كثير الحدود المتناظر

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 27 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تُعرف كثيرة الحدود المتناظرة بأنها كثيرة حدود P ( X₁ , X₂ , ... , Xₙ ) في n متغيرًا، بحيث إذا تم تبديل أي من المتغيرات، نحصل على نفس كثيرة الحدود. وبصورة رسمية، تكون P كثيرة حدود متناظرة إذا كان لأي تبديل σ للمؤشرات السفلية 1، 2، ...، n ، يكون P ( Xσ (1) , Xσ (2) , ... , Xσ ( n ) )  = P ( X₁ , X₂ , ... , Xₙ )  .

تنشأ كثيرات الحدود المتناظرة بشكل طبيعي عند دراسة العلاقة بين جذور كثيرة الحدود في متغير واحد ومعاملاتها ، إذ يمكن التعبير عن المعاملات بتعبيرات كثيرة الحدود بدلالة الجذور، وتؤدي جميع الجذور دورًا مشابهًا في هذا السياق. من هذا المنطلق، تُعدّ كثيرات الحدود المتناظرة الأولية أكثر أنواع كثيرات الحدود المتناظرة جوهرية. في الواقع، تنص نظرية تُعرف باسم النظرية الأساسية لكثيرات الحدود المتناظرة على أنه يمكن التعبير عن أي كثيرة حدود متناظرة بدلالة كثيرات حدود متناظرة أولية. وهذا يعني أن أي تعبير لكثيرة حدود متناظرة بدلالة جذور كثيرة حدود أحادية المعامل يمكن التعبير عنه أيضًا بتعبير لكثيرة حدود بدلالة معاملات كثيرة الحدود.

تُشكّل كثيرات الحدود المتناظرة بنيةً مثيرةً للاهتمام بحد ذاتها، بغض النظر عن أي علاقة بجذور كثيرة الحدود. وفي هذا السياق، تلعب مجموعات أخرى من كثيرات الحدود المتناظرة المحددة، مثل كثيرات الحدود المتجانسة الكاملة ، ومجموع القوى ، وشور ، أدوارًا مهمة إلى جانب كثيرات الحدود الأولية. وتُعدّ البنى الناتجة، ولا سيما حلقة الدوال المتناظرة ، ذات أهمية بالغة في التوافقية ونظرية التمثيل .

أمثلة

كثيرات الحدود التالية في متغيرين X1 و X2 متناظرة:

X13+X23-7{\displaystyle X_{1}^{3}+X_{2}^{3}-7}
4X12X22+X13X2+X1X23+(X1+X2)4{\displaystyle 4X_{1}^{2}X_{2}^{2}+X_{1}^{3}X_{2}+X_{1}X_{2}^{3}+(X_{1}+X_{2})^{4}}

وكذلك متعددة الحدود التالية في ثلاثة متغيرات X 1 و X 2 و X 3 :

X1X2X3-2X1X2-2X1X3-2X2X3{\displaystyle X_{1}X_{2}X_{3}-2X_{1}X_{2}-2X_{1}X_{3}-2X_{2}X_{3}}

توجد طرق عديدة لإنشاء كثيرات حدود متناظرة محددة في أي عدد من المتغيرات (انظر الأنواع المختلفة أدناه). مثال على نوع مختلف نوعًا ما هو

∏1≤أنا<ج≤ن(Xأنا-Xج)2{\displaystyle \prod _{1\leq i<j\leq n}(X_{i}-X_{j})^{2}}

حيث يتم أولاً إنشاء متعددة حدود تغير إشارتها تحت كل تبادل للمتغيرات، وأخذ المربع يجعلها متناظرة تمامًا (إذا كانت المتغيرات تمثل جذور متعددة حدود أحادية، فإن متعددة الحدود هذه تعطي مميزها ).

من ناحية أخرى، متعددة الحدود في متغيرين

X1-X2{\displaystyle X_{1}-X_{2}}

ليست متناظرة، لأنه إذا قام المرء بالتبديلX1{\displaystyle X_{1}}وX2{\displaystyle X_{2}}يحصل المرء على متعددة حدود مختلفة،X2-X1{\displaystyle X_{2}-X_{1}}وبالمثل في ثلاثة متغيرات

X14X22X3+X1X24X32+X12X2X34{\displaystyle X_{1}^{4}X_{2}^{2}X_{3}+X_{1}X_{2}^{4}X_{3}^{2}+X_{1}^{2}X_{2}X_{3}^{4}}

لا تتمتع هذه الدالة بالتناظر إلا تحت التبديلات الدورية للمتغيرات الثلاثة، وهذا لا يكفي لتكون متعددة حدود متناظرة. مع ذلك، فإن ما يلي متناظر:

X14X22X3+X1X24X32+X12X2X34+X14X2X32+X1X22X34+X12X24X3{\displaystyle X_{1}^{4}X_{2}^{2}X_{3}+X_{1}X_{2}^{4}X_{3}^{2}+X_{1}^{2}X_{2}X_{3}^{4}+X_{1}^{4}X_{2}X_{3}^{2}+X_{1}X_{2}^{2}X_{3}^{4}+X_{1}^{2}X_{2}^{4}X_{3}}

التطبيقات

نظرية غالوا

يظهر مفهوم الدوال متعددة الحدود المتناظرة في سياق دراسة كثيرات الحدود أحادية المتغير من الدرجة n التي لها n جذرًا في حقل معين . تحدد هذه الجذور n متعددة الحدود، وعند اعتبارها متغيرات مستقلة، تكون معاملات متعددة الحدود دوالًا متعددة الحدود متناظرة للجذور. علاوة على ذلك، تنص النظرية الأساسية لكثيرات الحدود المتناظرة على أنه يمكن التعبير عن دالة متعددة الحدود f للجذور n كدالة متعددة الحدود (أخرى) لمعاملات متعددة الحدود المحددة بالجذور، وذلك فقط إذا كانت f معطاة بواسطة متعددة حدود متناظرة.

يُتيح هذا النهج حل المعادلات متعددة الحدود عن طريق عكس هذه الخريطة، مما "يكسر" التناظر - فإذا عُلمت معاملات متعددة الحدود ( متعددات الحدود المتناظرة الأولية في الجذور)، فكيف يمكن استعادة الجذور؟ يقود هذا إلى دراسة حلول متعددات الحدود باستخدام مجموعة تبديل الجذور، والتي كانت في الأصل على شكل مُحَلِّلات لاغرانج ، والتي طُوِّرت لاحقًا في نظرية غالوا .

العلاقة بجذور متعددة الحدود أحادية المتغير

لنفترض متعددة حدود أحادية في t من الدرجة n

P=تن+أن-1تن-1+⋯+أ2ت2+أ1ت+أ0{\displaystyle P=t^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+\cdots +a_{2}t^{2}+a_{1}t+a_{0}}

بمعاملات aᵢ في حقل ما K. توجد n جذرًا x₁ , ..., xₙ للمعادلة P في حقل ما قد يكون أكبر (على سبيل المثال، إذا كان K هو حقل الأعداد الحقيقية ، فستوجد الجذور في حقل الأعداد المركبة )؛ قد تكون بعض الجذور متساوية، ولكن حقيقة وجود جميع الجذور تُعبَّر عنها بالعلاقة التالية: 

P=تن+أن-1تن-1+⋯+أ2ت2+أ1ت+أ0=(ت-x1)(ت-x2)⋯(ت-xن).{\displaystyle P=t^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+\cdots +a_{2}t^{2}+a_{1}t+a_{0}=(t-x_{1})(t-x_{2})\cdots (t-x_{n}).}

بمقارنة المعاملات، نجد أن

أن-1=-x1-x2-⋯-xنأن-2=x1x2+x1x3+⋯+x2x3+⋯+xن-1xن=∑1≤أنا<ج≤نxأناxج ⋮أ1=(-1)ن-1(x2x3⋯xن+x1x3x4⋯xن+⋯+x1x2⋯xن-2xن+x1x2⋯xن-1)=(-1)ن-1∑أنا=1ن∏ج≠أناxجأ0=(-1)نx1x2⋯xن.\begin{aligned}a_{n-1}=-x_{1}-x_{2}-\cdots -x_{n}\\a_{n-2}=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{2}x_{3}+\cdots +x_{n-1}x_{n}=\textstyle \sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}\\&{}\ \,\vdots \\a_{1}=(-1)^{n-1}(x_{2}x_{3}\cdots x_{n}+x_{1}x_{3}x_{4}\cdots x_{n}+\cdots +x_{1}x_{2}\cdots (x_{n-2}x_{n}+x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1})=\textstyle (-1)^{n-1}\sum _{i=1}^{n}\prod _{j\neq i}x_{j}\\a_{0}&=(-1)^{n}x_{1}x_{2}\cdots x_{n}.\end{aligned}}}

هذه في الواقع مجرد أمثلة على صيغ فييتا . وهي تُظهر أن جميع معاملات متعددة الحدود تُعطى بدلالة الجذور بواسطة تعبير متعدد الحدود متناظر : على الرغم من أنه بالنسبة لمتعددة حدود معينة P، قد تكون هناك اختلافات نوعية بين الجذور (مثل كونها تقع في الحقل الأساسي K أو لا، أو كونها جذورًا بسيطة أو متعددة)، فإن أيًا من هذا لا يؤثر على طريقة ظهور الجذور في هذه التعبيرات. 

يمكن الآن تغيير وجهة النظر، باعتبار الجذور، بدلاً من المعاملات، معايير أساسية لوصف P ، واعتبارها متغيرات غير محددة بدلاً من ثوابت في حقل مناسب؛ فتصبح المعاملات aᵢ حينها مجرد كثيرات حدود متناظرة محددة معطاة بالمعادلات السابقة. هذه كثيرات الحدود، بدون الإشارة(-1)ن-أنا{\displaystyle (-1)^{ni}}تُعرف هذه الدوال باسم كثيرات الحدود المتناظرة الأولية في x₁ , ..., xₙ . تنص حقيقة أساسية، تُعرف باسم النظرية الأساسية لكثيرات الحدود المتناظرة ، على أنه يمكن التعبير عن أي كثيرة حدود متناظرة في n متغيرًا بتعبير كثير حدود بدلالة هذه كثيرات الحدود المتناظرة الأولية. ويترتب على ذلك أن أي تعبير كثير حدود متناظر في جذور كثيرة حدود أحادية يمكن التعبير عنه ككثير حدود بدلالة معاملات كثيرة الحدود، وبالتحديد أن قيمته تقع في الحقل الأساسي K الذي يحتوي على تلك المعاملات. وبالتالي، عند التعامل فقط مع تعبيرات كثيرات الحدود المتناظرة هذه في الجذور، لا داعي لمعرفة أي شيء محدد عن تلك الجذور، أو إجراء حسابات في أي حقل أكبر من K قد تقع فيه تلك الجذور. في الواقع، تصبح قيم الجذور نفسها غير ذات صلة، ويمكن إيجاد العلاقات الضرورية بين المعاملات وتعبيرات كثيرات الحدود المتناظرة من خلال حسابات بدلالة كثيرات الحدود المتناظرة فقط. ومن الأمثلة على هذه العلاقات متطابقات نيوتن ، التي تعبر عن مجموع أي قوة ثابتة للجذور بدلالة كثيرات الحدود المتناظرة الأولية.

أنواع خاصة من كثيرات الحدود المتناظرة

هناك أنواع قليلة من كثيرات الحدود المتناظرة في المتغيرات X 1 ، X 2 ، ... ، X n التي تعتبر أساسية.

كثيرات الحدود المتناظرة الأولية

لكل عدد صحيح غير سالب k ، فإن متعددة الحدود المتناظرة الأولية e <sub>k</sub> ( X <sub>1</sub> , ..., X<sub> n</sub> ) هي مجموع جميع نواتج الضرب المختلفة لـ k متغيرات مختلفة. (يرمز لها بعض المؤلفين بالرمز σ<sub> k </sub> بدلاً من ذلك). عندما k  =  0، لا يوجد سوى ناتج الضرب الفارغ، لذا e <sub>0</sub> ( X <sub>1 </sub> , ..., X <sub>n </sub> )  =  1، بينما عندما k > n ، لا يمكن تكوين أي نواتج ضرب على الإطلاق، لذا e <sub>k</sub> ( X <sub>1</sub> , X <sub>2</sub> , ..., X<sub> n</sub> ) = 0 في هذه الحالات. أما متعددات الحدود المتناظرة الأولية المتبقية n فهي لبنات بناء لجميع متعددات الحدود المتناظرة في هذه المتغيرات: كما ذُكر أعلاه، يمكن الحصول على أي متعددة حدود متناظرة في المتغيرات المدروسة من متعددات الحدود المتناظرة الأولية هذه باستخدام عمليتي الضرب والجمع فقط. في الواقع، لدينا الحقائق التالية الأكثر تفصيلاً:    

  • يمكن كتابة أي متعدد حدود متماثل P في X 1 ، ... ، X n كتعبير متعدد الحدود في متعددات الحدود e k ( X 1 ، ... ، X n ) مع 1  ≤ k ≤ n ؛   
  • هذا التعبير فريد من نوعه حتى تكافؤ التعبيرات متعددة الحدود؛
  • إذا كانت P لها معاملات صحيحة ، فإن التعبير متعدد الحدود له أيضًا معاملات صحيحة.

على سبيل المثال، عندما يكون n = 2 ، فإن كثيرات الحدود المتناظرة الأولية ذات الصلة هي e₁ ( X₁ , X₂ ) = X₁ + X₂ ، و e₂ ( X₁ , X₂ ) = X₁ + X₂ . ويمكن كتابة كثيرة الحدود الأولى في قائمة الأمثلة أعلاه على النحو التالي :

X13+X23-7=هـ1(X1،X2)3-3هـ2(X1،X2)هـ1(X1،X2)-7{\displaystyle X_{1}^{3}+X_{2}^{3}-7=e_{1}(X_{1},X_{2})^{3}-3e_{2}(X_{1},X_{2})e_{1}(X_{1},X_{2})-7}

(للحصول على دليل على أن هذا ممكن دائمًا، انظر النظرية الأساسية لكثيرات الحدود المتناظرة ).

كثيرات الحدود المتناظرة أحادية الحد

تؤدي قوى وحاصل ضرب كثيرات الحدود المتناظرة الأولية إلى تعابير معقدة نوعًا ما. إذا أردنا البحث عن لبنات بناء جمعية أساسية لكثيرات الحدود المتناظرة ، فإن الخيار الأنسب هو اختيار تلك كثيرات الحدود المتناظرة التي تحتوي على نوع واحد فقط من أحاديات الحدود ، مع الاكتفاء بالنسخ اللازمة لتحقيق التناظر. يمكن كتابة أي أحادية حد في X₁, ..., Xₙ على الصورة X₁α₁ , ... , Xₙαₙ ، حيث الأسس αᵢ أعداد طبيعية ( قد تكون صفرًا )؛ وكتابة αᵢ = (α₁ , ..., αₙ ) يمكن اختصارها إلى Xαᵢ . تُعرَّف كثيرة الحدود المتناظرة أحادية الحد mα ( X₁ , ..., Xₙ ) على أنها مجموع جميع أحاديات الحدود xβ، حيث β تشمل جميع التباديل المختلفة لـ ( α₁ , ..., αₙ ) . على سبيل المثال ، لدينا  

م(3،1،1)(X1،X2،X3)=X13X2X3+X1X23X3+X1X2X33{\displaystyle m_{(3,1,1)}(X_{1},X_{2},X_{3})=X_{1}^{3}X_{2}X_{3}+X_{1}X_{2}^{3}X_{3}+X_{1}X_{2}X_{3}^{3}}،
م(3،2،1)(X1،X2،X3)=X13X22X3+X13X2X32+X12X23X3+X12X2X33+X1X23X32+X1X22X33.{\displaystyle m_{(3,2,1)}(X_{1},X_{2},X_{3})=X_{1}^{3}X_{2}^{2}X_{3}+X_{1}^{3}X_{2}X_{3}^{2}+X_{1}^{2}X_{2}^{3}X_{3}+X_{1}^{2}X_{3}^{3}+X_{1}X_{2}^{3}X_{3}^{2}+X_{1}X_{2}^{2}X_{3}^{3}.}

من الواضح أن mα = mβ عندما يكون β تبديلاً لـ α، لذا يُنظر عادةً فقط في قيم mα التي تحقق الشرط α₁ ≥ α₂ ≥ ... ≥ αₙ ، أي التي يكون فيها α تجزئة لعدد صحيح . تُشكل هذه كثيرات الحدود المتناظرة أحادية الحد أساسًا للفضاء المتجهي : يمكن كتابة كل كثيرة حدود متناظرة P كتركيبة خطية من كثيرات الحدود المتناظرة أحادية الحد. وللقيام بذلك ، يكفي فصل أنواع أحاديات الحدود المختلفة التي تظهر في P. على وجه الخصوص، إذا كانت معاملات P صحيحة، فإن التركيبة الخطية ستكون كذلك أيضًا.        

تُعدّ كثيرات الحدود المتناظرة الأولية حالات خاصة من كثيرات الحدود المتناظرة أحادية الحد: بالنسبة لـ 0  ≤ k ≤ n، يكون لدينا   

هـك(X1،...،Xن)=مα(X1،...،Xن){\displaystyle e_{k}(X_{1},\ldots ,X_{n})=m_{\alpha }(X_{1},\ldots ,X_{n})}حيث α هو تقسيم k إلى k أجزاء  1 (متبوعًا بـ n  − k أصفار). 

كثيرات الحدود المتناظرة لمجموع القوى

لكل عدد صحيح k  ≥  1، فإن متعددة الحدود المتناظرة أحادية الحد m ( k ,0,...,0) ( X 1 , ..., X n ) لها أهمية خاصة. وهي متعددة الحدود المتناظرة لمجموع القوى، ومعرفتها كالتالي:

صك(X1،...،Xن)=X1ك+X2ك+⋯+Xنك.{\displaystyle p_{k}(X_{1},\ldots ,X_{n})=X_{1}^{k}+X_{2}^{k}+\cdots +X_{n}^{k}.}

يمكن الحصول على جميع كثيرات الحدود المتناظرة من أول n من كثيرات الحدود المتناظرة عن طريق الجمع والضرب، وقد تتضمن معاملات نسبية . بتعبير أدق،

يمكن التعبير عن أي متعدد حدود متماثل في X 1 ، ... ، X n كتعبير متعدد الحدود بمعاملات نسبية في مجموع القوى متعددات الحدود المتماثلة p 1 ( X 1 ، ... ، X n )، ... ، p n ( X 1 ، ... ، X n ).

على وجه الخصوص، يمكن التعبير عن كثيرات الحدود المتبقية لمجموع القوى p k ( X 1 , ..., X n ) لـ k > n بدلالة كثيرات الحدود الأولى n لمجموع القوى؛ على سبيل المثال  

ص3(X1،X2)=32ص2(X1،X2)ص1(X1،X2)-12ص1(X1،X2)3.{\displaystyle p_{3}(X_{1},X_{2})=\textstyle {\frac {3}{2}}p_{2}(X_{1},X_{2})p_{1}(X_{1},X_{2})-{\frac {1}{2}}p_{1}(X_{1},X_{2})^{3}.}

على عكس حالة كثيرات الحدود المتجانسة الأولية والكاملة، فإن كثيرة الحدود المتناظرة في n متغيرًا ذات المعاملات الصحيحة لا يشترط أن تكون دالة كثيرة الحدود ذات معاملات صحيحة لمجموع قوى كثيرات الحدود المتناظرة. على سبيل المثال، عندما n  =  2، فإن كثيرة الحدود المتناظرة

م(2،1)(X1،X2)=X12X2+X1X22{\displaystyle m_{(2,1)}(X_{1},X_{2})=X_{1}^{2}X_{2}+X_{1}X_{2}^{2}}

يحتوي على التعبير

م(2،1)(X1،X2)=12ص1(X1،X2)3-12ص2(X1،X2)ص1(X1،X2).{\displaystyle m_{(2,1)}(X_{1},X_{2})=\textstyle {\frac {1}{2}}p_{1}(X_{1},X_{2})^{3}-{\frac {1}{2}}p_{2}(X_{1},X_{2})p_{1}(X_{1},X_{2}).}

باستخدام ثلاثة متغيرات، نحصل على تعبير مختلف

م(2،1)(X1،X2،X3)=X12X2+X1X22+X12X3+X1X32+X22X3+X2X32=ص1(X1،X2،X3)ص2(X1،X2،X3)-ص3(X1،X2،X3).{\displaystyle {\begin{aligned}m_{(2,1)}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}^{2}X_{2}+X_{1}X_{2}^{2}+X_{1}^{2}X_{3}+X_{1}X_{3}^{2}+X_{2}^{2}X_{3}+X_{2}X_{3}^{2}\\&=p_{1}(X_{1},X_{2},X_{3})p_{2}(X_{1},X_{2},X_{3})-p_{3}(X_{1},X_{2},X_{3}).\end{aligned}}}

كان التعبير المقابل صالحًا لمتغيرين أيضًا (يكفي جعل X³ يساوي صفرًا)، ولكن نظرًا لاحتوائه على p³ ، لم يكن بالإمكان استخدامه لتوضيح العبارة عندما n = 2. يُبين المثال أن وجود معاملات نسبية في تعبير كثير الحدود المتناظر أحادي الحد بدلالة أول n من كثيرات حدود مجموع القوى قد يعتمد على n . ولكن المعاملات النسبية ضرورية دائمًا للتعبير عن كثيرات الحدود المتناظرة الأولية (باستثناء الثوابت، و e¹ الذي يتطابق مع أول مجموع قوى) بدلالة كثيرات حدود مجموع القوى. توفر متطابقات نيوتن طريقة صريحة للقيام بذلك؛ وهي تتضمن القسمة على أعداد صحيحة حتى n ، مما يفسر وجود المعاملات النسبية. وبسبب هذه الأقسام، تفشل العبارة المذكورة عمومًا عندما تُؤخذ المعاملات في حقل ذي خاصية منتهية ؛ ومع ذلك، فهي صالحة مع المعاملات في أي حلقة تحتوي على الأعداد النسبية.  

كثيرات الحدود المتجانسة المتناظرة الكاملة

لكل عدد صحيح غير سالب k ، فإن متعددة الحدود المتناظرة المتجانسة الكاملة h k ( X 1 , ..., X n ) هي مجموع جميع أحاديات الحدود المختلفة من الدرجة k في المتغيرات X 1 , ..., X n . على سبيل المثال

ح3(X1،X2،X3)=X13+X12X2+X12X3+X1X22+X1X2X3+X1X32+X23+X22X3+X2X32+X33.{\displaystyle h_{3}(X_{1},X_{2},X_{3})=X_{1}^{3}+X_{1}^{2}X_{2}+X_{1}^{2}X_{3}+X_{1}X_{2}^{2}+X_{1}X_{2}X_{3}+X_{1}X_{3}^{2}+X_{2}^{3}+X_{2}^{2}X_{3}+X_{2}X_{3}^{2}+X_{3}^{3}.}

كثير الحدود h k ( X 1 , ..., X n ) هو أيضًا مجموع جميع كثيرات الحدود المتناظرة أحادية الحد المختلفة من الدرجة k في X 1 , ..., X n ، على سبيل المثال في المثال المعطى

ح3(X1،X2،X3)=م(3)(X1،X2،X3)+م(2،1)(X1،X2،X3)+م(1،1،1)(X1،X2،X3)=(X13+X23+X33)+(X12X2+X12X3+X1X22+X1X32+X22X3+X2X32)+(X1X2X3).{\displaystyle {\begin{aligned}h_{3}(X_{1},X_{2},X_{3})&=m_{(3)}(X_{1},X_{2},X_{3})+m_{(2,1)}(X_{1},X_{2},X_{3})+m_{(1,1,1)}(X_{1},X_{2},X_{3})\\&=(X_{1}^{3}+X_{2}^{3}+X_{3}^{3})+(X_{1}^{2}X_{2}+X_{1}^{2}X_{3}+X_{1}X_{2}^{2}+X_{1}X_{3}^{2}+X_{2}^{2}X_{3}+X_{2}X_{3}^{2})+(X_{1}X_{2}X_{3}).\\\end{aligned}}}

يمكن بناء جميع كثيرات الحدود المتناظرة في هذه المتغيرات من كثيرات حدود متجانسة كاملة: أي كثيرة حدود متناظرة في X₁ ، ...، Xₙ يمكن الحصول عليها من كثيرات الحدود المتناظرة المتجانسة الكاملة h₁ ( X₁ ، ...، Xₙ ) ، ...، hₙ ( X₁ ، ... ، Xₙ ) عن طريق الضرب والجمع. بتعبير أدق:

يمكن كتابة أي متعدد حدود متماثل P في X 1 ، ... ، X n كتعبير متعدد الحدود في متعددات الحدود h k ( X 1 ، ... ، X n ) مع 1 ≤ k ≤ n .    
إذا كانت P لها معاملات صحيحة، فإن التعبير متعدد الحدود له أيضًا معاملات صحيحة.

على سبيل المثال، عندما n = 2 ، فإن كثيرات الحدود المتجانسة المتناظرة الكاملة ذات الصلة هي h₁ ( X₁ , X₂ ) = X₁ + X₂ و h₂ ( X₁ , X₂ ) = X₁² + X₁X₂ + X₂² . ويمكن كتابة كثيرة الحدود الأولى في قائمة الأمثلة أعلاه على النحو التالي :

X13+X23-7=-2ح1(X1،X2)3+3ح1(X1،X2)ح2(X1،X2)-7.{\displaystyle X_{1}^{3}+X_{2}^{3}-7=-2h_{1}(X_{1},X_{2})^{3}+3h_{1}(X_{1},X_{2})h_{2}(X_{1},X_{2})-7.}

كما هو الحال في مجاميع القوى، ينطبق البيان المعطى على وجه الخصوص على كثيرات الحدود المتجانسة المتناظرة الكاملة التي تتجاوز h n ( X 1 , ..., X n )، مما يسمح بالتعبير عنها بدلالة تلك التي تم التعبير عنها حتى تلك النقطة؛ ومرة ​​أخرى تصبح المتطابقات الناتجة غير صالحة عند زيادة عدد المتغيرات.

من الجوانب المهمة لكثيرات الحدود المتناظرة المتجانسة الكاملة علاقتها بكثيرات الحدود المتناظرة الأولية، والتي يمكن التعبير عنها بالمتطابقات.

∑أنا=0ك(-1)أناهـأنا(X1،...،Xن)حك-أنا(X1،...،Xن)=0{\displaystyle \sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}e_{i}(X_{1},\ldots ,X_{n})h_{k-i}(X_{1},\ldots ,X_{n})=0}، لجميع قيم k > 0، ولأي عدد من المتغيرات n .   

بما أن e₀ ( X₁ , ... , Xₙ ) و h₀ ( X₁ , ..., Xₙ ) كلاهما يساوي 1، يمكن عزل الحد الأول أو الأخير من هذه المجاميع؛ فالأول يُعطي مجموعة من المعادلات التي تسمح بالتعبير بشكل متكرر عن كثيرات الحدود المتناظرة المتجانسة الكاملة المتتالية بدلالة كثيرات الحدود المتناظرة الأولية، والثاني يُعطي مجموعة من المعادلات التي تسمح بإجراء العملية العكسية. وهذا يُبين ضمنيًا أنه يمكن التعبير عن أي كثيرة حدود متناظرة بدلالة hₖ ( X₁ , ..., Xₙ ) حيث 1 ≤ k ≤ n : يُعبّر أولًا عن كثيرة الحدود المتناظرة بدلالة كثيرات الحدود المتناظرة الأولية، ثم تُعبّر عنها بدلالة كثيرات الحدود المتناظرة المتجانسة الكاملة المذكورة.     

كثيرات حدود شور

تُعدّ كثيرات حدود شور فئة أخرى من كثيرات الحدود المتناظرة، وهي ذات أهمية جوهرية في تطبيقات كثيرات الحدود المتناظرة في نظرية التمثيل . مع ذلك، فإن وصفها ليس بالسهولة نفسها التي تُوصف بها الأنواع الأخرى من كثيرات الحدود المتناظرة الخاصة؛ راجع المقال الرئيسي لمزيد من التفاصيل.

كثيرات الحدود المتناظرة في الجبر

تُعدّ كثيرات الحدود المتناظرة مهمة في الجبر الخطي ، ونظرية التمثيل ، ونظرية غالوا . كما أنها مهمة في التوافقية ، حيث تُدرس في الغالب من خلال حلقة الدوال المتناظرة ، مما يُجنّب الحاجة إلى حمل عدد ثابت من المتغيرات طوال الوقت.

كثيرات الحدود المتناوبة

تتشابه كثيرات الحدود المتناوبة مع كثيرات الحدود المتناظرة ، وهي كثيرات الحدود التي تتغير وفقًا لإشارة التبديل بدلاً من أن تكون ثابتة تحت تبديل المتغيرات .

هذه كلها نواتج لكثير الحدود فاندرموند وكثير الحدود المتناظر، وتشكل امتدادًا تربيعيًا لحلقة كثيرات الحدود المتناظرة: كثير الحدود فاندرموند هو الجذر التربيعي للمميز.

انظر أيضاً

مراجع

  • لانغ، سيرج (2002)، الجبر ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد  211 (الطبعة الثالثة المنقحة  )، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-95385-4، MR 1878556 ، Zbl 0984.00001  
  • ماكدونالد، آي جي (1979)، الدوال المتناظرة ومتعددات حدود هول . سلسلة دراسات أكسفورد الرياضية. أكسفورد: مطبعة كلارندون.
  • آي جي ماكدونالد (1995)، الدوال المتناظرة ومتعددات حدود هول ، الطبعة الثانية. أكسفورد: مطبعة كلارندون. ISBN 0-19-850450-0(غلاف ورقي، 1998).
  • ريتشارد ب. ستانلي (1999)، التوافقية العددية ، المجلد 2. كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-56069-1