نظرية المراسلات

في نظرية الزمر ، تنص نظرية التناظر ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]} (وأيضًا نظرية الشبكة ^{[ 9 ]} ، وبشكل مختلف ومبهم، نظرية التشاكل الثالثة والرابعة ^{[ 6 ] [ 10 ]} ) على أنه إذا${\displaystyle N}$هي مجموعة فرعية طبيعية من مجموعة${\displaystyle G}$إذاً، يوجد تقابل من مجموعة جميع المجموعات الجزئية${\displaystyle A}$ل${\displaystyle G}$يحتوي على${\displaystyle N}$، على مجموعة جميع الزمر الجزئية من زمرة القسمة${\displaystyle G/N}$بصورة عامة، فإن بنية المجموعات الفرعية لـ${\displaystyle G/N}$وهو مطابق تمامًا لبنية المجموعات الفرعية لـ${\displaystyle G}$يحتوي على${\displaystyle N}$، مع${\displaystyle N}$تم اختزالها إلى عنصر الهوية .

على وجه التحديد، إذا

${\displaystyle G}$هي مجموعة،

${\displaystyle N\triangleleft G}$، مجموعة فرعية طبيعية من${\displaystyle G}$،

${\displaystyle {\mathcal {G}}=\{A\mid N\subseteq A\leq G\}}$، مجموعة جميع المجموعات الفرعية${\displaystyle A}$ل${\displaystyle G}$التي تحتوي${\displaystyle N}$، و

${\displaystyle {\mathcal {N}}=\{S\mid S\leq G/N\}}$، مجموعة جميع المجموعات الفرعية من${\displaystyle G/N}$،

ثم هناك خريطة تقابلية${\displaystyle \phi$ :{\mathcal {G}}\to {\mathcal {N}}} بحيث

${\displaystyle \phi (A)=A/N}$للجميع${\displaystyle A\in {\mathcal {G}}.}$

ويضيف المرء أنه إذا${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$في${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ثم

• ${\displaystyle A\subseteq B}$إذا وفقط إذا${\displaystyle A/N\subseteq B/N}$؛
• لو${\displaystyle A\subseteq B}$ثم${\displaystyle |B:A|=|B/N:A/N|}$، أين${\displaystyle |B:A|}$هو فهرس​${\displaystyle A}$في${\displaystyle B}$(عدد المجموعات المشاركة )${\displaystyle bA}$ل${\displaystyle A}$في${\displaystyle B}$);
• ${\displaystyle \langle A,B\rangle /N=\left\langle A/N,B/N\right\rangle ,}$أين${\displaystyle \langle A,B\rangle }$هي مجموعة فرعية من${\displaystyle G}$تم إنشاؤه بواسطة ${\displaystyle A\cup B;}$
• ${\displaystyle (A\cap B)/N=A/N\cap B/N}$، و
• ${\displaystyle A}$هي مجموعة فرعية طبيعية من${\displaystyle G}$إذا وفقط إذا${\displaystyle A/N}$هي مجموعة فرعية طبيعية من${\displaystyle G/N}$.

هذه القائمة ليست شاملة بأي حال من الأحوال. في الواقع، تُحفظ معظم خصائص المجموعات الجزئية في صورها تحت تأثير التقابل على المجموعات الجزئية لمجموعة خارج القسمة.

وبشكل أعم، هناك علاقة غالوا رتيبة${\displaystyle (f^{*},f_{*})}$بين شبكة المجموعات الفرعية من${\displaystyle G}$(لا يحتوي بالضرورة على${\displaystyle N}$) وشبكة المجموعات الفرعية من${\displaystyle G/N}$: المرافق السفلي لمجموعة جزئية${\displaystyle H}$ل${\displaystyle G}$يُعطى بواسطة${\displaystyle f^{*}(H)=HN/N}$والجزء العلوي المرافق لمجموعة فرعية${\displaystyle K/N}$ل${\displaystyle G/N}$معطى من قبل${\displaystyle f_{*}(K/N)=K}$عامل الإغلاق المرتبط على المجموعات الفرعية من${\displaystyle G}$يكون${\displaystyle {\bar {H}}=HN}$؛ عامل النواة المرتبط على المجموعات الفرعية من${\displaystyle G/N}$هي الهوية. يمكن الاطلاع على برهان نظرية التطابق هنا .

تنطبق نتائج مماثلة على الحلقات ، والوحدات ، والفضاءات المتجهة ، والجبر . وبشكل أعم، تنطبق نتيجة مماثلة تتعلق بعلاقات التطابق بدلاً من الزمر الجزئية العادية على أي بنية جبرية .

• شبكة معيارية