1}{k}}x^{k}.}$$

فعلى سبيل المثال، عندما تكون قيمة s تساوي 1/2 ، يكون لدينا بالنسبة لـ | x | < 1 : $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x}}}=1+{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}+{\frac {5}{16}}x^{3}+{\frac {35}{128}}x^{4}+{\frac {63}{256}}x^{5}+\cdots .}$$

يمكن تعميم نظرية ذات الحدين لتشمل حالة كون x و y عددين مركبين. في هذه الحالة، يُفترض مجددًا أن | x | > | y | ^{[ ملاحظة 2 ]} ، وتُعرَّف قوى x + y و x باستخدام فرع تحليلي للوغاريتم مُعرَّف على قرص مفتوح نصف قطره | x | ومركزه x . تُطبَّق نظرية ذات الحدين المعممة أيضًا على عنصري x و y في جبر باناخ طالما أن xy = yx ، و x قابل للعكس، و ‖y / x‖ < 1 .

تُعتبر صيغة من مبرهنة ذات الحدين صالحة لعائلة كثيرات الحدود التالية الشبيهة برمز بوخامر : بالنسبة لثابت حقيقي معطى c ، نُعرّف${\displaystyle x^{(0)}=1}$و $${\displaystyle x^{(n)}=\prod _{k=1}^{n}[x+(k-1)c]}$$ ل${\displaystyle n>0.}$ثم ^{[ 5 ]}$${\displaystyle (a+b)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{(n-k)}b^{(k)}.}$$ الحالة c = 0 تعيد تطبيق نظرية ذات الحدين المعتادة.

وبشكل أعم، تسلسل${\displaystyle \{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$يُقال إن كثير الحدود من النوع ذي الحدين إذا

• ${\displaystyle \deg p_{n}=n}$للجميع${\displaystyle n}$،
• ${\displaystyle p_{0}(0)=1}$، و
• ${\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p_{k}(x)p_{n-k}(y)}$للجميع${\displaystyle x}$،${\displaystyle y}$، و${\displaystyle n}$.

مشغل${\displaystyle Q}$يُقال إن المؤثر الأساسي للمتتالية يقع على فضاء كثيرات الحدود${\displaystyle \{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$لو${\displaystyle Qp_{0}=0}$و${\displaystyle Qp_{n}=np_{n-1}}$للجميع${\displaystyle n\geqslant 1}$تسلسل${\displaystyle \{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$تكون ذات حدين إذا وفقط إذا كان عامل أساسها عامل دلتا . ^{[ 6 ]} كتابة${\displaystyle E^{a}}$للتحول بواسطة${\displaystyle a}$إن عوامل دلتا المقابلة لعائلات كثيرات الحدود "بوشامر" المذكورة أعلاه هي الفرق العكسي${\displaystyle I-E^{-c}}$ل${\displaystyle c>0}$، المشتق العادي لـ${\displaystyle c=0}$والفرق الأمامي${\displaystyle E^{-c}-I}$ل${\displaystyle c<0}$.

يمكن تعميم نظرية ذات الحدين لتشمل قوى المجاميع التي تحتوي على أكثر من حدين. الصيغة العامة هي

$${\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}},}$$

حيث يتم الجمع على جميع متواليات المؤشرات الصحيحة غير السالبة k من ₁ إلى m بحيث _يكون مجموع جميع k _i يساوي n . (بالنسبة لكل حد في المفكوك، يجب أن يكون مجموع الأسس مساويًا لـ n ). المعاملات  ${\displaystyle {\tbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}}$تُعرف هذه المعاملات باسم معاملات متعددة الحدود، ويمكن حسابها باستخدام الصيغة التالية: $${\displaystyle {\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}={\frac {n!}{k_{1}!\cdot k_{2}!\cdots k_{m}!}}.}$$

من الناحية التوافقية، معامل متعدد الحدود${\displaystyle {\tbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}}$يحسب عدد الطرق المختلفة لتقسيم مجموعة مكونة من n عنصر إلى مجموعات فرعية منفصلة بأحجام k ₁ ، ... ، k _m .

عند العمل في أبعاد متعددة، يكون من المفيد غالبًا التعامل مع نواتج التعبيرات ذات الحدين. وبحسب نظرية ذات الحدين، فإن هذا يساوي $${\displaystyle (x_{1}+y_{1})^{n_{1}}\dotsm (x_{d}+y_{d})^{n_{d}}=\sum _{k_{1}=0}^{n_{1}}\dotsm \sum _{k_{d}=0}^{n_{d}}{\binom {n_{1}}{k_{1}}}x_{1}^{k_{1}}y_{1}^{n_{1}-k_{1}}\dotsc {\binom {n_{d}}{k_{d}}}x_{d}^{k_{d}}y_{d}^{n_{d}-k_{d}}.}$$

يمكن كتابة ذلك بشكل أكثر إيجازًا، باستخدام تدوين متعدد المؤشرات ، كما يلي: $${\displaystyle (x+y)^{\alpha }=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}x^{\nu }y^{\alpha -\nu }.}$$

تعطي قاعدة لايبنيز العامة المشتقة النونية لحاصل ضرب دالتين في شكل مشابه لشكل نظرية ذات الحدين: ^{[ 7 ]}$${\displaystyle (fg)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x).}$$

هنا، يشير الرمز العلوي ( n ) إلى المشتقة النونية للدالة،${\displaystyle f^{(n)}(x)={\tfrac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)}$إذا وضعنا f ( x ) = eax و g ( x ) = ebx ^{، فإن} حذف العامل المشترك e ^{( a + b ) x} من كل حد يعطينا نظرية ذات الحدين العادية. ^{[ 8 ]}

بالنسبة للأعداد المركبة، يمكن دمج نظرية ذات الحدين مع صيغة دي موافر للحصول على صيغ متعددة الزوايا للجيب وجيب التمام . وفقًا لصيغة دي موافر، $${\displaystyle \cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right)=\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}.}$$

باستخدام نظرية ذات الحدين، يمكن توسيع التعبير الموجود على اليمين، ثم يمكن أخذ الأجزاء الحقيقية والخيالية للحصول على صيغ لـ cos( nx ) و sin( nx ) . على سبيل المثال، بما أن $${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{2}=\cos ^{2}x+2i\cos x\sin x-\sin ^{2}x=(\cos ^{2}x-\sin ^{2}x)+i(2\cos x\sin x),}$$ لكن صيغة دي موافر تحدد الجانب الأيسر بـ${\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{2}=\cos(2x)+i\sin(2x)}$، لذا $${\displaystyle \cos(2x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x\quad {\text{and}}\quad \sin(2x)=2\cos x\sin x,}$$ وهي متطابقات الزاوية المزدوجة المعتادة. وبالمثل، بما أن $${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{3}=\cos ^{3}x+3i\cos ^{2}x\sin x-3\cos x\sin ^{2}x-i\sin ^{3}x,}$$ تُعطي صيغة دي مويفر $${\displaystyle \cos(3x)=\cos ^{3}x-3\cos x\sin ^{2}x\quad {\text{and}}\quad \sin(3x)=3\cos ^{2}x\sin x-\sin ^{3}x.}$$ على العموم، $${\displaystyle \cos(nx)=\sum _{k{\text{ even}}}(-1)^{k/2}{\binom {n}{k}}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x}$$ و $${\displaystyle \sin(nx)=\sum _{k{\text{ odd}}}(-1)^{(k-1)/2}{\binom {n}{k}}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x.}$$توجد أيضًا صيغ مماثلة تستخدم كثيرات حدود تشيبيشيف .

يُعرَّف العدد e غالبًا بالصيغة التالية :$${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}$$

بتطبيق نظرية ذات الحدين على هذا التعبير، نحصل على المتسلسلة اللانهائية المعتادة لـ e . على وجه الخصوص: $${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=1+{\binom {n}{1}}{\frac {1}{n}}+{\binom {n}{2}}{\frac {1}{n^{2}}}+{\binom {n}{3}}{\frac {1}{n^{3}}}+\cdots +{\binom {n}{n}}{\frac {1}{n^{n}}}.}$$

الحد رقم k من هذا المجموع هو $${\displaystyle {\binom {n}{k}}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}\cdot {\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^{k}}}}$$

عندما n → ∞ ، فإن التعبير النسبي على اليمين يقترب من 1 ، وبالتالي $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\binom {n}{k}}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}.}$$

وهذا يشير إلى أنه يمكن كتابة العدد e على شكل متسلسلة:$${\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+\cdots .}$$

في الواقع، بما أن كل حد من حدود مفكوك ذات الحدين هو دالة متزايدة لـ n ، فإنه يتبع من نظرية التقارب الرتيب للمتسلسلات أن مجموع هذه المتسلسلة اللانهائية يساوي e . 

ترتبط نظرية ذات الحدين ارتباطًا وثيقًا بدالة الكتلة الاحتمالية لتوزيع ذات الحدين السالب . احتمال مجموعة (قابلة للعد) من تجارب برنولي المستقلة${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in S}}$مع احتمال النجاح${\displaystyle p\in [0,1]}$كل ما لم يحدث هو $${\displaystyle P{\biggl (}\bigcap _{t\in S}X_{t}^{C}{\biggr )}=(1-p)^{|S|}=\sum _{n=0}^{|S|}{\binom {|S|}{n}}(-p)^{n}.}$$ الحد الأعلى لهذه الكمية هو${\displaystyle e^{-p|S|}.}$^{[ 32 ]}