المجموعة الفرعية

في نظرية الزمر ، وهي فرع من فروع الرياضيات ، تعتبر مجموعة جزئية من زمرة G زمرة جزئية من G إذا شكلت عناصر تلك المجموعة الجزئية زمرة بالنسبة لعملية الزمرة في G.

بصورة رسمية، إذا كانت لدينا مجموعة G تحت تأثير عملية ثنائية  ∗، فإن المجموعة الجزئية H من G تُسمى مجموعة جزئية من G إذا كانت H تُشكل أيضًا مجموعة تحت تأثير العملية  ∗. بتعبير أدق، تكون H مجموعة جزئية من G إذا كان تقييد ∗ على H × H عملية مجموعة على H. ويُشار إلى ذلك غالبًا بـ H ≤ G ، ويُقرأ " H مجموعة جزئية من G ".

الزمرة الجزئية التافهة لأي زمرة هي الزمرة الجزئية { e } التي تتكون من العنصر المحايد فقط. ^{[ 1 ]}

الزمرة الجزئية الفعلية من زمرة G هي زمرة جزئية H تُشكّل مجموعة جزئية فعلية من G (أي H ≠ G ). ويُرمز لهذا غالبًا بالرمز H < G ، ويُقرأ " H زمرة جزئية فعلية من G ". كما يستثني بعض المؤلفين الزمرة التافهة من كونها زمرة جزئية فعلية (أي H ≠ { e } ) . ^{[ 2 ] [ 3 ]}

إذا كانت H مجموعة جزئية من G ، فإن G تسمى أحيانًا مجموعة فوقية لـ H.

تنطبق نفس التعريفات بشكل عام عندما تكون G شبه مجموعة عشوائية ، ولكن هذه المقالة ستتناول فقط المجموعات الفرعية للمجموعات.

لنفترض أن G هي مجموعة، و H هي مجموعة جزئية من G. في الوقت الحالي، افترض أن عملية المجموعة لـ G مكتوبة بشكل ضربي، ويرمز لها بالتجاور.

• تكون H زمرة جزئية من G إذا وفقط إذا كانت H غير فارغة ومغلقة تحت الضرب والمعكوس. الإغلاق تحت الضرب يعني أنه لكل a و b في H ، ^يكون حاصل الضرب ab في H. الإغلاق تحت المعكوس يعني أنه لكل a في H ، يكون المعكوس a − ¹ في H. يمكن دمج هذين الشرطين في شرط واحد، وهو أنه لكل a و b في H ، يكون العنصر ab ^{− 1} في H ، ولكن من الأسهل والأكثر طبيعية اختبار كل شرط على حدة. ^{[ 4 ]}
• عندما تكون H مجموعة جزئية منتهية ، يمكن تبسيط الاختبار: تكون H مجموعة جزئية إذا وفقط إذا كانت غير فارغة ومغلقة تحت الضرب. هذه الشروط وحدها تعني أن كل عنصر ^a من H يولد مجموعة جزئية دورية منتهية من ^H ، ولتكن من الرتبة n ، وبالتالي ^فإن معكوس a هو aⁿ⁻¹ . ^{[ 4 ]}

إذا تم الإشارة إلى عملية المجموعة بدلاً من ذلك بالجمع، فيجب استبدال " مغلق تحت الضرب" بـ " مغلق تحت الجمع" ، وهو الشرط الذي ينص على أنه لكل a و b في H ، يكون المجموع a + b في H ، ويجب تعديل "مغلق تحت المعكوسات" ليقول أنه لكل a في H ، يكون المعكوس − a في H.

• هوية المجموعة الجزئية هي هوية المجموعة: إذا كانت G مجموعة ذات هوية e G _، و H مجموعة جزئية من G ذات هوية e _H ، فإن e _H = e _G.
• معكوس عنصر في مجموعة جزئية هو معكوس العنصر في المجموعة: إذا كانت H مجموعة جزئية من مجموعة G ، وكان a و b عنصرين من H بحيث يكون ab = ba = e _H ، فإن ab = ba = e _G.
• إذا كانت H مجموعة جزئية من G ، فإن خريطة التضمين H → G التي ترسل كل عنصر a من H إلى نفسه هي تشاكل .
• تقاطع المجموعتين الجزئيتين A و B من G هو أيضاً مجموعة جزئية من G. [ ^{5 ] على} سبيل المثال ، تقاطع المحور x والمحور y في${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$تحت عملية الجمع ، تكون المجموعة الفرعية التافهة هي المجموعة الفرعية التافهة. وبشكل أعم، فإن تقاطع أي مجموعة من المجموعات الفرعية للمجموعة G هو مجموعة فرعية من G.
• اتحاد المجموعتين الجزئيتين A و B هو مجموعة جزئية إذا وفقط إذا كان A ⊆ B أو B ⊆ A. مثال مضاد :${\displaystyle 2\mathbb {Z} \cup 3\mathbb {Z} }$⁠ ليست مجموعة فرعية من ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$لأن العددين 2 و3 عنصران من هذه المجموعة الجزئية التي مجموعها 5، لا ينتمي إلى المجموعة الجزئية. وبالمثل، فإن اتحاد المحور السيني والمحور الصادي في${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$⁠ ليست مجموعة فرعية من ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$⁠
• إذا كانت S مجموعة جزئية من G ، فإنه يوجد أصغر زمرة جزئية تحتوي على S ، وهي تقاطع جميع الزمر الجزئية التي تحتوي على S ؛ ويُرمز لها بـ ⟨S⟩ وتُسمى الزمرة الجزئية المولدة بواسطة S. ينتمي عنصر من G إلى ⟨S⟩ إذا وفقط إذا كان حاصل ضرب منتهٍ لعناصر S ومعكوساتها ، وقد يكون مكررًا . ^{[ 6 ]}
• كل عنصر a من مجموعة G يولد زمرة جزئية دورية ⟨a⟩ . إذا كانت ⟨a⟩ متماثلة مع ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$إذا كان ( الأعداد الصحيحة modulo n ) لعدد صحيح موجب n ، فإن n هو أصغر عدد صحيح موجب يحقق a ⁿ = e ،ويُسمى n رتبة a . إذا كان ⟨ a ⟩ متماثلًا مع ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ثم يقال إنa لها ترتيب لانهائي .
• تشكل الزمر الجزئية لأي زمرة معينة شبكة كاملة تحت التضمين، تُسمى شبكة الزمر الجزئية . (بينما الحد الأدنى هنا هو التقاطع المعتاد في نظرية المجموعات، فإن الحد الأعلى لمجموعة من الزمر الجزئية هو الزمرة الجزئية المولدة من الاتحاد النظري للزمر الجزئية، وليس الاتحاد النظري نفسه). إذا كانت e هي العنصر المحايد في G ، فإن الزمرة التافهة { e } هي الزمرة الجزئية الدنيا لـ G ، بينما الزمرة الجزئية القصوى هي G نفسها.

بفرض وجود زمرة جزئية H وعنصر a في G ، نُعرّف المجموعة المشاركة اليسرى aH = { ah  : h ∈ H }. ولأن a قابلة للعكس، فإن التطبيق φ  : H → aH المُعطى بالعلاقة φ( h ) = ah هو تقابل . علاوة _على ذلك، فإن كل عنصر من G موجود في مجموعة مشاركة يسرى واحدة فقط من H ؛ والمجموعات المشاركة اليسرى هي فئات التكافؤ التي تُقابل علاقة التكافؤ a₁ _~ a₂ إذا وفقط إذا${\displaystyle a_{1}^{-1}a_{2}}$⁠ في H. يُطلق علىعددالمجموعات المشاركة اليسرى لـ H اسم دليل Hفي G ويُرمز إليه بـ [ G : H ] . 

تنص نظرية لاغرانج على أنه بالنسبة لمجموعة منتهية G ومجموعة جزئية H ،

${\displaystyle [G:H]={|G| \over |H|}}$

حيث يرمز | G | و | H | إلى رتبتي G و H على التوالي. وبالتحديد، يجب أن تكون رتبة كل زمرة جزئية من G (ورتبة كل عنصر من G ) قاسمًا لـ | G | . ^{[ 7 ] [ 8 ]}

يتم تعريف المجموعات المشاركة اليمنى بشكل مماثل: Ha = { ha  : h in H }. وهي أيضًا فئات التكافؤ لعلاقة تكافؤ مناسبة وعددها يساوي [ G  : H ] .

إذا كان aH = Ha لكل a في G ، فإن H تُسمى زمرة جزئية طبيعية . كل زمرة جزئية من الرتبة 2 طبيعية: المشاركات اليسرى، وكذلك المشاركات اليمنى، هي ببساطة الزمرة الجزئية ومتممتها. وبشكل أعم، إذا كان p هو أصغر عدد أولي يقسم رتبة زمرة منتهية G ، فإن أي زمرة جزئية من الرتبة p (إن وُجدت) تكون طبيعية.

ليكن G الزمرة الدورية المنتهية

${\displaystyle \mathrm {Z} _{8}=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}}$

في عملية الجمع بتردد 8. المجموعة الجزئية${\displaystyle \{0,2,4,6\}}$تتكون من مضاعفات العدد 2 وهي مجموعة فرعية من${\displaystyle \mathrm {Z} _{8}}$وبشكل أعم، لكل قاسم d للعدد 8، تشكل مضاعفات d زمرة جزئية. وبالتحديد، بالنسبة لـ${\displaystyle d=1,2,4,8}$وهذه المجموعات الفرعية هي${\displaystyle \{0,1,2,3,4,5,6,7\},\{0,2,4,6\},\{0,4\},\{0\}}$.

بشكل عام، لأي عدد صحيح موجب n ، يمكن وصف جميع المجموعات الفرعية للمجموعة الدورية المنتهية${\displaystyle \mathrm {Z} _{n}}$وبالمثل: لكل قاسم d للعدد n ، فإن مضاعفات d في${\displaystyle \mathrm {Z} _{n}}$تشكل مجموعة فرعية من الرتبة${\displaystyle n/d}$وتنشأ كل مجموعة فرعية بهذه الطريقة.

المجموعات الفرعية للمجموعات الدورية هي مجموعات دورية. ^{[ 9 ]}

المجموعة المتناظرة S ₄ هي المجموعة التي عناصرها هي تباديل لـ${\displaystyle \{1,2,3,4\}}$فيما يلي جميع مجموعاتها الفرعية، مرتبة حسب عدد عناصرها.

جميع المجموعات الفرعية الثلاثين مبسط مخططات هاس لشبكة المجموعات الفرعية لـ S 4

• تشكل الأعداد الزوجية مجموعة فرعية${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$من حلقة الأعداد الصحيحة${\displaystyle \mathbb {Z}$ :} ⁠ مجموع عددين زوجيين هو عدد زوجي، ومعكوس عدد زوجي هو عدد زوجي.
• كل مثالي في حلقة R هو مجموعة فرعية من المجموعة الجمعية لـ R.
• كل فضاء جزئي خطي من فضاء متجهي هو مجموعة جزئية من المجموعة الجمعية للمتجهات.
• في المجموعة الأبيلية ، تشكل العناصر ذات الرتبة المحدودة مجموعة فرعية تسمى مجموعة الالتواء .

• جاكوبسون، ناثان (2009)، الجبر الأساسي ، المجلد  1 (  الطبعة الثانية)، دوفر، رقم ISBN 978-0-486-47189-1.
• هانغرفورد، توماس (1974)، الجبر (  الطبعة الأولى)، سبرينغر-فيرلاغ، رقم ISBN 9780387905181.
• ارتين ، مايكل (2011)، الجبر (  الطبعة الثانية)، برنتيس هول، ISBN 9780132413770.
• دوميت، ديفيد س.؛ فوت، ريتشارد م. (2004). الجبر المجرد (  الطبعة الثالثة). هوبوكين، نيوجيرسي: وايلي. ISBN 9780471452348. OCLC 248917264 . 
• غاليان، جوزيف أ. (2013). الجبر المجرد المعاصر (  الطبعة الثامنة). بوسطن، ماساتشوستس: بروكس/كول سينجيدج ليرنينج. ISBN 978-1-133-59970-8. OCLC 807255720 . 
• كورزويل، هانز؛ ستيلماخر، بيرند (1998). Theorie der endlichen Gruppen . سبرينغر ليهربوخ. دوى : 10.1007/978-3-642-58816-7 . رقم ISBN 978-3-540-60331-3.
• آش، روبرت ب. (2002). الجبر المجرد: السنة الدراسية الأساسية للدراسات العليا . قسم الرياضيات، جامعة إلينوي.