المشتق

دالة لمتغير حقيقي${\displaystyle f(x)}$قابلة للتفاضل عند نقطة${\displaystyle a}$من نطاقها ، إذا كان نطاقها يحتوي على فترة مفتوحة تحتوي على${\displaystyle a}$والحد​​$${\displaystyle L=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$$ موجود. ^{[ 2 ]} هذا يعني أنه لكل عدد حقيقي موجب${\displaystyle \varepsilon }$، يوجد عدد حقيقي موجب${\displaystyle \delta }$بحيث يكون لكل${\displaystyle h}$بحيث${\displaystyle |h|<\delta }$و${\displaystyle h\neq 0}$ثم${\displaystyle f(a+h)}$يتم تعريفها، و $${\displaystyle \left|L-{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}\right|<\varepsilon ,}$$ حيث تشير الخطوط الرأسية إلى القيمة المطلقة . هذا مثال على تعريف النهاية (ε، δ) . ^{[ 3 ]}

إذا كانت الدالة${\displaystyle f}$قابلة للتفاضل عند${\displaystyle a}$، أي إذا كان الحد${\displaystyle L}$إذا وُجدت هذه النهاية، فإنها تُسمى مشتقة${\displaystyle f}$في​${\displaystyle a}$توجد عدة صيغ لتمثيل المشتقة ^. [ ^{4 ]} مشتقة${\displaystyle f}$في${\displaystyle a}$يمكن الإشارة إليه بـ${\displaystyle f'(a)}$تُقرأ على النحو التالي : "${\displaystyle f}$ذروة​​${\displaystyle a}$أو يمكن الإشارة إليه بـ${\displaystyle \textstyle {\frac {df}{dx}}(a)}$، تُقرأ على أنها "مشتقة من${\displaystyle f}$بالنسبة إلى${\displaystyle x}$في​${\displaystyle a}$" أو "${\displaystyle df}$بواسطة (أو فوق)${\displaystyle dx}$في​${\displaystyle a}$انظر إلى قسم  الملاحظات أدناه. إذا${\displaystyle f}$إذا كانت الدالة لها مشتقة عند كل نقطة في مجالها ، فيمكن تعريف الدالة عن طريق رسم كل نقطة${\displaystyle x}$إلى قيمة مشتقة${\displaystyle f}$في​${\displaystyle x}$. هذه الدالة مكتوبة${\displaystyle f'}$وتسمى دالة المشتقة أو مشتقة ⁠${\displaystyle f}$الوظيفة​${\displaystyle f}$قد يكون للدالة مشتقة عند معظم نقاط مجالها، ولكن ليس عند جميعها. الدالة التي قيمتها عند${\displaystyle a}$يساوي${\displaystyle f'(a)}$حينما${\displaystyle f'(a)}$يُطلق على المشتقة أيضًا اسم مشتقة شيء ما، ويكون غير مُعرَّف في مكان آخر .${\displaystyle f}$لا تزال دالة، لكن نطاقها قد يكون أصغر من نطاق ⁠${\displaystyle f}$. ^{[ 5 ]}​

على سبيل المثال، لنفترض${\displaystyle f}$لتكن دالة التربيع :${\displaystyle f(x)=x^{2}}$إذن ، يكون ناتج القسمة في تعريف المشتقة هو ^{[ 6 ]}$${\displaystyle {\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}={\frac {(a+h)^{2}-a^{2}}{h}}={\frac {a^{2}+2ah+h^{2}-a^{2}}{h}}=2a+h.}$$ القسمة في الخطوة الأخيرة صالحة طالما أن${\displaystyle h\neq 0}$كلما اقتربت${\displaystyle h}$هو إلى${\displaystyle 0}$كلما اقترب هذا التعبير من القيمة${\displaystyle 2a}$توجد النهاية ، ولكل مدخل${\displaystyle a}$الحد هو${\displaystyle 2a}$إذن ، مشتقة دالة التربيع هي دالة المضاعفة :${\displaystyle f'(x)=2x}$⁠ .

النسبة في تعريف المشتقة هي ميل الخط المستقيم المار بنقطتين على الرسم البياني للدالة .${\displaystyle f}$، وتحديداً النقاط${\displaystyle (a,f(a))}$و​${\displaystyle (a+h,f(a+h))}$. كما${\displaystyle h}$كلما صغرت المسافة، تقاربت هذه النقاط، واقترب ميل هذا الخط من القيمة الحدية، ميل المماس لمنحنى${\displaystyle f}$في​${\displaystyle a}$بعبارة أخرى ، المشتقة هي ميل المماس. ^{[ 7 ]}

إحدى طرق التفكير في المشتق${\textstyle {\frac {df}{dx}}(a)}$وهي نسبة التغير المتناهي الصغر في ناتج الدالة${\displaystyle f}$إلى تغيير متناهي الصغر في مدخلاتها. ^{[ 8 ]} ولجعل هذا الحدس دقيقًا، يلزم وجود نظام قواعد لمعالجة الكميات المتناهية الصغر. ^{[ 9 ]} يُعد نظام الأعداد الفائقة الحقيقية طريقةً للتعامل مع الكميات اللانهائية والمتناهية الصغر. الأعداد الفائقة الحقيقية هي امتداد للأعداد الحقيقية ، وتحتوي على أعداد أكبر من أي عدد من الشكل${\displaystyle 1+1+\cdots +1}$لأي عدد محدود من الحدود. هذه الأعداد لانهائية، ومقلوباتها متناهية الصغر. يُطلق على تطبيق الأعداد الفائقة الحقيقية على أسس التفاضل والتكامل اسم التحليل غير القياسي . يوفر هذا طريقة لتعريف المفاهيم الأساسية للتفاضل والتكامل، مثل المشتقة والتكامل، بدلالة المتناهيات الصغر، مما يُعطي معنى دقيقًا لـ${\displaystyle d}$في تدوين لايبنتز. وبالتالي، فإن مشتقة${\displaystyle f(x)}$يصبح$${\displaystyle f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\right)}$$لقيمة متناهية الصغر عشوائية${\displaystyle dx}$، حيث${\displaystyle \operatorname {st} }$تشير إلى دالة الجزء القياسية ، التي "تقرب" كل عدد حقيقي فائق محدود إلى أقرب عدد حقيقي. ^{[ 10 ]} بأخذ دالة التربيع${\displaystyle f(x)=x^{2}}$كمثال آخر، $${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=\operatorname {st} \left({\frac {x^{2}+2x\cdot dx+(dx)^{2}-x^{2}}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {2x\cdot dx+(dx)^{2}}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {2x\cdot dx}{dx}}+{\frac {(dx)^{2}}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left(2x+dx\right)\\&=2x.\end{aligned}}}$$

فيما يلي قواعد اشتقاق الدوال الأساسية الأكثر شيوعًا. هنا،${\displaystyle a}$هو عدد حقيقي، و${\displaystyle e}$وهو أساس اللوغاريتم الطبيعي، ويبلغ تقريبًا 2.71828 . ^{[ 29 ]}

• مشتقات القوى :

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{a}=ax^{a-1}}$

• الدوال الأسية واللوغاريتمية الطبيعية واللوغاريتمية ذات الأساس العام :

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}$

  ⁠${\displaystyle {\frac {d}{dx}}a^{x}=a^{x}\ln(a)}$، لـ${\displaystyle a>0}$

  ⁠${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}}$، لـ${\displaystyle x>0}$

  ⁠${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{a}(x)={\frac {1}{x\ln(a)}}}$، لـ${\displaystyle x,a>0}$

• الدوال المثلثية :

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x)}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x)}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan(x)=\sec ^{2}(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x)}$

• الدوال المثلثية العكسية :

  ⁠${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$، لـ${\displaystyle -1<x<1}$

  ⁠${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arccos(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$، لـ${\displaystyle -1<x<1}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arctan(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}$

تسمح القواعد التالية باستنتاج مشتقات العديد من الدوال من مشتقات الدوال الأساسية: ^{[ 30 ]}

• قاعدة ثابتة : إذا${\displaystyle f}$إذا كانت دالة ثابتة، فإن ذلك ينطبق على جميع${\displaystyle x}$،​

  ${\displaystyle f'(x)=0.}$

• قاعدة الجمع :

  ${\displaystyle (\alpha f+\beta g)'=\alpha f'+\beta g'}$لجميع الوظائف${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$وجميع الأعداد الحقيقية${\displaystyle \alpha }$و​${\displaystyle \beta }$⁠ .

• قاعدة المنتج :

  ${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'}$لجميع الوظائف${\displaystyle f}$و​${\displaystyle g}$. كحالة خاصة، تشمل هذه القاعدة حقيقة${\displaystyle (\alpha f)'=\alpha f'}$حينما${\displaystyle \alpha }$ثابت لأن${\displaystyle \alpha 'f=0\cdot f=0}$وفقًا للقاعدة الثابتة.

• قاعدة القسمة :

  ${\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}}$ لجميع الوظائف${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$في جميع المدخلات حيث${\displaystyle g\neq 0}$⁠ .

• قاعدة السلسلة للدوال المركبة : إذا${\displaystyle f(x)=h(g(x))}$ثم​

  ${\displaystyle f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x).}$

مشتقة الدالة المعطاة بـ${\displaystyle f(x)=x^{4}+\sin \left(x^{2}\right)-\ln(x)e^{x}+7}$يكون $${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=4x^{(4-1)}+{\frac {d\left(x^{2}\right)}{dx}}\cos \left(x^{2}\right)-{\frac {d\left(\ln {x}\right)}{dx}}e^{x}-\ln(x){\frac {d\left(e^{x}\right)}{dx}}+0\\&=4x^{3}+2x\cos \left(x^{2}\right)-{\frac {1}{x}}e^{x}-\ln(x)e^{x}.\end{aligned}}}$$ تم حساب الحد الثاني باستخدام قاعدة السلسلة ، والحد الثالث باستخدام قاعدة الضرب . المشتقات المعروفة للدوال الأولية${\displaystyle x^{2}}$،​​${\displaystyle x^{4}}$،​​${\displaystyle \sin(x)}$،​​${\displaystyle \ln(x)}$و​​${\displaystyle \exp(x)}$، بالإضافة إلى الثابت${\displaystyle 7}$⁠ ، تم استخدامها أيضًا.

دالة ذات قيم متجهة${\displaystyle \mathbf {y} }$يُرسل متغير حقيقي أعدادًا حقيقية إلى متجهات في فضاء متجهي ما .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$يمكن تقسيم الدالة ذات القيم المتجهة إلى دوال إحداثياتها .${\displaystyle y_{1}(t),y_{2}(t),\dots ,y_{n}(t)}$، بمعنى أن${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1}(t),y_{2}(t),\dots ,y_{n}(t))}$وهذا يشمل، على سبيل المثال، المنحنيات البارامترية في${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$أو​${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$الدوال الإحداثية هي دوال حقيقية القيمة، لذا ينطبق عليها تعريف المشتقة المذكور أعلاه. مشتقة${\displaystyle \mathbf {y} (t)}$يُعرَّف بأنه المتجه ، المسمى متجه المماس ، الذي تكون إحداثياته ​​مشتقات دوال الإحداثيات. أي، ^{[ 38 ]}$${\displaystyle \mathbf {y} '(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {y} (t+h)-\mathbf {y} (t)}{h}},}$$ إذا كانت النهاية موجودة. الطرح في البسط هو طرح متجهات، وليس كميات قياسية. إذا كانت مشتقة${\displaystyle \mathbf {y} }$يوجد لكل قيمة من ⁠${\displaystyle t}$ثم​${\displaystyle \mathbf {y} '}$وهي دالة أخرى ذات قيم متجهة. ^{[ 38 ]}

يمكن أن تعتمد الدوال على أكثر من متغير . المشتقة الجزئية لدالة ذات عدة متغيرات هي مشتقتها بالنسبة لأحد هذه المتغيرات، مع ثبات المتغيرات الأخرى. تُستخدم المشتقات الجزئية في حساب المتجهات والهندسة التفاضلية . وكما هو الحال مع المشتقات العادية، توجد عدة رموز: المشتقة الجزئية لدالة${\displaystyle f(x,y,\dots )}$فيما يتعلق بالمتغير${\displaystyle x}$يُشار إليه بأشكال مختلفة بواسطة

⁠${\displaystyle f_{x}}$،​​${\displaystyle f'_{x}}$،​​${\displaystyle \partial _{x}f}$،​​${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}f}$أو​​${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$،​

من بين الاحتمالات الأخرى. ^{[ 39 ]} يمكن اعتباره معدل تغير الدالة في${\displaystyle x}$-اتجاه. ^{[ 40 ]} هنا ، ∂ هو حرف d مُقَرَّب يُسمى رمز المشتقة الجزئية . ولتمييزه عن الحرف d ، يُنطق ∂ أحيانًا "der" أو "del" أو "partial" بدلًا من "dee". ^{[ 41 ]} على سبيل المثال، ليكن ⁠${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}}$ثم المشتقة الجزئية للدالة${\displaystyle f}$فيما يتعلق بالمتغيرين${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$وهي، على التوالي: $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=2x+y,\qquad {\frac {\partial f}{\partial y}}=x+2y.}$$ بشكل عام، المشتقة الجزئية للدالة${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})}$في الاتجاه${\displaystyle x_{i}}$عند النقطة${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})}$يُعرَّف على النحو التالي: ^{[ 42 ]}$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i}+h,\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{n})}{h}}.}$$

يُعد هذا الأمر أساسيًا لدراسة دوال المتغيرات الحقيقية المتعددة . لنفترض${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})}$لتكن دالة حقيقية القيمة . إذا كانت جميع المشتقات الجزئية${\displaystyle f}$بالنسبة إلى${\displaystyle x_{j}}$يتم تعريفها عند النقطة ⁠${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})}$تحدد هذه المشتقات الجزئية المتجه $${\displaystyle \nabla f(a_{1},\ldots ,a_{n})=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a_{1},\ldots ,a_{n}),\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})\right),}$$ والذي يُطلق عليه تدرج${\displaystyle f}$في​${\displaystyle a}$إذا​${\displaystyle f}$إذا كانت الدالة قابلة للتفاضل عند كل نقطة في مجال معين، فإن التدرج يكون دالة ذات قيم متجهة${\displaystyle \nabla f}$وهذا يحدد النقطة${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})}$إلى المتجه${\displaystyle \nabla f(a_{1},\dots ,a_{n})}$وبالتالي ، يحدد التدرج حقلاً متجهياً . ^{[ 43 ]}

لو${\displaystyle f}$هي دالة ذات قيم حقيقية على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ثم المشتقات الجزئية لـ${\displaystyle f}$قم بقياس تغيره في اتجاه محاور الإحداثيات. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle f}$هي وظيفة من${\displaystyle x}$و​${\displaystyle y}$ثم تقيس مشتقاتها الجزئية التغير في${\displaystyle f}$في${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$الاتجاه. ومع ذلك، فهي لا تقيس بشكل مباشر تغير${\displaystyle f}$في أي اتجاه آخر، مثل على طول الخط القطري${\displaystyle y=x}$يتم قياس هذه باستخدام المشتقات الاتجاهية. بالنظر إلى متجه${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n})}$ثم المشتق الاتجاهي لـ${\displaystyle f}$في اتجاه${\displaystyle \mathbf {v} }$عند النقطة${\displaystyle \mathbf {x} }$هو: ^{[ 44 ]}$${\displaystyle D_{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}.}$$

إذا كانت جميع المشتقات الجزئية لـ${\displaystyle f}$موجودة ومتصلة عند${\displaystyle \mathbf {x} }$ثم يحددون المشتق الاتجاهي لـ${\displaystyle f}$في الاتجاه${\displaystyle \mathbf {v} }$بالصيغة: ^{[ 45 ]}$${\displaystyle D_{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\sum _{j=1}^{n}v_{j}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}.}$$

متى${\displaystyle f}$هي دالة من مجموعة فرعية مفتوحة من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$إلى​${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ثم المشتق الاتجاهي لـ${\displaystyle f}$في اتجاه محدد، يكون أفضل تقريب خطي لـ${\displaystyle f}$عند تلك النقطة وفي ذلك الاتجاه. ومع ذلك، عندما${\displaystyle n>1}$لا يمكن لأي مشتق اتجاهي منفرد أن يعطي صورة كاملة لسلوك${\displaystyle f}$. تعطي المشتقة الكلية صورة كاملة من خلال النظر في جميع الاتجاهات في آن واحد. أي، لأي متجه${\displaystyle \mathbf {v} }$ابتداءً من${\displaystyle \mathbf {a} }$، صيغة التقريب الخطي صحيحة: ^{[ 46 ]}$${\displaystyle f(\mathbf {a} +\mathbf {v} )\approx f(\mathbf {a} )+f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} .}$$ وبالمثل بالنسبة للمشتقة ذات المتغير الواحد،${\displaystyle f'(\mathbf {a} )}$يتم اختيارها بحيث يكون الخطأ في هذا التقريب أصغر ما يمكن. المشتقة الكلية لـ${\displaystyle f}$في${\displaystyle \mathbf {a} }$هو التحويل الخطي الفريد${\displaystyle f'(\mathbf {a} )\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$بحيث ^{[ 46 ]}$${\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \to 0}{\frac {\lVert f(\mathbf {a} +\mathbf {h} )-(f(\mathbf {a} )+f'(\mathbf {a} )\mathbf {h} )\rVert }{\lVert \mathbf {h} \rVert }}=0.}$$ هنا${\displaystyle \mathbf {h} }$هو متجه في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$إذن ، المعيار في المقام هو الطول القياسي على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ومع ذلك ،${\displaystyle f'(\mathbf {a} )\mathbf {h} }$هو متجه في${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$، والمعيار في البسط هو الطول القياسي على${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$[ ⁴⁶ ]إذا^​​${\displaystyle v}$هو متجه يبدأ من ⁠${\displaystyle a}$ثم​${\displaystyle f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} }$يُطلق عليه اسم الدفعة الأمامية لـ${\displaystyle \mathbf {v} }$بواسطة​${\displaystyle f}$[ ⁴⁷ ]^​​

إذا كانت المشتقة الكلية موجودة عند${\displaystyle \mathbf {a} }$ثم جميع المشتقات الجزئية والمشتقات الاتجاهية لـ${\displaystyle f}$موجود في ⁠${\displaystyle \mathbf {a} }$، وللجميع​${\displaystyle \mathbf {v} }$،​${\displaystyle f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} }$هي المشتقة الاتجاهية لـ${\displaystyle f}$في الاتجاه${\displaystyle \mathbf {v} }$إذا​${\displaystyle f}$تُكتب باستخدام دوال الإحداثيات، بحيث${\displaystyle f=(f_{1},f_{2},\dots ,f_{m})}$ويمكن التعبير عن المشتقة الكلية باستخدام المشتقات الجزئية كمصفوفة . وتسمى هذه المصفوفةمصفوفة جاكوبي .${\displaystyle f}$في${\displaystyle \mathbf {a} }$[ ^{48 ]​}$${\displaystyle f'(\mathbf {a} )=\operatorname {Jac} _{\mathbf {a} }=\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right)_{ij}.}$$