قوانين دي مورغان

في منطق القضايا والجبر البولياني ، تُعرف قوانين دي مورغان [ ^{1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^، أو نظرية دي مورغان [ ⁴^]،^بأنها زوج من قواعد التحويل التي تُعدّ كلتاهما قواعد استدلال صحيحة . سُميت هذه القوانين نسبةً إلى أوغسطس دي مورغان ، عالم الرياضيات البريطاني من القرن التاسع عشر. تسمح هذه القواعد بالتعبير عن العطف والفصل بدلالة بعضهما البعض فقط عن طريق النفي .

يمكن التعبير عن القواعد باللغة الإنجليزية على النحو التالي:

إن نفي "A و B" هو نفسه "ليس A أو ليس B".
إن نفي "أ أو ب" هو نفسه "ليس أ وليس ب".

أو

متمم اتحاد مجموعتين هو نفسه تقاطع متممتيهما
متممة تقاطع مجموعتين هي نفسها اتحاد متممتيهما

أو

ليس (أ أو ب) = (ليس أ) و (ليس ب)
ليس (أ و ب) = (ليس أ) أو (ليس ب)

حيث أن "A أو B" تعني " أو شاملة " بمعنى واحد على الأقل من A أو B بدلاً من " أو حصرية " التي تعني واحداً فقط من A أو B.

هناك شكل آخر لقانون دي مورغان وهو كما هو موضح أدناه.

A-(B\cup C)=(AB)\cap (AC),

A-(B\cap C)=(AB)\cup (AC).

تشمل تطبيقات هذه القواعد تبسيط التعبيرات المنطقية في برامج الحاسوب وتصميم الدوائر الرقمية. وتُعد قوانين دي مورغان مثالاً على مفهوم أعمّ للازدواجية الرياضية .

الترميز الرسمي

يمكن كتابة قاعدة نفي العطف باستخدام الترميز التسلسلي :

{\begin{aligned}\neg (P\land Q)&\vdash (\neg P\lor \neg Q)،{\text{and}}\\(\neg P\lor \neg Q)&\vdash \neg (P\land Q).\end{محاذاة}}

يمكن كتابة قاعدة نفي الفصل على النحو التالي :

{\begin{align}\neg (P\lor Q)&\vdash (\neg P\land \neg Q)،{\text{and}}\\(\neg P\land \neg Q)&\vdash \neg (P\lor Q).\end{محاذاة}}

في شكل قاعدة : نفي العطف

${\frac {\neg (P\land Q)}{\therefore \neg P\lor \neg Q}}\qquad {\frac {\neg P\lor \neg Q}{\therefore \neg (P\land Q)}}$

ونفي الانفصال

${\frac {\neg (P\lor Q)}{\therefore \neg P\land \neg Q}}\qquad {\frac {\neg P\land \neg Q}{\therefore \neg (P\lor Q)}}$

ويتم التعبير عنها كعبارات صحيحة منطقية أو نظريات في منطق القضايا:

{\begin{aligned}\neg (P\land Q)&\leftrightarrow (\neg P\lor \neg Q)،\\\neg (P\lor Q)&\leftrightarrow (\neg P\land \neg Q).\\\end{محاذاة}}

أين $P$ و $Q$ هي مقترحات معبر عنها في نظام رسمي ما.

تُقدّم قوانين دي مورغان المعممة تكافؤًا لنفي العطف أو الفصل الذي يتضمن عدة حدود. بالنسبة لمجموعة من القضايا $P_{1},P_{2},\dots ,P_{n}$ قوانين دي مورغان المعممة هي كما يلي:

{\begin{aligned}\lnot (P_{1}\land P_{2}\land \dots \land P_{n})\leftrightarrow \lnot P_{1}\lor \lnot P_{2}\lor \ldots \lor \lnot P_{n}\\\lnot (P_{1}\lor P_{2}\lor \dots \lor P_{n})\leftrightarrow \lnot P_{1}\land \lnot P_{2}\land \ldots \land \lnot P_{n}\end{aligned}}

تعمم هذه القوانين قوانين دي مورغان الأصلية لنفي العطف والفصل.

نماذج الاستبدال

تُعرض قوانين دي مورغان عادةً بالشكل المختصر أعلاه، مع نفي المخرجات على اليسار ونفي المدخلات على اليمين. ويمكن صياغة شكل أوضح للتعويض كما يلي:

{\begin{aligned}(P\land Q)&\Longleftrightarrow \neg (\neg P\lor \neg Q)،\\(P\lor Q)&\Longleftrightarrow \neg (\neg P\land \neg Q).\end{محاذاة}}

وهذا يؤكد على ضرورة عكس كل من المدخلات والمخرجات، بالإضافة إلى تغيير العامل عند إجراء عملية استبدال.

نظرية المجموعات

في نظرية المجموعات، غالباً ما يُذكر ذلك على أنه "تبادل الاتحاد والتقاطع تحت المكمل"، ^{[ 5 ]} والذي يمكن التعبير عنه رسمياً على النحو التالي:

{\begin{aligned}{\overline {A\cup B}}&={\overline {A}}\cap {\overline {B}},\\{\overline {A\cap B}}&={\overline {A}}\cup {\overline {B}},\end{aligned}}

أين:

${\overline {A}}$ هو نفي $A$ ، حيث يُكتب الخط العلوي فوق المصطلحات المراد نفيها،
$\cap$ هو عامل التقاطع (AND)،
$\cup$ هو مشغل النقابة (OR).

اتحادات وتقاطعات أي عدد من المجموعات

الصيغة العامة هي

{\begin{aligned}{\overline {\bigcap _{i\in I}A_{i}}}&\equiv \bigcup _{i\in I}{\overline {A_{i}}},\\{\overline {\bigcup _{i\in I}A_{i}}}&\equiv \bigcap _{i\in I}{\overline {A_{i}}},\end{aligned}}

حيث $I$ هي مجموعة فهرسة ما، قد تكون قابلة للعد أو غير قابلة للعد، لا نهائية.

في تدوين المجموعات، يمكن تذكر قوانين دي مورغان باستخدام الاختصار "اكسر الخط، غيّر الإشارة". ^{[ 6 ]}

الجبر البولياني

في الجبر البولياني، وبالمثل، يمكن التعبير عن هذا القانون رسميًا على النحو التالي:

{\begin{aligned}{\overline {A\land B}}&={\overline {A}}\lor {\overline {B}},\\{\overline {A\lor B}}&={\overline {A}}\land {\overline {B}},\end{aligned}}

أين:

${\overline {A}}$ هو نفي $A$ ، حيث يُكتب الخط العلوي فوق المصطلحات المراد نفيها،
$\land$ هو عامل الربط المنطقي (AND)،
$\lor$ هو عامل الفصل المنطقي (أو).

والتي يمكن تعميمها على

{\begin{aligned}{\overline {A_{1}\land A_{2}\land \ldots \land A_{n}}}={\overline {A_{1}}}\lor {\overline {A_{2}}}\lor \ldots \lor {\overline {A_{n}}},\\{\overline {A_{1}\lor A_{2}\lor \ldots \lor A_{n}}}={\overline {A_{1}}}\land {\overline {A_{2}}}\land \ldots \land {\overline {A_{n}}}.\end{aligned}}

هندسة

في الهندسة الكهربائية وهندسة الحاسوب ، تُكتب قوانين دي مورغان عادةً على النحو التالي:

{\overline {(A\cdot B)}}\equiv ({\overline {A}}+{\overline {B}})

و

{\overline {(A+B)}}\equiv ({\overline {A}}\cdot {\overline {B}}),

أين:

$\cdot$ هو الربط المنطقي "و"،
$+$ هو عامل "أو" المنطقي،
الخط العلوي هو النفي المنطقي لما هو أسفل الخط العلوي.

البحث النصي

تنطبق قوانين دي مورغان عادةً على البحث النصي باستخدام عوامل التشغيل المنطقية AND وOR وNOT. لنفترض مجموعة من المستندات تحتوي على كلمتي "قطط" و"كلاب". تنص قوانين دي مورغان على أن هاتين العمليتين ستُرجعان نفس مجموعة المستندات.

البحث أ: ليس (قطط أو كلاب)

البحث ب: (ليس القطط) و (ليس الكلاب)

يمكن تمثيل مجموعة الوثائق التي تحتوي على "قطط" أو "كلاب" بأربع وثائق:

الوثيقة 1: تحتوي فقط على كلمة "قطط".

الوثيقة 2: تحتوي فقط على "كلاب".

الوثيقة 3: تحتوي على كل من "القطط" و "الكلاب".

الوثيقة 4: لا تحتوي على "قطط" ولا "كلاب".

لتقييم البحث أ، من الواضح أن البحث "(قطط أو كلاب)" سيظهر في المستندات 1 و2 و3. لذا فإن نفي هذا البحث (وهو البحث أ) سيظهر في كل شيء آخر، وهو المستند 4.

عند تقييم البحث B، سيُظهر البحث "(ليس القطط)" المستندات التي لا تحتوي على كلمة "قطط"، وهي المستندان 2 و4. وبالمثل، سيُظهر البحث "(ليس الكلاب)" المستندات 1 و4. بتطبيق عامل "و" على هذين البحثين (وهو البحث B)، سيُظهر المستندات المشتركة بينهما، وهي المستند 4.

يمكن تطبيق تقييم مماثل لإظهار أن عمليتي البحث التاليتين ستعيدان المستندات 1 و2 و4:

ابحث عن C: ليس (قطط وكلاب)،

ابحث في D: (ليس القطط) أو (ليس الكلاب).

مثال عملي

إليكم مثالاً أكثر واقعية لتوضيح كيفية تطبيق قوانين دي مورغان عملياً. ^{[ 7 ]}

لننظر في العبارة التالية: "ليس صحيحاً أن يكون العدد زوجياً وموجباً في الوقت نفسه". باستخدام قوانين دي مورغان، يمكن إعادة صياغة هذه العبارة لتصبح: "العدد إما ليس زوجياً أو ليس موجباً" ^{[ 8 ].}

يوضح هذا التحويل كيفية توزيع النفي عبر العطف عن طريق نفي كل مكون وتبديل العامل المنطقي. ^{[ 9 ]} تُعدّ عمليات إعادة الصياغة التدريجية كهذه مفيدة بشكل خاص عند تبسيط التعبيرات المنطقية في البراهين وحل المشكلات.

تاريخ

سُميت هذه القوانين نسبةً إلى أوغسطس دي مورغان (1806-1871)، ^{[ 10 ]} الذي أدخل صيغةً رسميةً لهذه القوانين إلى المنطق الافتراضي الكلاسيكي. ^{[ 11 ]} يُمكن العثور على أول بيان صريح لقوانين دي مورغان في كتابه " المنطق الصوري" الصادر عام 1847. ^{[ 12 ]} تأثرت صياغة دي مورغان بجبر المنطق الذي قام به جورج بول ، والذي عزز لاحقًا ادعاء دي مورغان بأنه صاحب هذا الاكتشاف. مع ذلك، فقد أبدى أرسطو ملاحظةً مماثلة ، وكانت معروفةً لدى علماء المنطق اليونانيين وعلماء المنطق في العصور الوسطى. ^{[ 13 ]} على سبيل المثال، في القرن الرابع عشر، دوّن ويليام الأوكامي الكلمات التي ستنتج عن قراءة هذه القوانين. ^{[ 14 ]} كما يصف جان بوريدان ، في كتابه "ملخصات الجدل" ، قواعد التحويل التي تتبع خطوط قوانين دي مورغان. ^{[ 15 ]} مع ذلك، يُنسب الفضل إلى دي مورغان في صياغة القوانين بمصطلحات المنطق الصوري الحديث، ودمجها في لغة المنطق. يمكن إثبات قوانين دي مورغان بسهولة، وقد تبدو بديهية. ^{[ 16 ]} ومع ذلك، تُعدّ هذه القوانين مفيدة في استخلاص استنتاجات صحيحة في البراهين والحجج الاستنتاجية.

برهان على الجبر البولياني

يمكن تطبيق نظرية دي مورغان على نفي الفصل أو نفي العطف في كل أو جزء من الصيغة.

نفي الانفصال

في حالة تطبيقها على الفصل، ضع في اعتبارك الادعاء التالي: "من الخطأ أن يكون أي من A أو B صحيحًا"، والذي يُكتب على النحو التالي:

\neg (A\lor B).

وبما أنه قد ثبت أن لا أ ولا ب صحيح، فإنه يجب أن يترتب على ذلك أن كلاً من أ و ب غير صحيح، وهو ما يمكن كتابته مباشرة على النحو التالي:

(\neg A)\wedge (\neg B).

إذا كان أحد العبارتين أ أو ب صحيحًا، فإنّ فصل أ و ب سيكون صحيحًا، مما يجعل نفيه خاطئًا. وبعبارة أخرى، يتبع هذا المنطق القائل: "بما أن شيئين كلاهما خاطئ، فمن الخطأ أيضًا أن يكون أحدهما صحيحًا".

وبالعمل في الاتجاه المعاكس، يؤكد التعبير الثاني أن A خاطئة وB خاطئة (أو بصورة مكافئة أن "ليس A" و"ليس B" صحيحان). وبناءً على ذلك، فإن الفصل بين A وB يجب أن يكون خاطئًا أيضًا. وبالتالي، فإن نفي هذا الفصل يجب أن يكون صحيحًا، وتكون النتيجة مطابقة للادعاء الأول.

نفي حرف العطف

إن تطبيق نظرية دي مورغان على العطف يشبه إلى حد كبير تطبيقها على الفصل، شكلاً ومضموناً. لننظر إلى الادعاء التالي: "من الخطأ أن يكون كل من A وB صحيحين"، والذي يُكتب على النحو التالي:

\neg (A\land B).

لكي يكون هذا الادعاء صحيحًا، يجب أن يكون كل من A أو B خاطئًا، لأنه لو كان كلاهما صحيحًا، لكانت جملة A وB صحيحة، مما يجعل نفيها خاطئًا. وبالتالي، يجب أن يكون واحد (على الأقل) من A وB خاطئًا (أو بصورة مكافئة، يجب أن يكون واحد أو أكثر من "ليس A" و"ليس B" صحيحًا). ويمكن كتابة ذلك مباشرة على النحو التالي:

(\neg A)\lor (\neg B).

عند تقديمها بلغة طبيعية مثل اللغة الإنجليزية، يتم التعبير عنها على النحو التالي: "بما أنه من الخطأ أن يكون شيئان صحيحين في نفس الوقت، فلا بد أن يكون أحدهما على الأقل خاطئًا".

وبالعمل في الاتجاه المعاكس، يؤكد التعبير الثاني أن أحد الشرطين "ليس أ" أو "ليس ب" على الأقل يجب أن يكون صحيحًا، أو بعبارة أخرى، أن أحد الشرطين أ و ب على الأقل يجب أن يكون خاطئًا. وبما أن أحدهما على الأقل يجب أن يكون خاطئًا، فإن ربطهما معًا سيكون خاطئًا أيضًا. وبالتالي، فإن نفي هذا الربط ينتج عنه تعبير صحيح، وهذا التعبير مطابق للادعاء الأول.

برهان على نظرية المجموعات

هنا نستخدم ${\overline {A}}$ للدلالة على متممة المجموعة A، كما هو موضح أعلاه في قسم نظرية المجموعات والجبر البولياني . والبرهان على أن ${\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}$ يتم إنجاز ذلك في خطوتين من خلال إثبات كليهما ${\overline {A\cap B}}\subseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$ و ${\overline {A}}\cup {\overline {B}}\subseteq {\overline {A\cap B}}$ .

الجزء الأول

يترك $x\in {\overline {A\cap B}}$ . ثم، $x\not \in A\cap B$ .

لأن $A\cap B=\{\,y\ |\ y\in A\wedge y\in B\,\}$ ، لا بد أن يكون الأمر كذلك $x\not \in A$ أو $x\not \in B$ .

لو $x\not \in A$ ، ثم $x\in {\overline {A}}$ ، لذا $x\in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$ .

وبالمثل، إذا $x\not \in B$ ، ثم $x\in {\overline {B}}$ ، لذا $x\in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$ .

هكذا، $\forall x{\Big (}x\in {\overline {A\cap B}}\implies x\in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}{\Big )}$ ;

إنه، ${\overline {A\cap B}}\subseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$ .

الجزء الثاني

لإثبات الاتجاه المعاكس، دع $x\in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$ وافترض التناقض $x\not \in {\overline {A\cap B}}$ .

وبناءً على هذا الافتراض، يجب أن يكون الأمر كذلك. $x\in A\cap B$ ،

وبناءً على ذلك $x\in A$ و $x\in B$ وبالتالي $x\not \in {\overline {A}}$ و $x\not \in {\overline {B}}$ .

لكن هذا يعني $x\not \in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$ ، وهو ما يتناقض مع الفرضية القائلة بأن $x\in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$ ،

لذلك، فإن الافتراض $x\not \in {\overline {A\cap B}}$ لا بد أن الأمر ليس كذلك، بمعنى أن $x\in {\overline {A\cap B}}$ .

لذلك، $\forall x{\Big (}x\in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}\implies x\in {\overline {A\cap B}}{\Big )}$ ،

إنه، ${\overline {A}}\cup {\overline {B}}\subseteq {\overline {A\cap B}}$ .

خاتمة

لو ${\overline {A}}\cup {\overline {B}}\subseteq {\overline {A\cap B}}$ و ${\overline {A\cap B}}\subseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$ ، ثم ${\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}$ وهذا يختتم إثبات قانون دي مورغان.

قانون دي مورغان الآخر، ${\overline {A\cup B}}={\overline {A}}\cap {\overline {B}}$ ، وقد ثبت ذلك بطريقة مماثلة.

تعميم ثنائية دي مورغان

في امتدادات المنطق الافتراضي الكلاسيكي، لا تزال الازدواجية قائمة (أي أنه يمكن دائمًا إيجاد نظير لأي عامل منطقي)، إذ في وجود متطابقات النفي، يمكن دائمًا إدخال عامل يُعد نظير دي مورغان لعامل آخر. يؤدي هذا إلى خاصية مهمة للمنطق القائم على المنطق الكلاسيكي ، ألا وهي وجود الصيغ المعيارية للنفي : أي صيغة مكافئة لصيغة أخرى حيث لا يحدث النفي إلا عند تطبيقه على العناصر غير المنطقية في الصيغة. يُحفز وجود الصيغ المعيارية للنفي العديد من التطبيقات، على سبيل المثال في تصميم الدوائر الرقمية ، حيث تُستخدم لمعالجة أنواع البوابات المنطقية ، وفي المنطق الصوري، حيث يلزم إيجاد الصيغة المعيارية الاقترانية والصيغة المعيارية الانفصالية لصيغة ما. يستخدمها مبرمجو الحاسوب لتبسيط أو نفي الشروط المنطقية المعقدة بشكل صحيح . كما أنها مفيدة غالبًا في الحسابات في نظرية الاحتمالات الأولية .

لنُعرّف ثنائي أي مؤثر اقتراحي P( p , q , ...) يعتمد على الاقتراحات الأولية p , q , ... بأنه المؤثر ${\mbox{P}}^{d}$ محدد بواسطة

{\mbox{P}}^{d}(p,q,...)=\neg P(\neg p,\neg q,\dots ).

توسيع لمنطق المسند والمنطق الموجه

يمكن تعميم هذه الازدواجية على المحددات الكمية، فعلى سبيل المثال، المحدد الكمي الكلي والمحدد الكمي الوجودي هما محددان كميان متضادان:

\forall x\,P(x)\equiv \neg [\exists x\,\neg P(x)]

\exists x\,P(x)\equiv \neg [\forall x\,\neg P(x)]

لربط هذه الثنائيات الكمية بقوانين دي مورغان، لنفترض مجالًا من الخطاب D (يحتوي على عدد قليل من الكيانات) تُنسب إليه خصائص بشكل عالمي ووجودي، مثل

D = { a , b , c }.

ثم عبّر عن المُكمِّم الكلي بشكل مكافئ عن طريق ربط العبارات الفردية

\forall x\,P(x)\equiv P(a)\land P(b)\land P(c)

والمحدد الكمي الوجودي عن طريق فصل العبارات الفردية

\exists x\,P(x)\equiv P(a)\lor P(b)\lor P(c).

لكن، باستخدام قوانين دي مورغان،

P(a)\land P(b)\land P(c)\equiv \neg (\neg P(a)\lor \neg P(b)\lor \neg P(c))

و

P(a)\lor P(b)\lor P(c)\equiv \neg (\neg P(a)\land \neg P(b)\land \neg P(c)),

التحقق من ازدواجية الكميات في النموذج.

ثم يمكن توسيع ثنائيات الكميات لتشمل المنطق الموجه ، وربط عاملي المربع ("بالضرورة") والمعين ("ربما"):

\Box p\equiv \neg \Diamond \neg p,

\Diamond p\equiv \neg \Box \neg p.

في تطبيقها على طرائق الإليثية للإمكانية والضرورة، لاحظ أرسطو هذه الحالة، وفي حالة المنطق الموجه العادي ، يمكن فهم علاقة هذه العوامل الموجهة بالكمية من خلال وضع نماذج باستخدام دلالات كريپكي .

في المنطق الحدسي

ثلاثة من أصل أربعة دلالات لقوانين دي مورغان تنطبق على المنطق الحدسي . تحديدًا، لدينا

\neg (P\lor Q)\,\leftrightarrow \,{\big (}(\neg P)\land (\neg Q){\big )},

و

{\big (}(\neg P)\lor (\neg Q){\big )}\,\to \,\neg (P\land Q).

لا يصح عكس الاستلزام الأخير في المنطق الحدسي البحت. أي أن القضية المشتركة تفشل $P\land Q$ لا يمكن بالضرورة حلّ المسألة إلى فشل أحد الطرفين . على سبيل المثال، بمعرفة أن أليس وبوب لم يحضرا موعدهما، لا يُستنتج من لم يحضر. هذا المبدأ الأخير يُعادل مبدأ الوسط المرفوع الضعيف. ${\mathrm {WPEM} }$ ،

(\neg P)\lor \neg (\neg P).

يمكن استخدام هذا الشكل الضعيف كأساس لمنطق وسيط . للاطلاع على نسخة مُحسَّنة من القانون الفاشل المتعلق بالعبارات الوجودية، انظر مبدأ العلم المطلق المحدود الأدنى ${\mathrm {LLPO} }$ وهو ما يختلف عن ${\mathrm {WLPO} }$ .

تظل قوانين دي مورغان الثلاثة الأخرى سارية المفعول حتى في حالة النفي. $\neg P$ يتم استبدالها بالاستدلال الضمني $P\to C$ بالنسبة لبعض المسند الثابت التعسفي C، مما يعني أن القوانين المذكورة أعلاه لا تزال صحيحة في المنطق الأدنى .

وبالمثل لما سبق، فإن قوانين الكميات:

\forall x\,\neg P(x)\,\leftrightarrow \,\neg \exists x\,P(x)

و

\exists x\,\neg P(x)\,\to \,\neg \forall x\,P(x).

تُعتبر التكرارات صحيحة حتى في أبسط أنواع المنطق مع استبدال النفي بالاستدلال على قيمة ثابتة. $Q$ ، بينما لا يجب أن يكون عكس القانون الأخير صحيحًا بشكل عام.

علاوة على ذلك، لا يزال المرء يمتلك

(P\lor Q)\,\to \,\neg {\big (}(\neg P)\land (\neg Q){\big )},

(P\land Q)\,\to \,\neg {\big (}(\neg P)\lor (\neg Q){\big )},

\forall x\,P(x)\,\to \,\neg \exists x\,\neg P(x),

\exists x\,P(x)\,\to \,\neg \forall x\,\neg P(x),

لكن انعكاسها يستلزم الوسط المستبعد ، ${\mathrm {PEM} }$ .

في هندسة الحاسوب

تُستخدم قوانين دي مورغان على نطاق واسع في هندسة الحاسوب والمنطق الرقمي لغرض تبسيط تصميم الدوائر. ^{[ 17 ]}
في لغات البرمجة الحديثة، تستخدم المترجمات والمفسرات قوانين دي مورغان لتحسين التعبيرات المنطقية. لذلك، فإن اختلافات الأداء بين التعبيرات المتكافئة منطقيًا عادةً ما تكون ضئيلة أو معدومة تمامًا.

تطبيقات موسعة

تُستشهد قوانين دي مورغان عادةً في تصميم الدوائر الرقمية والجبر البولياني، إلا أنها تلعب دورًا هامًا أيضًا في الاستدلال والحساب. تُستخدم قوانين دي مورغان في نظرية الاحتمالات، مما يسمح بتبسيط مكملات الأحداث المركبة. ^{[ 18 ]} ويمكن إعادة صياغة التعبيرات التي تتضمن "ليس كلاهما" أو "ليس أحدهما" بصيغ أكثر سهولة.

في علوم الحاسوب، تُطبَّق هذه القوانين بكثرة عند إعادة كتابة العبارات الشرطية. فغالباً ما يتطلب نفي شرط مُركَّب في الشيفرة تحويل شرط "و" إلى شرط "أو" مع مكونات منفية، مما يُوضِّح كيف تُحسِّن هذه القوانين كلاً من سهولة قراءة الشيفرة وصحتها عند تصميم الخوارزميات. ^{[ 19 ]}

تُعد قوانين دي مورغان مفيدة أيضاً في البراهين الرسمية، حيث أن تحويل العبارات المنطقية إلى أشكال مكافئة يمكن أن يجعل بناء الحجج والتحقق منها أسهل.

انظر أيضاً

مراجع

↑ كوبي، إيرفينغ م.؛ كوهين، كارل؛ ماكماهون، كينيث (2016). مقدمة في المنطق . doi : 10.4324/9781315510897 . ISBN 9781315510880.
↑ هيرلي، باتريك ج. (2015)، مقدمة موجزة في المنطق ( الطبعة الثانية عشرة)، سينجايج ليرنينج، رقم ISBN 978-1-285-19654-1
↑ مور، بروك نويل (2012). التفكير النقدي . ريتشارد باركر ( الطبعة العاشرة). نيويورك: ماكجرو هيل. ISBN 978-0-07-803828-0. OCLC 689858599 .
↑ نظرية دي مورغان [ كذا ]
↑ الجبر البولياني، تأليف آر. إل. جودستين. رقم الكتاب المعياري الدولي (ISBN) 0-486-45894-6
↑ ٢٠٠٠ مسألة محلولة في الإلكترونيات الرقمية، تأليف إس بي بالي
↑ كوبي، إيرفينغ م. مقدمة في المنطق
↑ وايسشتاين، إريك دبليو. "قوانين دي مورغان" . mathworld.wolfram.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 15-04-2026 .
↑ كوبي، إيرفينغ م. مقدمة في المنطق
↑ "نظريات دي مورغان" . جامعة ولاية تينيسي الوسطى . مؤرشف من الأصل بتاريخ 23-03-2008.
↑ غاستالدي، خوان لويس (2024)، "قوانين دي مورغان: الازدواجية في ظهور المنطق الصوري" ، في كرومر، رالف؛ هافنر، إيميلو (محرران)، الازدواجية في الفكر الرياضي في القرنين التاسع عشر والعشرين ، المجلد 63، تشام: سبرينغر نيتشر سويسرا، الصفحات 61-99 ، doi : 10.1007/978-3-031-59797-8_3 ، ISBN 978-3-031-59796-1تم الاطلاع عليه بتاريخ 18-05-2026
↑ دي مورغان، أوغسطس (21 أغسطس 2014). المنطق الصوري: أو، حساب الاستدلال، الضروري والمحتمل ( الطبعة الأولى). مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 115-116 . doi : 10.1017/cbo9781107280991 . ISBN 978-1-108-07078-2.
↑ بوتشينسكي، آي إم (1961). تاريخ المنطق الصوري . نوتردام، إنديانا: مطبعة جامعة نوتردام . ص 207. LCCN 58014183 .
↑ ويليام الأوكامي، الخلاصة المنطقية ، الجزء الثاني، القسمان 32 و 33.
↑ جان بوريدان، خلاصة الجدل . ترجمة جيولا كليما. نيو هيفن: مطبعة جامعة ييل، 2001. انظر تحديدًا الرسالة 1، الفصل 7، القسم 5. ISBN 0-300-08425-0
↑ روبرت هـ. أور. "أوغسطس دي مورغان (1806-1871)" . جامعة إنديانا - جامعة بوردو إنديانابوليس . مؤرشف من الأصل بتاريخ 15 يوليو 2010.
↑ ويرث، نيكلاوس (1995)، تصميم الدوائر الرقمية لطلاب علوم الحاسوب: كتاب تمهيدي ، سبرينغر، ص 16، ISBN 9783540585770
↑ مور، بروك نويل. التفكير النقدي
↑ ويرث، نيكلاوس. تصميم الدوائر الرقمية لطلاب علوم الحاسوب

روابط خارجية

"مبدأ الازدواجية" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
وايسشتاين، اريك دبليو “قوانين دي مورغان” . عالم الرياضيات .
قوانين دي مورغان على موقع PlanetMath .
الازدواجية في المنطق واللغة ، موسوعة الإنترنت للفلسفة .

[1] كوبي، إيرفينغ م.؛ كوهين، كارل؛ ماكماهون، كينيث (2016). مقدمة في المنطق . doi : 10.4324/9781315510897 . ISBN 9781315510880.

[2] هيرلي، باتريك ج. (2015)، مقدمة موجزة في المنطق ( الطبعة الثانية عشرة)، سينجايج ليرنينج، رقم ISBN 978-1-285-19654-1

[3] مور، بروك نويل (2012). التفكير النقدي . ريتشارد باركر ( الطبعة العاشرة). نيويورك: ماكجرو هيل. ISBN 978-0-07-803828-0. OCLC 689858599 .

[4] نظرية دي مورغان [ كذا ]

[r_l_goodstein-5] الجبر البولياني، تأليف آر. إل. جودستين. رقم الكتاب المعياري الدولي (ISBN) 0-486-45894-6

[6] ٢٠٠٠ مسألة محلولة في الإلكترونيات الرقمية، تأليف إس بي بالي

[7] كوبي، إيرفينغ م. مقدمة في المنطق

[8] وايسشتاين، إريك دبليو. "قوانين دي مورغان" . mathworld.wolfram.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 15-04-2026 .

[9] كوبي، إيرفينغ م. مقدمة في المنطق

[10] "نظريات دي مورغان" . جامعة ولاية تينيسي الوسطى . مؤرشف من الأصل بتاريخ 23-03-2008.

[11] غاستالدي، خوان لويس (2024)، "قوانين دي مورغان: الازدواجية في ظهور المنطق الصوري" ، في كرومر، رالف؛ هافنر، إيميلو (محرران)، الازدواجية في الفكر الرياضي في القرنين التاسع عشر والعشرين ، المجلد 63، تشام: سبرينغر نيتشر سويسرا، الصفحات 61-99 ، doi : 10.1007/978-3-031-59797-8_3 ، ISBN 978-3-031-59796-1تم الاطلاع عليه بتاريخ 18-05-2026

[12] دي مورغان، أوغسطس (21 أغسطس 2014). المنطق الصوري: أو، حساب الاستدلال، الضروري والمحتمل ( الطبعة الأولى). مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 115-116 . doi : 10.1017/cbo9781107280991 . ISBN 978-1-108-07078-2.

[13] بوتشينسكي، آي إم (1961). تاريخ المنطق الصوري . نوتردام، إنديانا: مطبعة جامعة نوتردام . ص 207. LCCN 58014183 .

[14] ويليام الأوكامي، الخلاصة المنطقية ، الجزء الثاني، القسمان 32 و 33.

[15] جان بوريدان، خلاصة الجدل . ترجمة جيولا كليما. نيو هيفن: مطبعة جامعة ييل، 2001. انظر تحديدًا الرسالة 1، الفصل 7، القسم 5. ISBN 0-300-08425-0

[16] روبرت هـ. أور. "أوغسطس دي مورغان (1806-1871)" . جامعة إنديانا - جامعة بوردو إنديانابوليس . مؤرشف من الأصل بتاريخ 15 يوليو 2010.

[17] ويرث، نيكلاوس (1995)، تصميم الدوائر الرقمية لطلاب علوم الحاسوب: كتاب تمهيدي ، سبرينغر، ص 16، ISBN 9783540585770

[18] مور، بروك نويل. التفكير النقدي

[19] ويرث، نيكلاوس. تصميم الدوائر الرقمية لطلاب علوم الحاسوب

1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

4

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ].

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗