نظرية هيئة المحلفين لكوندورسيه

نظرية هيئة المحلفين لكوندورسيه هي نظرية إحصائية تتعلق باحتمالية توصل مجموعة معينة من الأفراد إلى قرار صحيح. وقد صاغ هذه النظرية لأول مرة الماركيز دي كوندورسيه في كتابه " مقال في تطبيق التحليل على احتمالية قرارات الأغلبية" عام 1785. ^{[ 1 ]}

تفترض النظرية أن مجموعة ما ترغب في التوصل إلى قرار بالتصويت بالأغلبية . أحد نتيجتي التصويت صحيح ، ولكل ناخب احتمال مستقل (p) للتصويت لصالح القرار الصحيح. تسأل النظرية عن عدد الناخبين الذين يجب ضمهم إلى المجموعة. وتعتمد النتيجة على ما إذا كان (p) أكبر من أو أصغر من نصف (1/2).

• إذا كانت قيمة p أكبر من 1/2 (أي أن احتمال تصويت كل ناخب بشكل صحيح يزداد)، فإن إضافة المزيد من الناخبين تزيد من احتمال صحة قرار الأغلبية. وفي النهاية، يقترب احتمال تصويت الأغلبية بشكل صحيح من 1 مع ازدياد عدد الناخبين.
• من ناحية أخرى، إذا كانت قيمة p أقل من 1/2 (أي أن كل ناخب من المرجح أن يصوت بشكل خاطئ)، فإن إضافة المزيد من الناخبين يجعل الأمور أسوأ: تتكون هيئة المحلفين المثلى من ناخب واحد.

منذ كوندورسيه، أثبت العديد من الباحثين الآخرين نظريات هيئة المحلفين المختلفة ، مما أدى إلى تخفيف بعض أو كل افتراضات كوندورسيه.

علم التقارب هو "حساب التقريبات". يُستخدم لحل المسائل الصعبة التي لا يمكن حلها بدقة، ولتقديم صيغ أبسط للنتائج المعقدة، بدءًا من نتائج مبكرة مثل صيغ تايلور وستيرلينغ وصولًا إلى نظرية الأعداد الأولية . من المواضيع المهمة في دراسة علم التقارب التوزيع التقاربي ، وهو توزيع احتمالي يُعتبر، بمعنى ما، التوزيع "النهائي" لسلسلة من التوزيعات. يزداد احتمال اتخاذ قرار الأغلبية الصحيح P ( n , p ) خطيًا بدلالة p - 1/2 عندما يكون احتمال الفرد p قريبًا من 1/2 . بالنسبة لـ n ناخبًا، لكل منهم احتمال p لاتخاذ قرار صحيح، وبالنسبة لـ n فردي (حيث لا توجد حالات تعادل محتملة):

$${\displaystyle P(n,p)=1/2+c_{1}(p-1/2)+c_{3}(p-1/2)^{3}+O\left((p-1/2)^{5}\right),}$$

أين

$${\displaystyle c_{1}={n \choose {\lfloor n/2\rfloor }}{\frac {\lfloor n/2\rfloor +1}{4^{\lfloor n/2\rfloor }}}={\sqrt {\frac {2n+1}{\pi }}}\left(1+{\frac {1}{16n^{2}}}+O(n^{-3})\right),}$$

والتقريب التقاربي بدلالة n دقيق للغاية. ويكون التوسع فقط في قوى فردية و${\displaystyle c_{3}<0}$ببساطة، هذا يعني أنه عندما يكون القرار صعبًا ( قيمة p قريبة من 1/2)، فإن المكسب من وجود n ناخبًا ينمو بشكل متناسب مع${\displaystyle {\sqrt {n}}}$[ ^{2 ]​}

استُخدمت نظرية هيئة المحلفين لكوندورسيه مؤخرًا لتوضيح مفهوم دمج الدرجات عندما يقوم العديد من الأطباء (أخصائيو الأشعة، وأخصائيو التنظير، وغيرهم) بتقييم الصور بشكل مستقل للكشف عن نشاط المرض. تظهر هذه المهمة في القراءة المركزية التي تُجرى خلال التجارب السريرية، وهي تشبه عملية التصويت. ووفقًا للمؤلفين، فإن تطبيق هذه النظرية يُمكن من تحويل درجات كل قارئ على حدة إلى درجة نهائية بطريقة سليمة رياضيًا (عن طريق تجنب حساب متوسط ​​البيانات الترتيبية )، وقابلة للمعالجة الرياضية لإجراء المزيد من التحليلات، ومتسقة مع مهمة التقييم المطروحة (التي تعتمد على قرارات بشأن وجود أو غياب السمات، وهي مهمة تصنيف ذاتية). ^{[ 3 ]}

تُستخدم نظرية هيئة المحلفين لكوندورسيه أيضًا في التعلم الجماعي في مجال تعلم الآلة . ^{[ 4 ]} تجمع طريقة التجميع تنبؤات العديد من المصنفات الفردية عن طريق التصويت بالأغلبية. بافتراض أن كل مصنف فردي يتنبأ بدقة تزيد قليلاً عن 50% وأن تنبؤاتهم مستقلة، فإن مجموع تنبؤاتهم سيكون أكبر بكثير من درجات تنبؤاتهم الفردية.

يستخدم العديد من المنظرين السياسيين والفلاسفة نظرية هيئة المحلفين لكوندورسيه (CJT) للدفاع عن الديمقراطية ^{[ 5 ].} ومع ذلك، يبقى مدى صحة هذه النظرية في الواقع مسألة تجريبية. فهي سلاح ذو حدين : إذ يمكنها إما أن تثبت أن حكم الأغلبية آلية مثالية (تقريبًا) لتجميع المعلومات، أو عندما${\displaystyle p>1/2}$أو كارثة (شبه) مثالية، عندما${\displaystyle p<1/2}$الكارثة تعني اختيار الخيار الخاطئ بشكل منهجي. وقد جادل بعض المؤلفين بأننا نعيش في هذا السيناريو الأخير. فعلى سبيل المثال، جادل برايان كابلان باستفاضة بأن معرفة الناخبين منحازة بشكل منهجي نحو الخيارات الخاطئة (على الأرجح). وفي إطار نظرية العدالة الجنائية، يمكن تفسير ذلك كدليل على ${\displaystyle p<1/2}$.

في عام 2022، تم اتباع نهج آخر لدراسة مدى قابلية تطبيق نظرية العدالة الجنائية. ^{[ 6 ]} فبدلاً من النظر في الحالة المتجانسة، يُسمح لكل ناخب باحتمالية معينة.${\displaystyle p_{i}\in [0,1]}$وربما يختلف ذلك عن الناخبين الآخرين. وقد سبق أن درس هذه الحالة دانيال بيريند وجاكوب باروش ^{[ 7 ]} ، وهي تتضمن نظرية كوندورسيه الكلاسيكية (عندما${\displaystyle p_{i}=p~~\forall ~i\in \mathbb {N} }$) ونتائج أخرى، مثل معجزة التجميع (عندما${\displaystyle p_{i}=1/2}$بالنسبة لمعظم الناخبين و${\displaystyle p_{i}=1}$(لنسبة صغيرة منهم). ثم، باتباع منهج بايزي، يتم تقدير الاحتمال المسبق (في هذه الحالة، الاحتمال المسبق ) للأطروحة التي تنبأت بها النظرية. أي، إذا اخترنا سلسلة عشوائية من الناخبين (أي سلسلة${\displaystyle (p_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$هل ستتحقق النظرية؟ الجواب هو لا. بتعبير أدق، إذا كانت متتالية عشوائية من${\displaystyle p_{i}}$يتم أخذها وفقًا لتوزيع غير متحيز لا يفضل الكفاءة،${\displaystyle p_{i}>1/2}$أو عدم الكفاءة،${\displaystyle p_{i}<1/2}$إذا كان الأمر كذلك، فإن الفرضية التي تنبأت بها النظرية لن تكون صحيحة بشكل شبه مؤكد . مع هذا النهج الجديد، ينبغي على مؤيدي نظرية الكفاءة القضائية تقديم أدلة قوية على الكفاءة، للتغلب على الاحتمالية المسبقة المنخفضة. أي أنه ليس الأمر مجرد وجود أدلة ضد الكفاءة ( الاحتمالية اللاحقة )، بل إنه لا يمكننا توقع صحة نظرية الكفاءة القضائية في غياب أي دليل (الاحتمالية المسبقة).

• طريقة كوندورسيه
• مفارقة كوندورسيه
• نظرية هيئة المحلفين
• قانون الأعداد الكبيرة
• حكمة الجماهير