مؤشر المجموعة الفرعية

في الرياضيات ، وتحديدًا نظرية المجموعات ، يكون مؤشر المجموعة الفرعية H في المجموعة G هو عدد المجموعات الجزئية اليسرى لـ H في G ، أو على نحو مكافئ، عدد المجموعات الجزئية اليمنى لـ H في G. يُشار إلى المؤشر بـ أو أو . ولأن G هو الاتحاد المنفصل للمجموعات الجزئية اليسرى ولأن كل مجموعة جزئية يسرى لها نفس حجم H ، فإن المؤشر مرتبط بترتيب المجموعتين بالصيغة ${\displaystyle G:H|}$${\displaystyle [G:H]}$${\displaystyle (G:H)}$

${\displaystyle |G|=|G:H||H|}$

(فسر الكميات كأعداد أساسية إذا كان بعضها لا نهائيًا). وبالتالي، يقيس المؤشر " الأحجام النسبية" لـ G و H.${\displaystyle G:H|}$

على سبيل المثال، دع تكون مجموعة الأعداد الصحيحة تحت الجمع ، ودع تكون المجموعة الفرعية المكونة من الأعداد الصحيحة الزوجية . ثم يكون لها مجموعتان مشاركتان في ، وهما مجموعة الأعداد الصحيحة الزوجية ومجموعة الأعداد الصحيحة الفردية، لذا فإن المؤشر هو 2. وبشكل عام، لأي عدد صحيح موجب n . ${\displaystyle G=\mathbb {Z} }$${\displaystyle H=2\mathbb {Z} }$${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle |\mathbb {Z} :2\mathbb {Z} |}$${\displaystyle |\mathbb {Z} :n\mathbb {Z} |=n}$

عندما يكون G منتهيًا ، يمكن كتابة الصيغة على النحو التالي ، وهذا يعني نظرية لاغرانج التي تقسم . ${\displaystyle |G:H|=|G|/|H|}$${\displaystyle |H|}$${\displaystyle |G|}$

عندما يكون G غير محدود، فهو عدد أساسي غير صفري قد يكون محدودًا أو غير محدود. على سبيل المثال، ، ولكنه غير محدود. ${\displaystyle G:H|}$${\displaystyle |\mathbb {Z} :2\mathbb {Z} |=2}$${\displaystyle |\mathbb {R} :\mathbb {Z} |}$

إذا كانت N مجموعة فرعية طبيعية لـ G ، فإن ذلك يساوي رتبة مجموعة القسمة ، نظرًا لأن المجموعة الأساسية هي مجموعة المجموعات الجزئية لـ N في G.${\displaystyle |G:N|}$ ${\displaystyle G/N}$${\displaystyle G/N}$

• إذا كانت H مجموعة فرعية من G وكانت K مجموعة فرعية من H ، إذن

${\displaystyle |G:K|=|G:H|\,|H:K|.}$

• إذا كانت H و K مجموعات فرعية من G ، إذن

${\displaystyle |G:H\cap K|\leq |G:H|\,|G:K|,}$

مع المساواة إذا . (إذا كانت منتهية، فإن المساواة تكون صحيحة إذا وفقط إذا .)${\displaystyle HK=G}$${\displaystyle |G:H\cap K|}$${\displaystyle HK=G}$

• على نحو مكافئ، إذا كانت H و K مجموعات فرعية من G ، إذن

${\displaystyle |H:H\cap K|\leq |G:K|,}$

مع المساواة إذا . (إذا كانت منتهية، فإن المساواة تكون صحيحة إذا وفقط إذا .)${\displaystyle HK=G}$${\displaystyle |H:H\cap K|}$${\displaystyle HK=G}$

• إذا كانت G و H مجموعتين وكانت تماثلية ، فإن مؤشر النواة في G يساوي ترتيب الصورة:${\displaystyle \varphi \colon G\to H}$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle |G:\operatorname {ker} \;\varphi |=|\operatorname {im} \;\varphi |.}$

• ليكن G مجموعة مؤثرة على المجموعة X ، وليكن x  ∈  X. عندئذٍ تكون عددية مدار x تحت G مساوية لمؤشر المثبت لـ x :

${\displaystyle |Gx|=|G:G_{x}|.\!}$

وهذا ما يعرف بنظرية مثبت المدار .

• كحالة خاصة من نظرية مثبت المدار، فإن عدد مترافقات عنصر يساوي مؤشر مركزي x في G.${\displaystyle gxg^{-1}}$${\displaystyle x\in G}$
• وبالمثل ، فإن عدد مترافقات المجموعة الفرعية H في G يساوي مؤشر الموحد لـ H في G.${\displaystyle gHg^{-1}}$
• إذا كانت H مجموعة فرعية من G ، فإن مؤشر النواة الطبيعية لـ H يلبي المتباينة التالية:

${\displaystyle |G:\operatorname {النواة} (H)|\leq |G:H|!}$

حيث ! يشير إلى الدالة العاملية ؛ سيتم مناقشة ذلك بمزيد من التفصيل أدناه.

• وكنتيجة لذلك، إذا كان مؤشر H في G هو 2، أو بالنسبة لمجموعة منتهية أصغر عدد أولي p يقسم رتبة G، فإن H يكون طبيعيًا، حيث يجب أن يكون مؤشر مركزه أيضًا p، وبالتالي فإن H يساوي مركزه، أي أنه طبيعي.
• لاحظ أنه قد لا توجد مجموعة فرعية ذات مؤشر أولي أدنى، كما هو الحال في أي مجموعة بسيطة من الرتبة غير الأولية، أو بشكل عام أي مجموعة مثالية .

• المجموعة المتناوبة لها مؤشر 2 في المجموعة المتماثلة وبالتالي فهي طبيعية.${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle S_{n},}$
• المجموعة المتعامدة الخاصة لها مؤشر 2 في المجموعة المتعامدة ، وبالتالي فهي طبيعية.${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {O} (n)}$
• تحتوي المجموعة الإبيلية الحرة على ثلاث مجموعات فرعية من المؤشر 2، وهي${\displaystyle \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \{(x,y)\mid x{\text{ زوجي}}\},\quad \{(x,y)\mid y{\text{ زوجي}}\},\quad {\text{و}}\quad \{(x,y)\mid x+y{\text{ زوجي}}\}}$.

• بشكل عام، إذا كان p أوليًا ، فإنه يحتوي على مجموعات فرعية ذات مؤشر p ، تتوافق مع التماثلات غير التافهة . ^{[ بحاجة لمصدر ]}${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$${\displaystyle (p^{n}-1)/(p-1)}$${\displaystyle (p^{n}-1)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}\to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$
• وبالمثل، تحتوي المجموعة الحرة على مجموعات فرعية ذات مؤشر p .${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle (p^{n}-1)/(p-1)}$
• تحتوي المجموعة ثنائية السطوح اللانهائية على مجموعة فرعية دورية ذات مؤشر 2، وهو أمر طبيعي بالضرورة.

إذا كان لدى H عدد لا نهائي من المجموعات الجزئية في G ، فيقال إن مؤشر H في G لا نهائي. في هذه الحالة، يكون المؤشر في الواقع عددًا أساسيًا . على سبيل المثال، قد يكون مؤشر H في G قابلاً للعد أو غير قابل للعد ، اعتمادًا على ما إذا كان لدى H عدد قابل للعد من المجموعات الجزئية في G. لاحظ أن مؤشر H هو على الأكثر ترتيب G، والذي يتحقق للمجموعة الفرعية التافهة، أو في الواقع أي مجموعة فرعية H ذات عدد أساسي لا نهائي أقل من مؤشر G.${\displaystyle G:H|}$

تحتوي المجموعة الفرعية H ذات الفهرس المحدود في المجموعة G (منتهية أو غير منتهية) دائمًا على مجموعة فرعية طبيعية N (من G )، أيضًا ذات فهرس منتهٍ. في الواقع، إذا كان لـ H فهرس n ، فإن فهرس N سيكون قاسمًا لـ n ! ومضاعفًا لـ n ؛ في الواقع، يمكن اعتبار N بمثابة نواة التماثل الطبيعي من G إلى مجموعة التبديل للمجموعات الجزئية اليسرى (أو اليمنى) لـ H. دعنا نشرح هذا بمزيد من التفصيل، باستخدام المجموعات الجزئية اليمنى:

العناصر من G التي تترك جميع المجموعات المشتركة على حالها تشكل مجموعة.

دعونا نطلق على هذه المجموعة اسم A. لنفترض أن B هي مجموعة عناصر G التي تقوم بعملية تبديل معينة على المجموعات الفرعية H. إذن B هي مجموعة فرعية يمينية لـ A.

ما قلناه حتى الآن ينطبق سواء كان مؤشر H منتهيًا أم لانهائيًا. افترض الآن أنه العدد المنتهي n . ونظرًا لأن عدد التباديل الممكنة للمجموعات الجزئية منتهٍ، أي n !، فلا يمكن أن يكون هناك سوى عدد منتهٍ من المجموعات مثل B. (إذا كانت G غير منتهية، فإن كل هذه المجموعات تكون بالتالي لا نهائية.) تشكل مجموعة هذه المجموعات مجموعة متماثلة لمجموعة فرعية من مجموعة التباديل، لذا يجب أن يقسم عدد هذه المجموعات n !. علاوة على ذلك، يجب أن يكون مضاعفًا لـ n لأن كل مجموعة جزئية لـ H تحتوي على نفس عدد المجموعات الجزئية لـ A. وأخيرًا، إذا كان لبعض c ∈ G و a ∈ A لدينا ca = xc ، فعندئذٍ لأي d ∈ G dca = dxc ، ولكن أيضًا dca = hdc لبعض h ∈ H (حسب تعريف A )، لذا hd = dx . نظرًا لأن هذا صحيح بالنسبة لأي d ، فيجب أن يكون x عضوًا في A، وبالتالي فإن ca = xc يعني أن cac ⁻¹ ∈ A وبالتالي فإن A هي مجموعة فرعية طبيعية.

لا يجب أن يكون مؤشر المجموعة الفرعية الطبيعية قاسمًا لـ n ! فحسب، بل يجب أن يلبي معايير أخرى أيضًا. نظرًا لأن المجموعة الفرعية الطبيعية هي مجموعة فرعية من H ، فيجب أن يكون مؤشرها في G n مضروبًا في مؤشرها داخل H. ويجب أن يتوافق مؤشرها في G أيضًا مع مجموعة فرعية من المجموعة المتماثلة S _n ، وهي مجموعة تبديلات n كائن. لذا على سبيل المثال، إذا كان n يساوي 5، فلا يمكن أن يكون المؤشر 15 على الرغم من أن هذا يقسم 5!، لأنه لا توجد مجموعة فرعية من الدرجة 15 في S ₅ .

في حالة n = 2، يعطي هذا النتيجة الواضحة إلى حد ما وهي أن المجموعة الفرعية H ذات الفهرس 2 هي مجموعة فرعية طبيعية، لأن المجموعة الفرعية الطبيعية لـ H يجب أن يكون لها الفهرس 2 في G وبالتالي تكون مطابقة لـ H. (يمكننا الوصول إلى هذه الحقيقة أيضًا من خلال ملاحظة أن جميع عناصر G التي ليست في H تشكل المجموعة الجزئية اليمنى لـ H وأيضًا المجموعة الجزئية اليسرى، وبالتالي فإن الاثنين متطابقان.) بشكل عام، فإن المجموعة الفرعية ذات الفهرس p حيث p هو أصغر عامل أولي من رتبة G (إذا كانت G منتهية) تكون طبيعية بالضرورة، حيث يقسم مؤشر N p ! وبالتالي يجب أن يساوي p، دون وجود عوامل أولية أخرى. على سبيل المثال، المجموعة الفرعية Z ₇ للمجموعة غير الإبيلية من الرتبة 21 طبيعية (انظر قائمة المجموعات غير الإبيلية الصغيرة ومجموعة فروبينيوس#أمثلة ).

دليل بديل للنتيجة التي تفيد بأن المجموعة الفرعية من المؤشر الأدنى للأعداد الأولية p طبيعية، والخصائص الأخرى للمجموعات الفرعية من المؤشر الأولي موضحة في (لام 2004).

تحتوي المجموعة O من التناظر الثماني السطوح الكيرالي على 24 عنصرًا. ولديها مجموعة فرعية ثنائية السطوح D ₄ (في الواقع لديها ثلاثة من هذا القبيل) من الدرجة 8، وبالتالي من الفهرس 3 في O ، والتي سنسميها H. تحتوي هذه المجموعة ثنائية السطوح على مجموعة فرعية D ₂ مكونة من 4 عناصر ، والتي قد نسميها A. يؤدي ضرب أي عنصر من مجموعة جزئية يمينية لـ H في عنصر من A على اليمين إلى الحصول على عنصر من نفس المجموعة الجزئية لـ H ( Hca = Hc ). A عمودي في O. يوجد ست مجموعات جزئية لـ A ، تتوافق مع العناصر الستة للمجموعة المتماثلة S _3. جميع العناصر من أي مجموعة جزئية معينة لـ A تؤدي نفس التبديل للمجموعات الجزئية لـ H.

من ناحية أخرى، تحتوي المجموعة T _th من تماثل البيريتوهدرا أيضًا على 24 عضوًا ومجموعة فرعية من الفهرس 3 (هذه المرة هي مجموعة تماثل منشوري D _2h ، انظر مجموعات النقاط في ثلاثة أبعاد )، ولكن في هذه الحالة تكون المجموعة الفرعية بأكملها مجموعة فرعية طبيعية. جميع أعضاء مجموعة فرعية معينة تنفذ نفس التبديل لهذه المجموعات الفرعية، ولكن في هذه الحالة تمثل فقط المجموعة المتبادلة المكونة من 3 عناصر في المجموعة المتماثلة S ₃ المكونة من 6 أعضاء .

المجموعات الفرعية الطبيعية لمؤشر القوة الأولية هي نوى للخرائط الشاملة لمجموعات p ولها بنية مثيرة للاهتمام، كما هو موضح في نظرية المجموعة الفرعية البؤرية: المجموعات الفرعية والموضحة في نظرية المجموعة الفرعية البؤرية .

هناك ثلاث مجموعات فرعية طبيعية مهمة لمؤشر القدرة الأولية، وكل منها هي أصغر مجموعة فرعية طبيعية في فئة معينة:

• E ^p ( G ) هو تقاطع جميع المجموعات الفرعية الطبيعية ذات المؤشر p ؛ G / E ^p ( G ) هي مجموعة أبيلية أولية ، وهي أكبر مجموعة أبيلية أولية p ينعكس عليها G.
• A ^p ( G ) هو تقاطع جميع المجموعات الفرعية الطبيعية K بحيث تكون G / K عبارة عن مجموعة p أبيلية (أي أن K عبارة عن مجموعة فرعية طبيعية ذات مؤشر تحتوي على المجموعة المشتقة ): G / A ^p ( G ) هي أكبر مجموعة p أبيلية (ليست بالضرورة أولية) ينعكس عليها G.${\displaystyle p^{k}}$${\displaystyle [G,G]}$
• O ^p ( G ) هو تقاطع جميع المجموعات الفرعية الطبيعية K من G بحيث تكون G / K عبارة عن مجموعة p (ربما غير أبيلية) (أي أن K عبارة عن مجموعة فرعية طبيعية ذات مؤشر ): G / O ^p ( G ) هي أكبر مجموعة p (ليست أبيلية بالضرورة) ينعكس عليها G. يُعرف O ^p ( G ) أيضًا باسم${\displaystyle p^{k}}$المجموعة الفرعية المتبقية p .

نظرًا لأن هذه هي الظروف الأضعف في المجموعات K، فإننا نحصل على الاحتواءات

${\displaystyle \mathbf {E} ^{p}(G)\supseteq \mathbf {A} ^{p}(G)\supseteq \mathbf {O} ^{p}(G).}$

ترتبط هذه المجموعات ارتباطًا مهمًا بمجموعات Sylow الفرعية وتماثل النقل، كما تمت مناقشته هناك.

الملاحظة الأولية هي أنه لا يمكن أن يكون لدينا مجموعتان فرعيتان بالضبط من الفهرس 2، حيث أن المكمل لاختلافهما المتماثل ينتج عنه مجموعة ثالثة. هذه نتيجة بسيطة للمناقشة أعلاه (أي إسقاط بنية الفضاء المتجهي للمجموعة الإبيلية الأولية)

${\displaystyle G/\mathbf {E} ^{p}(G)\cong (\mathbf {Z} /p)^{k}}$,

وعلاوة على ذلك، لا يؤثر G على هذه الهندسة، ولا يعكس أيًا من البنية غير الإبيلية (في كلتا الحالتين لأن الحاصل هو إبيلى).

ومع ذلك، فهي نتيجة أولية، يمكن رؤيتها بشكل ملموس على النحو التالي: مجموعة المجموعات الفرعية الطبيعية لمؤشر معين p تشكل مساحة إسقاطية ، أي مساحة الإسقاط

${\displaystyle \mathbf {P} (\operatorname {Hom} (G,\mathbf {Z} /p)).}$

بالتفصيل، فإن فضاء التماثلات من G إلى المجموعة (الدورية) من الدرجة p، هو فضاء متجه فوق الحقل المحدود. مثل هذه الخريطة غير التافهة لها جوهر مجموعة فرعية طبيعية من الفهرس p، وضرب الخريطة بعنصر (رقم غير صفري mod p ) لا يغير النواة؛ وبالتالي نحصل على خريطة من ${\displaystyle \operatorname {Hom} (G,\mathbf {Z} /p),}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{p}=\mathbf {Z} /p.}$${\displaystyle (\mathbf {Z} /p)^{\times }}$

${\displaystyle \mathbf {P} (\operatorname {Hom} (G,\mathbf {Z} /p)):=(\operatorname {Hom} (G,\mathbf {Z} /p))\setminus \{0\})/(\mathbf {Z} /p)^{\times}}$

إلى مجموعات فرعية ذات مؤشر طبيعي p . وعلى العكس من ذلك، تحدد المجموعة الفرعية الطبيعية ذات المؤشر p خريطة غير تافهة تصل إلى اختيار "أي مجموعة فرعية تتوافق مع أي مجموعة فرعية تظهر أن هذه الخريطة هي مطابقة ثنائية". ${\displaystyle \mathbf {Z} /p}$${\displaystyle 1\in \mathbf {Z} /p,}$

ونتيجة لذلك، فإن عدد المجموعات الفرعية الطبيعية للمؤشر p هو

${\displaystyle (p^{k+1}-1)/(p-1)=1+p+\cdots +p^{k}}$

بالنسبة لبعض k؛ لا يتوافق مع أي مجموعات فرعية طبيعية للمؤشر p . علاوة على ذلك، نظرًا لوجود مجموعتين فرعيتين طبيعيتين متميزتين للمؤشر p، نحصل على خط إسقاطي يتكون من مثل هذه المجموعات الفرعية. ${\displaystyle k=-1}$${\displaystyle p+1}$

بالنسبة للفرق المتماثل بين مجموعتين فرعيتين متميزتين بمؤشر 2 (والتي تكونان بالضرورة طبيعيتين) يعطي النقطة الثالثة على الخط الإسقاطي الذي يحتوي على هاتين المجموعتين الفرعيتين، ويجب أن تحتوي المجموعة على مجموعات فرعية بمؤشر 2 - لا يمكن أن تحتوي على 2 أو 4 مجموعات فرعية بمؤشر 2 بالضبط، على سبيل المثال. ${\displaystyle p=2,}$${\displaystyle 0,1,3,7,15,\ldots }$

• افتراضيًا
• البعد المشترك

This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. Find sources: "Index of a subgroup" – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (January 2010) (Learn how and when to remove this message)

• طبيعية المجموعات الفرعية للمؤشر الأولي في PlanetMath .
• "المجموعة الفرعية لأقل مؤشر أولي طبيعية" في Groupprops، ويكي خصائص المجموعة